Математическое моделирование электротехнических систем на основе смешанной модели «Цепь-поле» Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Ю. 3. КОВАЛЕВ Е. Г. АНДРЕЕВА

Омский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ

УДК 621.318.3 СИСТЕМ НА ОСНОВЕ

СМЕШАННОЙ МОДЕЛИ «ЦЕПЬ-ПОЛЕ»

РЕШЕНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ, ПРОЕКТНЫХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ВНЕДРЕНИЯ НОВЫХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ЭТС) ПРЕДЛАГАЕТСЯ ПРОВОДИТЬ НА ОСНОВЕ СМЕШАННОЙ МОДЕЛИ «ЦЕПЬ-ПОЛЕ», КОТОРАЯ ПОЗВОЛЯЕТ АНАЛИЗИРОВАТЬ СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ КАК В ОТДЕЛЬНОЙ ПОДСИСТЕМЕ, ТАК И В СИСТЕМЕ В ЦЕЛОМ. МОДЕЛИРОВАНИЕ «ЦЕПЬ-ПОЛЕ» ПРОВОДИТСЯ НА ПРИМЕРЕ ЭТС «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ПРИВОД - ПОРШНЕВОЙ МИКРОКОМПРЕССОР».

Современные промышленные технологии определяют усложнение конструкций технических устройств и систем, а также повышение требований к ним по экономичности, безопасности, экологичное™, к качеству функциональных возможностей. В полной мере это относится и к электротехническим системам (ЭТС), для которых основным энер-гопреобразующим звеном является преобразователь электрической энергии (электротехническое устройство, ЭУ). Исследование и проектирование любой технической системы, включая и ЭТС, основывается на их математическом моделировании.

Модернизация и создание новых промышленных технологий, внедрение во все сферы жизни людей компьютеров и компьютерных сетей, новейших информационных и коммуникационных сред приводит к изменению подходов в формировании принципов математического моделирования технических систем при их исследовании и проектировании.

По способу математического моделирования ЭУ ЭТС можно разделить на три группы. К первой относятся устройства, которые оптимально моделируются только мо-

делями типа «поле», и помогают проанализировать силовое взаимодействие ферромагнитных сред силовых преобразователей электрической энергии, это, например, электрические машины. Вторая группа электротехнических устройств моделируется моделями типа «цепь» - это электронные схемы и преобразователи энергии. Промежуточное положение в моделировании занимают такие ЭУ, как, например, длинные линии, которые в одном случае могут моделироваться как цепь при исследовании и проектировании высоковольтной распределительной сети. В других случаях некоторые участки высоковольтной сети могут исследоваться с помощью полевых моделей, позволяющих оценить вредное воздействие мощных электромагнитных полей.

Как правило, ЭТС состоит из нескольких динамически устойчивых подсистем (компонент): электрической, элепронной, электромагнитной, электромеханической, пневматической, термодинамической, газодинамической и т.д. Для каждой подсистемы или компоненты ЭТС может быть разработана своя математическая модель (ММ) определенной степени адекватности и точности

моделируемым физическим процессам. Вследствие того, что существует огромное многообразие ЭТС с различным сочетанием компонент, то и их математические модели, лежащие в основе проектно-конструкторских работ по созданию ЭТС, достаточно разнообразны. Однако, при всей многовариантности математических моделей конкретных ЭТС для создания ее ММ может быть использован единый методологический подход. Для решения исследовательских, проектных и технологических задач внедрения новых ЭТС предлагается метод смешанного моделирования типа «цепь-поле», но не в рамках одной подсистемы, например, только в электромагнитной или электрической, как это было принято до сих пор, а для анализа параметров и характеристик всей системы в целом и отдельных ее подсистем. Данный подход обоснован тем, что электромагнитные процессы, протекающие в большей части электротехнических устройств ЭТС и связанные с преобразованием и передачей электрической энергии, моделируются моделями типа «поле», т.е. краевыми задачами математической физики. Однако, существует определенная категория электронных преобразователей энергии и систем управления, математическая модель которых есть электрическая цепь. В общем случае ЭТС будет представлять совокупность преобразователей как первого типа, так и второго, поэтому ММ электротехнической системы в целом содержит математические структуры типа «поле» и типа «цепь», т.е. можно говорить о смешанной модели ЭТС типа «цепь-поле». Связывающим элементом могут служить схемы замещения электрических и магнитных цепей ЭУ ЭТС.

