CC BY
29
э л е к т р о э н е р г е т и к а
УДК 621.316.99
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК УЕДИНЕННЫХ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ ЗАЗЕМЛИТЕЛЕЙ ПРИ СТЕКАНИИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ПРОМЫШЛЕННОЙ ЧАСТОТЫ*
Канд. техн. наук ГЕРАСИМОВИЧ Д. А., магистр ДЕРЮГИНА Е. А.
ООО «Электротехническая компания "ЭКНИС"», Белорусский национальный технический университет
В [1] рассмотрен метод расчета распределения плотности тока уединенного бесконечно длинного стержневого заземлителя при стекании переменного тока промышленной частоты. Для определения основных интегральных характеристик электромагнитного поля (активных и индуктивных сопротивлений, напряжения шага, прикосновения и пр.) необходимо также знать распределение напряженности магнитного поля. Вектор напряженности магнитного поля для рассматриваемой задачи содержит только угловую составляющую Игтф(г,г) (рис. 1), которая находится на основании результатов [1] по радиальной или вертикальной составляющей плотности тока:
г
И^ (г, г) = игт (г,0)-¡а1тг (г, ^ (1)
о
или
(г, г) = И^ (Я г) + -1 г '6т2 (г ', г)ёг', (2)
где Н^ (г ,0) =
ТТ
г тф ...... .
•Мх1)н(2)(х) - ади(2)(Х1)
Т(2) \ _ Т (ч ^ ы(2) I
,г = 1, г е [Я];
2пЯ2 11(х1)н(2)(х 2) - ^Ын^и) _ уг-
^, г = 2, г е [Я,,<ю)
ловая составляющая вектора напряженности магнитного поля на поверхности земли; ИЫф (Я1, г) = 0 - то же на внутренней поверхности заземлителя;
Изложенные в статье результаты получены при поддержке гранта Министерства образования Республики Беларусь (номер госрегистрации 20100489 от 05.04.2010).
Jj (x) - функция Бесселя первого рода первого порядка; H(2) (х) - функция Бесселя третьего рода (вторая функция Ганкеля) первого порядка; X = jar; Xj = jajRj; Х2 = J'ajR2'; а1 = im - комплексная ампли-
туда тока, стекающего в заземлитель; aimr (r, z'), aimz (r', z) - известные радиальная и вертикальная составляющие вектора плотности тока, рассчитываемые методом конечных разностей [1]; ^, yi - магнитная проницаемость и электрическая проводимость i-го слоя соответственно; ю - угловая частота переменного тока.
77Т77777
Г777
' /¿/ / / /
т77*
ГС
12,
Рис. 1. Геометрическая модель уединенного бесконечно длинного стержневого заземлителя
Дальнейший расчет сопротивления заземлителя можно выполнить на основании мощности электромагнитного поля в точке или теоремы Пой-тинга. Действующее значение мощности электрического поля (джоулевых потерь) в точке
Рг(r, z) = (|
2Yi V
Дг, z )|"
z (r, z )|2),
(3)
мощности магнитного поля
q (r, z) = ?f|Hmv(r, z)|2.
(4)
В заземлителе мощность электрического поля обусловлена как вертикальной, так и радиальной составляющими плотности тока. Последующее численное моделирование показало, что величины мощности от вертикальной составляющей в 103 и более раз больше радиальной, и в практических расчетах последней в заземлителе можно пренебречь. Для земли, наоборот, равна нулю вертикальная составляющая плотности тока. С учетом отмеченного действующие значения мощности электрического и магнитного полей в стержне заземлителя и земле будут:
r
0
«2 0
Р =-| I г|¿т(г,г)|2dzdr; (5)
Я, -ш
Я2 0
II г^(г,z)\ dzdr; (6)
Я 0
Р2(К) = -Ц г(г,dzdr; (7)
^2 к2 -ш
Q2(R) = ц2 юл II г|Нтф(г,z)\ dzdr. (8)
Я2 -ш
Для уединенного бесконечно длинного заземлителя при стекании переменного тока векторы напряженности электрического и магнитного полей убывают на бесконечности пропорционально 1/Я. Тогда мощности электрического и магнитного полей в земле (а, значит, и сопротивление растеканию тока) в (7), (8) при Я ^ ш становятся бесконечно большими величинами и возрастают пропорционально 1пЯ [2]. В дальнейшем Я рассматривается как расстояние до стержня заземлителя с обратным током -1т. Можно показать, что при Я >> Я2 сопротивление растеканию тока в земле для системы «прямой - обратный заземлитель» конечная величина, а мощности электрического и магнитного полей в земле для такой системы в зависимости от Я определяются выражениями (7) и (8) соответственно.
