CC BY
97
УДК 531; 51-7 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2016. Вып. 1
В. П. Трегубов, Н. А. Селезнева
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ШЕЙНОГО ОТДЕЛА ПОЗВОНОЧНИКА ПРИ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Санкт-Петербургский государственный университет, Россия, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Статья посвящена математическому моделированию динамики системы «голова—шея» при импульсном воздействии, возникающем при столкновении автомобилей. Анализ предшествующих работ показал, что основными сдерживающими факторами являются, с одной стороны, очень сложная внутренняя структура шейного отдела, а с другой — неполное знание механических свойств мышц и межпозвоночных дисков. В связи с этим предложена достаточно простая механическая модель системы «голова—шея» с восемью степенями свободы. В качестве них были выбраны углы поворота головы и семи шейных позвонков. Механические свойства межпозвоночных дисков моделировались спиральными пружинами и демпферами в шарнирных соединениях. При моделировании большого количества мышц шеи они были объединены в две группы, которые представлены в модели двумя обобщенными мышцами-антагонистами. Критерием адекватности модели служило соответствие движения головы, рассчитанного с помощью модели и полученного экспериментально на добровольцах. Для поиска неизвестных параметров модели использовался метод Нелдера—Мида. Библиогр. 23 назв. Ил. 12.
Ключевые слова: система «голова—шея», механическая модель, математическое моделирование, метод Нелдера—Мида.
V. P. Tregubov, N. A. Selezneva
MATHEMATICAL MODELLING OF CERVICAL SPINE DYNAMICS UNDER IMPULSE IMPACTS
St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russia
The paper is devoted to the mathematical modelling of the heard—neck system dynamics during impulse acceleration, which arises in the case of the ground and air vehicle crushes. Analysis of previous papers showed that the main limiting factors are, on the one hand, very complicated inner structure of the neck, and on the other hand, incomplete knowledge of the mechanical properties of the muscles and intervertebral discs. For this reason, complex mechanical models do not have sufficient experimental validation. In this regard, the authors proposed a simple mechanical model of the "head—neck" system with eight degrees of freedom. They are the rotation angles of the head and seven cervical vertebrae. These angles are considered as generalized coordinates. The intervertebral discs are modeled as hinge joints provided with helical springs and dampers. When modelling a large number of neck muscles, they were integrated into two groups of muscles-antagonists, each of which is represented in the model as generalized muscle. The model motion is described by a system of ordinary differential equations obtained by Lagrange's method. The coordination between a model head motion and
Трегубов Владимир Петрович —доктор физико-математических наук, профессор; v.tregubov@ spbu.ru
Оелезнева Надежда Анатольевна — магистр; [email protected]
Tregubov Vladimir Petrovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor; v.tregubov@ spbu.ru
Selezneva Nadezda Anatoljevna — master; [email protected] © Санкт-Петербургский государственный университет, 2016
a volunteer head motion served as the model adequacy criterion. The assessment of discordance was performed by the method of least squares. For the search of the unknown model parameters the minimization of this discordance was executed. In doing so the Nelder—Mead method was applied. The Akima splines were used for a experimental data approximation and for search of unknown model parameters. Refs 23. Figs 12.
Keywords: mathematical modelling, heard—neck system, mechanical model, ordinary differential equations, Akima spline, Nelder—Mead method.
1. Введение. Динамика системы «голова-шея», подверженной ударному (импульсному) воздействию, стала предметом особого интереса в середине XX в. в связи с увеличением травматизма при авариях на воздушных и наземных видах транспортных средств.
Для разработки систем защиты водителей и пассажиров требовалось наличие математических моделей человека, позволяющих осуществить синтез и расчеты таких систем. В таких моделях особое внимание уделялось шейному отделу позвоночника, поскольку он наиболее подвержен травматизму в аварийных ситуациях.
