Математическое моделирование дозвукового обтекания тел с отрывом потока в донной области Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 531.6.011.32:532.582.4:517.958

В.Н. Тимофеев, А.Ю. Бушуев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ С ОТРЫВОМ ПОТОКА В ДОННОЙ ОБЛАСТИ

В рамках концепции вязко-невязкого взаимодействия рассмотрено обтекание тел с отрывом потока в донной области при дозвуковых скоростях. Для математического моделирования применялся метод дискретных вихрей. Представлены результаты тестового моделирования распределения давления на осесимметричном теле с конической сужающейся хвостовой частью.

Дозвуковое отрывное обтекание, математическое моделирование, метод дискретных вихрей

V.N. Temofyev, A.Yu. Bushuev MATHEMATICAL SIMULATION OF SUBSONIC FLOW AROUND BODIES WITH SEPARATION IN BOTTOM REGION

The subsonic flow around bodies with flow separation in bottom region was considered according to viscid-inviscid interaction conception. Method of discrete vortices was used for mathematical simulation. The results of test simulation the pressure distribution on surface of axisymmetric body with conical convergent tail are present.

Subsonic separated flow, mathematical simulation, method of discrete vortices

Сложность процессов отрывного обтекания стимулирует дальнейшее развитие подходов и методов, базирующихся на различных концепциях. Согласно концепции вязко-невязкого взаимодействия давление на поверхности тела в потоке вязкой среды получают по данным о невязком обтекании некоторого эквивалентного тела. В области пограничного слоя поверхность эквивалентного тела отстоит от обтекаемой поверхности на малую толщину вытеснения. Продолжаясь за линию отрыва потока, тело вытеснения моделирует влияние спутного следа.

В первом приближении поправку на толщину вытеснения не производят. В ряде случаев за линией отрыва потока можно отказаться и от построения поверхности тела вытеснения, задавая его форму на основе дополнительной информации. Таким образом, определение давления при невязком обтекании является важным этапом расчета отрывных течений в концепции вязконевязкого взаимодействия, а, кроме того, может дать приближенное решение задачи.

Рассматривались умеренные дозвуковые скорости, поэтому среда считалась несжимаемой и невесомой жидкостью. Предполагалось, что всюду вне поверхности тела вытеснения течение потенциальное и скорость потока вычислялась по формуле

где Ух - вектор скорости набегающего потока; ф - потенциал возмущенных скоростей.

Из уравнения неразрывности, граничного условия непротекания поверхности тела вытеснения Е и граничного условия затухания возмущений на бесконечности следует, что потенциал ф является решением внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа

где п (М 0) - орт вектора внешней нормали к поверхности Е в точке М0.

Внешняя задача Неймана имеет единственное решение, которое искалось в виде потенциала двойного слоя

где г = ММ 0 - вектор, направленный из точки М, расположенной на элементе площади й Е, в точку вычисления скорости Мч; г = |г|; g(M) - поверхностная плотность потенциала двойного слоя.

Потенциал двойного слоя удовлетворяет уравнению Лапласа и условию затухания возмущений на бесконечности. Условие непротекания выполняется, если поверхностная плотность g (м ) удовлетворяет интегральному уравнению

Для реализации численного метода поверхность обтекаемого тела вытеснения аппроксимировалась конечным числом панелей - многоугольников Т к , к = 1,..., N с постоянной плотностью потенциала двойного слоя gk. Из аддитивности и линейности двойного интеграла и линейности градиента следует, что

Градиент потенциала двойного слоя, размещенного на панели Т к с постоянной плотностью gk, равен скорости, индуцированной замкнутой вихревой нитью Ьк, расположенной на границе ЭЕ к и имеющей циркуляцию Гк = - gk

Поэтому вводился в рассмотрение вектор, равный скорости, индуцированной к-ой вихревой нитью Ьк с единичной циркуляцией. Этот вектор назывался функцией скорости и рассчитывался по закону Био-Савара

У (М о) = У^+Уф(М о),

1 г г■п (М)

1 г г ■ п(М)^_ 1 р й!X г

После этого скорости вычислялись по формулам

V (М 0) = У^ + £ Гкъ>к (М 0). (1)

к=1

Это дало возможность применять метод дискретных вихрей [1]. Функция скорости каждого из вихревых многоугольников определялась как сумма функций скорости составляющих его вихревых отрезков [2].