При использовании вектора Пойтинга достаточно знать тангенциальные составляющие напряженности электрического и магнитного полей на боковой поверхности заземлителя и поверхности земли. В этом случае выражения для расчета мощности электромагнитного поля заземлителя и земли принимают вид:
¿1 = Р + jQl =ПЯ2 I (Я2,z)H;m,(Я2,z)dz; (9)
У1 -ш ф
Л
¿2 (Я) = р2 (Я) + jQ2(R) = Л I ^тг (г, 0)НН 2тф (Г, 0^, (10)
у2Я, ф
где Н1тф (Я2, z), Н 2тф (г,0) - комплексно сопряженные амплитуды напряженности магнитного поля на боковой поверхности заземлителя и поверхности земли соответственно.
Зная мощность электромагнитного поля, можно рассчитать сопротивление стержня заземлителя и сопротивление растеканию тока в земле:
2 с = Я + Xс = = + j -2Qlг; (11)
\1,Л \1,л /_
Я 0
2 з (Я) = Я (Я) + }Хз (Я)
(12)
где Лс, Хс - активное и индуктивное сопротивления стержня заземлителя; Яз (Я), Хз (Я) - то же растеканию переменного тока в земле.
Полученные выражения показывают, что полное сопротивление заземлителя складывается из сопротивления собственно заземляющего стержня 2 с и сопротивления растеканию тока в земле 2 з (Я)
где Яа (Я), X (Я) - активное и индуктивное сопротивления заземлителя.
Для оценки действующего значения напряжения на заземлителе необходимо знать распределение напряженности электрического поля на поверхности земли в зависимости от удаленности Я до обратного заземлите-ля. Напряжение на заземлителе определяется по формуле
где Ё2тг (г ,0) - комплексная амплитуда радиальной составляющей напряженности электрического поля на поверхности земли.
На основе предложенного в [1] метода и рассмотренных выражений разработана программа расчета электромагнитных характеристик уединенных бесконечно длинных стержневых заземлителей в среде программирования для решения технических задач Ма&аЬ. С ее использованием проведено математическое моделирование характеристик электромагнитного поля для стальных и медных заземлителей различных радиусов и толщиной стенок й = Я2 — Я1 = 2; 3,5; 5 мм. Магнитные свойства стали при этом рассматривались в линейном приближении. В расчетах приняты: для стали -у1 = 6,8 • 106 См/м; =700 -4п-10—7 Гн/м; для меди - у1 = 5,6 • 107 См/м;
= 4п • 10—7 Гн/м. Для земли: у2 = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 См/м; ^2 = = 4п • 10—7 Гн/м.
Численные исследования показали, что для принятого в [1] нулевого (первоначального) приближения на основе плоской электромагнитной волны итерационный процесс расчета распределения плотности тока сходится достаточно быстро. Для достижения величины отличий в плотностях тока на смежных итерациях до 1 % требуется не более трех итераций. Если в качестве нулевого приближения принять, например, равномерное распределение плотности тока, то требуемое количество итераций существенно возрастает.
Полученные результаты указывают, что для приближенного расчета электромагнитных характеристик можно использовать формулы, основанные на принятом в [1] нулевом приближении распределения плотности тока в стержне заземлителя и земле. В этом случае итоговая формула для расчета сопротивления стержня заземлителя примет вид
2 (Я) = Яа (Я) + }Х (Я) = 2 с + 2 з (Я),
(13)
(14)
7 М 11(х1)Н02)(Х2) - 10(Х2)И[2)(Х1) 2пЯ2 V 2У1У2^2 11 (XI )Н(2) (Х2) -11 (Х2 )Н(2) (XI)!
где 10(х) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Н02)(х) -функция Бесселя третьего рода (вторая функция Ганкеля) нулевого порядка. Сопротивление растеканию тока в земле
2 з (Л) = .
