CC BY
32
УДК 66.047.59
Е. А. Шестаков, С.Х. Загидуллин, Е.Н. Тимашева,
С. А. Шестаков, И. Е. Тимофеев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОГО ПОТОКА В АППАРАТЕ С ВЗВЕШЕННЫМ ТРАНСПОРТИРУЕМЫМ СЛОЕМ ЗЕРНИСТОГО (ДИСПЕРСНОГО) МАТЕРИАЛА
Ключевые слова: взвешенный транспортируемый слой, система дифференциальных уравнений движения частицы, скорость
и траектория движения частицы.
Рассмотрено движение частиц дисперсного материала в аппарате с взвешенным транспортируемым слоем. Составлена эйлерово-лагранжевая модель движения двухфазного потока, позволяющая определить высоту аппарата, достаточную для его устойчивой работы, и скорость восходящего газового потока.
Keywords: weighted transported layer, the system of differential equations of motion of a particle, the speed and trajectory of
particle motion.
The motion of the particulate material from the apparatus with weighted transported layer. Compiled by the Euler-Lagrangian model of the motion of two-phase flow, which allows to determine the height of the apparatus, sufficient for its stable operation, and the velocity of the ascending gas stream.
Аппараты с взвешенным транспортируемым слоем (АВТС) относятся к новому перспективному оборудованию для сушки дисперсных материалов в многотоннажных химических и горно-химических производствах [1]. Они работают в активном гидродинамическом режиме при фиктивных скоростях газа, приближающихся к скорости витания среднего диаметра частиц полидисперсного материала [2].
Аппаратам с взвешенным транспортируемым слоем, также как и пневматическим трубам-сушилкам (ПТ), сушилкам псевдоожиженного слоя (ПС), присуще простота конструкции, но при этом они имеют значительно меньшую высоту аппарата, по сравнению с ПТ, и обеспечивают одинаковое время пребывания частиц материала по сравнению с ПС.
АВТС содержит вертикальную рабочую камеру, снабженную газораспределительной решеткой, на которую подается исходный материал. Верхняя часть камеры заканчивается сепарационной зоной, снабженной системами продуктовыделения и пылеулавливания (рис. 1).
Струи газового теплоносителя, выходящие из газораспределительной решетки, ожижают и транспортируют частицы материала в сепарационную зону. При этом поступление исходного материала на решетку и вытеснение его вверх осуществляется равномерно, без эффектов фонтанирования и порш-необразования.
Взвешенный транспортируемый слой характеризуется, с одной стороны, восходящим движением материала, не наблюдающимся в сушилках с кипящим слоем, а с другой стороны, скоростями газовой фазы существенно меньших скоростей ожижающего агента в трубах-сушилках.
Гидродинамический режим, используемый в АВТС, занимает промежуточное положение между хорошо изученными процессами псевдоожижения и пневмотранспорта. Но так как он заметно отличается от них и сравнительно мало изучен, то потребовалось проведение специальных исследований с целью создания методики расчета таких аппаратов,
в том числе определение требуемых скоростей газового потока и частиц, разработки конструкции газораспределительных решеток и др.
Рис. 1 - Схема АВТС: 1 - бункер; 2 - питатель; 3 - воздуходувка; 4 - газораспределительная перфорированная решетка; 5 - рабочая камера; 6 -сепарационная камера; 7 - циклон ЦН-11; 8 -вакуум-насос
Математическую модель движения частиц в АВТС возможно составить на основе эйлерово-лагранжевого описания движения гетерогенной системы, а именно: уравнения движения газовой среды решать в эйлеровой постановке, в то время как движение частиц описывать лагранжевыми уравнениями, которые интегрируются вдоль их траектории. Данная модель позволяет получить статистическую информацию о движении отдельных частиц в результате интегрирования уравнений движения частиц в известном поле скоростей несущего газа [3].
Рассмотрим поведение частицы, поступающей в рабочую камеру АВТС, с начальной вертикальной
скоростью равной нулю. Восходящий газовый поток в рабочей камере формируется из множества круглых струй, выходящих из отверстий газораспределительной решетки. Для определения скорости газового потока в рабочей камере рассмотрим одиночную круглую струю, выходящую из отверстия диметром dо . Схема истечения струи изображена на рис. 2.
