CC BY
62
УДК 536.425
И.Л. Исупова, П.В. Трусов
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В СТАЛЯХ ПРИ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ
В сталях наблюдаются все известные для твердого состояния фазовые превращения: полиморфное с широким спектром морфологических и кинетических особенностей; эвтектоидный распад (перлитное превращение); распад пересыщенных твердых растворов внедрения и замещения; упорядочение с изменением ближнего и дальнего порядка в аустените и мартенсите. Важная особенность данных систем заключается также в резко различающейся диффузионной подвижности металлических атомов и углерода, поэтому при превращениях перестройка кристаллической решетки может происходить наряду с диффузионным перераспределением углерода и легирующих элементов.
В рамках равновесной термодинамики концентрационно-неоднородных систем производится моделирование изменения структурного состояния сплавов, происходящего при термомеханической нагрузке. Учитываются также особенности твердофазного состояния, когда сильное межатомное взаимодействие вызывает при превращениях возникновение полей упругих напряжений, а стремление системы к снижению энергии упругой деформации обусловливает действие различных релаксационных механизмов, которые влияют на форму, ориентировку, взаимное расположение и внутреннюю структуру кристаллов новых фаз.
Ключевые слова: сплавы, фазовые переходы, неоднородные системы, структура, неупругое деформирование.
I.L. Isupova, P.V. Trusov
State National Research Polytechnical University of Perm, Perm, Russia
MATHEMATICAL MODELING OF PHASE TRANSFORMATIONS IN STEELS DURING THERMOMECHANICAL LOADING
In steels all known solid state phase transformations are observed: polymorphic transformation with wide spectrum of morphological and kinetics features, eutectoid decomposition (pearlite transformation), decomposition of supersaturated solid solutions, short- and long - range ordering in austenite and martensite. The important feature of these systems is different diffusion mobility of metal and carbon atoms. Therefore, reorientation of the crystal lattice may occur simultaneously with the diffusion redistribution of carbon and alloying elements.
In the context of equilibrium thermodynamics of concentration non-uniform systems is investigated microstructure evolution in steels during thermo-mechanical loading. Also features of solid state are taken into account. Strong inter-atomic transformation is the causes of elastic stress and various relaxation mechanisms that influence on shape, orientation and structure of new phase.
Key words: steels, phase transformations, non-uniform systems, structure, inelastic deformation.
Введение
В системах Fe - C и Fe - Me - C наблюдаются все известные для твердого состояния фазовые превращения: перлитное, промежуточное (бейнитное) и мартенситное. Перлитное превращение при постоянной температуре начинается после некоторого «инкубационного» периода и при достаточной выдержке завершается полным распадом аустенита. Мартенситное превращение начинается без инкубационного периода с большой скоростью и при постоянной температуре прекращается по достижении определенной степени. Промежуточное (бейнитное) превращение, как и перлитное, характеризуется наличием инкубационного периода и температурной зависимостью. Промежуточное превращение, как и мартенситное, затухает при сохранении некоторой доли остаточного аустенита; степень превращения тем больше, чем ниже температура превращения. Изменение состава стали вызывает значительные изменения кинетики перлитного и промежуточного превращений, а также температурных интервалов превращения во всех трех областях.
Важная особенность системы Fe - Me - C заключается в резко различающейся диффузионной подвижности металлических атомов и углерода. Значение коэффициента диффузии углерода в аустените на 4-5 порядков больше, чем коэффициенты диффузии (самодиффузии) атомов легирующих элементов. При превращениях переохлажденного аустенита переход гранецентрированной кубической (ГЦК) кристаллической решетки в объемно-центрированную тетрагональную (ОЦТ) решетку может происходить наряду с диффузионным перераспределением углерода и легирующих элементов. Переход у^-а определяется полиморфизмом железа и сводится к перестройке решетки на границе раздела фаз (перемещению межфазной границы). Этот переход может осуществляться как по так называемому нормальному (если межфазная граница некогерентная), так и по мартенситному (если эта граница когерентная) механизмам.
Скорость диффузии легирующих элементов в аустените резко уменьшается с понижением температуры, и ниже 500-450 °С перераспределение их в процессе превращения практически исключается; скорость же диффузии углерода при этих температурах еще значительна.