Несмотря на то что к настоящему времени появились такие средства защиты как привязные ремни и подушки безопасности, их применение далеко не всегда дает положительный результат. Основная проблема при этом заключается в значительной сложности анатомической структуры позвоночника, а также в трудности, а иногда и невозможности определения механических свойств элементов данной структуры у живого человека. Использование же результатов, полученных на трупах или животных, приводит к неверным результатам.
2. Экспериментальные обоснования моделей. Для математического моделирования нужно иметь результаты двух видов экспериментальных исследований. Первый вид проводился с целью регистрации перемещений тела человека в процессе столкновения транспортного средства (воздушного или наземного) с препятствием. Эти эксперименты были направлены на выяснение кинематических характеристик движения головы и туловища и не ставили перед собой задачи выяснения процессов, происходящих внутри позвоночника. Для решения такой задачи был необходим второй вид экспериментальных исследований, в которых нужно было выяснить динамику позвоночника при импульсных воздействиях на тело человека, для чего важно учитывать внутреннюю структуру позвоночника.
Первый вид экспериментальных исследований был впервые проведен еще в 1955 г. [1]. В натурном эксперименте осуществлялась запись горизонтальных ускорений на сиденье автомобиля, на груди и голове испытуемых во время лобового столкновения автомобиля с препятствием (рис. 1). Позднее аналогичные работы проводились для заднего удара с использованием специальных тележек и скоростной киносъемки или акселерометрии [2-4]. Полученные таким путем результаты на протяжении долгих лет служили критерием оценки адекватности предлагаемых моделей. При этом оценка производилась по способности модели воспроизводить ускорения на голове и груди испытуемого, зарегистрированные с помощью акселерометров в процессе соударения.
В механических моделях человека, подверженного такого вида ударным воздействиям, шейный отдел позвоночника был обычно представлен просто шарниром, что плохо соответствовало его кинематике и тем более не позволяло получить информацию о распределении сил в этом отделе позвоночника (см., например, [5, 6]).
В работе [7] была представлена модель подверженного горизонтальному импульсному воздействию тела сидящего человека, в которой шея моделировалась предвари-
тельно изогнутым стержнем и косвенно учитывалась роль мышц и связок. Она показала хорошее соответствие кинематическим характеристикам, приведенным в работе [1], однако по-прежнему трудно было ожидать, что напряжения в стержне соответствуют напряжениям в моделируемом объекте столь сложной структуры.
мс
Рис. 1. Записи горизонтальных ускорений на сиденье, плече и голове испытуемого в процессе соударения машины с препятствием [1]
Рис. 2. Строение шейного отдела позвоночника а — вид спереди; б — вид с боку.
Шейный отдел позвоночника состоит из семи позвонков с отростками сложной конфигурации, соединенных между собой межпозвоночными дисками (рис. 2). Кроме того, сами позвонки и их отростки соединены упругими связками, создающими в межпозвоночном диске предварительное напряжение (рис. 3). Каждый диск
состоит из студенистого ядра, окруженного фиброзным кольцом (рис. 4), представляющим собой волокнистую структуру, на 80% заполненную жидкостью.
Рис. 3. Скрепление позвонков связками
Рис. 4- Внутреннее строение межпозвоночного диска
Подвижность в позвоночнике осуществляется в основном за счет поворотов одного позвонка относительно другого вокруг студенистого ядра, сопровождающихся деформациями фиброзного кольца. Осевое сжатие межпозвоночного диска происходит, только если направление внешнего воздействия совпадает с этой осью, а деформации сдвига практически отсутствуют.
Голова (основание черепа) соприкасается с первым шейным позвонком, образуя так называемый атлантозатылочный сустав. Положение головы и шеи регулируется тремя слоями мышц — поверхностными, срединными и глубокими (рис. 5). При этом следует обратить внимание на то, что мышцы являются многосуставными и напря-
жение каждой из них приводит к перемещению всех шейных позвонков. Механика таких многозвенных систем имеет свои особенности [8].