Рис. 2 - Схема истечения струи круглого сечения из отверстия в газораспределительной решетке
Согласно [4, 5] турбулентная струя имеет три участка, а именно, начальный, переходный и основной. Принимаем, что поле скоростей в круглом отверстии равномерное, длина переходного участка равна нулю, длину начального участка струи (Ин) можно рассчитать по формуле
Лн = 6,2- до. (1)
Скорость газового потока в поперечном сечении струи на начальном участке (о < г < кн) определяется по формулам [5]
"0 = "о; "Г =
"о
1+дт-®9*
( 4-к-(1 -к-р) г , , ^ 1+- 2— с&9н +
1 - к2-р до
+ 4- к-(1 - к-р) -Гт 12-®29н
1 -к2 р
до
, (2)
а на основном
участке струи (г > Ин) - по формулам
"о
"о
к-4Р-2Т-(99
до
4Р-2дТ-199
ао
Но
(3)
,осо
где "о - скорость газа в отверстии, м/с; " - скорость струи по оси струи на начальном и основном участках, соответственно, м/с; ", " -средняя скорость струи на начальном и основном
участках, соответственно, м/с; 9н, 9 - угол бокового расширения струи на начальном и основном участках, соответственно, град.; г - координата по высоте струи, м; к, р - коэффициенты поля скоростей струи и Буссинеска, соответственно.
Для струи круглого сечения по [5] к = о,258; р = 2,о2; 9н = 7°58'; 9 = 12°25'. (4) Исходя из уравнения неразрывности потока, на высоте кп от решетки скорость газа по оси струи (средняя скорость струи) станет равной скорости газового потока до решетки. Подставляя (4) в (2)-(3), с учетом "о = "г / р получим уравнения для определения характера изменения скорости газового потока по высоте: - по оси струи:
= — ,прио < г < Лн; Р
(5)
ъ = "г.приг > Лн;
- средняя скорость струи:
^гъ Г
р
1 + о,о792 -т + о,о 1112 -1 т до с
2 ^
1
(6)
1 + о,28--
, прио < г < ?7н;
до,
"гъ = "г,приг > Лн, где р - доля свободного сечения газораспределительной решетки.
Для определения скорости частицы используем уравнение Лагранжа для мгновенного движения одиночной частицы в газовом потоке
с"
ии \ т--= > F ,
(7)
где т - масса частицы, кг; и - вектор скорости частицы, ^ F - вектор равнодействующих сил, действующих на частицу (рис. 3).
При движении частиц в газовом потоке на нее действуют гидромеханические и инерционные силы [6]. Основными составляющими равнодействующей являются: сила аэродинамического сопротивления среды (Ес), сила тяжести (^) и подъемная сила
Архимеда (Ед ). Остальными силами, действующими на частицу, в виду малости их значений можно пренебречь [7, 11].
Сила гидравлического сопротивления среды определяется формулой
^ $ я- д2 (уГ (8)
^ = $- —- Р- о (8)
где $ - коэффициент сопротивления; d - эквивалентный диаметр частицы, м; р - плотность газового потока, кг/м3; и - вектор относительной (приведенной) скорости транспортирующего потока, м/с.
2
2
Относительная скорость транспортирующего потока равна разности между скоростью обтекания частиц потоком без поступательного движения частиц (иг) и скоростью частиц (и) [7, 8]
и = иг - и (9)
Коэффициент сопротивления можно рассчитать по универсальной формуле [9]
£ = ^ • (о,462• ^ + 30/Reотн), (10)
где kl, k2, kз - коэффициенты, учитывающие условия стесненности движения частиц вследствие их взаимодействия, влияния стенок и формы частиц, соответственно; Reоxн - критерий Рейнольдса, определяемый с учетом относительной скорости потока
^ = е4'75; k2 = 1/М2 ; ^ = 11 -10//;
Reоxн = и^й • р/ ¡л . Коэффициент kl определяется порозностью двухфазного потока (е); k 2 - зависит от множителя М, равного отношению размера частиц к диаметру аппарата; согласно [10, с.57] при отношении диаметра аппарата (в) к диаметру частицы более 10 (В / й > 10) множитель М « 1, kз - учитывает коэффициент формы частиц (/).
Подставляя (10) в формулу (8) и после некоторых преобразований получаем
" 0,3465 • к1 • к2 • к3 • р |-)2
!=с = пт
Ртс 22,5 • к1 к2_Л
(11)
Ртс
где рт - плотность частицы, кг/м3; л - динамический коэффициент вязкости среды, Па-с. Введем коэффициенты А и В:
0,3465 • ^ • k2 • ^ • р
А = -
Рт •1
(м-1);
в = 22,5 ^2 •Л (с-1)
Рт ^2
и преобразуем выражение (11) с учетом (9)
А • (иг - и)2 + В • (иг - и)
Рс = т
(12)
Составим уравнение действующих на частицу сил ^ ¥ в векторной форме и ее проекции на оси координат (¥х, ¥у, ¥2) (рис. 3).