2л \ у 2
Я
Напряжение на заземлителе
и (Я) = .
2я\ 2у2
Я
(16)
(17)
Сопоставление численных результатов, полученных по (5)-(14) и (15)-(17), показало пригодность приближенных формул для практических расчетов. Отличия в результатах при этом составляют не более 2 %.
Результаты численного моделирования также показывают, что сопротивление стержня заземлителя, сопротивление растеканию тока в земле и напряжение на заземлителе значительно зависят от проводимости земли. Причем сопротивления и напряжение в соответствии с (15)-(17) пропорциональны 1/ТТ7, а не 1/ у 2. Данный характер зависимостей обусловлен
затуханием электромагнитного поля в земле на переменном токе (поверхностным эффектом в земле). С учетом отмеченного при оценке характера распределения электромагнитного поля целесообразно использовать глубину проникновения плоской волны в земле А2 = ^2/юу2ц2. Наибольший
интерес при этом представляет распределение радиальной составляющей плотности тока на боковой поверхности заземлителя и вертикального тока в нем по глубине стержня. Для рассмотренных расчетных случаев данное распределение практически подчиняется закону затухания плоской электромагнитной волны (рис. 2).
0,4 0,3 0,2 0,1 0
-7 г, = г/а2, о. е. -5 -4 -3 -2 -1
Рис. 2. Распределение радиальной составляющей плотности тока на боковой поверхности заземлителя ст1т,, = ст2т,, = |ст1т,(Я2,г)|/|ст1т,(Я2,0)| и вертикального тока в заземлителе
/к». = \hrnz(г)\/\11т2(0) по глубине стержня
0,86
Приведенные зависимости показывают, что наиболее эффективное сте-кание тока с боковой поверхности заземлителя происходит на расстояниях до одной-двух глубин проникновения плоской электромагнитной волны в земле. В этом случае обеспечивается стекание соответственно 63-86 % тока в землю (рис. 2). При принятых проводимостях земли глубина проникновения составляет от 200 до 7000 м. Даже для скважинных заземлите-лей характерны глубины заложения порядка 100-800 м [3-6]. Таким образом, достигнуть оптимального стекания тока с боковой поверхности заземлителя (а значит, и наименьшего сопротивления) на практике удается лишь для отдельных случаев.
Результаты исследования сопротивлений заземлителей приведены на рис. 3-5, а напряжения - на рис. 6.
3,5Т 0,35
R3,
Ом
0 ^ 0
X, Ом 2 -
0,5 - 0,05
25 30 б
2, 3
40 R, м
R2 = 6 мм
0,11 -0,1 -0,090,080,070,060,05-S
s _ о
о"
II -£
0,020,01 -
1,1 1
0,9 0,8 0,7 0,6
- 0,2 0,1 0
- 0,07
- 0,060,05
S
s .
-- 0,02-- 0,01--0 -
50
0,1 0
а
2,5
2
0,5
0
5
10
15
20
35
50
0,7
0,2
0,6
0,2
0
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Рис. 3. Зависимость активного Ra (а) и индуктивного X (б) сопротивлений медных заземлителей от расстояния R: 1 - d = 2 мм; 2 - 3,5 мм; 3 - 5 мм
Сопротивление стержня заземлителя обусловлено проводимостью земли и собственными электромагнитными свойствами и размерами. Так, для рассмотренных медных заземлителей поверхностный эффект в их сечении
практически не выражен. Соответственно индуктивная составляющая сопротивления стержня практически равна нулю и с увеличением толщины стенки существенно снижается активное сопротивление (рис. 3). Для стальных заземлителей при принятых свойствах и размерах поверхностный эффект, наоборот, ярко выражен, активное и индуктивное сопротивления стержня практически одинаковы, а увеличение толщины не позволяет снизить сопротивление стержня заземлителя (рис. 4).