Для определения неизвестных циркуляций Гк граничные условия непротекания поверхности тела вытеснения Е удовлетворялись в контрольных точках Су, V = 1,.., N , расположенных в геометрических центрах панелей X к [2]. Так как в контрольных точках нормальные производные потенциала двойного слоя непрерывны, то

дф(- ) — — N —

= (У (С) - У.) • п (С) = Е Г кЩ (С) • п (Cv),

дп к=1

и граничные условия непротекания принимали вид

N ___ _

Е Г к (»к (-V ) • п (-V )) = -У. • п (-V ) ,

к=1

где п (Сv) - орт нормали к панели Е к в контрольной точке . Поэтому циркуляции определялись из следующей системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Е^кГк = К,^ N , avk = »к (СV ) • п(СV )’ К =-У. • п (СV )- (2)

к=1

В методе дискретных вихрей для замкнутых поверхностей матрица Ца^ || получается вырожденной, поэтому СЛАУ (2) решалась с использованием регуляризирующей переменной [2].

После нахождения неизвестных циркуляций Гк скорость потока вне поверхности тела вытеснения определялась из соотношения (1). В контрольных точках — на поверхности тела скорость как градиент потенциала двойного слоя терпит разрыв

Л (С )^7- , (С)-

АУ (-V ) =^^1(0, ) + ^^^2 (—V ),

дТ1 0Т2

причем частные производные вычисляются по направлениям двух взаимноортогональных ортов тД-) и т^-), лежащих в касательной плоскости. Учитывая, что gv = -Г„, эти частные производные определялись численно по значениям циркуляций V -го и соседних с ним вихревых многоугольников. Скорость в контрольных точках на поверхности тела вытеснения находилась как предельное значение градиента потенциала двойного слоя

N

V (С) = У^+ X Г м, (С) + АУ (Су )/2.

к =1

Безразмерные коэффициенты давления ср = 2(р - р.)/(р.У.2) рассчитывались из интеграла Бернулли по формуле Ср = 1 - (У /У. )2.

По предложенной методике произведен расчет обтекания осесимметричного тела под нулевым углом атаки. Длина головной оживальной части составляла d, средней цилиндрической - 2d, а хвостовой сужающейся конической частей - 0^, где d - диаметр миделевого сечения. Тело вытеснения за донным срезом строилось как продолжение конической поверхности хвостовой части с полууглом раскрытия равным 10°. Осуществлялось равномерное разбиение тела вытеснения на 32 части по окружности миделевого сечения, на 35 частей по длине обтекаемого тела и на 23 по длине следа, что соответствовало числу панелей N = 1856.

Распределение коэффициента давления Cp по образующей осесимметричного тела

Результаты расчетов, показали, что распределение коэффициента давления на обтекаемом теле, полученное по предложенной методике, хорошо согласуется с экспериментальными данными, взятыми из работы [3] и показанными квадратами на рисунке. Это свидетельствует о возможности применения рассмотренного подхода при математическом моделировании отрывного обтекания тел. Небольшие затраты машинного времени и памяти позволяют рассмотреть вопрос о возможности применения предложенной методики для выбора рациональных форм элементов поверхностей летательных аппаратов, энергетических и промышленных установок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоцерковский С.М., Ништ Н.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М. Наука, 1978. 352 с.

2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус», 1995. 520с.

3. Woodward F.A. An Improved Method For The Aerodynamic Analysis Of Wing-Body-Tail Configurations In Subsonic And Supersonic Flow. Washington: NASA CR-2228, 1973. 130 p.

Тимофеев Валерий Николаевич -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана

Бушуев Александр Юрьевич -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана

Статья поступила в редакцию 1.02.12, принята к опубликованию 12.03.12