Рис. 3 - Схема внешних сил, действующих на частицу
¥х = т
^ = рс + рд + РА ,
А •(игх -их )2 + В •(игх -их )
¥у = т • ¥2 = т •
А •
(14)
[•(игу-иу )2 + В^ (игу-иу )
А •(иг7 -иг )2 + В• (иг7 )]
-т^ + т^ • р/Рт, где их, иу, иг - проекции скорости частицы на соответствующие оси координат, м/с; игх, игу , иг2
- проекции скорости газового потока на соответствующие оси координат; g - ускорение свободного падения, м/с2.
Дифференциальное уравнение движения частицы в прямоугольной системе координат имеет вид
Fx
■ П'
Fy = т•
Fz = т •
(С2х /(х .
г2 = т^
с/г
с/2 у = т~ с/иу
г2 с
d2z dиz
/г2 = т• -
сг
(15)
где х, у, z - координаты частицы, м; г - время, с.
Подставляя (14) в (15) получаем систему дифференциальных уравнений движения частицы под действием внешних сил: с/их
т•
с/г
--m•\A• [и
)2 + В •{и
г)]
т~Т = п\А- (у - иу)2 + В •(У-иуУ);
--• \А • (иг7 + В • (иг7 -иz)\-
(16)
dиz ~ск
- тд + т-д-р! рт.
Ввиду того, что при движении частиц внешние силы действуют только по оси 02, первые два уравнения системы (16) не рассматриваем.
Решаем третье уравнение системы (16) относительно скорости частицы и после некоторых преобразований получаем
= А • ( - (2 • А • ( +В)иг +
+ Аи^ +B•иYL -д ' Рт Р
Рт
(17)
Введем коэффициенты а, Ь, с
а = А; Ь = 2 • А иг7 + В
с = Аи^ + В• иг7 -д• \рт р
Рт
и преобразуем выражение (17)
1и7 2 , —— = а •иг - Ь •иг + с. йг
(18)
Проинтегрируем уравнение (18) методом разделения переменных
йи„
а • и2 - Ь (г + с
= | йг .
V
и
гх "х
Дискриминант квадратного уравнения (д) в знаменателе левой части выражения равен
Д = В2 + 4-А-д-{рт-р 1, (с-2) I Рт )
В виду того, что Д > о после интегрирования получим общее решение
1
л/Х
•In
(2 • a • vz - b)- VÄ (2• a-uz -b) + VÄ
_t + C .
(19)
(20)
Подставляем в (20) значение коэффициентов a, b получим
Выразим из (19) скорость частиц (vz) у _ b^VÄ-(b^VÄ)-е^ - (т+С) V _ 2-а• Г1 -е^ -(т+сГ .
2-A • vrz + B + VÄ 2 • A • Г1 -е^'(т+С)
^ Avrz + B-Уд) • е^ • (т+с) 2 • A • Г1 -е^(т+с)
. (21)
Учитывая, что в начальный момент времени (го = о) скорость частиц по оси ОХ равна нулю ("г = о), с учетом значения коэффициента Ь, определим из (19) величину константы С1
C _-
2 • Avrz +B + VÄ л/Ä I 2• Avrz + B-VÄ
ln
. (22)
Подставляя (22) в (21) получим частное решение для скорости частицы по оси ОХ
Ü7 _п -
b+vÄ-b-vÄIH^z + b+f) ^
^ Avrz +BWAI
. (23)
2 • A •
2 • A • vrz + B +
(2• A • vrz + B-VÄ
B+A) 1
Для определения уравнения изменения координаты частицы по оси ОХ введем коэффициент Р
P_In
VA
b+VÄ
b-VÄ
и заменив в (2о) проекцию скорости ("г) производной координаты по времени, получаем
дг Ь + УД-(ь-УА) - еЩГ+р)
" = = 2-а-Г1 -е^(г+р)
oV
(24)
Проинтегрируем уравнение (24) методом разделения переменных и определим общее уравнение изменения координаты частицы по оси ОХ = Ь - (г + р) г-(л/Х-Ь) -а 2-а
b In
,VÄ(r+P)-1
.(25)
rVÄ
+ C2
Учитывая, что в начальный момент времени (го = о) перемещение частиц по оси ОХ отсутствовало, то есть г о = о , определим из (25) величину константы С2
C2 _- ^ +
b •ln
г^(т+р)_ 1
(26)
а а- л/Д
и с учетом коэффициентов а, Ь, Р получим частное решение для координаты частицы по оси ОХ
z ■-
b+VA
_' + VA 2^ A • vrz + B • тл--•r + - ■
•In
2^ A A^ VA
Г 2 • VA ^
2• A • vrz + B-4A
2 • A • vrz + B + VÄ 2 • A • vrz + B -JA
еVÄT-1
. (27)
Совокупность уравнений (5), (6), (23) и (27) является эйлерово-лагранжевой моделью, описывающей движение двухфазного потока в аппарате с взвешенным транспортируемым слоем. Эти уравнения позволяют определить скорость тазового потока, необходимую для транспортирования частиц, а также требуемую высоту рабочей камеры исходя из достаточного для осуществления процесса времени пребывания материала в аппарате.
