CC BY
53
УДК 621.64:539.4+62-192
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА «ТЕЧЬ ПЕРЕД РАЗРУШЕНИЕМ»
© 2010 Ю.Л. Тарасов
Самарский государственный аэрокосмический университет
Поступила в редакцию 01.04.2010
В статье рассматривается возможность математического моделирования развития сквозных дефектов в конструкциях трубопроводов, приводящих к нарушению прочности и течи продукта без нестабильного и быстро распространяющегося катастрофического разрушения.
Ключевые слова: сквозной дефект, разрушение, математическое моделирование
Трещина, образовавшаяся на внутренней поверхности трубопровода или емкости высокого давления, за счет циклических процессов или коррозии под напряжением может увеличивать свои размеры и, наконец, достичь внешней стороны стенки, т.е. стать сквозным повреждением. Такие дефекты приводят к нарушению прочности и могут привести к течи продукта (частичное разрушение), либо вызвать полное катастрофическое разрушение, т.е. нестабильное быстро распространяющееся разрушение. Процесс частичного стабильного разрушения, сопровождаемый течью продукта, является желательным ходом событий.
Анализ вариантов развития поверхностных дефектов на стенках трубопроводов. Определение условий разрушения конструкции трубопровода возможно на основе учета таких свойств материала, как вязкость разрушения, действующих напряжений и размеров трещино-подобных дефектов. Будем полагать, что на внутренней поверхности возникает несквозное повреждение типа трещины полуэллиптической формы глубиной I и полудлиной а (рис. 1).
Рис. 1. Схематизация несквозной трещины в стенке трубы
Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от приложенных напряжений и характерного размера дефекта имеет вид
Тарасов Юрий Леонидович, доктор технических наук, профессор кафедры прочности летательных аппаратов. Е-таИ: proch@ssau.ru
К[ =&П1¥
(1)
При этом для определения параметра У, зависящего от геометрии тела, формы трещины и вида напряженного состояния, можно воспользоваться формулами, приведенными в литературе [13]. На основе решения задачи о поле напряжений вокруг эллиптического дефекта, полученного Грином и Снеддоном, а также Ирвином, в работах [4-6] приведено выражение для коэффициента интенсивности напряжений
К[ =
о
4л
ф
I
БШ2 ф+ —СОБ2 ф а
(2)
Здесь Ф - эллиптический интеграл второго рода:
ф=/ 11 -
а2 -12 . 2
Б1П ф
а
К
¿ф
(3)
где I и а определяются из рисунка 1. Величину Ф можно представить в виде ряда
ф = —
1 -
1 а2 -12
64
'а2 -12л
(4)
Даже при значениях На, близких к нулю, третий член в квадратных скобках дает вклад, относительная величина которого оценивается 5%. Поэтому в большинстве случаев им пренебрегают. При этом будем иметь
^ 3п п 12
ф = — +--2
8 8 а2
(5)
К[ =
о
г
3 1 I2
—п+-П—т 8 8 а2
2 I2 2
БШ ф + —СОБ ф а2
\ 14
У
и
Соотношения (2) и (6) с небольшими изменениями можно применять к полуэллиптическим поверхностным повреждениям - трещинам (рис. 2).