Методы моделирования ЭУ и ЭТС можно разделить на две большие группы. В основе методов моделирования первой группы (моделирование типа «поле») лежат уравнения электромагнитного поля (уравнения Максвелла). Методы моделирования второй группы (моделирование типа «цепь») основываются на уравнениях электрических и магнитных цепей.

Электромагнитные процессы, протекающие в ЭУ ЭТС, описываются уравнениями электродинамики (уравнениями Максвелла). Эти краевые задачи решаются либо аналитическими, либо численными методами. Так как в настоящее время исследуются и проектируются сложные в конструктивном исполнении электротехнические системы и устройства, то речь может идти только о численных методах решения краевых задач для областей моделирования со сложной геометрией и разнородными физическими свойствами.

Моделирование «цепь-поле» имеет важнейшее значение для ЭТС с электродвигательными преобразователями электрической энергии, имеющими линейную траекторию движения рабочего органа, т.е. с линейным электрическим приводом Особенность таких систем состоит в том, что двигатель компонуется с рабочей машиной (РМ) и совместно с ней является единым устройством определенного функционального назначения, и таким образом, характер нагрузки оказывает существенное влияние на технико-экономические показатели ЭТС.

Несмотря на большое разнообразие в структуре ЭТС, можно выделить четыре основных блока: сеть или источник питания, электрическая подсистема; электромагнитная подсистема; приемник преобразованной электрической энергии (РМ), который является обобщенным представлением или электромеханической, или пневматической, или газодинамической, или любой другой взаимосвязанной с первыми подсистемой.

В работе как развитие и приложение приведенных выше положений рассматривается смешанное моделирования «цепь-поле» для проектирования силовой электродвигательной системы, в структуру которой входят четыре основные компоненты:

1) система питания (электрическая подсистема, модель типа «цепь»);

2) система управления (электрическая подсистема, электронный преобразователь электрической энергии, модель типа «цепь»);

3) электрический двигатель (электромагнитная подсистема, электромеханический преобразователь электрической энергии, модель типа «поле»);

4) рабочая машина (приемник преобразованной электрической энергии, модель типа «цепь» - уравнение движения; модель типа «поле» - термодинамическое, газодинамическое).

Поскольку основной процесс энергопреобразования связан с преобразованием электрической и магнитной энергии в другие виды энергии, например, энергию перемещения элемента газовой среды, механическую энергию сжимаемой пружины, механическую энергию на валу электрического двигателя и рабочей машины и т.д., то базовыми подсистемами ЭТС являются электрическая и электромагнитная. Электромагнитная подсистема представляет собой модель типа «поле» электромагнитных процессов основного энергопреобразующего узла ЭТС. Это математическая модель в виде дифференциальных уравнений в частных производных по пространственным и временной координате относительно магнитного векторного потенциала А, векторов напряженности магнитного Н и электрического О полей, вектора магнитной индукции в и т.п. Полученные при анализе этой подсистемы статические параметры и характеристики связывают ее с электрической подсистемой, которая через структуру электрической цепи имеет выход в другие подсистемы. Электрическая подсистема представляется ММ в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) по временной переменной относительно токов, напряжений и т.п.

Системный подход к исследованию и проектированию ЭТС на основе алгоритма смешанного моделирования «цепь-поле» применен для анализа силовых, технико-экономических и проектно-конструкторских параметров и характеристик при разработке конкретных ЭТС с линейными электродвигательными устройствами, например, «электромагнитный привод - поршневой микрокомпрессор». Поскольку именно силовое воздействие электромагнитного поля определяет работу ЭУ ЭТС, поэтому большое внимание уделяется моделированию электромагнитных процессов в них. Зная распределение поля в устройстве, можно вычислить его интегральные параметры и характеристики как в статических, так и в динамических режимах. А это в свою очередь позволяет выйти на технико-экономические и проектно-конструктор-ские параметры ЭУ как отдельного конструктивного звена, так и основного энергопреобразующего узла в ЭТС.

Смешанная модель «цепь-поле» ЭТС «электромагнитный привод - поршневой микрокомпрессор» представляет собой совокупность трех расчетных схем (подсистем).