Анализ закономерностей превращений аустенита с позиций общей теории фазовых превращений приводит также к необходимости учета особенностей твердофазного состояния, когда сильное межатомное взаимодействие вызывает при превращениях возникновение полей упругих напряжений, и стремление системы к снижению энергии упругой деформации обусловливает действие различных релаксационных механизмов, которые влияют на форму, ориентировку, взаимное расположение и внутреннюю структуру кристаллов новых фаз. При этом проявляются также анизотропия среды, несовершенства кристаллического строения и примесей, большей частью неоднородно распределенных (в связи с их взаимодействием с несовершенствами кристаллической решетки).
Исследование структурных изменений, происходящих в сталях при фазовых превращениях, проводится в рамках равновесной термодинамики концентрационно-неоднородных систем. В модели учтена возможность появления перераспределения атомов углерода и легирующих элементов. В качестве одной из основных движущих сил для изменения структуры в процессе фазовых превращений рассматривается возникновение полей упругих напряжений и стремление системы к снижению упругой энергии.
1. Равновесная термодинамика концентрационнонеоднородных систем. Подход диффузионной границы
В рамках классической термодинамики равновесная система сосуществующих фаз всегда может быть охарактеризована некоторой экстремальной потенциальной функцией и набором уравнений состояния. С помощью данной теории можно определить концентрации компонент и отношение между сосуществующими фазами. Однако классическая термодинамика не позволяет исследовать микроструктуру гетерогенных систем, т.е. пространственное распределение фаз. Это происходит из-за того, что формализм классической термодинамики не включает характерные масштабные факторы и все межфазные границы рассматриваются как математические поверхности, которые имеют бесконечно малую толщину. Поэтому в классической форме данный подход малопригоден для описания твердотельных переходов.
Отмеченные проблемы применения классической термодинамики для описания систем, имеющих сложную микроструктуру, привели к
необходимости введения некоторых модификаций в классическую термодинамику. Одним из таких модифицированных подходов является равновесная термодинамика концентрационно-неоднородных систем [3-5, 10, 15]. Основная идея данного подхода заключается в том, что для адекватного описания гетерогенных систем необходимо в формализм классической термодинамики вводить характерные размерные масштабы. Эта идея реализована в подходе диффузионной границы, где для описания системы с границами, имеющими некоторую конечную толщину, в качестве независимых переменных вводятся градиенты параметров состояния [4].
Данный подход предполагает наличие «размытой», диффузионной, границы между областями в отличие от классических методов, использующих понятие резкой границы, когда многодоменная структура описывается положением границы и для каждой из областей множество дифференциальных уравнений решается совместно с уравнениями потока и конститутивными уравнениями на границе. В подходе диффузионной границы форма и взаимное расположение областей, которые составляют микроструктуру, описываются непрерывными по пространству и времени функциями, переменными фазового поля. В пределах отдельной области переменные фазового поля имеют почти одинаковые значения, которые соответствуют структуре, ориентации и их составу. Граница между двумя областями рассматривается как узкая область, где переменные фазового поля постепенно изменяют свои значения до значений в соседней области. В подходе диффузионной границы изменение формы областей, а значит, и положения границы с течением времени неявно определяется изменением параметров фазового поля. Основное преимущество данного метода состоит в том, что благодаря рассмотрению «размытой» границы нет необходимости явного введения положения границы при изменении микроструктуры. Изменение во времени переменных фазового поля описывается множеством дифференциальных уравнений, которые решаются численно. При этом могут быть учтены различные движущие силы (уменьшение объемной энергии, энергия границы, упругая энергия).
2. Идентификация фаз. Доля фазы
Фаза - это область материала с определенной микроструктурой и гомогенными свойствами, отличными от свойств в других областях системы. При изучении микроструктуры ее можно различать, напри-
мер, по составу, кристаллической структуре и т.п. Функция состояния (термодинамический потенциал) гетерогенной системы в значительной степени зависит от фазового состава, поэтому в качестве аргументов в нее должны входить параметры, описывающие особенности распределения фаз. Таким образом, каждую фазу можно рассматривать как область, которая в равновесном состоянии имеет вполне определенную свободную энергию /і, отличную от свободной энергии других фаз.
