МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С АГРЕССИВНОЙ СРЕДОЙ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.03

DOI 10.24411/2686-7818-2020-10052

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С АГРЕССИВНОЙ СРЕДОЙ

© 2020 В.В. Петров, Р.В. Мищенко, Д.А. Пименов, О.А. Горбачева*

Статья носит обзорный характер. BIM технологии предполагают создание и управление информацией на всех стадиях жизненного цикла объектов строительства. Приобрела актуальность проблема описания эволюции жизненного цикла несущих конструкций еще на стадии проектирова -ния и определение их долговечности. Для определения долговечности строительных конструкций расчетным путем необходимо создавать математические модели взаимодействия нагруженных конструкций с агрессивной внешней средой. Анализируются различные подходы к созданию математических моделей, учитывающих особенности взаимодействия конструкций с агрессивными средами.

Ключевые слова: информационные технологии, теория познания, долговечность, математические модели, агрессивные среды, методы расчета долговечности конструкций.

Федеральный закон от 30.12.2009 г. №384-ФЗ (редактирован 2.07.2013 г.) «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений» регламентирует комплекс требований для обеспечения механической безопасности зданий и сооружений на протяжении всего их жизненного цикла. Необходимость освоения технологий BIM уже осознана многими участниками проектно-строительной отрасли и признана на государственном уровне. В марте 2014 года по результатам заседания президиума Совета при Президенте Российской Федерации по модернизации экономики и инновационному развитию России (Протокол №2 от 04 марта 2014 г.) Минстрою России, Росстан-дарту, совместно с Экспертным советом при Правительстве Российской Федерации и институтам развития было поручено разработать и утвердить план поэтапного внедрения технологий информационного моделирования в области промышленного и гражданского строительства. В декабре 2014 г. соот-

ветствующий План был утвержден Министерством строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ (Приказ № 926/пр от

29.12.2014 г., затем приказом №151/ от

04.03.2015 г. были утверждены корректировки Плана).

Информационные технологии начали бурно развиваться в конце XX - начале XXI века и начал формироваться новый подход в архитектурно-строительном проектировании, который заключался в создании компьютерной модели нового здания или сооружения, которая должна нести в себе все сведения о будущем объекте - так называемая информационная модель здания (сооружения), которая должна сопровождать весь жизненный цикл здания. В соответствии с текущим состоянием здания информация, содержащаяся в информационной модели, может изменяться, дополняться, заменяться.

BIM (Building Information Modeling - информационное моделирование зданий и сооружений) является процессом создания и

* Петров Владилен Васильевич (vvp@sstu.ru) - академик РААСН, Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теория сооружений и строительные конструкции»; Мищенко Роман Викторович - кандидат технических наук, доцент; Пименов Дмитрий Алексеевич - ассистент; Горбачева Ольга Александровна - аспирант; все - ФГБОУ ВО СГТУ им. Гагарина Ю.А. (Саратов, Россия).

управления информацией на всех стадиях жизненного цикла объекта строительства. Одна из наиболее распространенных трактовок определяет BIM как процесс коллективного создания и использования информации о здании или сооружении, формирующий основу для решений на протяжении всего его жизненного цикла (от планирования до выпуска проектной, рабочей документации, строительства, эксплуатации и сноса). Приобрела актуальность проблема описания эволюции жизненного цикла несущих конструкций еще на стадии проектирования и определение их долговечности.

Для решения поставленной проблемы и, в частности, определения долговечности строительных конструкций расчетным путем необходимы новые знания. Рассмотрим кратко, как же приобретаются новые знания.

Поиск наиболее общих закономерностей в природе, на базе которых строится любая наука - одна из задач философии. Именно она должна предложить обоснованный метод построения наук. Основой любого научного построения является метод. Наука эффективна только тогда, когда используемый ею метод адекватен устройству мироздания. За всю историю своего развития теория познания предложила три научных метода:

а)статистический,

б) метод пространственно-временного детерминизма,

в) аксиоматический.

Статистический метод основан на положении, что развитие материального мира вне разума осуществляется методом проб и ошибок и статистических выборок из множества возможностей, некоторые из которых оказываются адекватными дальнейшим де -терминированным схемам развития. Это - так называемый стохастический процесс.

Фундаментом метода пространственно-временного детерминизма (классического материализма) является реальность пространственно-временного феномена, в котором все события по факту развиваются по единственной схеме. Это обстоятельство

служит обоснованием постулата об объективности и детерминистичности явлений в окружающем нас мире.

Способ познания заключается в экспериментальном обнаружении законов, имеющих отношение только к области исследования в конкретном эксперименте. На каждом из этапов познания необходимо экспериментальным путем установить те закономерности, которые являются справедливыми в области проведенного эксперимента. По мере получения новых экспериментальных данных закономерности уточняются. Поэтому каждая последующая теория содержит в себе предыдущую теорию, как частный случай.

Конструктивное содержание классического понятия материализма:

❖ всё в этом мире материально, а формами существования материи являются пространство и время;

❖ разум способен познавать любые проявления материального мира;

❖ процесс познания бесконечен (разум всегда будет способен создавать модели реальности, детерминированные в пространстве и времени).

Следовательно, классический материализм - это признание детерминизма в мире а, следовательно, и в процессе познания.

Аксиоматический метод изначально был присущ только математике. В двадцатом веке он нашел применение в физике. Однако оказалось, что методы классического материализма не применимы к явлениям микромира. Существует некая область явлений, в которой не могут быть поставлены эксперименты по проверке положений, лежащих в основе теории. Проверяться могут только следствия этих положений. Это так называемые критические эксперименты.

Аксиоматическая система построения законов альтернативна эмпиризму. В математике она действует изначально, в физике - практически с начала прошлого века. Значение аксиоматики для всех наук осознал и занимался обоснованием этой проблемы выдающийся математик Давид Гильберт.

