Математическое моделирование движения вязкой жидкости в радиально вращающихся каналах сложной конфигурации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5:621.694

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В РАДИАЛЬНО ВРАЩАЮЩИХСЯ КАНАЛАХ СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ.

А.Г. БАГОУТДИНОВА, Я.Д. ЗОЛОТОНОСОВ

Казанский государственный энергетический университет

В работе предложено описание геометрии каналов произвольного сечения и рассмотрена математическая модель движения вязкой жидкости в радиально вращающихся каналах.

Литература по исследованию течения вязкой несжимаемой жидкости во вращающихся каналах весьма обширна. В работах [1-7] рассмотрены радиально вращающиеся каналы круглого [1], эллиптического [2,3], квадратного [4,6], треугольного [7] сечений. При теоретическом решении задачи в этих работах авторы используют различные предположения, упрощающие исследование. В работе [1], например, существенным является предположение о малости параметра, связанного с угловой скоростью вращения. В работе [2] не требуется ограничения угловой скорости вращения трубы, но предполагается большое отношение полуосей эллипса. В [3] автор предполагает, что составляющие вектора скорости V не зависят от координаты /. Однако в литературе отсутствуют работы, касающиеся исследования течения вязкой жидкости в каналах сложной конфигурации. В связи с этим становится актуальной разработка математической модели течения сред в радиально вращающихся каналах произвольной формы.

/ со \ ъ

Рис.1. Вращающийся призматический сходящийся канал

Рассмотрим течение несжимаемой вязкой жидкости в призматическом сходящемся канале, поперечное сечение которого представляет собой произвольный многоугольник. Труба вращается вокруг оси, перпендикулярной

направлению движения жидкости, с постоянной угловой скоростью ю . Введем цилиндрическую систему координат (г,ф,г), жестко связанную с каналом и ориентированную таким образом, чтобы ось вращения совпадала с полярной осью, а ось О/ была направлена вдоль оси канала в сторону течения (рис. 1).

Запишем уравнение контура сечения трубы в плоскости г = 0. Не ограничивая общности, будем считать, что поперечным сечением является

© А. Г. Багоутдинова, Я. Д. Золотоносов Проблемы энергетики, 2003, № 11-12

правильный звездчатый многоугольник М15М2-"М2„ (рис.2). Обозначим через а -внутренний радиус, Ь- внешний радиус, п - число лучей звезды. На ребре М1М2 выберем произвольную точку А1. Вычислим полярный радиус этой точки. Рассмотрим треугольник ОМ1А1.

Рис.2. Поперечное сечение вращающегося канала в виде звездочного многоугольника

По теореме синусов R _ b

sin Р sin (п - Р - ф)

Отсюда

b sin в b sin в

R_

sin(л-P-ф) sin(P + ф)

Аналогично можно показать, что для точки А2, лежащей на ребре М2М3, полярный радиус вычисляется по формуле _ = Ь sin Р

• ж 2п).

sin(p - ф + —)

п

Учитывая симметрию области, запишем полярный радиус произвольной точки М границы области

R _ R0(<P) _

b sin В 2кк (2k+1)п

-------—. если----------<ф<-------------

2кп

sin(B+y-------)

если---------<ф<-

n n

n

, ■ r, -4 , к _0,n-1, (1)

b sin в (2к+1)п (2к + 2)п

, если < ф <

sin(B-y+^(k^1n) n n

где угол в вычисляется по формуле

n

ЗІП в =

. п

а зіп — п

а 2 + Ь2 - 2аЬ еоз П

Уравнение контура произвольного поперечного сечения трубы запишем в виде Л(ф, г) = Я0 (ф) + г/£у .

Если а и Ь выбрать таким образом, чтобы выполнялось соотношение п

а = Ь со8—, то звездчатый многоугольник М1,М2...М2я трансформируется в п

правильный многоугольник P1,P2...Pn. (рис. 3). В этом случае формула (1) значительно упрощается:

Ко (ф) =

А П

Ь СОЗ —

( (2к + 1)лЛ ’

*.„8І ф - -------—

\ п 2кп ^ ^ (2к +1)

-----<ф<^-------------,

к = 0, п -1.