С целью выделения областей системы с различными значениями свободной энергии вводится совокупность параметров фг- (і = 1,..., N, N -
количество фаз), определяющих доли различных фаз. Совокупность характеризует распределение фаз и определяет фазовый состав в каждой точке рассматриваемой области. Значение параметра может изменяться от 0 до 1; фі = 0 соответствует области, где нет і фазы, фі =1 соответствует однофазной области. Таким образом, микроструктуру (за исключением границ зерен, дефектов и т. п.) можно описать множеством однофазных областей, разделенных границами, на которых более одного значения фг- отлично от нуля. При этом в многофазных
системах в каждой точке должно выполняться следующее равенство [13, 14]:
N
Ефі =1. (!)
і=1
Изменение фазовой доли описывается следующим кинетическим уравнением [12]:
N 11 1 5^
(2)
Ху - время релаксации, которое показывает, как быстро г-фаза может
превратиться в у, Р — | / dV - функционал свободной энергии Г иббса.
V
При выводе выражения для свободной энергии негомогенной системы в рамках подхода диффузионной границы [3] предполагается, что свободная энергия бесконечно малого объема в неоднородной сис-
теме зависит как от значений параметров состояния в рассматриваемой области, так и от их значений в соседних областях. Поэтому в выражение для свободной энергии должны войти не только параметры состояния, но и их градиенты.
Для целей анализа необходимо определить, какие параметры в конкретных условиях исследуемой проблемы влияют на поведение системы, т.е. независимые параметры, от которых зависит свободная энергия. Как было сказано выше, свободная энергия гетерогенной системы в значительной степени зависит от ее фазового состава. В рассматриваемой задаче параметрами, характеризующими пространственное распределение фаз, являются фазовые доли ф1, ф2,.... Принимается предположение, что общая свободная энергия не может зависеть только от локальных значений фазовых долей, потому что в гетерогенной системе есть множество границ, которые увеличивают общую энергию. А для того чтобы рассматривать системы с границами, имеющими некоторую конечную толщину, необходимо в формализм классической термодинамики ввести характерные размерные масштабы. Это делается путем введения градиентов фазовых долей
Уф1,Vф2,...,V ф1,V ф2,.... Один из важнейших процессов, происходящих при фазовых превращениях в сталях, - это перераспределение углерода и легирующих элементов. Такое перераспределение также оказывает влияние на общее состояние системы, поэтому в качестве независимых аргументов в свободную энергию следует ввести концентрации углерода и легирующих элементов их, щ,.... Одной из особенностей твердотельных фазовых переходов является возникновение полей упругих напряжений и стремление системы к снижению энергии упругой деформации. Поэтому в качестве аргумента функции свободной энергии должна выступать упругая составляющая полной деформации £ .
Возьмем выражение для плотности гомогенной свободной энергии и дополним ее градиентными слагаемыми, которые отвечают за неоднородность распределения долей фаз в рассматриваемой области:
/ (ф^ ф2,..., Ыъ M2,..., £е, Т, Vфl, Vф2,..., V 2фl, V 2ф2,...) =
/ \ д/ д/
= /0 (фъф2,...,“ьu2,...,ее,Т'VФl + Э^7ф”^ф2 +
+...+-/- V 2ф1 +-/- V 2ф2 +...+1 Vф1 ---Vф1 +
дV 2ф1 дV 2ф2 " — - — - ^
2 дVф1дVф1
1 д2 / д2 /
+ -^2 “ Г= VФ2 + ... + VФl • ^ VФ2 + ..•
2 дVф2дVф2
дVф1дVф2
Выражение для свободной энергии можно записать следующим образом:
N
Г = |[ /0 (ф1. ф2>-.“1. “2.-.^,Т) + Е^дг-У2фі +
’ і=1 дV Фі
N
+ Е -
-=12 11 дVфі дVфі
д2/ Уфі +ЕЕУф;. а2/ .Уф,
і дVфі■avф 1 ч‘ у
с1¥ = (4)
/ N 1
Д ./О (ф^ Ф2,•••“l, “2,•••, ^, Т )+Е 2 ^
д2/
“1 2 і дVфідVф
'VФ і
і У
сІУ.