Рис. 2. Часть стенки трубопровода с осевым повреждением
Величина Кь как это нетрудно установить, меняет свои значения вдоль фронта трещины. На конце малой полуоси (ф=п/2) интенсивность напряжений максимальна, на конце большой полуоси (ф=0) она принимает наименьшее значение. Эти значения равны
К1(р=жА) "
с
К
I р=0)
ф ; ф V а
(7)
(8)
Поверхностная трещина оказывает более сильное влияние на прочность, чем внутренняя. Большее влияние поверхностных трещин на прочность элемента конструкции объясняется отсутствием связей с наружной стороны [7]. Учет этого обстоятельства производится с помощью корректировочного коэффициента [4], равного примерно 1,12 и учитывающего наличие свободной тыльной поверхности. Наличие в вершине трещины пластической деформации приводит к тому, что трещина ведет себя так, как если бы она была немного длиннее, чем на самом деле [7, 8]. В этом случае получим окончательное выражение для К1 в виде
К =
1Л2а\П
о
I2
бш2 р +--— соб2 Р
14
где
о = ф2 -0,212с
с
, (9)
(10)
- параметр формы дефекта для поверхностных и внутренних повреждений - дефектов. Для определения его величины можно воспользоваться
графиками, приведенными на рис. 3. С учетом (9) и (10) получим
К1( 7) = 1,12 а П
(А) V о •
К1( 0)= 1,12а I— —
1(р=0) ' \О а
(11)
(12)
Заметим, что в случае полукругового дефекта при 1/а=1 и без учета пластических деформаций, т.е. при О=Ф=п/2 будем иметь
К1 = — СуП
(13)
Это справедливо при любых значениях угла ф. Отношение значений коэффициентов интенсивности напряжений при ф=п/2 и ф=0, определяемых равенствами (11) и (12), равно
К
К
1 (р=П2) = а /
I (р=0)
откуда К
1 (Р=0)= КI (Пи а
(14)
(15)
_1_
1а
0,4 0.3
о 1
0,7
Рис. 3. Графики параметра формы дефекта О для поверхностныхи внутренних повреждений
Состояние перед разрушением может развиваться по схеме, изображенной на рис. 4. Предположим, что поверхностный дефект полуэллиптической формы с размерами 2а и расположен на внутренней поверхности трубопровода и ориентирован нормально по отношению к направлению кольцевых напряжений (рис. 2). Из-за агрессивности среды и циклических нагрузок эта трещина будет расти. На основании (15) следует, что поверхностный дефект полуэллиптической формы растет в направлении, параллельном малой оси эллипса, где ф=п/2, до тех пор, пока дефект не примет полукруглую конфигурацию. Далее трещина будет расти как непрерывно распространяющаяся полуокружность до тех пор, пока не выйдет на внешнюю поверхность
трубопровода. Трещина будет расти, распространяясь на оставшиеся неразрушенные объемы (заштрихованная зона) по всей толщине (рис. 4).
Г Л 2
о
Рис. 4. Схема роста полуэллиптического поверхностного повреждения в полукруглое
После достижения трещиной внешней поверхности трубопровода происходит утечка перекачиваемого продукта, что делает реальным обнаружение этой трещины. Однако существует и вероятность нестабильного развития трещины. При наличии сквозной трещины длиной 2а ее края под действием внутреннего давления имеют тенденцию к повороту, т.е. выгибаются наружу, как это показано на рис. 5. Ниже это обстоятельство учитывается путем введения коэффициента увеличения интенсивности напряжений Фолиаса [9].
Явление нестационарного роста трещины вдоль образующей будет иметь тяжелые последствия, если по трубопроводу транспортируется газ. Однако в некоторых случаях возможно предотвратить глобальное разрушение. Эта благоприятная возможность связана с обнаружением трещины при контроле трубопровода. Обнаружение становится возможным вследствие утечки газа или нефти. Итак, желательно прекращение роста трещины после того, как она проскакивает через стенку трубопровода. Трубопровод, развитие повреждения которого происходит подобным образом, удовлетворяет критерию «течь перед разрушением».
Условия реализации критерия «течь перед разрушением». В работах Ирвина и Сро-ули [10, 11] был предложен упрощенный критерий «течь перед разрушением». Он основан на предположении о том, что нестабильность, предшествующая разрушению, в трещине размера 2/ возникает при напряжении, равном пределу текучести ат. Предполагается также, что при таком высоком напряжении имеет место плоское напряженное состояние. Следовательно, остановка может произойти при условии, что интенсивность напряжений при плоском напряженном состоянии удовлетворяет условию
К >о
Я
г+гр )
(16)
Здесь гр - радиус зоны пластической деформации в вершине трещины. Значение гр принималось равным
гр =
Ч°т У
2п
а /=/ и а=ат. Тогда
или
К
г о
>
к2 >
1
л + —
. 2 у
п +1 2
го
(17)
Рис. 5. Схема выгибания зоны трубопровода с трещиной
При получении этого выражения не было сделано допущения о малости размеров пластической зоны по сравнению с размерами трещины. Критерий (17) слишком упрощен и находит ограниченное применение в качестве критерия утечки до разрушения, так как его применимость возможна в условиях общей текучести. Кроме того, это условие непригодно для поверхностных дефектов, длина которых превышает две толщины стенки трубопровода.
Установим более общий критерий утечки до разрушения, пригодный для труб всех размеров. Условие разрушения стенки трубопровода при наличии поверхностного дефекта запишем на основании выражения (11):
К1й = 1,12 М к Ф
1 + £
г у
4л/
(18)
В этом выражении используются следующие обозначения: К1с1 - коэффициент интенсивности напряжений для материала с трещиной, распространяющейся в направлении толщины (рис. 6); Мк - коэффициент увеличения интен-
сивности напряжений Кобаяши [12], учитывающий приближение фронта трещины к свободной поверхности. Для определения величины Мк можно воспользоваться графиком, приведенным на рис. 7.