(2)

Рис.3. Поперечное сечение вращающего канала в виде правильного многоугольника

При п=3 получаем равносторонний треугольник. Уравнение контура запишется в виде й(ф, г) = Ко (ф) + &8У ,

где

2п

К0(ф) =

а п

Ь еоз— 3

Ь

(2к +1)п (2к + 1)п

еоз(ф---------------) 2 еоз(ф------- ----)

, к =

3

3

0, если 0 <ф<-3

2п 4п

1, если--<ф<-----

33

4п

2, если — <ф< 2п.

3

При п=4 получаем квадрат. Уравнение контура запишется в © Проблемы энергетики, 2003, № 11-12

п

п

п

виде Я(ф, г) = Я0(ф) + &8У ,

где

^0(Ф)=

и П

Ь 008 — 4

008(Ф-МП*) Лсо»(ф-ЙІІЙЕ)

44

, к = ■

0, если 0 <ф< —

2

П

1, если — <ф<П

2

^ ^ 3п

2, если п<ф< —

2

3П

3, если — < ф < 2п.

2

При п = да получаем окружность с уравнением Я(г) = Ь + Л^у.

Запишем уравнения движения и неразрывности для течения вязкой жидкости [8]:

дтг Vф дтг

дг

■ +

г дф

+ V.

дгг v ф

дг дv ф

1 др

=---------- + V

г р дг

г 2 дф г

2

^ф Vф ^ф дVф vгvф

vг +^+ vz^-ї- + ^

1 др

дг г дф г дг г рг дф

дv

+ V

'у 2 Vф- 2д”'

г 2дф г (г 008 ф - Vф 8ІП ф

V

дvz v ф дvz

v^-^L + — -^vz

дг

дvr 5v.

- + -

г =-1 — + vV 2 vz - 2(

г дф 52 р д2

+ 2юVz 008 ф

+ 2ю Vz 8ІП ф

2

- 1 ^ф п

+ — + —г-1- = 0,

дг дz г г дф

(3)

„2 д2 1 д 1 д2 д2

где V = —— +----------------------------+ —-— + —.

дг2 г дг г2 дф2 дz

Граничные условия:

др

Ъ = 0: vг = 0, vф= 0, vz = и0, Р = Р0, — = 0,

др дv«

г = 0: vг = 0, V ф = 0, — = 0, —— = 0.

дг

дvг

дг

= 0.

дг

дг

г = Я(ф, і): Vг = 0, V ф = Я^)», у2 = 0.

Здесь г = Я (ф, $ - уравнение контура поперечного сечения. Для численной реализации данной задачи перейдем от области с криволинейными границами к прямолинейной области. Для этого введем замену переменных в уравнениях движениях движения и неразрывности:

_ г _ z

г ==—Т ч , z == — .

Я(ф,г) Ь

Ь

V

г

Представим параметры скоростей, давления как [9]:

= «0/(ф,Г), = югя(ф,1Ь)а(ф,Г), = «оН(ф,г), р - Ро = рн2^(ф,г).

© Проблемы энергетики, 2003, № 11-12

_ юЯ(ф, г)

«о Я(ф, г)

Обозначим: N _ — у'1'7- число закрутки; Ие _ ——" " - число

«0 v

Рейнольдса. Тогда краевую задачу для безразмерных составляющих скорости можно записать в следующем виде:

/ — - НПж—+ N0 дГ дГ

— - г^—1 дф Я дг

- N2гО2 _-д^ + дг

+

Ие

д^

г

22

д2 / + 1 — + ±_ дд— + 2 Яф - кф>ФЯ — + Яф_ д— +

дг 2 г дг Г2 дф2

ГЯ 2

дг к 2 дГ2

д— д2 —

2 — + г ^

дг

дг

2

2N дО „ ДГ Яф дО / \

—--------+ 2 N + ^тг + 2 NN соз ф;

г дф Я дг г I

(5)