Для того чтобы избавиться в (4) от слагаемых, содержащих V ф, была использована теорема о дивергенции:
-д2—V 2Фі ^ 2Фі
сг = -[
с
с Фі
д/
вv 2фі
(VФі■ )2 сУ +\/ ^ •"
дV фі
СБ.
V К"¥ Ч'і У у--'гі ^і у Б'
Причем область интегрирования выбирается таким образом, чтобы скалярное произведение Vфі п обращалось в ноль на границе.
В общем случае коэффициенты
д 2/
д/
^Фі
являются векторами,
- тензорами второго ранга (/, у'=1..^). Так как свободная ф/ ф j
энергия должна быть инвариантна относительно всех преобразований симметрии, присущих рассматриваемым фазам, получаем, что все ко-
эффициенты ^ будут равны нулю, а коэффициенты ------------------—/------
ЭУф, ЭУф,ЭУф ;
превратятся в скаляры.
Запишем подынтегральное выражение в первом слагаемом (4) в
гЕЬ ^ гСИ
виде суммы плотностей упругой / и химическом / составляющей свободной энергии:
/0 (ф1, «2,-,£в,Т) = + 1СИ =
X , , N (5)
=£ф, (£<е :С,:£<е )+^Фг/ (иь Т)
,=1 ,=1
где / - удельная свободная энергия Гиббса для отдельной фазы.
Последнее слагаемое в выражении (4) свяжем с плотностью энергии границ / :
N 1
/ав= £ т к^ф, -уфу • (6)
,, 7=1 2
Здесь параметрами К; обозначены коэффициенты в выражении (4).
Известно, что если система может существовать в двух различных полиморфных модификациях, то при данных условиях более устойчива та фаза, которая обладает более низким уровнем свободной энергии. Поэтому задачу определения фазовой доли можно рассматривать как задачу минимизации энергии при естественных физических ограничениях 0 < ф,, ф; < 1. Для этого введем в выражение для плотности свободной энергии через плотность энергии границ штрафную функцию Ж;:
N 1 N
/ав = £ 2 КуФ, ^Ф; +£ . (7)
г,У =1 г"^ 7
Функция Ж; равна ф, ф; в случае выполнения ограничения 0 < ф,, ф7 <1 и да - в случае его невыполнения, копределяет «высоту барьера».
В работах [2, 9] приведены соотношения, связывающие коэффициенты Ку и ку с энергией границы между фазами и толщиной границы
Лу . Воспользовавшись этими соотношениями, можно получить [14]
8с.7 % 4с.7
К у = ^^, ку =. (8)
п Л у
Далее определим удельную свободную энергию для отдельной фазы /, которая фигурирует в уравнении (5). Для этого воспользуемся моделью, предложенной в работах [6, 11]:
П П
/ («,, «2,..., Т )=£ «кЛ(Г )+Е ЫкКТ 1п (ик)+(Т), (9)
к=1 к=1
где ик - молярная доля к-го компонента стали (железа, углерода, леги-
П
рующих элементов, примесей), Е «кКТ 1п («к) - вклад в свободную
к=1
энергию за счет энтропии смеси в соответствующей фазе, /«^3 - вклад в
свободную энергию за счет взаимодействия компонент друг с другом,
/к (Т) = А+ВТ + СТ 1п (Т) - свободная энергия к-го компонента в г -фазе
[7]. Здесь А, В и С - коэффициенты степенного ряда, п - целое число.
Вклад в свободную энергию за счет взаимодействия компонент друг с другом определяется следующим образом [11]:
Л,=2 Е «к«А (т).
к=1 у=к+1
где (Т) - параметр, описывающий взаимодействие между к- иу-ком-понентами в соответствующих фазах.
3. Описание перераспределения атомов углерода (легирующих элементов) в процессе полиморфных превращений
Изменение концентрации к-го компонента (углерода или легирующих элементов) определяется следующим образом:
ик = -Ч-£фДк , (10)
г=1
где ]к - диффузионный поток к-го компонента в г-фазе, определяемый согласно первому закону Фика:
)к=-мк-чик, (11)
где Мк - тензор диффузии соответствующего компонента в г-фазе.
