CC BY
15
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ ПОМОЩИ АЛЬТЕРНИРУЮЩЕГО МЕТОДА ШВАРЦА
Яковлев Максим Евгеньевич
ассистент кафедры ФН-2, МГТУ им. Н.Э. Баумана, РФ, г. Москва
E-mail: me-yakovlev@rambler.ru
МATHEMATICAL SIMULATION OF DISCRETE CONTACT INTERACTION USING SWARTZ ALTERATING METHOD
Maxim Yakovlev
assistant, Moscow State Technical University, Russia, Moscow АННОТАЦИЯ
В работе рассмотрены особенности построения алгоритма численного решения контактных задач механики деформируемого твёрдого тела в сложных двухмерных областях при точечном контакте. Решение построено в рамках конечно-элементной технологии на основе альтернирующего метода Шварца. Метод состоит в попеременном выполнении на контактной поверхности силовых и кинематических граничных условий. Проведён анализ напряжённо-деформированного состояния двух упругих пластин, имеющих дискретный контакт, с различным числом контактных точек.
ABSTRACT
The paper discusses the features of the algorithm of numerical solution of point contact problems of solid mechanics in a complex two-dimensional fields. The solution is constructed in the framework of finite element technology based on the Schwarz alternating method. The method consists of alternating between fulfilling the power and the kinematic boundary conditions on the contact surface. The stress-strain state of the discrete contacted elastic sheets with different number of contact points is analyzed.
Ключевые слова: контактное взаимодействие упругих тел; метод Шварца; метод конечных элементов; точечный контакт; итерационное решение.
Keywords: Contact interaction of elastic bodies; the Schwartz method; finite element method; discrete contact; the iterative solution.
Многие ответственные узлы и элементы конструкций объектов энергетического оборудования, авиационной, аэрокосмической, наземной и морской транспортной техники работают в условиях контактного взаимодействия. Для правильной оценки их ресурса и надежности необходимо знать напряженно-деформированное состояние, которое можно определить, решив соответствующую контактную задачу. Таким образом, контактные задачи являются одними из центральных в механике деформируемого твердого тела, так как контакт — это основной метод приложения нагрузок к деформируемому телу, кроме того, концентрация напряжений в зоне контакта часто инициирует разрушение материала.
Весьма перспективным для решения контактных задач является применение альтернирующего метода Шварца, основанном на принципе поочередности. Преимущества этого метода состоят в том, что не требуется согласовывать построение узлов конечно-элементных моделей на поверхностях контакта и переформировывать матрицы систем линейных алгебраических уравнений в процессе итерационного уточнения границ зон контакта.
Математическая формулировка контактной задачи теории упругости включает: уравнения равновесия
а.^(и(х)) = 0, хе Са, 1,j = 1,2,ае{А,В}
(1)
граничные условия
и(х) = и" (х), хе с ЭСа, ае { А, В}. (2)
а(и)п] = р"(х), хе Бар сЭСа, 1, j = 1,2, ае {А,В}. (3)
соотношения Коши
£ (х) = 2(и,J (х) + ^* (х)), Xе С", Л j = 1,2, ае { Л, 5}.
?
и определяющие уравнения в форме закона Гука
о = Б(е - 8о), (5)
здесь Б — матрица Гука, " 1 J — вектор напряжений, ~ ^ ^ — вектор
& = {&} ~ £ = {£}
— вектор напряжений, £ ={е }
деформации, 0 1 ^ — вектор начальной деформации (например
и (х)
обусловленной температурным воздействием)
перемещений точек поверхностей
5: я (х) —
ра (х) 5а
нагрузки У0 ^ ' на поверхностях р .
М
вектор заданных
компоненты распределенной
АВ
Кроме того, во всех контактных точках к должны быть выполнены условия контактного взаимодействия: кинематическое
иА (х)-иВ (х) = 8„ (х);
(6)
и силовое
ЯВп (х ) = - ИА (х )£ 0
(7)
иА иВ
где п , п — проекции перемещений граничных точек на внешнюю
о
нормаль к границе тела В; °п — начальное расстояние по нормали между
иА г>В
граничными точками; п , п — составляющие контактных сил по внешней нормали к границе тела В. Соотношения (6) и (7) соответствуют случаю, когда трение не учитывается.
Для решения контактной задачи (1)—(7) был использован алгоритм, основанный на альтернирующем методе Шварца [2—4]. Данный метод является итерационным. Для численного решения задач теории упругости используется метод конечных элементов [1]. Пронумеруем контактные узлы
д ж А мв
к тела А и соседние с ними поверхностные узлы к тела В. Введем в
{ик}и и {Кк}(«) а= а,В
рассмотрение векторы — " (а) и ~ ^ - А,в, первый из которых
составлен из компонент перемещений и и у контактных узлов, а второй — из £ Я
компонент и 6 узловых сил тех же узлов.
оА
В первом шаге на контактных поверхностях тел А и В соответственно к
5В и ( X)| ^ = < ( X) и (х)| ов = иВв (X)
и к задают начальные перемещения ок и ок ,
которые имеют смысл дополнительных кинематических условий. Далее решают независимо две подобные задачи теории упругости для тел А и в .
~ яА (х) мА А
Затем вычисляют контактные силы к \ / в узлах к тела а , а также , < (X) ЯВ2 (X)
фиктивные контактные силы ки ' и к2 ^ ', приложенные в соседних точках тела В и вызывающие заданные перемещения. Эти силы заменяют в каждой
мв в ~ яВВ (X) .