Яа, Ом
18 16 14 12 10
1 2, 3
1 2, 3
Я2 = 6 мм
0 5 10 15 20 25 30 35 40
18-- 1,8
X, Ом
14 12
10
¡а я
о
1,4 1,2
0,2 0
- 1, 2, 3
Я2 = 6 мм
ХЯС - X с -
- 1, 2, 3 / --
- X с 1, 2, 3 Я2 = 12 мм --
:Ч - X с Я2 = 30 мм
0^0
10 15 20 25 30 35 40 Я, м 50
0,7
7
22
а
0,6 - 6
0,5
5
0,4
4
— 1
-1- 0
Я, м
50
б
-- 5
-- 4
0
5
Рис. 4. Зависимость активного Яа (а) и индуктивного Х (б) сопротивлений стальных заземлителей от расстояния Я: 1 - й = 2 мм; 2 - 3,5 мм; 3 - 5 мм
С увеличением внешнего радиуса заземлителя Я2 существенно уменьшаются сопротивление стержня, сопротивление растеканию тока в земле и напряжение на заземлителе, при этом толщина стенки заземлителя незначительно влияет на полное сопротивление (рис. 5, 6).
Рис. 5. Зависимость полного сопротивления 2 (а) и Х/Яа (б) от внешнего радиуса стержня заземлителя Я2 при Я = 20 м: стальные заземлители: 1 - << = 2 мм, 2 - 3,5 мм, 3 - 5 мм; медные заземлители: 4 - < = 2 мм, 5 - 3,5 мм, 6 - 5 мм
Рис. 6. Зависимость напряжения на заземлителе U. = 2у2 |U(R)|/|%/-/'юЦ2 от внешнего радиуса стержня заземлителя R2 при R = 20 м
Также необходимо отметить, что активное и индуктивное сопротивления растеканию тока в земле практически одинаковы (рис. 3, 4), что соответствует затуханию электромагнитного поля в массивном (полубесконеч-
ном) проводящем пространстве, а с ростом Я2 их отношение в целом для заземлителя стремится к 1 (рис. 5). Наличие существенных индуктивных сопротивлений для протяженных заземлителей согласуется с результатами [3-5], полученными для скважинных заземлителей с большой глубиной заложения.
В Ы В О Д Ы
1. Исследованиями установлено, что стекание переменного тока в землю бесконечно длинного вертикального заземлителя определяется глубиной проникновения плоской электромагнитной волны в земле. Для обеспечения наиболее эффективного стекания тока с поверхности заземлите-ля целесообразно применение скважинных (глубинных заземлителей) с заложением на одну-две глубины проникновения плоской электромагнитной волны.
2. При стекании переменного тока заземлитель характеризуется комплексным сопротивлением. При этом для медных заземлителей сопротивление стержня заземлителя носит активный характер, а для стальных активное и индуктивное сопротивления близки между собой. Активное и индуктивное сопротивления растеканию переменного тока в земле практически равны.
3. Предложены приближенные аналитические формулы для расчета сопротивления стержня заземлителя, сопротивления растеканию переменного тока в земле и напряжения на заземлителе, дающие погрешность не более 2 % в сравнении с предложенным в [1] решением уравнений Максвелла методом конечных разностей.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Г е р а с и м о в и ч, Д. А. Метод расчета электромагнитных характеристик уединенного стержневого заземлителя при стекании переменного тока промышленной частоты / Д. А. Герасимович, Е. А. Дерюгина // Энергетика... (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). - 2009. - № 5. - С. 21-32.
2. Н е ту ш и л, А. В. О неадекватных математических моделях заземлителей /
A. В. Нетушил // Электричество. - 1996. - № 7. - С. 74-75.
3. М а к с и м е н к о, Н. Н. Расчет скважинных заземлителей / Н. Н. Максименко, Г. Г. Асеев // Электричество. - 1970. - № 9. - С. 44-47.
4. К а р я к и н, Р. Н. Входное сопротивление протяженного вертикального заземлителя в многослойной земле / Р. Н. Карякин, В. К. Добрынин // Электричество. - 1975. - № 8. -С. 18-21.
5. К а р я к и н, Р. Н. Электромагнитные процессы в протяженных заземлителях в неоднородных структурах / Р. Н. Карякин // Электричество. - 1996. - № 7. - С. 43-51.
6. П о л е в а я и цепная модели волновых процессов в протяженном заземлителе /
B. К. Слышалов [и др.] // Вестник ИГЭУ. - 2006. - Вып. 2. - С. 50-58.
Представлена кафедрой
электрических станций Поступила 12.03.2010