Подставив выражение для диффузионного потока (11) в уравнение диффузии (10), получим следующее соотношение для изменения концентрации углерода (легирующих) элементов:
( N ^
«к =ч-
к
Е мк -Чи
V г=1 )
(12)
4. Описание неупругого деформирования
В качестве базового определяющего соотношения используется обобщенный закон Гука в скоростной релаксационной форме:
<г = С:( Б - Б* - Б
Б=—(Чу+Чу
2 '
Ч-о=0
2*. Т) ■ (>3)
где о - тензор напряжений Коши, Б, Бр - тензор скоростей полных и
*
пластических деформаций, Б* - тензор скоростей собственных деформаций, связанных с фазовыми переходами, у - вектор скорости, С -тензор упругих свойств.
Тензор скорости неупругих деформаций многофазной системы определяется следующим образом:
Бр + Б* =2 Ф,БР +2 <№", (14)
i г
*
где Гг- - градиент трансформационной деформации, описывающий превращение одной фазы в другую; N1 - количество фаз, испытываю-
щих пластическую деформацию; N2- количество фаз, испытывающих
превращение. Если в процессе фазовых превращений происходит перераспределение углерода или легирующих элементов, то необходимо учитывать его влияние на параметры всех фаз. Для определения тензора скоростей пластических деформаций многофазной системы использовалось правило смеси [1, 8], по которому также может быть найден тензор упругих свойств:
С = (15)
1=1
Скорость пластической деформации определяется суммой скоростей сдвига по активным системам скольжения:
П
Б р =£ У( к V к V к), (16)
к=1
где п(к ) - единичный вектор нормали к плоскости скольжения; Ь(к ) -единичный вектор по направлению вектора Бюргерса, характеризующий направление скольжения, у (к ) - скорость сдвиговой деформации, к - номер системы скольжения.
Для определения скорости сдвиговой деформации воспользуемся следующим выражением:
• (к)
Г - у о
т( к)
Т (к) 1С
(т( к)), (17)
где у о - скорость деформирования, являющаяся параметром материала и характеризующая скорость сдвига по системе скольжения при каса-
(к)
тельном напряжении, равном критическому напряжению сдвига; т ’ -сдвиговое напряжение, действующее в системе скольжения к; тС^к) > 0 -сопротивление сдвигу в системе скольжения к, представляющее собой материальную функцию параметров нагружения; тс - чувствительность кристаллов к скорости приложения нагрузки.
с
Касательное напряжение для каждой системы скольжения определяется из закона Шмида:
х(к)= ь(кУк) :о . (18)
5. Алгоритм решения
Фазовые превращения в сталях моделируются с помощью одноуровневого конечно-элементного метода. Для решения системы уравнений (2), (12), (13) используется следующий алгоритм.
Общее время наблюдения t разбивается на М малых шагов Дt. Для решения уравнений (2), (12), (13) используется метод конечных элементов. При решении этих уравнений делаются следующие предположения: а) для уравнения (2) доли фаз, напряжения и концентрации (углерода и легирующих элементов) фиксированы и известны с предыдущего временного шага (уравнение (2) решается для (N-1) сосуществующих фаз, а фазовая доля ^й фазы определяется из равенства (1)); б) для уравнений (12) и (13) все фазовые доли фиксированы и известны из решения N уравнений (2) на данном временном шаге. Благодаря этим предположениям на каждом шаге интегрирования каждое из уравнений (2) может быть решено отдельно от (12) и (13). Для решения к-го уравнения (2), (12) и системы (13) на каждом временном шаге применяется конечно-элементный алгоритм с неявной схемой интегрирования.
Ниже приведен подробный конечно-элементный алгоритм решения для системы уравнений (2) и (13).
Разбиваем исследуемую область на конечные элементы и определяем шаг по времени. При этом разбиение по пространству и времени зависит от специфики структуры исследуемого материала и времени процесса превращения.
Пусть на некотором временном шаге t нам известны напряжения и доли фаз. Необходимо определить их значения на шаге t + Дt. Для этого:
1. Решаем отдельно каждое из N уравнений (2) и определяем доли фаз на временном шаге t + Дt:
[ *1 ]{1,7 }=|([ К ]+[ ^ ]){ф / м N-1)([ К ]+[ А ]){<*} +
+ {Як (фь Ф2 — ФN, а)}.