Чем она хороша? В аксиоматической системе необходимо установить некие общие принципы, из которых конкретные эмпирические, законы следуют автоматически как частные случаи. Практически они становятся просто теоремами. И нет причин обсуждать, верны они или нет. Обсуждать можно только исходные аксиомы. Законы природы во всех системах координат должны иметь одинаковый вид и таких фундаментальных принципов достаточно много. В этих условиях эмпирика становится всего лишь частным случаем некоторых, весьма общих утверждений. Все эмпирические законы превращаются просто в теоремы. Аксиоматический метод сегодня является единственным в науке, и по мере развития наук другого способа познания мы иметь не будем.

Детерминированные процессы естествознания описываются законами. Их база - это экспериментальные результаты, условия получения которых определяют область применимости законов. При переходе в иную область явлений меняются условия, а с ними и законы. До начала XX века вся наука была чисто эмпирической. Ученые экспериментально устанавливали некоторые закономерности в определенных областях окружающего мира и применяли их в своей деятельности. Поэтому возможность прогнозирования за пределами тех областей, где эти законы были открыты, была минимальной. Поэтому и законов было много.

Расчет долговечности конструкций

Строительные конструкции во время эксплуатации подвергаются воздействию многих факторов. Сразу после изготовления материал конструкции начинает стареть, с течением времени могут измениться нагрузки, конструкция подвергается переменному воздействию высоких и низких температур, агрессивных по отношению к примененным материалам рабочих сред и т.д. В результате этого прочностные и деформационные характеристики материала конструкции со временем изменяются, как правило, в худшую сторону, материал деградирует.

Под термином деградация будем понимать процесс ухудшения с течением времени полезных механических характеристик материала под влиянием внешней среды. Под внешним воздействием будем понимать приложенную нагрузку, время действия нагрузки, агрессивную для материала внешнюю жидкую или газообразную среду, температурные изменения, естественное старение материала и тому подобное.

Весьма распространенными материалами для изготовления разнообразных конструкций являются металлы и их сплавы. Коррозионное поражение металлических конструкций наблюдается повсеместно: в атмосфере, в грунте, в речной и морской воде, в технологических и рабочих средах различных производств, то есть там, где могут находиться агрессивные вещества, которые, взаимодействуя с металлами, постепенно их разрушают.

Распространенный вид коррозии - ржавление металла, которое сопровождается изменением толщины конструктивного элемента. По оценкам Национального бюро стандартов США на восполнение коррозионных потерь расходуется около 40% ежегодно производимого металла. Есть и косвенные потери, связанные с авариями из-за неумения определить расчетным путем долговечность элементов конструкций, работающих в этих условиях, загрязнением окружающей среды и человеческими жертвами. Часто встречаются коррозионные процессы, которые скрытно развиваются в толще материала конструкции и почти не оставляют следов на ее поверхности. Это означает, что в этих случаях микроповреждения, микротрещины накапливаются в толще материала. С течением времени плотность микроповреждений достигает критических значений и микротрещины образуют магистральную трещину. Для конструктивного элемента это и будем называть опасным состоянием.

Повреждение металлов в коррозионной среде происходит по-разному: материал полностью или частично растворяется; про-

дукты коррозии образуются на поверхности (ржавление); возникают локальные разрушения (питтинг, трещины); некоторые физико-механические свойства металлов могут изменяться без заметных следов на поверхности (например, водородное охрупчивание). Наличие напряженно-деформированного состояния изменяет скорость коррозионного поражения. Во многих средах (хлоридных, щелочных, сероводородных и ряде других) коррозионные потери металла не характеризуют работоспособность конструкции, так как в этих средах происходит растрескивание металла и за критерии работоспособности принимают склонность металла к коррозионному растрескиванию, для чего анализируются экспериментальные зависимости времени до растрескивания от величины растягивающего напряжения.

Результаты экспериментов свидетельствуют, что склонность стали к растрескиванию с повышением ее твердости, предела текучести и величины внутренних напряжений усиливается. Результатом воздействия агрессивных сред является ухудшение прочностных и деформационных характеристик материала в результате сорбционных процессов (при наводораживании, межкристал-литной коррозии, радиационном воздействии).

Коррозионное воздействие - это комплексный процесс, в котором необходимо учитывать влияние температуры, времени, эрозионных, сорбционных, кавитационных и других процессов. Специфические особенности коррозии определяют причину, характер, кинетику и механизм повреждений. С точки зрения термодинамики, коррозионные процессы являются необратимыми, а получить оценку протекания коррозионного процесса с позиций термодинамики оказывается затруднительным.

Деградация свойств материала происходит в пространстве и во времени. Далее принимаем гипотезы об однородности и изотропности пространства и однородности времени. Однородность пространства означает отсутствие избранных точек начала отсчета,

а однородность времени означает, что изменения в физических процессах не зависят от выбора начального момента времени. Изотропность пространства означает, что в нем нет преимущественных направлений.

С учетом этих гипотез необходимо рассматривать и основные законы механики твердого деформируемого тела, в том числе и закон сохранения энергии, в соответствии с которым в изолированной системе во всех процессах суммарная энергия не изменяется, хотя энергии элементов, составляющих эту систему, могут изменяться. Энергия элементов, составляющих систему, определяется их характерными физическими параметрами.

При взаимодействии внешней среды с материалом конструкции энергию полной системы будем рассматривать в виде суммы энергии внешней среды и внутренней энергии материала конструкции. Энергия внешней среды направлена на деформирование материала и сопровождается нарушением в нем внутренних связей. В соответствии с законом сохранения энергии системы энергия внутренней среды (материала конструкции) направлена на сопротивление деформациям и нарушениям внутренних связей в материале конструкции.