Первая - это ММ электромеханических процессов:

от <11

=

У = Ц6Н,

1)1' Р 2 Л С

(1)

(2) (3)

где У, ¡, - потокосцепление, ток, активное сопротивление обмотки; и(1) - приложенное к ней напряжение; Ц5) -зависимость индуктивности обмотки двигателя от хода 5 якоря; с - жесткость пружины; т - масса подвижных частей якоря.

Вторая схема - это ММ электромагнитных процессов

(4)

rotH=Jlv+Jc„ .

го1 Е = ■

дВ дг

(5)

(6)

В = rot А, (7)

L = f(A,8), (8)

где j„ , J„- вектора плотности стороннего тока и тока проводимости, вызванного в проводящей среде изменением магнитного поля во времени и движением в нем этой среды со скоростью v, у - удельная электрическая проводимость.

Третья схема - это ММ термодинамических процессов в микрокомпрессоре:

dU _ dQ dz dN dt ~ dt +dt dt представляет собой закон сохранения энергии - изменение внутренней энергии dU газа в рабочей полости цилиндра компрессора за время dt происходит засчет внешнего теплообмена dQ, работы клапанов dz и механической работы газа dN. Решение уравнения (9) позволяет определить давление р в рабочей полости цилиндра и силу сопротивления F(5, р, t) и использовать полученные значения в (3).

Уравнения ММ электромагнитных процессов, протекающих в электромагнитном приводе, решаются численным методом. Поскольку для численных моделей исследуемых ЭТС характерно наличие определенного количества внутренних границ раздела кусочно-однородных сред и некоторые из них подвижны, а также больших зон с распределенной плотностью стороннего тока обмотки, то предпочтение отдано проекционно-сеточному методу или методу конечных элементов (МКЭ) как модификации проекционных методов (Ритца, Галеркина и т.д.). Суть проекционных методов состоит в аппроксимации решения дифференциального уравнения конечной линейной комбинацией базисных (пробных) функций, т.е. в том, чтобы найти «проекцию» или приближенное решение в конечномерном пространстве для непрерывного решения в бесконечномерном функциональном пространстве. Форма базисной функции и критерий вычисления коэффициентов линейной комбинации определяют проекционный метод.

Распределение стационарного плоскопараллельного магнитного поля ЭУ ЭТС описывается системой уравнений Лапласа - Пуассона относительно магнитного векторного потенциала

— VJA = -|i„J — V!A = 0 И " И

(10)

а также однородными и неоднородными краевыми условиями Неймана или Дирихле на внешней границе модели (ц - относительная магнитная проницаемость материала, = 4п-10"7 Гн/м - магнитная постоянная). Решение данной магнитостатической задачи проводится методом Галеркина в сочетании с МКЭ, для чего кусочно-однородная область моделирования ЭУ ЭТС разбивается сеткой с д узлами на р треугольных симплекс-элементов, на каждом из которых магнитный векторный потенциал представляется следующим образом:

А^А+^+^А,,)..^!.,^},,, (11)

где \я=(аш+ъп|1+с„у)/(281|)-базисная функция, а коэффициенты а"т, Ьт, ^находятся через координаты узлов т = I, к треугольного конечного элемента Я; Бр - площадь элемента.

Преобразования Галеркина уравнений Лапласа-Пуассона (скалярного аналога (10)) приводят к системе интегральных уравнений, а затем к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно р конечных элементов (КЭ). Вид уравнений СЛАУ зависит от свойств кусочно-однородной области моделирования. Элементная СЛАУ упорядочивается относительно ц узлов расчетной сетки суммированием соответствующих элементных уравнений, тем самым формируется глобальная СЛАУ

где [II] - ленточная матрица коэффициентов ит5 и

т = 1, ..., я; э = 1.....д; {А} - матрица-столбец узловых

значений векторного магнитного потенциала Ат, которые и подлежат определению; {Р} - матрица-столбец свободных составляющих глобальной СЛАУ.