о дф
Все уравнения решаются при условии равенства потока — нулю
дп
вдоль всей границы образца (п - внешняя нормаль к границе образца). Если провести аналогию между уравнениями (2) и нестационарным уравнением теплопроводности, то можно заметить, что матрицы [51 ], [5*2 ] и [Кс ] соответствуют матрицам теплоемкости и теплопроводности, а вектор {О} - вектору тепловой нагрузки.
2. Определяем неупругую составляющую скорости полной деформации. Скорость пластической деформации в каждом элементе для г-фазы вычисляется с помощью соотношения (16)
Л+М п
к=1
Здесь для определения скорости сдвиговой деформации по каждой системе скольжения применяем уравнения (17), (18).
у (к А' = У о
Ь(к )п(к ):°'
\к )с
(Ь(к)п(к):°' ).
Теперь скорость неупругих деформаций в многофазной системе определяется из уравнения (14):
К) +К) К) +1д<р.- (р*).
3. Определяем тензор упругих свойств:
N
с'+д' =£Ф'+ С .
/=1
4. Решаем систему (13):
[ К ]{у}=[ В ][с]
'+А'
Б р }
'+А'
+ {Б
'+АА
где [К] - матрица жесткости, [В] - стандартная конечно-элементная В-матрица, [С] - матрица упругих свойств,{у} - вектор скоростей.
Уравнение решается при условии равенства нулю вдоль всей границы нормальных скоростей и производных касательных сил.
5. Определяем скорость напряжений {д} :
6. Определяем напряжения на шаге t + At.
Заключение
Таким образом, авторами работы предложена модель для описания фазовых переходов, происходящих в сталях при термомеханической нагрузке. Описание изменения структурного состояния производится в рамках подхода диффузионной границы. Для описания системы с границами, имеющими некоторую конечную толщину, в качестве независимых переменных вводятся градиенты долей фаз. В модели учтена возможность появления перераспределения атомов углерода и легирующих элементов. При описании неупругого деформирования используются соотношения в скоростной форме, что позволяет рассматривать существенно-нелинейные (физически и геометрически) задачи. Также в работе был предложен алгоритм решения задачи. Некоторые численные примеры моделирования изменения микроструктуры в процессе фазовых переходов будут представлены в последующих статьях.
Библиографический список
1. Combining phase field approach and gomogenization methods for modeling phase transformation in elastoplastic media / K. Ammar [et al.] // European Journal of Computional Mechanics. - 2009. - Vol. 18. - P. 485-523.
2. Finite element formulation of a phase field model based on the concept of generalized stresses / K. Ammar [et al.] // Computional Materials Sciences. - 2009. - Vol. 45. - P. 800-805.
3. Cahn J. W. Adopting thermodynamics to material science problems // J. Phase Equilibria. - 1994. - Vol. 15. - P. 373-379.
4. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a non-uniform systems. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. - 1958. - Vol. 28. - P. 258-266.
5. Cahn J. W., Hilliard J. E. Free energy of a non-uniform systems. III. Nucleation in a two-component incompressible fluid // J. Chem. Phys. -1959. - Vol. 31. - P. 688-699.
6. Chuang Y.-Y., Chang Y. A. A Thermodynamic Analysis and Calculation of the Fe-Ni-Cr Phase Diagram // Metall. Mater. Trans. - 1987. -Vol. 18A. - P. 733.
7. Dinsdale A. T. SGTE Data for Pure Elements // Calphad. - 1991. -Vol. 15. - P. 317-425.
8. Khachaturyan A. G. Theory of structural transformations in solids. -John Wiles & Sons, New York, 1983. - 592 p.
9. Kim S., Kim W., Suzuki T. Interfacial compositions of solid and liquid in phase-field model with finite interface thickness for isothermal solidification in binary alloys // Physical Review E. - 1998. - Vol. 58. -P. 3316-3323.
10. Larche F.C., Cahn J.W. The interactions of composition and stress in crystalline solids // Acta Metall. - 1985. - Vol. 33. - P. 331-367.
