CC BY
21
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 621.3: 517.951
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В ДАТЧИКАХ ТОКА ДЛЯ СИСТЕМ ЗАЩИТЫ ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ
М.Р. ВИНОКУРОВ, A.A. ЛАВРЕНТЬЕВ, М.М.ТОЛСТУНОВ
(Донской государственный технический университет)
Приводится решение линейной задачи расчета электромагнитного поля, создаваемого синусоидальным током, охваченным ферромагнитным проводящим кольцом. Приведённые аналитические исследования подтверждены экспериментами, результаты которых позволяют с достаточной степенью точности определять характеристики ферромагнитных проводящих сред.
Ключевые слова: электромагнитное поле, ферромагнитное проводящее кольцо, функции Бесселя, ЭДС сигнальной обмотки.
Введение. В качестве первичных датчиков современных систем токовой защиты электрооборудования используются промышленные трансформаторы тока и датчики Холла, стоимость которых сравнительно высока, а применимость ограничена. Поэтому перспективны альтернативные конструкции, характеризующиеся низкой стоимостью и улучшенными эксплуатационными показателями. Наиболее привлекательным представляется датчик тока на основе охватывающего проводник проводящего ферромагнитного кольца, конструкция которого приведена на рисунке.
Целью данной работы является математическое моделирование электромагнитного процесса в системе «проводник с синусоидальным током, охваченный ферромагнитным проводящим кольцом».
Решение задачи расчета электромагнитного поля в системе с линейным проводником, по которому протекает синусоидальный ток, охваченный ферромагнитным проводящим кольцом, позволяет определить выходное напряжение на сигнальной обмотке кольца (см. рисунок). Поскольку величина тока достаточно мала, т.е. электромагнитный процесс протекает на начальном участке кривой намагничивания, задачу можно считать линейной [1].
Установим связь между выходным напряжением сигнальной обмотки ис и током /.
При данной постановке задачи магнитная проницаемость сердечника ц— постоянная величина, не зависящая от Н, причем ц>>1. Сердечник обладает электропроводностью у (для стали у«Г107 Ом-11м-1).
Проводящее ферромагнитное кольцо: Щ - первичная обмотка (шина с синусоидальным током); Щ - вторичная или выходная обмотка; ис - выходной сигнал; 1 - железный (стальной) короткий отрезок трубы или кольцо, выточенное из прутка обыкновенной стали широкого применения
Используем цилиндрическую систему координат для случая, когда синусоидально изменяющийся во времени ток направлен по оси Z, а составляющие векторов Е и Н электромагнитного поля внутри железного сердечника не зависят от а и Z цилиндрической системы координат.
Уравнение электромагнитного поля для проводящей среды имеет, как известно, вид [1]:
rotH = S; (1)
rot6 = -/соуцН , (2)
где 5 - вектор плотности тока в проводящей среде.
Из (1) и (2) получим
rotrotS = — jcoyjLiS .
Преобразуя левую часть, получаем
grad div6 - V2S = -/coy|aS.
С учетом установившегося режима (div5 = 0)
V28 = j со Y|aS.
Раскрывая V25 в цилиндрической системе координат и учитывая, что 8 от а и Z не зависит, придём к частному случаю уравнения Бесселя:
-^\ + — -^- + 5 = 0, (3)
d(qr)2 qr d(qr)
где qr = со = 2л/ (/ - частота синусоидального тока); q2 =-/шуц.
Решение уравнения (3) можно записать как
5 = MiJ0(qr) +M2N0(qr), где Mi и М2 -постоянные интегрирования; Л (яг) -функция Бесселя нулевого порядка первого рода; (qr) - функция Бесселя нулевого порядка второго рода.
Функция (qr) обращается в бесконечность при г = 0.
Ясно, что 8 не может обращаться в бесконечность, поэтому в рассматриваемом случае
М2 должно быть равно нулю, следовательно
8 = M\Ji)(qr).
На основании (2), с учетом раскрытия rot5 в цилиндрической системе координат и зависимости 8 только от координаты Z получаем выражение для вектора напряженности магнитного поля в железном сердечнике:
Йm = \j-WiJ0(qr)-\ = ^Ji(qr), (4)
q1 dr q
где Ji(qr) -функция Бесселя первого рода первого порядка.
Определим постоянную интегрирования . с этой целью по закону полного тока найдем значение Нт на внутренней поверхности трубы:
Hm(r = ri)=Im
271/1 ’
где Нт и 1т — комплексные амплитудные значения напряженности магнитного поля и контролируемого тока.
Приравняем значение Н т(г ~г\) к правой части равенства (4):
Іт М, »V
т^- = —^і(^г1),тогда м1=-—77—г-
2т\ q 14 27іГіЛ(^Гі)
После подстановки (5) в (4) получаем:
I т
Мчг),
Г\<Г <г2.
