CC BY
99
УДК 651.574.041
Б. А. Макаров, А. С. Кротов, А. А. Ж е р д е в
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ТЕПЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ХОЛОДИЛЬНОЙ КАМЕРЫ
Рассмотрены два варианта математического моделирования динамических тепловых характеристик. Приведены результаты расчетов и обоснование выбора математической модели для расчета холодильных камер.
E-mail: akrotov@mail.ru
Ключевые слова: динамические тепловые характеристики, холодильная камера, изменение холодопроизводительности, нестационарная теплопроводность.
В ОАО "ЦНИИ "Курс" совместно с кафедрой Э-4 МГТУ им. Н.Э. Баумана в течение нескольких лет ведутся разработки низкотемпературных холодильных камер различного назначения, работающих по циклу Клименко на многокомпонентных смесях хладагентов и рассчитанных на температуры до -150 °С. В настоящее время уже изготовлено несколько опытных образцов подобного оборудования. Однако дальнейшее развитие такой техники в большой степени связано с необходимостью во многих случаях контролировать скорость охлаждения объектов и заранее рассчитывать время замораживания. Для решения этих вопросов необходимо исследование изменения холодопроизводительности парокомпрессионных холодильных машин, работающих на смесях хладагентов, в процессе захолаживания объектов.
Настоящая статья является развитием этой тематики, в ней предлагается методика математического моделирования нестационарных тепловых процессов, при помощи которой можно получать данные об изменении холодопроизводительности на основе данных об изменении температуры в камере в процессе выхода на установившийся режим.
Расчет тепловых характеристик, таких как потребная холодопроиз-водительность и теплопритоки из окружающей среды, для холодильных камер, как правило, ведут, исходя из начального и конечного (при выходе на установившийся режим) тепловых состояний. В большинстве случаев такой метод обеспечивает достаточную точность расчета и не требует сложных вычислений, однако он не учитывает нестационарность процесса теплообмена, изменение теплопритоков из окружающей среды и холодопроизводительности холодильной машины в процессе захолаживания камеры. Нестационарность тепловых процессов
b
Рис. 1. Расчетная схема камеры: Рис. 2. Расчетная схема одномерной
То.с — температура окружающей среды; модели:
То — температура в камере; ^о — холо- ^о — холодопроизводительность; допроизводительность; и 52 — толщина Qо.с — теплопритоки из окружающей внутренней и внешней стенок; — толщи- среды на тепловой изоляции; а — длина камеры, Ь — ширина камеры
имеет существенное значение, особенно в небольших морозильниках, рассчитанных на низкие температуры (ниже -500С).
В общем случае корпус холодильной камеры представляет собой трехслойную конструкцию, состоящую из внешней и внутренней металлических стенок и заключенной между ними тепловой изоляции. Передача теплоты в каждом из слоев осуществляется теплопроводностью, а на внешней и внутренней поверхностях - конвективным теплообменом. В процессе выхода на установившийся режим эксплуатации холодопроизводительность низкотемпературной холодильной машины затрачивается на компенсацию теплопритоков из окружающей среды и охлаждение теплоемкой массы корпуса. Расчетная схема камеры приведена на рис. 1.
Таким образом, задача определения зависимости холодопроизво-дительности от температуры в камере сводится к задаче расчета нестационарного в общем случае трехмерного температурного поля теплоизолированного корпуса камеры.
В качестве первого приближения расчета температурного поля рассмотрим одномерную модель передачи теплоты, т.е. предположим, что процесс передачи теплоты осуществляется в направлении, нормальном к корпусу рабочего объема камеры (рис. 2).
Поскольку толщина стенок существенно меньше толщины тепловой изоляции, а коэффициент теплопроводности металлических корпусов существенно больше коэффициента теплопроводности материала теплоизоляции, то с достаточной степенью точности можно считать, что температура стенок не зависит от пространственной координаты. С математической точки зрения это означает, что уравнение теплопроводности для этих участков заменяется уравнениями теплового баланса.
д Т
SipiCpi —
Таким образом, при принятом допущении в рамках одномерной модели температурное поле по толщине тепловой изоляции теплоизолированного корпуса камеры описывается уравнением теплопроводности
дТ _ д_ Л дТч
ри Сри 0 0 I Ли 0 I ,
дт дх\ дх /
где ри, Сри, Ли — плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности материала теплоизоляции соответственно.
