CC BY
8
УДК 534.1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ M ОДЕ Г И РОВАН И Е ДИНАМИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИЛЬНОВЯЗКОЙ ЖИДКОС I И С О С I Ь H К AM И KAHAJ А,УС1 AHOHJtHHOI иНАУШ'У! СМ ОСНОВАНИИ
JI И. Могилсвнч\ В С Попок1 А А ТТо цш , A R Х]жс тфо]Х1кн* 'Саратовский государственный технический университет имени ГагаринаЮ.А..
s Саратов. Россия
"Саратовский на^иоиалыгый исследовательский государственный университет, имени Н.Г. Чернышевского, с. Саратов, Россия
Лнкомання - Исследуются изгибные колебания стенок щелевого канала, установленного на основание Впиклсра, под действием пульсирующего слоя енльповязкой жидкости. На основс постапоокп и рс шення задачи гпдро\пругосгн найдены аналитические выражения прогибов стенок клнала, давления в жидкости п построены функшш распределения амплитуд прогибов и давления жил кости вдоль канала. По.i\чинные pe-ty.ihi ai м iiikkii.immii иачлк (ннимичигкин прицепы, unyr.iiik.ifннын кешмиднип кирм упругих элементов конструкций с вязкой жидкостью в гидроприводах, агрегатах и приборах.
Ключевые слова: пластина, колебания, гпдроупругость, вязкая жидкость, ociioDanne Випклсра.
i. бвепние
Иг.-ледпйяние динамики т^яимодейгпшг упругих элементов конструкций с a-цдкоггыо имеет важное значение для анализа динамики современных машик. агрегатов и приборов [1]. В [2] исследованы колебания балки-полоски. погружешюи d идеальную несжимаемую жидкость со свободной поверхностью, a в [3] исследованы хаотические колсоания пластины при сс взаимодействии с потоком идеальной несжимаемой жидкости с учетом граничных условий на возмупгеннон поверхности пластины. Операция круглой пластины на свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости рассмотрена в [4]. В данной работе рассматривается область в жидкости. ограниченная жестким дном н цилиндрической поверхностью. Колебания круглой пластаны. погруженной в воду со сто б одной поверхностью, иоследовсио в Г-1- В работе Г 61 решена задача об нзгибиых колебаниях стенки канала как оалкн-полоски. взаимодействующей с идеальной жидкостью, заполняющей канал, применительно к двигателю внутреннего сгорания
Однако пренеЬрехсеиие вязкостью жидкости не позволяет учесть обусловленного ею демпфировать, tí |7| выполнено исследование гндроупругнх колсоаннн оолкн в потоке вязкой жидкости применительно к пьсзопрс-образоватслям В [8] исследованы колебания консольно-закрсплсяной пластины, находящейся в неограниченном объеме вязкой несжимаемой жидкости. Исследованию демпфирования гармонически вкбрируюшей бесконечно длиной бадкм-шмисш на слое вязкой жидкиеш иосвжиена работ [9] Исследование взаимодействии КиПрИруКЛЦИХ П.МПИН КИНГЧНПЙ ДЛИНК1 (II (ЛОГМ КИЧКОЙ НГГ.ЖИМИКМПЙ ЖИДК1Х7ГИ кышшнгно к [10] R [11, 17] раггмотрены аналогичные задачи для круглых дисков В работе [1"?] поставлена и аналитически решена задача изгябных колебании сгенки щелевого каната с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости.
1l постановка задачи
Рассмотрим плоский канал, заполненный пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости, на рнс.1. Стенки канала образуют две упругие пластины 1. 2. шарннрню опертые на торсах Размер канала h » / Пластина 1, установлена на упругое основание Вкнклера. Толщина пластин h¡, к2. толщина слоя жидкости «/ Будем гчитатк, что r левой и правой торцевой пплогпт ппддержнваетс я заданное давление р6+р (<0f) ■ Здесь р (áJt) = p„f(á>t), f = sin Cút, G) ~ частота t - время, pc - статический уровень давления. Под действием пульсации давления пластины I, 2 совершают нзгибные колебания с амплнтудей "Ч'1п « с>3
4 \1
Расположим декартов}' систему координат в центре срединное поверхности пластины 1. Принимая во внимание, что Ь » I, далее будем рассматривать задачу гндроупругнх колсоаннн стснок канала в плоской постановке. В рассматриваемой механической системе ирису rcieyei сильное демпфирование, обусловленное вязки-
C~I>»KJ ГЛ11М ЖИДКОПИ R (жчулктк* Н 1ГЧГНИГ К»]К11К(М О И[х>мгжу гкл нргмгни liqifXOlIHKir прОЦГС ( KI Г)Ы1~1}К) AÜ-
тухатот и вгпкияают установившиеся вынужденные колебания [15] Поэтому далее сосредоточимся на ряссмпт-рении режим?, установившихся колебаний.