Рис. 5. Поверхностные мышцы шеи
Первая попытка моделирования структуры позвоночника была предпринята в работе [9] (рис. 6), которая позднее использовалась в модели шейного отдела [10]. В этих моделях позвонки моделировались абсолютно твердыми телами, а межпозвоночные диски — однородными твердыми деформируемыми телами, в равной степени подверженными деформациям сжатия-растяжения, изгиба и сдвига, что противоречит отмеченному выше характеру деформации межпозвоночного диска. К тому же роль мышц и связок не учитывалась.
Рис. 6. Механическая модель позвоночного столба [8]
Для моделирования внутренней структуры шейного отдела нужен был второй вид экспериментальных исследований, о котором говорилось выше, а именно определение механических свойств межпозвоночных дисков, мышц и связок. Установить такие свойства в целом можно на трупных образцах в лабораторных условиях. В [1116] были получены статические характеристики сжатия-растяжения или углового поворота соседних позвонков (рис. 7, 8). Механические свойства связок были исследованы и описаны в работе [17]. Наименее изученными остаются механические свойства мышц, хотя при кратковременных импульсных воздействиях, продолжи-
тельность которых не превышает 0.15 с, безусловный рефлекс возбуждения мышц в ответ на растяжение не успевает срабатывать. Это позволяло авторам ограничиться рассмотрением лишь пассивных свойств мышц, которые при растяжении оказывают упруговязкое сопротивление [18].
Перемещение, мм
Рис. 7. Поведение межпозвоночного диска для двух разных режимов при сжатии и растяжении [13]
Угол, град.
Рис. 8. Поведение межпозвоночного диска для трех разных режимов при сгибании и разгибании [14]
Определить механические характеристики элементов внутренней структуры межпозвоночных дисков без их разрушения в настоящее время пока не представляется возможным. Удается лишь установить статическое распределение давления вдоль некоторой средней линии внутри диска с помощью игольчатого датчика при
различных вертикальных статических нагрузках на межпозвоночный диск [19], что для моделирования динамических процессов малоинформативно.
3. Механическая модель. Таким образом, можно сделать вывод о том, что механическая модель шейного отдела позвоночника сидящего человека, подверженного горизонтальному импульсному воздействию, должна воспроизводить законы движения головы, полученные в натурных экспериментах с участием испытуемых. В процессе моделирования позвоночника нужно иметь в виду, что непроизвольные движения в позвоночнике складываются из относительных поворотов соседних позвонков. При этом межпозвоночные диски и связки оказывают упруговязкое сопротивление. Кроме того, в модели важно отразить роль многосуставных мышц шеи, которые в условиях кратковременного воздействия проявляют лишь пассивные свойства.
В связи с этим предлагаемая авторами модель представляет собой механическую систему, состоящую из восьми абсолютно твердых тел, моделирующих голову и семь шейных позвонков С — С7, которые соединены шарнирно между собой (рис. 9) и с жестко скрепленным с туловищем первым грудным позвонком Т. Положение шарнира соответствует положению центра студенистого ядра, которое при горизонтальном импульсном воздействии практически сохраняет свое положение внутри диска. Положение каждого шейного позвонка и головы определяется углом поворота вокруг шарнира на угол (г = 1,..., 8) между осью позвонка и вертикалью.
Внешнее воздействие задавалось в виде импульса горизонтального ускорения х0 (£), приложенного к грудной части позвоночника сидящего человека на уровне плеча. Форма этого импульса соответствовала результату эксперимента, приведенного на рис. 1.
Все параметры модели можно разделить на две группы. К первой группе относятся те параметры, которые можно определить на трупном материале, в том числе массы и моменты инерции позвонков вместе с окружающими тканями — т и I, масса и момент инерции головы — М и 1Гол, расстояние между шарнирами — I, расстояние от седьмого шарнира до центра тяжести головы — 5. Ко второй группе относятся параметры, которые этим способом установить невозможно. Их значения приходится подбирать таким образом, чтобы горизонтальное ускорение головы соответствовало графику, приведенному на рис. 1.
Для определения размеров шейных позвонков, их положения, массы с окружающими их мягкими тканями, положения их центров тяжести и моментов инерции были использованы результаты, приведенные в работах [20-22].