Уравнение теплопроводности для внутренней металлической стенки заменяется следующим уравнением теплового баланса:
дТ
_ — авнутр(Т |ж=0 — То) + Ли— , ) д — х=0
где ^1, р\, Ср1 — толщина, плотность, удельная теплоемкость внутренней стенки соответственно; авнутр — коэффициент теплоотдачи от внутренней стенки к воздуху внутри камеры; Т0 — температура в камере, зависимость которой от времени измеряется во время эксперимента.
Уравнение теплопроводности для внешней стенки заменяется следующим уравнением:
д Т дТ
&2Р2 Ср2 дТ' |х=5и _ авнешн(То.с — Т |х=5и ) — Ли
где 82, р2, СР2 — толщина, плотность, удельная теплоемкость внешней стенки соответственно; авнешн — коэффициент теплоотдачи от внешней стенки к воздуху окружающей среды; То с — температура окружающей среды.
Уравнения теплового баланса являются граничными условиями для уравнения теплопроводности.
В качестве начального условия для решения уравнения теплопроводности принимается условие равенства температуры теплоизолированного корпуса температуре окружающей среды, т.е.
Т 1 т=0 _ То.с.
Поскольку искомая холодопроизводительность д0 не входит в систему перечисленных уравнений, к ней необходимо добавить еще уравнение, описывающее теплообмен внутри камеры:
авнутр(Т |х=0 — Т0) — - _ 0
Твнутр
где Твнутр — площадь внутренней поверхности корпуса камеры.
Таким образом, математическая одномерная модель теплового состояния теплоизолированного корпуса холодильной камеры сводится
Рис.3. Расчетная схема двумерной модели
к краевой задаче решения уравнения теплопроводности в частных производных с граничными и начальным условиями. Данная задача решается методом конечных разностей [1]. Пример результатов расчета приведен далее.
Одномерная математическая модель расчета динамических тепловых характеристик не учитывает так называемых краевых эффектов, т.е. искажения температурного поля по толщине изоляции в углах теплоизолированной камеры, что может иметь существенное значение для небольшой камеры, поскольку суммарная толщина тепловой изоляции соизмерима с габаритными размерами рабочего объема камеры.
Для оценки краевых эффектов разработана двумерная плоская математическая модель расчета динамических тепловых характеристик. При этом также учитывалось допущение о том, что изменением температуры по толщине стенок внутреннего, внешнего корпусов можно пренебречь. Расчетная схема двумерной математической модели представлена на рис. 3.
Расчетная схема — это четвертая часть упрощенного разреза теплоизолированной камеры по одной из плоскостей симметрии.
Температурное поле по толщине изоляции описывается нестационарным уравнением теплопроводности
д Т _ д ( д Т \ д / д Т \
дт д х V д х / ду\ ду /
Уравнения теплопроводности для стенки внутреннего и внешнего корпусов, как и для одномерной модели, трансформируются в уравнения теплового баланса:
д Т
öi Pi Ср i -д^ = А
д Т 1 д х
авнутр I Т
ÍQ
) , ,д2 Т )+ Ai Öi ^
a г, b х = -; 0 ^ y < -2' У 2
д Т д2 Т
Öl Pi Ср i = Al Öl ~дХ2--авнутр !
(т ka- Т°)
Л дТ
+ Аи-
ду
ab
0 < x < -; у = -22
. г д Т д Т
ÖiPi Ср= Аи^Г"
дт дх
л дТ
b - Ai Tj У =2 дх
b
y= 2
дТ
+ Аи^_
ду
а — = 2
y
У
x
л дт
1 дУ
Х =a авнутр I Т
x= a — Т0 I-'авнутр( Т
-То
b —то
y=2
x = -; y = -2' у 2,
внутренний корпус; д Т (
82Р2 Ср2 = авнешн(^ То.с
Т
х = а +5н
дТ
— Ли
д х
а + Л 5
х = 2+^и 2 2 ду2
(х = 2 + 5и; 0 < у < 2 + 5и);
дТ
52Р2Ср2 ~дТ
^ х д2 Т
A2Ö2—17 + «в дх2
ТТ
о.с
b , х I Ли
У =2+»и
(0 < х < 2 + 5и; у = 2 + 5и);
дТ ду b 2
у =2
д Т /
52Р2Ср2 = авнешн(^ То.с
д Т
дТ
дТ
дх
Т
b , , + ^внешн
ТТ
о.с-
х=a +5н
дТ
ду
Х — г)
(х = 2 + 5и; у = 2 + 5и)
b
2 '"ll * 2
— внешний корпус.
Здесь Ai, Л2 — коэффициенты теплопроводности материала стенок внутреннего и внешнего корпусов. Остальные обозначения соответствуют уравнениям одномерной модели.