Ш. ТЕОРИЯ
Уравнения нзгнЬных колебаний стснок канала имеют вид
о,^+(2-От+м =(-i)'-Ч, ' = i,2.
cu ¿V
(1)
где IV: - прогиб г'-ой пластины. О = ЯЛ? /(17(1 — ///)). — цилиндрнческяя жегтко.-тт. г-й пластины и плотность ее материала. //, - коэффициент Пуассона 1-й иласшнь.. % ~ коэффициент постели. д = —р + 2ру ди7/д! ~ напряжение, действующее на пластин}' со стороны вязкой жидкости [16], р - плотность жидкости, V - коэффициент кинематической вязкости жидкости.
Краевые условия для уравнений (1) - условия шарнирного олнрання
■и», = д^лн/дх2 = О при х = ±Я,1 = 1,2
Уравнения лииамикк сильновязкой несжимаемой жидкости имеют вид [16]
iдр(е\ , i др(д\хе\Л
рдх { дх2 dzl ) р cz [ дх2 dz2 )
дил
tíx
dut dz
= 0.
V)
(3)
где их. и. - проекции вектора скорости жидкости на осе координат, р, г - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости.р — давление.
УрЛННГНН* (Я) ДОНОЛНЯКШ'.Я kJlrWKhlMM уел они ни и
- условия прилипания жидкости к стенкам
и. = сиг fdt. и, = &л\I'Ct при z = hjl+<>0 ■+• '<v2. их = oujet. и. = dwuf 'dt при z = ¡ц/2 - н^. (4)
- условия для давления на торцах канала
Р = Рс+ Р\<*) т = ±( - (5)
Здесь Uj. w:. - законы продольных перемещений к прогибов пластан Введем в рассмотрение безразмерные переменные
Z = xU,£ = fz-0.5^)/д0, г = сХ,и: = их = Ut , w, = wJY:. щ = uJJ,, ^
Л = win,/t* «1Р = Р>\ р\т) I PvpvlMa>ys 2/Л»У = «Ui = U,
где у/ , /, - малые параметры характеризующие задачу.
D рассматриваемой постановке для тонкого слоя жидкости ц/ —о{\) н чт/\\\п = CJ(1) в уравнениях (3).
краевых условиях ;4)-(5) и напряжении о записанных в (б) члены при у и if/' можно опустить. В результате.
учитывая, что /ij = ^О^Л';,,) = в нулевом приближении по А* и у получим уравнения динамики жидкости
дР d'U4 eiJ^ т
д*~ дС д£~ ' д£ "
I: соответствующие им краевые условия
и; -О, U;-dW2jdт при £ - 1. и4 -О, U{-(wI„/-»i2„)c?»r1/i?r при £ - О .Г = 0 при f - ±1 (8) Решение уравпешш (7) с краевыми условиями (8) имеет вид
г и
2 Ц- с Ъ)9 0; 12 Of' : t Рс = 12J f eiv/drd&4 6(£ 1) | (dfi/'dT d&t , W - - (н^/н^(9) i" -1 УчНШКХ! (9) Н нмржгнни дл* н-11 |])КАГНИЧ К 11[ЫК(»Й чини (1). 11<>.|уни\1
Щ * д\/д£л +(2-г)хщ+ рА&2 д2м)/дГ-(- IV [р, + р'(т)+
а 1 сю)
Ч2урщя0>(^2бс) ' I \dw/drd$d£ (4 1)/2 J\dwjdsd4d^ j i
С учетом краевых условий (2). (9) решение данных уравнений будем искать з виде
« = "J?, = -IK/2). :=1,?. (11)
здесь верхний индекс 0 означает решение, соответствующее статическому давлению р{]. Подставляя (11) в (10) и раскладывая оставшиеся члены, входящие в правые части (11). в ряды по тригонометрическим функциям продольной координаты £. а затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях и решая полученные уравнения для режима установившихся гармонических коле-Г'Иннй них:1дии iijkii ибы нл» гин к кидг
\ - « ' *. ,.- + 4(х,су)sm(cot + (х,су)) (LJ)
ГД* ^ = V^f + ' = , Slt = а2з, .S-,, = , Ск = ana:i, = iiu(«u + ,
/ji: = - 1)/f /?)+ +- / - /д Aj лГ, iil2 = ?Kkfj au = -тг/12 . = n A - -rsn ,
a^ =D2e '(С■гк-1)я/'2У -p2h2co2, a2i = al2 = -лм, 2Кк =12 (
W-6, \
iy-Oc \ (2k 1 )7Г
t? - 1Ш4 с; + с;; Я ' п (2* - \)лр С'} 4 G- К
Заметим, что Ai —> const при со —> 0 и А- —> 0 при со —> х>.
Учитывая (11), (12) в выражении для давления (.0). окончательно получим
Р = рл 4 р„ sin col + рпП(х, а>) sin(o>7 4 фр{х, со)) , (13)
где П(д.да) = yjB'i 4 Г? . <рр(х.ю) = -arctglT^/ifJ.