Зная массу головы и массы позвонков вместе с окружающими тканями, легко вычислить ее потенциальную энергию в поле силы тяжести Ятяж, ...,ф%).
Рис. 9. Схематическое изображение фрагмента механической модели
Вязкоупругие свойства межпозвоночного диска и связок были представлены в модели с помощью нелинейных спиральных пружин и демпферов. Момент сопротивления спиральной пружины описывался кубической параболой
Мупр = -кц(Аф) — к2(Аф)3, (1)
где ф — угол поворота одного позвонка относительно соседнего, т. е. фг = — и = 0. Коэффициенты к\ и &2 в (1) подбирались так, чтобы она была максимально приближена к кривой, приведенной на рис. 9. Характеристика демпфера считалась линейной
М вязк = —рф (2)
Значение коэффициента демпфирования в (см. (2)) было заранее неизвестно и подлежит поиску.
4. Моделирование мышц шеи. Несмотря на то что рефлекторное возбуждение мышцы за время импульсного воздействия не происходит, они находятся в состоянии предварительного изометрического напряжения. Это означает, что поскольку начинается растяжение или укорочение мышц, то вместе с силой пассивного упругого сопротивления они будут проявлять и активную сократительную силу, которая при укорочении зависит от скорости укорочения и подчинена уравнению Хилла [23], достаточно близко воспроизводящему экспериментальные зависимости (рис. 10):
(Р + а)У = Ь(Ро — Р), (3)
где Р — мышечная сила при ее укорочении; V = ^ — скорость изменения длины мышцы; а и Ь — универсальные константы для скелетных мышц при заданной температуре; Ро — индивидуальная сила мышцы, развиваемая ею в состоянии покоя.
Г/10, 1/с
Рис. 10. Зависимость силы от скорости изменения длины мышцы Сплошная линия — уравнение Хилла, пунктирная аппроксимация /эксг
Нетрудно убедиться, что максимальная скорость укорочения мышцы достигается при Р = 0 и равна Утак = |Ро- Уравнение (3) целесообразно переписать, обозначив Р через ^укор в следующем виде:
F —
-L УКПП -
b(P0 + a) V + d
— a.
(4)
При растяжении (т. е. при V < 0) уравнение (3) не выполняется, но экспериментальные зависимости существуют и также показывают, как зависит мышечное усилие от скорости растяжения, которая может быть задана численно:
■ УДЛ
— /эксп(У ).
(5)
Она, как видно на рис. 10, достаточно близко аппроксимируется участком параболы
■ УДЛ
— /эксп(^ ) — -a(V + Vo )2 + Fm
(6)
где Fm
максимальная сила, развиваемая мышцей при растяжении; V0 — скорость
растяжения мышцы, при которой достигается Fm
параметр аппроксимации.
Теперь уравнения (4) и (6) с учетом (5) можно записать следующим образом:
( b(Po+а)
р = J V+d -а при
акт \ -a(V + Vo)2 + Po + Fadd при
V > 0,
V < 0.
(7)
В схематической модели Хилла наряду с активной силой при растяжении действует и параллельная ей пассивная упругая компонента. Последняя начинает действовать, если длина растянутой мышцы превосходит некоторую величину I*, которая больше длины покоя 1о. Тогда окончательно для мышечной силы можно получить
FMbim — FaKT + c(l - l* ) при V < 0 и l> l*,
где c — коэффициент упругости, подлежащий определению.
Поскольку шейный отдел позвоночника, как было показано выше, снабжен значительным количеством мышц со сложной геометрией расположения, то представляется целесообразным объединить мышцы, действующие в одном направлении, в одну совокупную мышцу. Тогда будем иметь две совокупные мышцы, действующие в противоположных направлениях, которые называются антагонистами (рис. 11). Для них необходимо найти обобщенные коэффициенты Poi, ci и Po2, С2.