Вычисление распределения векторного магнитного потенциала по расчетной области моделирования значительно упрощается, если она разбивается регулярной триангуляционной сетью. В качестве конечного элемента в декартовой системе координат выбирается прямоугольный треугольник, так как это оптимальная форма КЭ для моделей с внешними границами, параллельными координатным осям. Введем понятие «регулярного элемента» (рис. 1), представляющего собой геометрическую фигуру, в центре которой находится расчетный узел, окруженный рп конечными элементами. Число КЭ в таком элементе принципиально может быть произвольным. Выбранный семиточечный шаблон наиболее удобен, так как для КЭ в виде прямоугольных треугольников часть коэффициентов итз равна нулю. Для узлов сети, состоящей из «регулярных элементов», уравнения глобальной СЛАУ записываются по единой расчетной схеме.

О.

"О

о

Оу

О/

ю

о>

а б

Рис. 1. «Регулярный элемент»

Так, например, для узла 4 (рис. 1)

7

(13)

ш=|

где коэффициенты и^ в общем случае (непрямоугольные треугольники) для уравнений Лапласа-Пуассона определяются по рекуррентным соотношениям

т^Б, (14)

"тв ^^

1

— (ь^'С*«1)

(15)

а Р1 и И2 - номера соседние КЭ с сопряженными узлами т и 5. Для регулярной триангуляционной сети вычисление Ь>т, Ь5 и ст, с5 через координаты соответствующих узлов достаточно легко программируется на компьютере.

В случае прямоугольных треугольных КЭ (рис. 1 а) коэффициенты ит4 находятся следующим образом:

" 2ц,v4 2ц^ ' ,J 2ц,Vj 2ц4ул

2ц,v, 2ц,v, " 2ц3у, 2ц4у2 ' 24 ~ 64

1 ,vi v(, vJ v»

«4,=^—(—+—)+ - ' +

2ц, v, v, 2ц,у, 2ц,^

• ,V2 VJ, Vl VJ

+-(—+—)+ -!-1-—

2Ц, У} Vj 2nsv3 2ji6v,

(16)

[U](A) = {F},

(12)

С помощью такого неравномерного «регулярного элемента» можно моделировать внутренние границы моделируемой области меэеду физически и геометрически разнородными средами. Когда же размеры всех треугольников шаблона одинаковы и ц1 =... = цц = ц (рис. 1 б) соотношения (16) значительно упрощаются

/ / u14 = u74 = _ v u34 = u54 = ' 1/< v ^

/ /

u24 = u64 = 0; u44 = (2 v + 2/ v Ун (17)

Система уравнений (12) решается итерационным методом последовательной верхней релаксации (ПВР или SOR), поскольку он обладает хорошей скоростью сходимости при удачном выборе ускоряющего коэффициента релаксации. Метод SOR является линейным, стационарным и одношаговым, что соответствует двухслойной стационарной итерационной схеме.

Решение дифференциальных уравнений магнитостатической векторной модели с помощью проекционно-сеточного метода позволяет найти распределение магнитного векторного потенциала и

составляющих вектора магнитнои индукции Вхр = и

В,

ЭА„

по области моделирования; интегральные

У* ~ ' "аГ

параметры и характеристики; параметры схем замещения электрической и магнитной цепей электромагнитного двигателя (ЭМД) ЭТС. Основными характеристиками ЭМД являются зависимости индуктивности I., инверсной индуктивности Г обмотки двигателя и его тягового усилия от величины рабочего зазора 8 (хода якоря). Алгоритм расчета распределения магнитостатического поля двигателя и его интегральных характеристик реализован в виде библиотеки программ 1_ЕМО. Картины магнитных полей ЭМД с плоскими торцами якоря и стопа и различными значениями рабочего зазора приведены на рис. 2 а, б.

Результаты численного решения уравнений магнитостатической векторной модели ЭМД сравнивались с экспериментальными данными реально работающего в приводе машин микрокриогенной техники с различным профилем рабочего зазора. Сравнение численных и экспериментальных результатов показало адекватность численных моделей экспериментальным образцам,

Полученные на основе численного расчета магнитного поля параметры схем замещения и интегральные характеристики электромагнитного двигателя (ЭМД)

■ ».«i

4

Р\

ш\ \\ \ »II Jj j

WM i

4 M {

1 •.<*'■

\0 \

а б

Рис. 2. Картины магнитного поля ЭМД с плоскими торцами якоря для 5тах (а) и 0,365тах (6) и геометрическими размерами: диаметр якоря йя » 34 мм, высота и ширина катушечного окна /0 =50 мм и Ьс = 23 мм, высота стопа /ст =19 мм, высота ярма А. = 14 мм, максимальный рабочий зазор 5тах = 0,011 м.