Наиболее информативной экспериментальной характеристикой материала следует считать диаграмму деформирования. В ней отражаются все процессы, которые происходят в материале, при его взаимодействии с агрессивной средой. По изменению диаграммы деформирования можно судить о пределе прочности и деформационных свойствах материала, о его способности к упрочнению или разупрочнению, степени агрессивности внешней среды по отношению к рассматриваемому материалу. Наибольшие изменения наблюдаются в области площадки текучести (уменьшение вплоть до полного исчезновения), кривой упрочнения (замедленное понижение и укорачивание). На начальном (упругом) участке кривой деформирования качественные изменения несущественны (несколько изменяется мо-

80 60 40 20

0 1 2 3 4 5 st Рис. 1

дуль упругости как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения).

В качестве примера на рис. 1 приведены диаграммы деформирования образцов полиэфирного бетона [1], выдержанных различное число суток в жидкой среде 20% раствора едкого натрия - интенсивность

напряжений, е - интенсивность деформаций). Из графиков видно, что ординаты кривых деформирования с увеличением времени выдержки в агрессивной среде уменьшаются, то есть наблюдается их деградация, а кривые деформирования являются функциями времени взаимодействия материала с

агрессивной средой = /(е,?).

Во время эксплуатации элементы строительных конструкций и технологического оборудования взаимодействуют с той или иной агрессивной средой. Постепенно на поверхности конструкции и в ее объеме в материале происходит нарушение внутренних связей, что приводит к изменению прочностных характеристик, накоплению рассеянных повреждений и в материале появляются рассеянные микротрещины. Эти микротрещины с течением времени, образуют магистральные трещины, скорость роста которых велика. Возникает аварийная ситуация. В связи с этим еще на стадии проектирования возникает проблема определения расчетным путем времени от начала ее эксплу-

атации до момента наступления опасного состояния. Это позволит определить срок планового ремонта конструкции или ее замены. Из-за неумения определять долговечность элементов конструкций могут иметь место косвенные потери, связанные с загрязнением окружающей среды и авариями, часто с человеческими жертвами. Время с начала эксплуатации конструкции и до момента наступления опасного состояния будем называть долговечностью конструкции.

В работах ряда ученых используются подходы, основанные на методах механики сплошной среды, в частности, на теории структурных параметров. Анализ имеющихся экспериментальных данных показал, что во многих случаях взаимодействие нагруженной конструкции с агрессивной средой сводится к следующей схеме. В материале конструкции под действием нагрузки протекают два влияющие друг на друга процесса: деформирование и микроразрушение. Деформирование происходит как за счет ползучести материала, так и за счет роста числа дефектов, микротрещин и других повреждений, которые, оказывая влияние на механические характеристики материала, приводят к развитию деформаций. Агрессивная среда, проникая в объем материала конструкции, вступает в химическое взаимодействие с материалом, в результате чего его механические характеристики изменяются, влияя, тем самым, на процессы деформирования и

микроразрушения материала. В свою очередь, процессы деформирования и микроразрушения оказывают влияние на кинетику диффузии агрессивной среды и скорость ее взаимодействия с материалом.

О математических моделях

В прикладных исследованиях построение математической модели - это один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Бытует выражение, что правильно выбрать модель - значит решить проблему более чем наполовину. Трудность этого этапа состоит в том, что он требует активного сочетания математики и специальных инженерных знаний.

Содержание понятий «модель», «моделирование» в различных областях человеческой деятельности весьма разнообразно. Существенным является то, что модель должна более или менее точно имитировать оригинал по выбранной системе характеристик. Моделирование, то есть построение уравнений или иных математических выражений, нацеленных на решение задачи средствами математики, используется любой наукой. Так как модель строится для имитации лишь части свойств объекта, то, как правило, она оказывается проще его.

Взаимодействие материалов с агрессивными средами имеет сложную и разнообразную физико-химическую природу, поэтому необходим феноменологический подход, позволяющий на основе экспериментальных данных строить математическую модель этого взаимодействия, не требуя полной ясности в содержании всех тех физико-химических процессов, которые протекают при этом взаимодействии. Часто при построении математических моделей необходимо осмысление результатов целенаправленных экспериментов, требования к которым формулируются в процессе создания модели.

В связи с этим при использовании феноменологического подхода большое значение приобретают экспериментальные исследования и целенаправленная программа их проведения в интересах специалистов-рас-

четчиков. Целью программы экспериментальных исследований должно быть накопление и анализ тех данных, которые необходимы для формулирования упрощающих гипотез необходимых для построения математической модели и осуществления ее корректной идентификации.

Моделирование процесса взаимодействия материала напряженной конструкции с агрессивной средой осложняется рядом обстоятельств. Во-первых, порой трудно добиться необходимых условий проведения лабораторных экспериментов, идентичных тем натурным условиям, в которых работает конструкция. Во-вторых, информацию, полученную при исследовании образцов в лабораторных условиях в условиях простого одноосного напряженно-деформированного состояния, необходимо использовать для предсказания поведения конструктивных элементов, находящихся в условиях сложного напряженно-деформированного состояния. Поэтому приходится дополнительно формулировать условия эквивалентности. Эти условия выражаются через инвариантные величины: удельную энергию деформирования, интенсивность напряжений или деформаций и тому подобное. От правильного выбора этих условий зависит надёжность результатов, получаемых для различных видов напряженно-деформированного состояния. В-третьих, эксперименты должны быть повторяемыми, то есть их результаты, полученные разными авторами, должны совпадать.

Влияние агрессивной рабочей среды на материал конструкции отличается разнообразием, поэтому в рамках общей модели учесть это разнообразие невозможно. Речь может идти о построении частных моделей, объединенных общими похожими результатами воздействия, выявленными экспериментальным путем. Однако у всех моделей будет и нечто общее: воздействие агрессивных сред на однородный исходный материал делает его неоднородным и его физико-механические характеристики с течением времени изменятся вдоль пространственных

координат. Это явление будем называть наведенной неоднородностью свойств материала. Таким образом, под наведенной неоднородностью будем понимать появление развивающейся во времени неоднородности физико-механических характеристик материала нагруженной конструкции под влиянием факторов рабочей среды (агрессивных жидкостей и газов, физических сред, радиационного облучения и т.д.).