Таким образом, параметрами модели, подлежащими определению, являются коэффициенты в, c1, c2, P01, P02. Их поиск осуществлялся исходя из необходимости сближения экспериментального и расчетного ускорений головы по методу наименьших квадратов. Расчетное ускорение головы в каждый момент времени вычислялось по формуле
7
(8)
Рис. 11. Моделирование мышц шеи
^гоЛ4 — l^^i GOs(^i ) - 02 sin(^i )) + S (08 COs(^s ) - p8 sinp )) + XQ (t). (9)
i=1
а
Экспериментальное ускорение головы Х^КЛ" в каждый момент времени задавалось в соответствии с графиком, приведенным на рис. 1.
Уравнения движения описанной выше модели были составлены в виде уравнений Лагранжа, в которых за обобщенные координаты были взяты углы поворота позвонков и головы относительно вертикали (см. рис. 9). В этом случае после выполнения всех установленных в методе Лагранжа операций систему уравнений движения можно записать следующим образом:
\\aij {vuvj) \\ф + \\bij ,фj) \\ф2 = ф) - xo(t)\\dij || cos(^i) (10)
(i,j = 1, 2,..., 8),
здесь ф = (фЬф2,..., фв)Т, Q = (Qi,Q2, ..., Qe)T, \\bij (<fi,¥j) \\ — кососимметричная матрица коэффициентов, \aij ) \\ и \dij\\ — инерционные матрицы.
Каждая обобщенная сила Qi является суммой трех составляющих:
Qi = QJ™ + QConp + Qrm,
где QConp = Mfnp (<pi - ф-i) + Мвязк (фi - фi_!); Q™ — суммарный момент двух обобщенных сил мышц-антагонистов, определяемых формулой (7) с учетом (6) для каждой обобщенной координаты. Эта обобщенная сила зависит от параметров с1 и с2, Pol и Po2.
В результате решения системы (10) мы получим зависимости от времени углов . Зная их, по формуле (9) вычислим ХрОЛ4^).
5. Моделирование состояния статического равновесия. Моделирование состояния статического равновесия является весьма важным предварительным этапом решения динамической задачи, который в большинстве работ упускается авторами. Но если считать, как было принято выше, что возбуждение мышц не меняется в течение импульсного воздействия, то оно остается таким же, как и до приложения импульса, когда сохранялось положение равновесия, при этом все позвонки и голова принимают свое обычное, естественное положение, неоднократно зафиксированное на рентгеновских снимках [22]. Поскольку центр тяжести головы смещен вперед относительно атлантозатылочного сустава, то для сохранения статического положения в напряжении должна находиться задняя мышца. Причем растяжение мышцы не настолько велико, чтобы включились параллельные упругие компоненты и с1 = с2 = 0.
Таким образом, можно определить параметр P02. Конечно, в данном положении могут быть напряжены обе мышцы, удерживая голову в равновесии. При этом, задавая один из параметров, например Po2, всегда можно определить и второй параметр, иначе говоря, P01 = f (P02). При решении динамической задачи такое условие равновесия в начальный момент времени обязательно должно выполняться.
6. Решение динамической задачи. Прежде всего для численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (10) необходимо было провести интерполяцию экспериментальной зависимости входного воздействия X0(t) и ускорения центра тяжести головы Х^КЛ" (t), которые приведены на рис. 1. Интерполяция производилась с помощью сплайнов Акимы, поскольку их применение способствует минимизации кривизны линии, получаемой после интерполяции.
Далее можно приступить к поиску неизвестных параметров модели ß, с1, с2, Po1 и Po2 при выполнении условия Po1 = f(Po2) в соответствии с выбранным выше критерием.
Для минимизации функционала, характеризующего отклонение полученных нами данных от экспериментальных, был выбран метод Нелдера-Мида, так как он не использует производных функций и является эффективным при низкой скорости вычисления минимизируемоего функционала. В рассматриваемом случае этот функционал имеет вид
k
Ф (ß, Ci,C2, Pol,P02) = £ РРоТ)i - (*?Г)i]2 , (11)
где k — количество моментов времени, по которым проводится минимизация функционала. Функционал (11) не должен превышать наперед заданного значения.