используются для решения задач оптимального управления и оптимизации конструкции ЭМД в ЭТС «электромагнитный привод - поршневой микрокомпрессор» при условии максимума КПД, а также задач динамики двигателя в приводе машин микрокриогенной техники. Алгоритм исследования и проектирования на основе смешанной модели «цепь-поле» конкретной ЭТС адекватно отражает процессы, протекающие в системе, и может быть использован в инженерных, конструкторских и технологических задачах создания новых образцов техники.

КОВАЛЁВ Юрий Захарович - профессор, д.т.н., проректор по ДВО, зав. кафедрой электрической техники Омского государственного технического университета. АНДРЕЕВА Елена Григорьевна - доцент, к.т.н., доцент кафедры прикладной математики и информационных систем Омского государственного технического университета.

Е.Г.АНДРЕЕВА А. С. ТАТЕВОСЯН

Омский государственный технический университет

УДК 621.318.3

ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПО МАССЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ЖЕЛЕЗООТДЕЛИТЕЛЯ_

В СТАТЬЕ ИЗЛОЖЕНА МЕТОДИКА ОПТИМИЗАЦИИ ПОДВЕСНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ЖЕЛЕЗООТДЕЛИТЕЛЯ, ИМЕЮЩЕГО Ш-ОБРАЗНУЮ МАГНИТНУЮ СИСТЕМУ И СЕКЦИОНИРОВАННЫЕ ОБМОТКИ С КАНАЛАМИ ОХЛАЖДЕНИЯ. УСТАНОВЛЕНЫ ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ РАЗМЕРОВ КАТУШЕЧНОГО ОКНА И МАГНИЮ-ПРОВОДА (НАБОРНЫЕ ПОЛЮСА ИЗ СТАЛЬНЫХ ПЛАСТИН, ПОЛЮСНЫЕ НАКОНЕЧНИКИ, ЯРМО), ПРИ КОТОРЫХ МАССА ЖЕЛЕЗООТДЕЛИТЕЛЯ БУДЕТ МИНИМАЛЬНОЙ, ИСХОДЯ ИЗ ЗАДАННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАГНИТНОЙ ПОНДЕРОМОТОРНОЙ СИЛЫ НА СЕРЕДИНЕ МЕЖПОЛЮСНОГО ЗАЗОРА, АКТИВНОЙ ШИРИНЫ ЛЕНТЫ КОНВЕЙЕРА И СКОРОСТИ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ.

ДЛЯ УТОЧНЕНИЯ РАЗМЕРОВ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ И ОБМОТОЧНЫХ ДАННЫХ ЖЕ ЛЕЗООТДЕЛИТЕЛЯ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. РАС ЧЕТНАЯ ОБЛАСТЬ ЖЕЛЕЗООТДЕЛИТЕЛЯ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ КУСОЧНО-ОДНОРОД НУЮ СРЕДУ С ТРЕМЯ ЗОНАМИ, МОДЕЛИРУЮЩИМИ МАГНИТОПРОВОД, ОБМОТКИ ОКРУЖАЮЩУЮ ВОЗДУШНУЮ СРЕДУ, И ДОСТАТОЧНО СЛОЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ РАЗ ДЕЛА. РЕШЕНИЕ МАГНИТОСТАТИЧЕСКОИ ВЕКТОРНОЙ ЗАДАЧИ ПРОВОДИТСЯ METO ДОМ ГАЛЕРКИНА В СОЧЕТАНИИ С МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПОЛУЧЕННАЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГЛОБАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ РЕШАЕТСЯ ИТЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ВЕРХНЕЙ РЕЛАКСАЦИИ.

Подвесные электромагнитные железоотделители (ЭЖ) ленточных конвейеров используются для извлечения ферромагнитных предметов из сыпучих материалов.

Широкое применение на практике получили ЭЖ постоянного тока, имеющие двухполюсную магнитную систему. В таких системах ЭЖ рассеяние магнитного потока может быть