11. Miettinen J. Calculation of solidification-related thermophysical properties for steels // Metall. Mater. Trans B. -1997. -Vol. 28A. - P. 281-297.
12. Steinbach I., Apel M. Multi-phase field model for solid state transformation with elastic strain // Physica D. - 2006. - Vol. 217. - P. 153-160.
13. A phase field concept for multi-phase systems / I. Steinbach [et al.] // Physica D. - 1996. - Vol. 94. - P. 135-147.
14. The multi-phase field model with an integrated concept for modeling solute diffusion / J. Tiaden [et al.]// Physica D. - 1998. - Vol. 115. -P. 73-86.
15. Wang J., Chen L. - Q., Khachaturyan A. G. Kinetics of the Strain-Induced Morphological Transformation in Cubic Alloys with Miscibility Gap //Acta Metall. Mater. - 1993. - Vol. 41. - P. 279-296.
References
1. Ammar K., Appolaire B., Cailletaud G., Forest S. Combining phase field approach and gomogenization methods for modeling phase transformation in elastoplastic media // European Journal of Computional Mechanics. 2009. Vol. 18. P. 485-523.
2. Ammar K., Appolaire B., Cailletaud G., Feyel F., Forest S. Finite element formulation of a phase field model based on the concept of generalized stresses // Computional Materials Sciences. 2009. Vol. 45. P. 800-805.
3. Cahn J.W. Adopting thermodynamics to material science problems // J. Phase Equilibria. 1994. Vol. 15. P. 373-379.
4. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a non-uniform systems. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. 1958. Vol. 28. P. 258.
5. Cahn J. W., Hilliard J. E. Free energy of a non-uniform systems. III. Nucleation in a two-component incompressible fluid // J. Chem. Phys. 1959. Vol. 31. P. 688.
6. Chuang Y.-Y., Chang Y.A. A Thermodynamic analysis and calculation of the Fe-Ni-Cr phase diagram // Metall. Mater. Trans. 1987. Vol. 18A. P. 733.
7. Dinsdale A.T. SGTE data for pure elements // Calphad. 1991. Vol. 15. P. 317-425.
8. Khachaturyan A.G. Theory of structural transformations in solids. New York: John Wiles & Sons, 1983. P. 592.
9. Kim S., Kim W., Suzuki T. Interfacial compositions of solid and liquid in phase-field model with finite interface thickness for isothermal solidification in binary alloys // Physical Review E. 1998. Vol. 58. P. 3316-3323.
10. Larche F.C., Cahn J.W. The interactions of composition and stress in crystalline solids // Acta Metall. 1985. Vol. 33. P. 331-367.
11. Miettinen J. Calculation of solidification-related thermophysical properties for steels // Metall. Mater. Trans B. 1997. Vol. 28A. P. 281.
12. Steinbach I., Apel M. Multi-phase field model for solid state transformation with elastic strain // Physica D. 2006. Vol. 217. P. 153-160.
13. Steinbach I., Pezzolla F., Nestler B., Seebelber M., Prieler R., Schmitz G.J., Rezende J.L. A phase field concept for multi-phase systems // Physica D. 1996. Vol. 94. P. 135-147.
14. Tiaden J., Nestler B., Diepers H., Steinbach I. The multi-phase field model with an integrated concept for modeling solute diffusion // Physica D. 1998. Vol. 115. P. 73-86.
15. Wang J., Chen L.-Q., Khachaturyan A.G. Kinetics of the strain-Induced morphological transformation in cubic alloys with miscibility gap // Acta Metall. Mater. 1993. Vol. 41. P. 279-296.
Об авторах
Исупова Ирина Леонидовна (Пермь, Россия) - аспирант кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического универ-
ситета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail:
enotyforever@yandex.ru ).
Трусов Петр Валентинович (Пермь, Россия) - доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).
About the authors
Isupova Irina Leonidovna (Perm, Russia) - postgraduate student of Department of Mathematical Modeling of Systems and Processes, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomol-sky prospect, Perm, Russia, e-mail: enotyforever@yandex.ru).
Trusov Peter Valentinovich (Perm, Russia) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department of Mathematical Modeling of Systems and Processes, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russia, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).
Получено 28.10.2011