(5)
(6)
2%г^(дп)
Зависимость Д« =\ьНт для железного сердечника считаем линейной, а уравнение магнитного потока, который пересекает витки сигнальной обмотки, с учетом (6) запишем в виде
Н\х1,
Фт = к I" \хНтФ
2тіГіЛ(дгі)
| ^(дг)сіг.
Комплексное амплитудное значение выходного напряжения сигнальной обмотки выра-
зим как
/ со и с И ц /„
(7)
2я I]./] (<7Л)
‘ 1
Для определения выходного сигнала рассматриваемого датчика тока по формуле (7) необходимо вычислить интегральное значение функции Бесселя первого рода первого порядка от комплексного аргумента:
V = л/^л/юуд = 0 ~ 1)г/А,
где А - глубина проникновения поля в ферромагнитную среду, А = >/2/ю у ц. _
Чтобы вычислить функцию Бесселя от этого аргумента, воспользуемся ее интегральным представлением [2]:
•и (</'•)=-[
71 ’
соэ! +—этА сЬ —этА
_____, (ІХ-
А ) {А
(ІХ = А + ]В = ЬіЄ+]р1,
(8)
где Л - реальная часть комплексного числа 5 - мнимая часть комплексного числа
Л (^);
=УІА2+В2-,
Рі = ахсї^ / А.
При допустимых заданных значениях ®, У, Ц ¿їй Рі зависят от геометрических размеров кольца и глубины проникновения А.
После подстановки (8) в (7) определяем:
уу.
/СО И’с/?|_і/„
2ю].Іі (с//,)
'2 ' 2
I’ Асіг + ]^В<іг
(9)
Амплитудное значение выходного сигнала при указанных допущениях пропорционально амплитудному значению тока. Кроме того, следует выяснить, какой фазовый сдвиг имеет выходной
сигнал относительно первичного тока 1т . Для этого необходимо определить Р1 и аргумент комплексного числа учитывая, что у = е
Расчет ит по формуле (9) проведен для следующих параметров устройства:
Г\ = 17 мм; И =11 мм; У =Г107 Ом “1-м _1; 1т = 30^2А; г2 = 22 мм; ц = 100 Цо; /=50Гц; м>с = 220.
С такими конструктивными параметрами был изготовлен экспериментальный образец.
В результате расчета выходного сигнала с использованием программы МаШСас! по формуле (9) для приведенных выше данных получены зависимости:
Мдп) = А + ;В = Ь1ем =-179,1 + у'140 = 227,6 е-7120";
г 2 г 2
[ Adr + yj Bdr =-2,21 - у 2,41 = 3,27 е-7227";
= 0,84 еЛ9ТВ.
У = j(awch\xli
2 к Г\ J\ (qn )
j" Adr + у j Bdr
_n n _
Если изменить полярность выходного сигнала на 180° обратным включением сигнальной обмотки, то выходное напряжение запишем как Üm = 0,84е;17 В, т.е. несколько опережающее
по фазе ток первичной обмотки.
Результаты проведенных расчетов показывают, что сдвиг по фазе между выходными сигналами напряжения и тока источника имеет величину порядка 17°.
Выводы. Разработанная авторами методика расчета электромагнитных параметров перспективного датчика тока на основе охватывающего проводник ферромагнитного кольца позволяет существенно облегчить этапы проектирования и доводки подобных устройств. Ввиду низкой стоимости и хороших эксплуатационных показателей рассмотренная конструкция представляется выгодной альтернативой современным датчикам на основе токовых трансформаторов и чувствительных элементов Холла.
Библиографический список
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: учебник / Л.А. Бессонов; 6-е ИЗД., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1973. - 752 с.
2. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, разрядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.
Материал поступил в редакцию 03.05.2012.
References
1. Bessonov L.A. Teoreticheskie osnovy' e'lektrotexniki: uchebnik / L.A. Bessonov. - 6-e izd., pererab. i dop. - М.: Vy'ssh. shk., 1973. - 752 s. - In Russian.
2. Gradshtejn I.S. Tablicy' integralov, summ, razryadov i proizvedenij / I.S. Gradshtejn, I.M. Ry'zhik. - М.: Fizmatgiz, 1962. - 1100 s. - In Russian.
MATHEMATICAL SIMULATION OF ELECTROMAGNETIC PROCESSES IN CURRENT SENSOR FOR ELECTRICAL EQUIPMENT PROTECTION SYSTEMS
M.R. VINOKUROV, A.A. LAVRENTYEV, M.M. TOLSTUNOV
(Don State Technical University)
The linear solution to the electromagnetic analysis, when the field is created by the sinusoidal current captured with the ferromagnetic conductive ring, is presented. The given analytical investigations are confirmed experimentally. The results permit to specify the characteristics of the ferromagnetic conducting environment with a reasonable degree of accuracy.
Keywords: electromagnetic field, ferromagnetic conductive ring, Bessel functions, signal winding EMF.