?лг
Рис. 6. Схема реализации критерия «течь перед разрушением»
Окружное напряжение оф в тонкостенной конструкции равно рЯ/г. Добавляя к этому напряжению величину р, мы учитываем давление внутри трещины. Используя разложение функции Ф в ряд (?4.4), можно получить для давления, необходимого для процесса нестабильного роста поверхностного дефекта, следующее выражение:
Р =
п ~8
/
l2
3 + ^
V а У
K
Ict
1.12 M
(19)
1.0
Рис. 7. Коррекция Кобаяши, учитывающая близость свободной поверхности к фронту трещины
Поверхностный дефект перерастет в сквозную трещину с размером 2а. Для сквозной трещины, имеющей длину 2а в стенке трубо-
провода (рис. 5). коэффициент интенсивности напряжений следует задать соотношением
K = Mfg Апа =
pR
2 Л
1 + 1,16 —
Rt
па
.(20)
Здесь МР - коэффициент увеличения интенсивности напряжений, который был получен теоретически Фолиасом [19]. Смысл этого коэффициента рассмотрен выше. Его величина определяется согласно (20) по формуле
Мр=V1+161 Rt
(21)
Согласно уравнению (20) давление р2, вызывающее нестабильное развитие сквозной трещины, задается следующим соотношением:
Р2 =
K
MF
t
(22)
Здесь К1с - вязкость разрушения материала с трещиной, распространяющейся в продольном направлении (см. рис. 6).
Остановка трещины произойдет в случае, если давление, необходимое для распространения сквозной трещины длиной 2а больше, чем давление, необходимое для нестабильного роста поверхностного повреждения, глубина которого I. Следовательно, критерий утечки до разрушения следует из неравенства р2>рь которое с помощью (19) и (20) можно представить в виде
K
1
— п
,2 Л
3 + -2
K
Ict
МF 1.12М i 1 +
R
или
K
1
— п
3 l2 '
3+а?
М R
MF — t
K
Ict
1.12 Мт
■+R )£
(23)
Критериальное выражение (23) можно упростить. если пренебречь единицей по сравнению с отношением R/t. Далее. величину коэффициента Фолиаса MF можно принять равной 1. Это справедливо в случае. когда в выражении (21)величина
1.61 — << 1 Rt
ъ
В этом случае на величину давления р2 коррекция Мр не влияет. С учетом сказанного (23) можно представить в виде
Кт 1 п
—^ >--
(
К^ 9 Мг
I
2 Л
(25)
Для поверхностных дефектов, характеризуемых малым отношением ¡/г, Мк~1. В этом случае правую часть выражения (25) вычислить несложно; графическое изображение данного неравенства представлено на рис. 8 (верхняя кривая). Для пологих дефектов при ¡/1»1 значение Мк«2. Поэтому нижняя линия на рис. 8 начинается при значении отношения КТс/КТсЬ составляющем примерно 0,5 от соответствующего значения для верхней линии. Для полукруглых поверхностных дефектов Мк близко к единице независимо от ¡/г. Таким образом, в правой части диаграммы обе линии совпадают, что дает возможность найти нижнюю границу для ¡/1^1. Условие утечки до разрушения более легко выполняется в материалах, обладающих значительной анизотропией. На практике анизотропия вязкости разрушения редко бывает больше, чем 2. Это обстоятельство затрудняет подбор условий «течь перед разрушением» для трещин, глубина которых меньше величины, определяемой отношением ¡/1^1.
1,0
2.0 1 1 ш 1 —2
1,0 0.5 3
0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Рис. 8. Область выполнения критерия «течь перед разрушением»
Ситуация существенным образом меняется в случае, когда сквозная трещина находится в плоском напряженном состоянии, а в районе поверхностного дефекта - повреждения имеет место плоская деформация. Последнее весьма вероятно, так как из-за изогнутых берегов трещины пластическое ограничение велико. С учетом сказанного по оси ординат на рис. 8 следует откладывать отношение Кс/КТсЬ где Кс - вязкость разрушения материала для данной толщины элемента конструкции, т.е. 1. Отношение Кс/Ктс остается достаточно большими вплоть до сравнительно значительных толщин 1. В этих случа-
ях добиться реализации утечки до разрушения возможно.