Указанная модель позволяет определить диапазон допустимых живых сечений газораспределительной решетки, обеспечивающих необходимую для транспортирования материала скорость газового потока при соответствующем диаметре аппарата, следовательно, она может быть использована при инженерных расчетах АВТС.
Литература
1. Селиверстов, А.А. Новые конвективные сушилки для многотоннажных производств / А.А. Селиверстов, И.Е. Тимофеев, С.Х. Загадуллин // Вестник ПНИПУ. Химическая технологая и биотехнологая. - 2014. - № 3. - с. 67-75.
2. Пат. 2529763 (РФ), МПК F26B 17/10. Способ сушки дисперсного материала во взвешенно-транспортируемом слое и установка для его осуществления / И.Е. Тимофеев, Е.А. Шестаков, А.А. Селиверстов, С.Х. Загадуллин, С.А. Шестаков, И.И. Тимофеев; № 2013136317/06; заявл. 01.08.2013
3. Вараксин, А.Ю. Турбулентные течения газа с твердыми частицами / А.Ю. Вараксин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 192 с. - ISBN.
4. Абрамович, Г.Н. Теория турбулентных струй /Г.Н. Абрамович / Репринтное воспроизведение издания 1960 г. - М.: ЭКОЛИТ, 2011. - 720 с.
5. Талиев, ВН. Аэродинамика вентиляции: учеб. пособие для вузов / В.Н. Талиев. - М.: Стройиздат, 1979. - 295 с.
6. Дрейч, М.Е. Газодинамика двухфазных сред / М.Е. Дрейч, Г.А. Филиппов. - М.: Энергоиздат, 1981. - 472 с.
7. Муштаев, В.И. Сушка в условиях пневмотранспорта / В.И. Муштаев, В.М. Ульянов, А.С. Тимонин. - М.: Химия, 1984. - 232 с.
8. Разумов, И.М. Пневмо- и гадротранспорт в химической промышленности / И.М. Разумов. - М.: Химия, 1979. - 248 с.
г
9. Разумов, И.М. Псевдоожижение и пневмотранспорт сыпучих материалов / И.М. Разумов. - М.: Химия, 1972. - 240 с.
10. Ульянов, В. М. К расчету гидродинамики дисперсных двухфазных потоков/ В.М Ульянов, В.И. Муштаев, А.Н.
Плановский // Теор. основы хим. технологии - 1977. -т. 11. № 5. -с.716-723. 11. Горбис, З.Р. Теплообмен дисперсных сквозных потоков / З.Р. Горбис. - М.: Энергия, 1970. - 296 с.
© Е. А. Шестаков, асп. каф. «Машины и аппараты производственных процессов», «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», [email protected]; С. Х. Загидуллин, д-р техн. наук, проф., зав. каф. «Машины и аппараты производственных процессов» того же вуза, [email protected]; Е. Н. Тимашева, ст. препод. каф. «Технологии и механизации производств» Березниковского филиала «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», [email protected]; С. А. Шестаков, препод. каф. «Технологии и механизации производств» Березниковского филиала «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»; И. Е. Тимофеев, канд. техн наук, доц. той же кафедры.
© E. A. Shestakov, graduate student of the 1st year of study Department of «Machinery and equipment manufacturing processes» Perm National Research Polytechnic University, [email protected]; S. H. Zagidullin, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department of «Machinery and equipment manufacturing processes» Perm National Research Polytechnic University, [email protected]; E. N. Timasheva, Senior Lecturer of the Department «Technology and mechanization of production» Perm National Research Polytechnic University Berezniki branch, [email protected]; S. A. Shestakov, Lecturer of the Department «Technology and mechanization of production» Perm National Research Polytechnic University Berezniki branch, [email protected]; 1 E. Timofeev, Associate Professor of the Department «Technology and mechanization of production» Perm National Research Polytechnic University Berezniki branch, [email protected].