Расчет и проектирование элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивной средой, возможно при условии создания адекватных математических моделей, на основе упрощающих гипотез. Заметим, что при создании математической модели большую роль играет также «здравый смысл», интуиция инженера, которые развиваются, на основе накопленного и систематизированного опыта.

В прикладном математическом исследовании можно выделить следующие этапы:

1) путем неформального обсуждения строится математическая модель, которая будет эффективной в том случае, если мы четко представляем себе все аспекты рассматриваемой физической задачи. Важно однозначно сформулировать, что мы хотим узнать;

2) выбирается метод исследования сформулированной математической модели;

3) выполняется математическое исследование, и проводятся приближенные вычисления;

4) полученные вычисления анализируются, а полученный математический результат интерпретируется физически.

Все эти этапы тесно связаны между собой. Математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения математической задачи, однако в процессе математического исследования или интерпретации полученного результата может потребоваться ее уточнение или даже изменение.

Исследовательские модели условно можно подразделить на две группы: экспериментальные (предметные) и теоретические (умозрительные). Умозрительные физи-

ческие модели имитируют реальный объект с использованием языка и средств физики и математики. Они дают упрощенное описание реального объекта путем мысленного отвлечения от многих свойств оригинала и выделения тех его особенностей, которые представляют интерес для исследователя. Академик АН СССР Седов Л.И. отмечал, что в физике и механике теоретическое моделирование обычно касается двух главных аспектов: а) построение моделей полей и веществ; б) моделирование постановок задач в рамках этих моделей. Например, в механике при теоретическом моделировании широко используются такие понятия, как материальная точка, абсолютно твердое тело, упругая или пластическая среда и тому подобное. Эти абстракции имеют значение фундаментальных моделей механики.

После того как умозрительная физическая модель создана, переходят к построению математической модели. Математической моделью достаточно сложного объекта служит обычно система уравнений в широком смысле этого слова (алгебраических, дифференциальных и т.д.). Один и тот же объект может иметь несколько неэквивалентных моделей, которые можно описывать с помощью непрерывных или дискретных, детерминированных или стохастических моделей. Сравнение результатов исследования с помощью моделей разного типа может повысить их достоверность.

Общие контуры математической модели определяются уже на этапе умозрительного физического моделирования, однако и после его завершения полезно рассматривать их различные модификации: оставлять в уравнениях одни члены и отбрасывать другие; нелинейные зависимости заменять линейными, сложные геометрические формы - простыми. В некоторых случаях умозрительная физическая модель представляется в виде схематического чертежа, называемого расчетной схемой (расчетная схема стержневой системы в строительной механике).

Описанный путь построения математической модели с помощью умозрительного

моделирования можно назвать классическим. Однако используется и укороченный путь, когда свойства оригинала устанавливаются без анализа его внутренней структуры и свойств элементов, а с помощью прямых наблюдений лишь над входными и выходными параметрами. Такую модель называют моделью черного ящика.

Формулируя математическую модель, мы всегда идеализируем характер одних факторов, и пренебрегаем влиянием других, которые считаем несущественными. Эти факторы называют неучитываемыми. Выбор адекватной модели необходимо увязывать с характером и масштабом неучитываемых факторов, которые могут, не только количественно, но и качественно влиять на свойства математической модели. В частности, это относится к проблемам, связанным с исследованием устойчивости конструкций.

При построении математической модели используются различные соотношения, связывающие параметры или функции, интересующие исследователя. Некоторые соотношения выводятся в процессе построения модели, другие принимаются без вывода и их называют постулатами модели или исходными гипотезами. Некоторые постулаты вытекают из универсальных физических законов, таких, как законы Ньютона, законы сохранения вещества и энергии и так далее. Адекватность используемых постулатов не должна вызывать сомнений.

При построении моделей необходимо формулировать и использовать феноменологические гипотезы. Гипотеза - это недоказанное предположение, без которого невозможно объяснить рассматриваемое явление. После проверки их полезности для описания результатов опытов гипотезы называют научной истиной или законами природы. Эти законы можно подразделить на две группы: в первую группу входят физические зависимости универсального характера, которые справедливы для любых тел; вторая группа закономерностей определяет частные свойства рассматриваемой среды.К закономерностям первой группы относятся законы сохранения - массы,

количества движения, энергии и ряд других. Закон сохранения энергии и баланса энтропии относятся к законам феноменологической термодинамики.

Однако, универсальных физических законов в большинстве исследований недостаточно и при построении математической модели приходится использовать феноменологические законы, достаточно хорошо эмпирически обоснованные, но с ограниченной областью действия, установленной также эмпирически. Таким примером в механике может служить обобщенный закон Гука, имеющий ограниченную область применения. Использование феноменологических законов требует ответа на центральные вопросы - возможность попадания объекта в область применимости закона и о возможных последствиях при отклонении от этого закона.

При построении математической модели большое значение приобретает выбор системы независимых величин, достаточно полно характеризующих поведение модели -руемого объекта. Такие величины называют определяющими параметрами. Их удачный выбор может определить успех исследования. Академик АН СССР Седов Л.И. определил, что для механических систем понятие об определяющих параметрах и об их числе является обобщением понятия о степенях свободы и о независимых координатах. Таким образом, термин «число степеней свободы» можно понимать в широком смысле, понимая под ним общее число определяемых параметров. Так как значимость различных определяющих параметров для интересующей нас характеристики может значительно различаться, то модель можно упростить (огрубить) и после выбора определяющих параметров составить между ними замкнутые математические соотношения. Очень важным элементом моделирования сплошных сред является выбор феноменологических зависимостей между напряжениями и деформациями (для упругой среды, упруго-вязкой, упругопластического твердого тела или для более сложной реологической модели).

