CC BY
17Математические методы моделирования, управления и анализа данных
УДК 539.3
Ю. И. Димитриенко, А. П. Соколов, М. Н. Маркевич
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана, Россия, Москва
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДОМ МНОГОУРОВНЕВОЙ ГОМОГЕНИЗАЦИИ
Целью исследования являлось определение эффективных диэлектрических характеристик композиционных материалов со сложной структурой армирования. В основе работы лежит метод асимптотического осреднения. Сформулированы серии локальных задач на «ячейке периодичности». Использовался конечно-элементный численный метод решения вариационных формулировок задач электростатики. Проведен тестовый расчет эффективных характеристик композиционного материала с дисперсным наполнителем шарообразной формы с последующий верификацией результатов.
Современные аккумуляторные батареи могут использовать в своем составе элементы из композиционных материалов, в частности их применяют в качестве изоляции емкостных накопителей энергии, работающих на импульсном методе зарядки.
Задача моделирования материалов с заданными электростатическими параметрами является сложной технических проблемой. Современные методы математического моделирования характеристик материалов позволяют проводить исследования композитов, в том числе с возможностью варьирования электростатических свойств в заранее определенном диапазоне. В основе математического моделирования гетерогенных структур лежат различные методы, как приближенные, так и точные. Наиболее интересным является метод асимптотического осреднения (МАО) или «метод гомогенизации», основы которого изложены в работах Н. С. Бахвалова [1] и Б. Е. Победри [2]. Данный метод позволяет достаточно точно вычислить эффективные характеристики композитов с помощью решения специальных «локальных задач» на ячейках периодичности. Однако, аналитическое решение такого рода задач невозможно, а численное осложняется тяжелой интегро-дифференциальной постановкой, лежащей в основе, с неклассическими краевыми ус-
ловиями. Поэтому в данной работе используется его модификация с последующим применением метода конечных элементов.
Объектом исследования является эффективная диэлектрическая проницаемость, являющаяся одной из наиболее важных электростатических характеристик композиционных материалов.
Модификация МАО, предложенная в работе, позволяет перейти к серии локальных задач на 1/8 «ячейке периодичности» и представляет собой метод многомасштабной асимптотической гомогенизации. Решение задач осуществлялось в автоматизированном режиме с использованием специализированного программного комплекса. Данный подход разработан на кафедре вычислительной математики и математической физики МГТУ им. Н. Э. Баумана и является достаточно эффективным для решения такого класса задач.
Библиографические ссылки
1. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М. : Наука, 1984.
2. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М. : МГУ, 1984.
Yu. I. Dimitrienko, A. P. Sokolov, M. N. Markevich Bauman Moscow State Technical University, Russia, Moscow
MATHEMATICAL SIMULATION OF ELECTRIC PRORPERTIES OF COMPOSITE MATERIALS BASED ON MULTYSCALE HOMONIZATION METHOD
The main goal of the research was computation analysis of effective dielectric characteristics of compound structure armoring composite materials. The homogenization method is the basis of this work. The series of local tasks was defined on periodicity cells. Finite element numerical method was used for solving the variational problem of electrostatic tasks. Test computations of obtaining the effective electric properties of composite material with dispersed spherical fiber reinforcements were carried out and compared with further results, which were obtained with different methods.
© Димитриенко Ю. И., Соколов А. П., Маркевич М. Н., 2011