В соответствии с методом Нелдера-Мида оптимизируемая функция хрОл4 рассматривается как функция искомых параметров, т. е. ХрОл4 (ß,°1,°2, Pol,P02). Для этих пяти параметров выбираются шесть наборов значений, которые образуют симплекс пятимерного пространства. Для этого симплекса методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага решается система уравнений (10) и строится минимизируемый функционал Ф. Далее по методу Нелдера-Мида происходит последовательное перемещение и деформирование начального симплекса. Для каждого изменения решается система (10), находится новое значение минимизируемого функционала и происходит сравнение его с наперед заданным значением.
Программа расчета написана на языке C# в среде Microsoft Visual Studio 2008. В результате была получена зависимость расчетного ускорения головы от времени, которая приведена на рис. 12 в сравнении с экспериментальной зависимостью.
х, м/с2
10_1_1_I_I_I_I_I_I_I_
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 мс
Рис. 12. Кривые горизонтального ускорения головы, полученные экспериментально (1) и в результатe работы программы (2)
7. Заключение. Таким образом, математическое моделирование динамики шейного отдела позвоночника было проведено на основании предложенной механической модели системы «голова-шея», в которой реализован новый подход к моделированию работы мышц. Такой подход позволяет находить не только традиционные параметры модели, но и параметры, описывающие предварительное напряжение мышц, что открывает возможность для исследования влияния этих параметров на характер движения головы при импульсных воздействиях, в том числе в аварийных ситуациях на транспорте.
Литература
1. Severy D. M., Mathewson L. H., Bechtol C. O. Controlled automobile rear-end collisions — an investigation of related engineering and medical phenomena // Proc. of the Montreal conference on medical aspects of traffic accidents. 1955. P. 152—184.
2. Davidson J., Deutscher C., Hell W., Linder A., Lovsund P., Svensson M. Y. Human volunteer kinematics in rear-end sled collisions // Proc. of Intern. Council on biomechanics of impact. Goteborg, Sweden, 1998. P. 289-301.
3. Yo,mo,zo,ki K., Ono K., Kaneoka K. A simulation analysis of human cervical motion during low speed rear-end impacts // Proc. of Society of Automotive Engineers World Congress. Detroit, USA, 2000. P. 186-192.
4. Tencer A. F., Mirza S. K., Bensel K. The response of human volunteers to rear-end impacts: the effect of head restraint properties // Spine. 2001. N 26. P. 2432-2440.
5. Martinez J. L., Garcia D. J. A model for whiplash // Journal of Biomechanics. 1965. N 1. P. 23-32.
6. McHenry R. R., Naab K. N. Computer simulation of the automobile crash victim in a frontal collision: A validation study report N YB-2126-V-1. New York: Cornell Aeronautical Laboratory, 1966. 86 p.
7. Трегубое В. П. Анализ поведения тела человека при горизонтальном импульсном воздействии // Физическая механика. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. Вып. 2. C. 140-154.
8. Tregubov V. P., Klikunova K. A., Asanchevsky V. V. Some peculiarities of the skeletal muscle modeling // Acta of Bioengineering and Biomechanics. 2008. Vol. 10, suppl. 1. P. 30-36.
9. Orne D., King Y. Liu. A mathematical model of spinal response to impact // Journal of Biomechanics. 1971. Vol. 4, N 1. P. 49-71.
10. Mc Kenzie J. A., Williams J. F. Dynamics of cervical spine during whiplash // Journal of Biomechanics. 1971. Vol. 4, N 6. P. 477-491.
11. Panjubi M., Brand R., White A. Tree dimensional flexibility and stiffness properties of human thoracic spine // Journal of Biomechanics. 1976. Vol. 9. P. 185-192.
12. Maroney S., Schultz A., Miller J., Anderson G. Load-displacement properties of lower cervical spine motion segments // Journal of Biomechanics. 1988. Vol. 21. P. 769-779.