2—0 +

— -

N67 2 Яф

Яф д^ 1

—-----+ —

NЯ дг Ие

Я

IV

ф- т&г2

д6 д^ 1 д^

—^ + N6^-----------+ Ш^угО _---------

дг

дф

3 + -

Л 2 п(»

2Яф ЯЯфф + 2_ 21§2 т

Я

Я

дО

дг

+

+ г

' д2О

Я2 дг2

22 + tg уг

д2О 1д2О

дг 2

+ ■

1 + -

Яф д2 О _ 2

Я дфдг

+ уО +

г дф2 2 д/ 2 Яф д/

МТ2 дф № Я дг

Яг дф

- 2 NN зт ф;

(6)

г NGrЯ'ф

гу

/ -

Я

- НЛ&[

дН дН д^ 1

-------+ NG _ г1еу--------------------I-----

дг дф дг Ие

1 +

IV

Я2 Л Я2

д2Н

дг 2

■ +

+

1 2Я<|) + гЯ<ршЯ 2 -2 2

+ —т^ ^ + 2^ у + г tg у

Я

2

- + -

д2Н Я 2 д 2 Н

дф ы Я дфдг

- 2 N (/ соз ф - NG зт ф)

(7)

д/ _ дН / ЛТ дО ДГ_ Яф дО п

-з - гtgy—— + — + N---------------№—-—— _ 0

дг дг г дф Я дг

(8)

1

г

г

с граничными условиями:

г = 0: f (ф, r )= 0, G(q, r )= 0, H(q, r ) = 1, F (ф, r )= 0, = 0, f = 0.

dr dr

r = 0: f (q, F)= 0, G(q, r) = 0, = 0, f = 0. (9)

or dr

r = 1: f (q, r )= 0, G(q, r )= 1, H (q, r )= 0.

Интегрирование уравнений (5) - (8) с граничными условиями (9) позволяет определить параметры скоростей и давления в проточной части радиально вращающего канала сложной конфигурации.

Summary

The paper presents the geometry of channels with a randomly selected cross section. A numerical modeling has been explored for viscous fluid transport in radially moving channels.

Литература

1. Ито Г., Нанбу К. Течение во вращающихся прямых трубах круглого поперечного сечения. //Труды Американского общества инженеров -механиков - 1971.- Сер. D.- №3.-C.46-56.

2. Никольская С.Б., Степанянц Л.Г. Ламинарное движение жидкости во вращающейся трубе эллиптического поперечного сечения. // Механика и энергомашиностроение. Труды ЛПИ. - 1976. - №352. - С. 90-94.

3. Овчинников О.Н. Об установившемся течении вязкой жидкости во вращающемся канале с эллиптическим поперечным сечением.//Труды ЛПИ. Механика и машиностроение.- №3.-C.83-89.

4. Смирнов Е.М., Юркин С.В. О течении жидкости по вращающемуся каналу квадратного поперечного сечения.// Изв. АН СССР. МЖГ.- 1983.-№6.-C.24-30.

5. Никольская С.Б. Ламинарное движение жидкости во вращающихся каналах.// Изв. АН СССР. МЖГ.- 1977.-№6.-C.175-178.

6. Овчинников О.Н., Руколайне А.В. Начальный участок в квадратном канале, вращающемся относительно поперечной оси.// Изв. АН СССР. МЖГ.- 1985.- №5.-C.41-46.

7. Кочубей А.А., Ракита Е.М., Рядно А.А. Расчет гидродинамики и теплообмена во вращающихся каналах на основе метода конечных элементов.//Сибирский ФТЖ.- 1991.-№1. - C.129-132.

8. Лойцянский Л.И. Механика жидкости и газа. Изд. 4-е.- М.: Наука, 1973. -840 с.

9. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д., Маминов О.В. Математическая модель течения вязкой жидкости во вращающейся трубе, образованной конфузорно-диффузорными элементами.// Известия вузов. Проблемы энергетики.- 2002.-№11-12. - С. 33-39.

Поступила 12.11.2003