При переходе от реального объекта к модели задают ожидаемую степень адекватности модели, которую называют внешним правдоподобием. Оно характеризует соответствие математической модели изучаемому реальному объекту по интересующим нас свойствам. Затем оценивается внутреннее правдоподобие, которое характеризует ожидаемую степень адекватности по отобранным изучаемым характеристикам.

Для выяснения соотношения между внешним и внутренним правдоподобием, при фиксированном выборе математической модели, центральным является вопрос о разумных требованиях к внутреннему правдоподобию модели, от которых зависит выбор метода ее исследования. Существуют две точки зрения. Большинство авторов прикладных исследований утверждают, что бессмысленно искать слишком точные решения уравнений, при составлении которых реальная картина была огрублена. Необходимо учитывать, насколько повышение затрат труда на увеличение внутреннего правдоподобия окупится ожидаемым повышением итоговой адекватности решения относительно реального объекта. Другая точка зрения была высказана Д. Гильбертом и А.М. Ляпуновым, которые утверждали, что после того, как прикладная задача сформулирована на математическом языке, ее надо решать на уровне чистой математики. Это означает, что внутреннее правдоподобие должно быть максимальным независимо от уровня внешнего правдоподобия.

В подавляющем числе случаев принимают первую точку зрения и соизмеряют строгость решения с внешним правдоподобием. Можно сказать, что здесь содержится принцип соответствия внешнего и внутреннего правдоподобия, аналогичный известному правилу приближенных вычислений: степень точности вычислений должна соответствовать степени точности исходных данных. Часто предпочтение отдается образу дей -ствий, при котором в процессе построения решения модель может корректироваться в зависимости от обстоятельств и желательного уровня точности.

Основной метод упрощения уравнений связан с прикидочным сравнением влияния их отдельных слагаемых на поведение модели в изучаемом диапазоне изменения переменных и параметров задачи. Затем относительно малые слагаемые в уравнениях можно совсем отбросить или упростить, если есть основания ожидать, что это не внесет в интересующую характеристику ни качественных, ни существенных количественных изменений. Аналогичным образом производятся и иные упрощения уравнений, например, замена нелинейной зависимости на линейную.

При согласовании уровней внешнего и внутреннего правдоподобия одним из центральных является вопрос о выборе точности вычислительного метода решения уравнений. Степень точности вычислений должна соответствовать степени точности исходных данных. Вычислительный метод должен быть по возможности простым, но позволять учитывать все существенные факторы. Для прикладной математики характерно искусство грубого решения сложных задач, основанное на опыте, интуиции и понимании реальной картины. Встречаются работы, в которых к грубой математической модели применяются громоздкие вычислительные методы, дающие высокий уровень точности решения математической задачи, которые более уместны для точных моделей. При этом получаем ложную иллюзию точности решаемой задачи, которая подкрепляется лишними значащими цифрами в результатах вычислений.

Нелинейные модели

При решении большинства задач обнаруживается, что для более или менее широкого диапазона изменения параметров реальные зависимости являются нелинейными. Предположения о линейности этих зависимостей обычно имеет характер допущения. Широкое распространение предположения о линейности задачи вызвано тем, что оно является простейшим и начинать надо именно с него, особенно в случае недостат-

ка информации об реальных зависимостях. Кроме того, такое предположение часто имеет высокую степень адекватности.

С другой стороны, многие математические методы исследования уравнений приспособлены для решения линейных задач, что подталкивает к применению линейных схем, даже если известно, что реальная зависимость значительно отличается отлинейной. При этом надеются, что не учет нелинейности не сильно изменит результат, что имеется возможность компенсации погрешности путем соответствующего подбора коэффициентов в линейной зависимости, что решение в дальнейшем можно уточнить.

Расчет конструкций при воздействиях, нарушающих внутренние связи материала, в общем случае связан с учетом трех видов нелинейностей: геометрической нелинейности, нелинейной диаграммы деформирования материала, изменениями физико-механических свойств материала, которые обычно носят нелинейный характер. Совокупность статических, геометрических, физических и кинетических уравнений в совокупности с граничными и начальными условиями порождает нелинейное операторное уравнение, содержащее выбранный набор параметров и функций, определяющих поставленную задачу, которое и выполняет роль математической модели.

Решение сложных задач стало возможным лишь с применением разнообразного математического аппарата, и особую роль приобрела современная вычислительная техника и соответствующее программное обеспечение. Нет сомнения в том, что в процессе математизации, произойдет усложнение математических моделей, что потребует разнообразия математических методов их реализации. Математические методы непрерывно изменяются и совершенствуются как в результате изменения потребностей естественных наук, так и в силу внутренних законов присущих самой математике.

Следующий этап связан с выбором метода реализации полученной нелинейной математической модели. Методы реализа-

ции условно можно разделить на две группы - решение в полных функциях или в приращениях функций (инкрементальные методы). Развитие работ по данному направлению связано с применением метода последовательного возмущения параметров (МПВП) и его развитием [2-3].

Для получения инкрементальных уравнений математическую модель запишем в виде операторного уравнения:

А (щ,..., ип к ) = 0

где A - нелинейный положительно определенный оператор в гильбертовом простран-

стве, и

1,..., ип минимальное число переменных, достаточных для однозначной идентификации модели, а1,...,ак — независимые параметры модели, определяющие всевозможные воздействия на конструкцию со стороны внешней среды в период ее эксплуатации. Вектор переменных определяет состояние описываемого объекта в пространстве (например, это вектор перемещений при решении задачи в перемещениях), независимые параметры могут иметь различную природу, среди них могут быть различные геометрические, физические параметры и, в том числе, внешняя нагрузка. Если малое изменение одного из параметров приведет к малому изменению переменных, то такой параметр называется ведущим, а само состояние называется возмущенным. Если, например, за ведущий параметр принят параметр внешней нагрузки ак = q, то инкрементальное уравнение на у +1 этапе изменения ведущего параметра будет иметь вид

А(и1,у >...>ип,у ,а1,у ,...,аш,у )(Аи1,у^...,

кип, у+1) —Aqу+1 = о

Это рекуррентное уравнение названо в [3] уравнением метода последовательных возмущений параметра (МПВП). Левая часть этого уравнения представляет собой дифференциал Гато исходного нелинейного оператора А.