13. Shea M., Edwards W. T., White A. A., Hayes W. Variations of stiffness and strength along the human cervical spine // Journal of Biomechanics. 1991. Vol. 2. P. 95-107.
14. Sobczak P., Golinski W. Z., Gentle R. C. Biomechanical evaluation of anterior cervical spine stabilization using the finite element approach // Acta of Bioengineering and Biomechanics. 1999. Vol. 1, N 1. P. 95-100.
15. Pintar F. A., Miclebust J., Sances A., Jr., Yoganandan N. Biomechanical properties of human intervertebral disk in tension // Proc. ASMEF Advances in Bioegineering (New York, USA). 1986. P. 3839.
16. Ciach M., Awrejcewicz J., Maciejczak A., Radek M. Experimental and numerical investigations of C5-C6 cervical spinal segment before and after discectomy using the Cloward operation technique // Acta of Bioengineering and Biomechanics. 1999. Vol. 1, N 1. P. 101-105.
17. Yoganandan N., Kumaresan S., Pintar F. A. Geometrical and mechanical properties of human cervical spine ligaments // Journal of Biomech. Engineering. 2000. Vol. 22. P. 623-629.
18. Deng D. C., Goldsmith W. Response of a human head/neck/upper-torso replica to dynamic loading. II. Analytical-numerical model // Journal of Biomechanics. 1987. Vol. 20, N 5. P. 487-497.
19. Skrzupiec D. M., Pollintine P., Przybyla A., Dolan P., Adams M. A. The internal mechanical properties of cervical intervertebral discs as revealed by stress profilometry // European Spine Journal. 2007. Vol. 6, N 10. P. 1701-1709.
20. Ступаков Г. П., Козловский А. П., Казейкин В. С. Биомеханика позвоночника при ударных перегрузках в практике авиационных и космических полетов. Л.: Наука, 1987. 240 с.
21. Stemper B. D., Yoganandan N., Pinter F. A. Validation of a head-neck computer model for whiplash simulation // Medical & Biological Engineering & Computing. 2004. N 42. P. 333-338.
22. Takeshima T., Omokawa S., Takaoka T., Araki M., Ueda Y., Takakura Y. Sagittal alignment of cervical flexion and expencion // Spine. 2002. Vol. 22. P. 2432-2442.
23. Хилл А. В. Механика мышечного сокращения. Старые и новые опыты / пер. с англ. Ю. А. Шаронова; под ред. Г. М. Франка. М.: Мир, 1972. 184 с.
References
1. Severy D. M., Mathewson L. H., Bechtol C. O. Controlled automobile rear-end collisions — an investigation of related engineering and medical phenomena. Proc. of the Montreal conference on medical aspects of traffic accidents, 1955, pp. 152-184.
2. Davidson J., Deutscher C., Hell W., Linder A., Lovsund P., Svensson M. Y. Human volunteer kinematics in rear-end sled collisions. Proc. of Intern. Council on biomechanics of impact. Goteborg, Sweden, 1998, pp. 289-301.
3. Yamazaki K., Ono K., Kaneoka K. A simulation analysis of human cervical motion during low speed rear-end impacts. Proc. of Society of Automotive Engineers World Congress. Detroit, USA, 2000, pp. 186-192.
4. Tencer A. F., Mirza S. K., Bensel K. L. The response of human volunteers to rear-end impacts: the effect of head restraint properties. Spine, 2001, no. 26, pp. 2432-2440.
5. Martinez J. L., Garcia D. J. A model for whiplash. Journal of Biomechanics, 1965, no. 1, pp. 23-32.
6. McHenry R. R., Naab K. N. Computer simulation of the automobile crash victim in a frontal collision. A validation study report no. YB-2126-V-1. New York, Cornell Aeronautical Laboratory, 1966, 86 p.