Как и для одномерной модели, уравнения теплового баланса для внешнего и внутреннего корпусов являются граничными условиями для уравнения теплопроводности на внешних поверхностях, ограничивающих теплоизолированный корпус.
Кроме перечисленных граничных условий, необходимо задать граничные условия на координатных осях. В силу симметрии конструкции теплоизолированного корпуса относительно координатных осей граничные условия на координатных осях сводятся к равенству нулю теплового потока в нормальных направлениях, т.е.
дТ ( b г\
9X1=0=° (° « У « 2 + ^
д Т ( а \
— =° ° < х + ¿и . ду y=o \ 2 /
В качестве начального условия для решения уравнения теплопроводности принимается условие равенства температуры теплоизолированного корпуса температуре окружающей среды, т.е.
Т(т, х, у) |т=0 = То.с = const.
b
a
Для определения холодопроизводительности также необходимо уравнение, описывающие теплообмен внутри камеры:
а (Т - Тп)__^^ — 0
^-внутру ср.внутр -'О/ Т-, и)
^внутр
где Тср.внутр — средняя температура внутренней стенки.
Таким образом, математическая двумерная модель теплового состояния теплоизолированного корпуса камеры сводится к краевой задаче решения уравнения теплопроводности в частных производных с граничными и начальным условиями. Данная задача решается методом конечных разностей [1].
Как для одномерной, так и для двумерной моделей были разработаны компьютерные программы, позволяющие вычислить зависимость холодопроизводительности, средних температур внешней и внутренней стенок и распределение температур по толщине корпуса от температуры в камере и времени работы.
Для примера расчета была взята холодильная камера с внутренним объемом 200 л, так как подобный тип камер широко распространен и именно для них такой расчет наиболее актуален.
Техническая характеристика камеры
Длина, мм..................................................................................420
Ширина, мм..............................................................................510
Высота, мм................................................................................560
Толщина изоляции, мм..........................................................160
Материал:
стенок..................................................................................Сталь
изоляции............................................................................ППУ
Коэффициент теплоотдачи на стенке, Вт/(м2-К):
внешней..............................................................................5
внутренней........................................................................10
Температура в камере была принята постоянной (Т0 — -90 °С), условное время расчета — 6 ч. Коэффициент теплоотдачи на внутренней поверхности камеры был принят большим, чем на внешней, так как предполагается, что для интенсификации теплообмена внутри камеры используется вентилятор. Тепловыделения от работающего вентилятора в примерном расчете не учитывались. Результаты расчетов по одномерной и двумерной моделям приведены на рис. 4 5.
Как следует из приведенных результатов, основным отличием двумерной модели является более высокая температура в угловых сечениях корпуса, что не учитывает одномерная модель. Также средняя температура внешнего корпуса, которая определяет теплопритоки из окружающей среды к корпусу камеры, в одномерной модели ниже, чем в двумерной, и разница увеличивается в процессе захолаживания. В результате расчетов по двумерной модели видно, что меньшая, по
Рис. 4. Средняя температура внутренней (а) и внешней (б) стенок для одномерной (сплошная кривая) и двумерной (штриховая) моделей
сравнению с одномерной моделью, часть холодопроизводительности затрачивается на компенсацию теплопритоков из окружающей среды, в то время как увеличивается часть, затрачиваемая на охлаждение тепловой изоляции.
Данные по холодопроизводительности в процессе захолаживания, которые и являются главной целью расчета, отличаются незначительно.
В результате можно сделать вывод, что для приближенных расчетов можно пользоваться одномерной моделью, хотя она и не учитывает некоторые факторы. Двумерная модель более корректна и обеспечивает результаты с достаточной для практических расчетов точностью, а в случае применения трехмерной модели полученные результаты по изменению холодопроизводительности будут отличаться еще меньше, следовательно, разработка намного более сложной трехмерной модели нецелесообразна.
Для расчета холодопроизводительности на основе экспериментальных данных об изменении температуры в камере оптимальной являет-
Рис. 5. Распределение температур (а) и холодопроизводительности (б) по толщине изоляции в конечный момент времени для одномерной (1) и двумерной (2. ..4) моделей
ся двумерная математическая модель. При этом погрешность расчета, а также влияние факторов (теплопритоков, обусловленных инфильтрацией воздуха через неплотно закрытую крышку), не принятых во внимание при расчете, можно учитывать при помощи введения поправочных коэффициентов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крылов В. И., Бобков В. В., М о н а с т ы р н ы й П. И. Вычислительные методы. Т. 2. - М.: Наука, 1977. - 147 с.
2. Лыков А. В. Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1967.
Статья поступила в редакцию 1.07.2010