Применение МПВП сводит задачу к решению инкрементальной системы уравнений инвариантной относительно широкого класса математических моделей, описывающих взаимодействие агрессивных сред и материалов конструкций. Линеаризованная инкрементальная система уравнений содержит ряд параметров и функций, которые могут быть разделены на три принципиально различные группы:

❖ параметры, которые возмущаются последовательно в силу принятой стратегии решения поставленной нелинейной задачи. Их возмущение имеет необратимый характер;

❖ параметры, связанные с процессом развития деградации физико-механических свойств материала;

❖ параметры, связанные с историей процесса деформирования физически нелинейного материала.

Последовательное решение линеаризо -ванных уравнений при выбранной стратегии возмущения параметров дает возможность получить решение сформулированной нелинейной задачи.

Такая методика в совокупности с численными методами позволила исследовать ряд интересных задач. Были получены уравнения для стержневых систем, тонкостенных пластинок и оболочек, и других конструкций. Рассмотрен ряд задач, как с поверхностной коррозией, так и с накоплением повреждений в толще материала, вызванных действием агрессивной среды. В результате была сформулирована и развита теория наведенной неоднородности [3].

Возможны два направления исследований. Одно из них связано с построением моделей, инвариантных к парам «материал - среда», использованием этих моделей и поиском конкретных областей их применения. Второе направление связано с детальным анализом экспериментальных данных кинетики взаимодействия конкретных пар «материал - среда», построением, идентификацией и использованием моделей, корректно описывающих поведение материалов

и конструкций из них в соответствующих средах.

Теория структурных параметров

Согласно теории структурных параметров для любого процесса, происходящего в сплошной среде, может быть построено некоторое уравнение состояния, из которого характеристики процесса определяются как функции параметров внешнего воздействия. Для определения структурных параметров формулируются кинетические уравнения, которые позволяют учесть историю их изменения. При построении таких уравнений полагают, что макроскопические структурные параметры можно вводить формально, но при необходимости им можно придать и определенный физический смысл. Используя эти уравнения, можно определить характеристики процессов деформирования и микроразрушения, не исследуя при этом микроструктуру материала. В общем же случае структурные параметры вводятся в виде дополнительных гипотез, опирающихся на результаты экспериментальных исследований.

К физическим уравнениям необходимо добавить кинетические уравнения, отражающие изменения во времени размеров конструктивного элемента или свойств материала, вызванных воздействием агрессивной внешней среды. При взаимодействии материала с агрессивной средой, параметры, характеризующие свойства материала будут изменяться во времени по экспериментально определяемым законам.

Кинетические уравнения представляют собой математическую модель изменения во времени того или иного параметра конструкции или материала, из которого она выполнена, и не описывают те физико-химические процессы, которые вызвали эти изменения. Они опираются лишь на гипотезы и предположения феноменологического характера, являются математической формализацией полученных экспериментальных данных и должны отличаться математической простотой. Поэтому кинетические уравнения

не могут претендовать на большую общность, и пригодны лишь для получения разумного приближения при описании ограниченного класса явлений.

Как построить математическую модель методом структурных параметров. В фундаментальную систему уравнений, описывающую напряженно-деформируемое состоя -ние конструкции, вводятся дополнительные параметры (функции) учитывающие изменение толщины (поверхностная коррозия, коррозионный износ), либо функции определяющие скорость накопления рассеянных микроповреждений, либо изменения механических свойств материала, либо связанные с эволюцией кривой деформирования. Если под влиянием агрессивной среды прочностные и деформационные свойства материала ухудшаются, то эти функции называют деградационными функциями. Деградаци-онные функции вводятся в физическую группу уравнений фундаментальной системы уравнений. Для того, чтобы число неизвестных соответствовало числу уравнений необходимо пополнить фундаментальную систему уравнениями, описывающими скорость изменения деградационных функций в зависимости от параметров, получаемых в результате экспериментальных исследований. Функции деградации могут носить интегральный характер или определяться из дифференциальных уравнений.

Проблема замыкания уравнений механики сплошной среды базируется на учете физических свойств этой среды. Обозначим

через £ = {£,...,£„}

совокупность немеха-

мени параметры

z( t)

объема, а если тензор напряжений задан как функция времени, то задан процесс нагру-жения элементарного объема.

Таким образом, в соответствии с постулатом макроскопической определимости [45], для заданной физической среды должны существовать функционалы вида

s t )=та( e t) ¿( t))

нических параметров, влияющих на механические свойства среды. В любой момент времени форма элементарного объема в окрестности произвольной точки тела определяется тензором деформаций. С течением вре-

изменяются, что при-

водит к изменению величины тензоров напряжений и деформаций. Если тензор деформаций задан как функция времени, то задан процесс деформации элементарного

Это означает, что тензор напряжений зависит не только от значений тензора деформаций и величин немеханических параметров в текущий момент времени, но зависит и от всех их значений в предшествующие ему моменты времени. Если задан процесс на-гружения, то тензор деформаций однозначно определяется функционалом

те( t ) = Te(Ts( t) z( t ))| t

lr0

Конкретизация функционалов осуществляется при изучении физических свойств рассматриваемых сред. Параметры Z(t) считаются заданными функциями времени. В действительности часто они сами являются искомыми и могут зависеть от протекания

процесса Ts (t). В этом случае необходимо

дополнительно привлекать законы термодинамики, диффузии и другие физические законы, известные для немеханических параметров. Явный вид параметров Z(t) создается материаловедами в результате экспериментальных исследований. При численной реализации удобно придать функционалам, инкрементальный вид, используя временной инкремент Dt или инкременты других немеханических параметров, изменяющихся во времени.