В работе [13] приведены результаты исследования влияния варьирования химического состава сплава и примесей в нем в пределах стандартного состава на вязкость разрушения крупногабаритных прессованных полуфабрикатов. Эти данные свидетельствуют о том, что варьирование состава металла дает различные значения отношения Ктс/Ктй в пределах 1,061,58. Это подтверждает возможность соблюдения условий реализации критерия «течь перед разрушением». В работе [6] подтверждается высказанное выше предположение о возможности замены отношения КТс/КТс1 в условии (25) отношением Кс/КТс1. Значения этих отношений достаточно велики вплоть до сравнительно больших толщин г. В этом можно убедиться, если воспользоваться представлением Кс в виде эмпирического соотношения Ирвина, приведенного в [5]:
Кс2 = Кт2с
1 +1,4
' К V
ч^х у
(26)
Правомерность использования отношения Кс/Ктс в условии (25) подтверждается и в работе [6]. «Оказывается, - утверждает автор, - что в любом случае для устойчивого образования таким путем сквозной трещины обычно требуется наличие прочностной анизотропии, когда Кс/Ктс1>1. Если толщина стенки достаточно мала, то данное условие «течи перед разрушением» может с хорошей степенью точности быть удовлетворено даже для изотропного материала».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Панасюк, В.В. Экспериментальное определение вязкости разрушения конструкционных материалов: Рекомендации по стандартизации определения вязкости разрушения / В.В. Панасюк, А.Е. Андрейкив, С.Е. Ковчик // Физ.-хим. механика материалов. - 1976. - Т. 12, № 2. - С. 10-17.
2. Прикладные вопросы вязкости разрушения / Пер. с англ. под ред. Б.А. Дроздовского. - М.: Мир, 1968. - 552 с.
3. Расчеты и испытания на прочность в машиностроении. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик вязкости разрушения (трещиностойкости) при статическом разрушении: Методические указания РД 50-26081. - М.: Госстандарт СССР, 1982. - 55 с.
4. Броек, Д. Основы механики разрушения: Пер. с англ. /Д. Броек. - М.: Высш. школа, 1980. - 368 с.
5. Херцберг, Р.В. Деформация и механика разрушения конструкционных материалов: Пер. с англ. / Р.В. Херцберг. - М.: Металлургия, 1989. - 575 с.
6. Хеллан, К. Введение в механику разрушения: Пер. с англ. / К. Хеллан. - М. МИР, 1988. - 364 с.
2
7. Васильченко, Г.С. Практическое применение механики разрушения для оценки прочности конструкций / Г.С. Васильченко, П.Ф. Кошелев. - М.: Наука, 1974. - 148 с.
8. Браун, У. Испытания высокопрочных металлических материалов на вязкость разрушения при плоской деформации: Пер. с англ. / У. Браун, Дж. Сроули. - М.: Мир, 1972. - 246 с.
9. Folias, E.S. A finite crack in a pressured cylindrical shell / E.S. Folias // Int. J. Fracture Mech. - 1965. -V. 1. - P. 104-113.
10. Irwin, G.R. Progress in the development of crack toughness fracture tests / G.R. Irwin, J.E. Srawley // Materialprüfung. - 1962. - V. 4. - P. 1-11.
11. Irwin, G.R. Fracture of pressure vessels / G.R. Irwin // Material for missile and spacecraft. - Mc Graw-Hill, 1963. - P. 204-229.
12. Kobayashi, A.S. Approximate stress intensity factor for an embedded elliptical crack near two parallel free surfaces / A.S. Kobayashi, M. Zii, L.R. Hall // Int. J. Fracture Mech. - 1965. - V. 1. - P. 81-95.
13. Микляев, П.Г. Кинетика разрушения // П.Г. Мик-ляев, Г. С. Нешпор, В.Г. Кудряшов. - М.: Металлургия, 1979. - 279 с.
MATHEMATICAL MODELING OF EFFECT «THE FLOW BEFORE DESTRUCTION»
© 2010 Yu.L. Tarasov
Samara State Aerospace University
In a paper the opportunity of mathematical modeling of development of strip defects in pipeline constructions leading to disturbance of durability and flow of a product without inconsistent and quickly spreaded catastrophic destruction is considered.
Key words: strip defect, destruction, mathematical modeling
Yuriy Tarasov, Doctor of Technical Sciences, Professor at the Department of Flying Devices Durability. E-mail: proch@ssau.ru
