Математическое моделирование движения планирующего тела сложной конфигурации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование движения планирующего тела сложной конфигурации

Д.В. Беляков, Е.В. Береснева

Московский Авиационный Институт (Национальный Исследовательский Университет), г. Москва

Аннотация: В рассматриваемой работе разработана математическая модель движения тела, состоящего из пластинки и стержня, которое можно ассоциировать с парапланом или дельтапланом. Тело совершает плоскопараллельное планирование в квазистатической среде. Получены уравнения движения тела, которые возможно решить только численно. Решены уравнения равновесия и получены основные стационарные режимы движения тела, основным результатом является режим наиболее пологого планирования тела. В системе компьютерной математики MATLAB написан комплекс программ, который ищет численное решение и выводит траектории. Моделируется движение рассматриваемых режимов и оценивается устойчивость основных режимов с помощью численных расчетов. Ключевые слова: тело, режим планирования, устойчивость, геометрические размеры.

Данная статья посвящена моделированию движения простейшего планирующего тела, имеющего конфигурацию дельтаплана (см. рис.1). Планирующий полет является простейшим режимом в аэродинамике и в природе известно много примеров такого полета. Парящий полет используют крупные птицы, такие, как орел, аист. Пикирующий полет используют хищные птицы, такие, как сокол. Машущий и трепещущий полет тоже очень интересны, но в данной работе рассматриваться не будут. В авиастроении существует проблема имитационного моделирования и обеспечения устойчивости движения летательных аппаратов в воздушном пространстве. Поэтому рассматриваемая нами задача актуальна. Аналогичные задачи рассматривались в [1,2].

и

Постановка задачи.

Рассмотрим тело, состоящее из стержня и аэродинамического профиля, который отклонен на угол 8 относительно нормали (Рис. 1). При формировании аэродинамических сил мы используем гипотезу о квазистатическом обтекания пластинки средой. Аэродинамические силы прилагаются в центре давления, который является неподвижным [3,4]. Аэродинамические силы имеют следующий вид:

\=s{P + 5)V¡ =0.5pcrcx{P + 5)V24,\?A \=p{P + 5)V24=0.5pcrcy{P + 5)V24

р- угол атаки между вектором (VB0) и воздушными скоростями VB, сх, с. -безразмерные аэродинамические функции, р - плотность среды, а -значение площади каждой пластинки. Зависимости сх, с определены из

продувок в аэродинамической трубе [5]. В качестве координат, введем угол в отклонения стержня АВ от оси x.

Уравнения вращения рассматриваемой математической модели будут иметь вид:

mV = -р((3+8 )VBrco cos в-s((3+ó )VB (rasm6+V)+mg eos y m Vy = s((3 +S)VBrco eos в-p(P+8 )VB (ra sin в+V) - mg sin y

Já=rV¿{p{P+5)smP-s{P+5)cosP) ^

9 + f = o) x = Vcosy y = Vsiny

Величины VB,p связаны с v,6,a> следующим образом:

VB sinp = Vcose, VB cosP = ra + Vsine (2)

Таким образом получена математическая модель (1) - (2), описывающая движение рассматриваемого тела.

и

Рис. 1. Рассматриваемое тело Решение уравнений равновесия

Рассмотрим режимы поступательного движения тела, т.е. со = 0, V = const.

Т

Тогда: tgP = ctgO, откуда р + в = —.

Учитывая, что: щ = у + в, имеем: у=у+р~

Проводя простейшие преобразования, получим уравнение равновесия:

ctg(¥+P) = k(P + S) (3)

cv P + S)

k P + S) = ■

функция аэродинамического качества, широко известная

с, Р + б)

в аэродинамике. Таким образом, при известном установочном угле тела щ, мы можем решить уравнение равновесия (3) и найти угол атаки р, откуда мы можем определить угол тангажа у: у = -аг^(к(Р+б)) (4)

Скорость планирования V: V =

mg cosy i s(P + S)

(5)

и

Любому положению тела, можно поставить в соответствие определенный стационарный режим [6]. Приведем наиболее характерные режимы:

• Режим вертикального пикирования: у = 0, V =,

тя

х0

• Режим парашюта: у2= 0, V =,

тя

, Р^Схт

• Режим наиболее пологого планирования:

\у3\= ашяс'у ),К =,

2 V Сх0Сх2

тЯ Сх 0 Сх 2

Р°Сх0 4Сх0Сх 2 +

Для тела, имеющего прямоугольные пластинки с удлинением А = 8, режим наиболее пологого планирования имеет следуюшие параметры: \ у \« 87,1353°, ^з « -0,11530, а3 « 5,00600

Численное интегрирование уравнений движения С помощью математического пакета MATLAB написан комплекс программ, реализующий численное интегрирование уравнений движения рассматриваемого тела. При численном интегрировании используется процедура ode45, реализующая методы Рунге-Кутта четвертого и пятого порядка с автоматическим выбором шага. На каждом шаге итерационного

- п V сов в

процесса из соотношений (2) ищется угол атаки гяР =- численного

ТО + V Бтв

решения, аэродинамические функции р, s интерполируются кубическим сплайном. В качестве результатов численного моделирования выводятся фазовые зависимости угловой скорости, скорости планирования и траектории центра масс. Приведем примеры численного моделирования. Аналогичные модели рассматривались в [7], [8].