Согласно теории структурных параметров для любого процесса, происходящего в сплошной среде, может быть построено уравнение состояния, из которого характеристики процесса определяются как функции параметров внешнего воздействия и других

структурных параметров. Для структурных

параметров формулируются кинетические уравнения, которые позволяют восстановить историю нагружения. При построении таких уравнений обычно считают, что макроскопические структурные параметры можно вводить формально, но при необходимости им можно придать и определенный физический смысл. Эти уравнения позволяют определить характеристики процессов деформирования и микроразрушения, не исследуя при этом микроструктуру материала. В общем же случае структурные параметры вводятся в виде гипотез, опирающихся на экспериментальные исследования.

Кинетические уравнения представляют собой математическую модель изменения во времени того или иного параметра конструкции или материала, из которого она выполнена, и не описывают те физико-химические процессы, которые вызвали эти изменения. Они опираются лишь на гипотезы и предположения феноменологического характера, являются математической формализацией полученных экспериментальных данных и по возможности должны отличаться математической простотой. Поэтому кинетические уравнения не могут претендовать на большую общность, и пригодны лишь для получения разумного приближения при описании ограниченного класса явлений.

Коррозионный износ (поверхностная коррозия)

В 1987 году была опубликована монография [2], в которой применительно к расчету конструкций в общем виде были сформулированы различные подходы к учету воздействия коррозионных сред, особое внимание было уделено вопросам коррозионного износа. В частности, в ней рассмотрены диффузионные модели коррозионного разрушения, пригодные для тех случаев, когда под действием агрессивной среды образуется слой, пораженный коррозией, механические характеристики которого плавно изменяются по толщине конструкции.

Пусть § — глубина разрушенного коррозией слоя материала конструкции. Рассмот-26

рим три возможных группы моделей учета коррозионного разрушения:

1) изменение глубины коррозионного разрушения зависит только от времени взаимодействия материала со средой

8 = f (t) . Самая

простая модель в этом слу-

чае получается, если не учитывать в расчете пораженный коррозией материал конструкции, что приводит к модели, в которой геометрические размеры сечения конструктивного элемента уменьшаются с течением времени по закону, определяемому экспериментально;

2) изменение глубины коррозионного разрушения материала зависит от нескольких характеристик агрессивной среды.

Пример: § = /(?,Т,В), где Т — температура, В - концентрация агрессивной среды;

3) несколько различных параметров, характеризующих степень коррозии, зависят от времени контакта элемента конструкции с

агрессивной средой § = /(Т(t),В(Т)) .

Различные варианты моделей коррозионного износа подобного типа обсуждаются в [2-3]. Ряд авторов экспериментальным путем определяли зависимости скорости коррозии от параметров модели. Например, экспериментально установлено, что скорость коррозии низколегированной стали

изменяется по закону Л§ / Л = at( , где

показатель степени ( зависит от агрессивности среды, а коэффициент а - от состава стали. В этих и аналогичных моделях влияние напряженного состояния на процесс коррозионного разрушения не учитывались. Однако во многих случаях это влияние может оказаться столь значительным, что им пренебрегать нельзя. Модель, учитывающая влияние напряженного состояния на скорость коррозионного разрушения, в общем случае можно представить в виде дифференциального уравнения Л§ / Л = /(tс начальным условием § = 0, если t = 0.

|1

Здесь & — некоторая функция, характеризующая напряженное состояние. Вид функции

/ (г,&) определяется по результатам экспериментов и обычно представляется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени, а другая является линейной функцией интенсивности

напряжений &, например

/ (г ,&) = (( г )(а + (&)

Вид безразмерной функции ((г) , а также значения коэффициентов а,( определяются на основании экспериментальных данных. Важно, чтобы функции и коэффициенты можно было бы определить из достаточно простых экспериментов

Теория накопления микроповреждений

Для расчета напряженного состояния и долговечности конструкций при воздействии агрессивной среды в [2-3] использованы различные варианты теории накопления микроповреждений. При этом полагается, что при отсутствии агрессивной среды, в материале не происходит накопления повреждений, и только после начала взаимодействия материала со средой начинается интенсивный процесс их образования и накопления, приводящий к преждевременному разрушению конструкции. Причем считается, что процесс накопления повреждений оказывает влияние на деформирование конструкций, ввиду наличия параметра поврежденности в физических соотношениях. В соответствии с этой схемой рассуждений формулируется задача о длительной прочности элементов конструкций в агрессивных средах.

Введем в рассмотрение условную характеристику - меру накопления рассеянных микроповреждений. В качестве такой меры принимается скалярная функция

((х,у,г,г) , которая носит название сплошность. При отсутствии повреждений ( = 1, а с течением времени, по мере накоп-

ления микроповреждений под действием агрессивной среды, она убывает. Рост дефектов сопровождается уменьшением эффективного сечения и, как следствие, увеличением эффективных напряжений

&эф = &тах / ( . Микроповрежденность такого рода Л.М. Качанов предложил характеризовать скалярным параметром 1 >(> 0 и назвал его сплошностью материала. Скорость изменения поврежденности представляется как функция эффективного напряжения / и кинетическое уравнение будет

и меть ви д

&

/

(

Л.В. Качанов

предложил кинетическое уравнение в виде

степенной зависимости

—А

(

где коэффициенты А > 0, п > 0 определяются из эксперимента. Можно кинетическое уравнение задать в виде

-А ехр

п&

(

Вообще кинетичес-

кие уравнения следует рассматривать не как физические закономерности, а лишь как удобные аппроксимации экспериментальных результатов.

Если нелинейная задача решается в полных функциях и используется теория малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина, то физическое уравнение примет вид

= 2

В& = . Здесь В&,— девиаторы

тензора напряжений и деформаций, Ес = & / е — секущий модуль. Если задача

решается в приращениях функций, то физическое уравнение примет вид

С

Е Щ + ЕВ

Д(

(р

где Ек = с1&1 / — касательный модуль, а

символом Д обозначены приращения соответствующих функций.