= -У]—Ук\ <,iG. -Ц-4r «is--—.
4 £ ilk 1)/Т А С: I G~ U
Заметам, что П > 0 при со > 0 и П >0 при со > оо.
IV. Обсуждение результатов
Первый член выражения (12) представляет соосй статический прогиб стенок канала, обусловленный статическим давлением в жидкости рп. второй член - прогиб обусловленный пульсацией давления жидкости в канале. Втрое слагаемое в законе изменения давление (13) нредс jaBjmei собой динамическое давление жидкое i и r канале обусловленное динамикой в-я тшо действия вязкой жидкости в канале с его упругими стенками Амплитуда данного слагаемого определяется функцией П(.Т, со). которую следует рассматривать как частотозави-симуто фуккпию распределения динамического давления вдоль канала Если задаться фиксированным значением продольной координаты х, данная функция будет представлять собой амплитудную характеристику давле-1шя в заданном сечеппп капала. Аналогпчпые замечания можно сделать относительно функций , кото
рые ттрелставляч>т собой частоточявисимые функции распределения амплитуд прогибов вдоль канала Функция <? (х. СО) . <рр (х, со) являются частотсзсвнснмымн функциями распределения фазового сдвига лропгбов пластин
и давления вдоль канала с с ответственно Исследование поведения указанных функций при изменении частоты кслебаний позволяет изучать динамические процессы в рассматриваемом канале, установленном на упругом основании.
v. выводы и заключение
Резулыагы. полученные в представленном исследовании. мл у i 6ы1ь ксиользиваны для рас чеха и анализа динамики гидроуируюю диьеденли стенок каналов, взаимодействующих с жидкостью и окруженных уируюЛ средой, наиример. для расчет элементов и систем насосов, хндиинривида. систем подачи хохьхива и смазки.
Список .т-тгерапты
1. Горшков А. Г., Морозов В. И.. Пономарев А. Л. Шклярчук Ф. Н. Аэрогндрсупругость конструкций. М: Фнзматлнг, 2000. 591 с.
2. Haddara М. R. Cao S. A Study of the Dynamic Response of Subniergec Rectangular Flat Plates U Marine Structures. 1956. Vol. 9. do.10. P. 913-933.
3. Аврамов К. В.. Стрельникова Е. А. Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости Ч Прикладная механика. 2014. Т. 50. 3. С. 86-93.
Л. ЛшаЬШ М. Vibrations of Circular Plates Resting on a Sloshing Liquid: Solution of the Fully Coupled Problem 7 Journal of Sound and Vibration 2001. Vol 2^5, no. 2.1\ 261 283.
Ь. Askari Jccng K.-H.. Ainabdi M., Hydroclastic Vibration of Circular Plates Immersed m a Liquid-tilled Con-tamer with Free Surface // Journal of Sound and Vibration 2U13. Vol. 332, no. 12. P. 3064 3085
6. Индейцев Д. А.. Полнпанов И. С , Соколов С. К Расчет навигационного ресурса втулки судовых двигателей // Проблемы машиностроения н надежности машин. 1У94. № 4. С. 5 У 64.
7. Akcabay D. Т.: Young Y. L. Hvdroelastic Response and Energy Harvesting Potential of Flexible Piezoelectric Beams in Viscous Flow// Physics of Fluids. 2012. Vol. 24, no. 5.
8. Faria Cassio Т., human. Daniel J. Modeling energy transport in a cantilevered Euler-Bemoulli beam actively vibrating in Newtonian fluid // Mechanical Systems and Signal Processing. 2014. Vol. 45, nn. 2. P. 317—329.
9. Опк а у Т. Effects of layer thickness on the vibration response of a plate-fluid layer system // Journal of Sound and Vibration 1993. VoL 163, no. 2. P. 231-259.
10. Могилевнч JL И. Попов В. С., Попова А. А. Дннамнка взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010 № 4. С. 23-32.
11. Могилевнч Л. И., Попов В. С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного сооснымн вибрирующими дисками // Известия РАН. Механика жидкости н газа. 2011. № 3. С. 42-55.
12. Агеев Р. В., Могилевнч JI И., Попов В. С. Колебания стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками // Проблемы машиностроения н надежности машин. 2014. № 1. С. 3-11.
13. Агеев Р В.. Кузнецова. Е. Л , Куликов Н. И. [и др.]. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 3. С. 17—35.
14 Алексеев В. В.. Индейцев Д. А., Мочалова Ю. А. Резонансные колебания упругой мембраны на дне бассейна с тяжелой жидкостью И Журнал технической физики. 1999. Т. 69, № 8. С. 37—42.
15. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М_: Наука, 19S7. 352 с.
16. Лойцянскнй Л. Г Механика жидкости и газа. М Дрофа, 2003. 840 с.