£ о

1.1 1.2

1.3

teta

1.4 1.5 1.6

-100 -50 0 50 100

Рис. 3. Режим вертикального пикирования Численное моделирование, исходя из рисунка 3, показывает, что режим вертикального пикирования неустойчив и траектория уходит со стационарного режима.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

teta

Ог

10

1

-60 -40 -20 0 20 40 60

X

Рис. 4. Режим парашюта Численное моделирование, исходя из рисунка 4, показывает, что режим парашюта для данного профиля также неустойчив и траектория уходит со стационарного режима.

М Инженерный вестник Дона, №3 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2024/9060

_|_1_

_1_I.

J_1_

> 20

-100 -50

50 100

X

Рис. 5. Режим пологого планирования Численное моделирование, исходя из рисунка 5, показывает, что тело движется в режиме пологого планирования, теряет скорость и сваливается в режим вертикального спуска. Интересные результаты были получены в [9], [10].

Заключение

1. Создана математическая модель планирующего тела.

2. Указаны наиболее характерные режимы планирования, в том числе, режим наиболее пологого планирования.

3. Создан комплекс программ и проведено имитационное моделирование планирования тела на рассматриваемых режимах.

М Инженерный вестник Дона, №3 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2024/9060

Литература

1. Беляков Д. В. Разработка и особенности математической модели ветротурбины Дарье. // Международный журнал открытых информационных технологий. 2015. №3. URL: injoit.org/index.php/j1/article/view/226

2. Беляков Д. В. Исследование движения осесимметричного тела в квазистатической среде. // Современные информационные технологии и ИТ образование. 2016 г. №2. URL: sitito .cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/82

3. Боголюбов Н. Н. Митропольский Ю. А Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Москва: Гостехиздат, 1955. 408 С.

4. Урывская Т. Ю. Устойчивость линейных систем с положительно определенной матрицей // Инженерный вестник Дона, 2017. №4.URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4464

5. Табачников В.Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки // Труды ЦАГИ. Москва: Наука, 1974. С. 154.

6. Пшихопов В.Х., Кульченко А.Е., Чуфистов В.М. Моделирование полета одновинтового вертолета под управлением позиционно-траекторного регулятора// Инженерный вестник Дона, 2013. №2.

URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1650

7. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Модельная задача о флаттере // Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде. Москва: Издательство Московского университета., 1992. С. 38.

М Инженерный вестник Дона, №3 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2024/9060

8. Журавлев В.Ф. Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний Москва: Наука, 1988. 531 С.

9. Vittecoq P. A., Laneville A. V. The Aerodynamic Forses for a Darrieus Rotor with Straight Blades: Wind Tunnel Measurement. // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1983. №15. pp. 406412.

10. Parashivoiu I Aerodynamics Loads and and performance of the Darrieus Rotor // Journal of Energy. 1982. №6. pp. 315-321.

References

1. Belyakov D. V. Mezhdunarodnyj zhurnal otkrytyh informacionnyh tekhnologij. 2015. №3. URL:injoit.org/index.php/j1/article/view/226

2. Belyakov D. V. Sovremennye informacionnye tekhnologii i IT obrazovanie. 2016. №2. URL:sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/82Belyakov D. V. Sovremennye informacionnye tekhnologii i IT obrazovanie. 2016 g. №2

3. Bogolyubov N. N. Mitropol'skij YU. A. Asimptoticheskie metody v teorii

nelinejnyh kolebanij [Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations] Moskva: Gostekhizdat, 1955. 408 P.

4. Ury'vskaya T. Yu. Inzhenernyj vestnik Dona. №4. URL: http:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4464

5. Tabachnikov V.G. Stacionarny'e xarakteristiki kryTev na malyx skorostyax vo vsem diapazone uglov ataki [Stationary characteristics of wings at low speeds over the entire range of angles of attack]. Trudy' CzAGI. Moskva: Nauka, 1974. P. 154.

6. Pshixopov V.X., Kul'chenko A.E., Chufistov V.M. Inzhenernyj vestnik Dona. 2013. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1650

7. Lokshin B.Ya. , Privalov V.A., Samsonov V.A. ModeFnaya zadacha o flattere [model problem about flutter]. Vvedenie v zadachu o dvizhenii tochki i tela v coprotivlyayushhejsya srede. Moskva: IzdateFstvo Moskovskogo universiteta, 1992. P. 38.

8. ZHuravlev V.F. Klimov D.M. Prikladnye metody v teorii kolebanij [Applied methods in the theory of oscillations] Moskva: Nauka, 1988. P. 531.

9. Vittecoq P. A., Laneville A. V. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1983. №15. pp. 406-412.

10. Parashivoiu I. Journal of Energy. 1982. №6. pp. 315-321.

Дата поступления: 13.01.2024 Дата публикации: 4.03.2024