точке к тела в их суммой к ^ ' и корректируют их так, чтобы выполнялись силовые контактные условия (7), по формуле
£ л 2п+1 ■ £ л 2 п А ■ £ л 2 п ■ ^ 2 п \
Я J (А),т IЯ ) (А),
т
Ч Я J ( В),5 IЯ ) ( А),т J
п = 0,1,2, к,
(8)
аи)т ~ т (1 < т < м)
здесь А ,т — итерационный параметр, т — контактный узел
л2п
тела А, ^ЯМв)5 — вектор контактных узловых сил сходственной точки 5,
пБ
лежащей на контактной поверхности к тела Б. Затем из условий статического
< (*) явк2 (*)
равновесия находят скорректированные силы ки ' и к2 ^ '.
пА пБ
Во втором шаге на контактных поверхностях Пк и Пк задают силовые контактные условия, в качестве которых используют скорректированные
< (*) Я?2 (*)
узловые контактные силы ки ' и к2 ^ ', и вновь решают независимо задачи теории упругости отдельно для тел А и Б. По результатам полученных
решений, выполняют коррекцию компонент векторов перемещений ик (*) и
ик (*) соответствующих узлов, чтобы выполнялись кинематические условия контактного взаимодействия (6), по формуле
и
VI
2п
(А),*
и I
V I
2 п—1
+ а
(А),
2 п—1
(А),т
(ел 2п—1 и\
^ I Б),5
и I
V I
2п—1 Л
(А),*
п = 1,2, к.
(9)
а2п~]1
где: (А),т — итерационный параметр,
т
(1 £ т £ М ) „ А
у А' — контактный узел тела А,
2п—1
и|
VI
(Б\5 — вектор перемещений сходственной точки 5, лежащей на
Пб
контактной поверхности пк тела Б.
Скорректированные перемещения точек контактной поверхности ик (*) рассматривают в качестве новых кинематических граничных условий в точках
мл А
контакта к и вновь решают задачу теории упругости отдельно для тела А. Перемещения точек тела В берут с предыдущей итерации.
Вопрос выбора итерационных параметров рассматривался, в частности, в
работах [2—5]. Пусть для определенности а= А и 1 £ т £ Ма. На четных
а
итерациях и нечетных итерациях итерационные параметры соответственно определяются с помощью выражений
2п-1
а),m
а
2п
И
( A),
а
2п-1
( A),m
и2П-1
u2n-1 + о2п-1
а
2п
( A)m
КП
RÎn + RSn
(10)
где:
u
2 п—1
li^1
норма вектора перемещения m узла m
'1 < m < MA )
лежащего
SA
на контактной поверхности k тела A,
u2n-1
s — норма вектора перемещения
sB
лежащей на контактной поверхности Sk тела B
u2n-1
s сходственной точки s,
R2:
R2'
R
2п
m
норма вектора контактных сил "m узла m,
R2n
норма вектора контактных сил сходственной точки 5 [4]. Для иллюстрации приведённого алгоритма рассмотрен контакт двух упругих пластин, одна из которых имеет зубчатую поверхность. Модули Юнга и коэффициенты Пуассона контактирующих тел были приняты равными
77 О 1 1 А л
соответственно 1 = 2 = . ' МПа и т =т = . Распределённая нагрузка
на верхней границе зубчатого тела во всех вариантах равна р = 2 10 Н/м. Во всех исследованных случаях контактные силы во всех узлах, кроме крайних, отличаются друг от друга не более чем на 5 %. Для двух контактных точек силы
в левом и правом узле равны соответственно 277 105 и 223 105 Н; для трёх в
левом, центральном и правом — 1 24 105, 2 76 105 и 1 00 1 05 Н; для пяти — 5.94-104, 1.30-105 и 4.89-104 Н; для десяти — 2.73-104, 5.54-104 и 2.47-104 Н. Геометрия деформированных тел приведена на Рис.1 (перемещения увеличены в различном масштабе, правый край пластины не изображается). На Рис. 2 представлен пример распределения напряжений по вертикальной оси.
Рисунок 1. Геометрия деформированных тел
Рисунок 2. Распределение компоненты тензора напряжения 011
Выводы:
Разработан алгоритм решения дискретных задач на основе альтернирующего метода Шварца и создан комплекс прикладных программ. Выполненный цикл численных исследований дискретного контактного
взаимодействия упругих тел, имеющих сложное геометрическое оформление,
показал достаточно высокую эффективность разработанного алгоритма и
реализующего его программного кода.
Список литературы:
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. — 542 с.
2. Можаровский Н.С., Качаловская Н.Е. Приложение методов теории пластичности и ползучести к решению инженерных задач машиностроения: В 2 т. Т. 2: Методы и алгоритмы решения краевых задач. К.: Выща школа, 1991. — 287 с.
3. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. Спец. вып. Прикладная математика. — С. 134—141.
4. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Математическое моделирование контактного взаимодействия упругопластических сред // Наука и образование. 2012. № 4. [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://technomag.edu.ru/doc/353180.html (дата обращения 04.04.2012).
5. Цвик Л.Б. Принцип поочередности в задачах о сопряжении и контакте твердых деформируемых тел. // Прикл. Мех. — 1980 — т. 16, Ш I — С. 13—18.