7. Tregubov V. P. Analis povedenia tela cheloveka pri gorizontalnom impulsnom vozdejstvii [Analysis of the human body behavior under horizontal pulse action]. Fizicheskaja mehanika [Physical mechanics], Leningrad, Leningrad University Publ., 1976, issue 2, pp. 140-154. (In Russian)
8. Tregubov V. P., Klikunova K. A., Asanchevsky V. V. Some peculiarities of the skeletal muscle modeling. Acta of Bioengineering and Biomechanics, 2008, vol. 10, suppl. 1, pp. 30-36.
9. Orne D., King Y. Liu. A mathematical model of spinal response to impact. Journal of Biomechanics, 1971, vol. 4, no. 1, pp. 49-71.
10. Mc Kenzie J. A., Williams J. F. Dynamics of cervical spine during whiplash. Journal of Biomechanics, 1971, vol. 4, no. 6, pp. 477-491.
11. Panjubi M., Brand R., White A. Tree dimensional flexibility and stiffness properties of human thoracic spine. Journal of Biomechanics, 1976, vol. 9, pp. 185-192.
12. Maroney S., Schultz A., Miller J., Anderson G. Load-displacement properties of lower cervical spine motion segments. Journal of Biomechanics, 1988, vol. 21, pp. 769-779.
13. Shea M., Edwards W. T., White A. A., Hayes W. Variations of stiffness and strength along the human cervical spine. Journal of Biomechanics, 1991, no. 2, pp. 95-107.
14. Sobczak P., Golinski W. Z., Gentle R. C. Biomechanical evaluation of anterior cervical spine stabilization using the finite element approach. Acta of Bioengineering and Biomechanics, 1999, vol. 1, no. 1, pp. 95-100.
15. Pintar F. A., Miclebust J., Sances A., Jr., Yoganandan N. Biomechanical properties of human intervertebral disk in tension. Proc. ASMEF Advances in Bioengineering (New York, USA), 1986, pp. 3839.
16. Ciach M., Awrejcewicz J., Maciejczak A., Radek M. Experimental and numerical investigations of C5-C6 cervical spinal segment before and after discectomy using the Cloward operation technique. Acta, of Bioengineering and Biomechanics, 1999, vol. 1, no. 1, pp. 101-105.
17. Yoganandan N., Kumaresan S., Pintar F. A. Geometrical and mechanical properties of human cervical spine ligaments. Journal of Biomech. Engineering, 2000, vol. 22, pp. 623-629.
18. Deng D. C., Goldsmith W. Response of a human head/neck/upper-torso replica to dynamic loading. II. Analytical-numerical model. Journal of Biomechanics, 1987, vol. 20, no. 5, pp. 487-97.
19. Skrzupiec D. M., Pollintine P., Przybyla A., Dolan P., Adams M. A. The internal mechanical properties of cervical intervertebral discs as revealed by stress profilometry. European Spine Journal, 2007, vol. 6, no. 10, pp. 1701-1709.
20. Stupakov G. P., Kozlovsy A. P., Kazejkin V S. Biomehanika pozvonochnika pri udarnih peregruzkah v praktike aviacionnih i kosmicheskih poletov [Biomechanics of vertebral column under the shock overload in the practice of aviation and space flights]. Leningrad, Nauka Publ., 1987, 240 p. (In Russian)
21. Stemper B. D., Yoganandan N., Pinter F. A. Validation of a head-neck computer model for whiplash simulation. Medical & Biological Engineering & Computing, 2004, no. 42, pp. 333-338.
22. Takeshima T., Omokawa S., Takaoka T., Araki M., Ueda Y., Takakura Y. Sagittal alignment of cervical flexion and expansion. Spine, 2002, vol. 22, pp. 2432-2442.
23. Hill A. V. First and last experiments in muscle mechanics. Cambridge, Cambridge University Press, 1970, 180 p. (Russ. ed.: Hill A. V. Mehanika mishechnogo sokraschenia. Starie i novie opyty. Moscow, Mir Publ., 1972, 184 p. (in Russian).
Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым. Статья поступила в редакцию 26 нoября 2015 г.