Модели, описывающие процесс накопления повреждений в теле, вызванных взаимодействием его материала с агрессивной средой, строятся в следующей последовательности.

1. Вначале выделяется параметр, который может охарактеризовать степень по-врежденности материала конструкции. Затем определяется его место в структуре физических уравнений сплошных сред. Этот параметр будем называть параметром по-врежденности, который может быть объектом различного вида: скаляром, вектором, тензором. Например, при поверхностной коррозии таким параметром может служить глубина каверны или приведённая толщина конструктивного элемента. В качестве параметра поврежденности может выступать характеристика плотности накопления рассеянных микроповреждений в окрестности произвольной точки материала конструкции.

2. На основании имеющихся экспериментальных данных необходимо построить кинетические уравнения, которые связывают скорости изменения параметра повреж-денности с физическими параметрами, агрессивной среды и напряженно-деформированного состояния конструктивного элемента. Это уравнение описывает изменение во времени параметра поврежденности в процессе взаимодействия материала с агрессивной средой. От степени его обоснованности зависит достоверность всей модели. Между процессом необратимого пластического деформирования и процессом накопления повреждений существует определённая аналогия. Оба эти процесса необратимы и их текущее состояние зависит от истории нагру-жения и взаимодействия с агрессивной средой.

3. В зависимости от материала необходимо сформулировать критерий локального разрушения материала, взаимодействующего с агрессивной средой. Для этого экспе-

риментально определяется предельная величина поврежденности (феноменологический подход) или используются обычные теории прочности, которые следует видоизменить так, чтобы в них фигурировал параметр поврежденности, учитывающий влияние агрессивной среды.

4. Формулируется краевая задача, решение которой позволит определить напряженно-деформированное состояние в любой точке конструкции. Краевая задача включает в себя статические, геометрические и физические уравнения механики сплошной среды и соответствующие граничные условия. Кроме того, формулируются кинетические уравнения со своими начальными условиями. После введения необходимых упрощений, продиктованных конкретной задачей, получим совокупность уравнений, позволяющих получить разрешающие уравнения для конструкций различных видов напряженного состояния.

5. Затем необходимо разработать алгоритм численной реализации полученной математической модели. В процессе разработки математической модели вырабатываются требования к той информации, которую необходимо получить экспериментально.

В качестве примера на рис. 2 приведены результаты расчета долговечности пластины, выполненной из полимербетона при действии равномерно распределенной нагрузки. Агрессивная среда - 30% едкий натрий.

Здесь приняты следующие обозначения:

ав (t) — экспериментальная кривая длительной прочности полимербетона контактирующего с 30% едким натрием (агрессивная среда); восходящими кривыми показаны результаты расчета пяти вариантов нагруже-ния пластины в агрессивной среде;

Т1,...,Т5 — время наступления опасного состояния пластины (расчетная долговечность ).

Следует иметь в виду, что расчетная долговечность конструкций представляет собой прогноз деградации материала, из которого

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2020. № 6 (9)

|1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 Рис. 2

она изготовлена, на протяжении жизненного цикла здания, который измеряется десятилетиями. Однако невозможно точно предвидеть какие экологические изменения произойдут в окружающей среде, каковы будут изменения ее агрессивности. Поэтому в течение жизненного цикла зданий и сооружений необходимы промежуточные исследования окружающей среды и внесение соответствующих поправок в расчетную долговечность.

В результате проведенных исследований создана теория наведенной неоднородности, получены уравнения необходимые для расчета и разработана методика их решения. На многочисленных примерах из области тонкостенных пространственных конструкций типа пластин и оболочек исследовано влияние различных нелинейных факторов возникающих при уточнении расчетных схем [3]. Теория может найти применение как при определении долговечности конструкций,

работающих в контакте с агрессивной средой, так и при определении прочностного ресурса конструктивных элементов сооружений при их реконструкции.

Библиографический список

1. Селяев П.В. Диаграммы деформирования композиционных материалов при воздействии жидких агрессивных сред / П.В. Селяев // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. - Саратов: СГТУ, 2006. - С. 46-52.

2. Петров В.В., Овчинников И.Г., Шихов Ю.М. Расчет элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивной средой. - Саратов: Изд-во СГУ, 1987. - 285 с.

3. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика. - М.: Изд-во Инфра-Ин-женерия, 2014. - 480 с.

4. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963.

5. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1971.

Поступила в редакцию 26.10.2020 г.

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2020. № 6 (9)

MATHEMATICAL MODELING OF LONGEVITY THIN-WALLED SPATIAL CONSTRUCTIONS INTERACTING WITH THE AGGRESSIVE ENVIRONMENT

© 2020 V.V. Petrov, R.V. Mishchenko, D.A. Pimenov, O.A. Gorbacheva*

The article is of an overview nature. BIM technologies imply the creation and management of information at all stages of the life cycle of construction objects. The problem of describing the evolution of the life cycle of load-bearing structures at the design stage and determining their durability has gained relevance. To determine the durability of building structures by calculation, it is necessary to create mathematical models of the interaction of loaded structures with an aggressive environment. Various approaches to the creation of mathematical models that take into account the peculiarities of the interaction of structures with aggressive media are analyzed.

Key words: information technology, theory of knowledge, durability, mathematical models, aggressive environments, methods for calculating the durability of structures.

* Petrov Vladilen Vasilievich (vvp@sstu.ru) - Academician of RAABS, Honored Worker of Science of the Russian Federation, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Theory of Structures and Building Structures; Mishchenko Roman Viktorovich - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor; Pimenov Dmitry Alekseevich - Assistant; Gorbacheva Olga Aleksandrovna - Postgraduate; all - Saratov State Technical University named after Yuri Gagarin (Saratov, Russia).

Received for publication on 26.10.2020