Математическое моделирование диагностики разрушения образцов горных пород Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

Полкунов Ю.Г, Каракулина Е.О.

ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГНОСТИКИ РАЗРУШЕНИЯ ОБРАЗЦОВ ГОРНЫХ ПОРОД

Статья посвящена разработке модели, описывающей процесс разрушения зернистых материалов. Предложен алгоритм численного расчета, позволяющий установить закономерности формирования и развития трещин в дискретных средах, нагруженных различными инструментами. Ключевые слова: разрушение, зернистый материал, трещина.

Цель данной работы - разработка численной модели разрушения зернистого материала и установление закономерностей формирования устойчивых и неустойчивых трещин.

Реализация цели осуществлялась посредством решения дифференциальных уравнений в частных производных:

д2их д2их 1

Эх2

д их • + . 2 +

ду 1 — 2у

1

д2их + д иу дх2 дудх

= 0,

дх ду

1 — 2у

дхду ду

= 0

где их - смещения по оси Ох; иу - смещения по оси Оу; п - коэффициент Пуассона.

На рисунке 1 представлена модель исследуемого образца материала, нагруженная симметричными инструментами с разными углами заострения. Высота данного образца составляла Ь=0,95 м, угол ф заострения инструмента варьировался от 0 до 180о.

При моделировании воздействия инструмента на образец была рассмотрена бесконечная полоса, размеры которой по длине в десять раз превышают высоту. Это позволило избежать влияния боковых вертикальных поверхностей на процесс образования микротрещин.

Рисунок 1. Схема нагружения образца симметричными инструментами

Структура материала представлена в виде сетки гексагоСнальных зерен с одинаковым диаметром зерна ё=1 мм. Формирование и развитие трещины по границам зерен происходит в пределах трех диаметров зерна материала [1]. С учетом этого была построена модель данной структуры, которая изображена на рисунке 2.

Упругие характеристики зерна и заполнителя имели одинаковые значения: модуль Юнга Е=3-103 МПа; коэффициент Пуассона v=0,3.

Рассматривалось четыре случая воздействия инструментов на зернистый материал:

- воздействие только нормальных напря-

«-» л 0

жений а$ -0;ап -ап , моделирующих инструмент с плоским основанием;

- воздействие касательных и нормальных напряжений, моделирующих внедрение симметричного клинового инструмента в породу

0. а,

5п а$

2* I

рения инструмента;

- воздействие только касательных напряжений а$ -а0°-,ап - 0.

Реализация модели и решение дифференциальных уравнений осуществлялись методом граничных элементов [2].

Граничные интегральные уравнения этого метода в процессе дискретизации границ представляются в виде следующей системы линейных уравнений:

—, — = п, — = п, где ф - угол заост-

а‘ - КБ +У [В Б . + В Б .]

$ $1 $1 $$1] $] 5П1] П] Л у

7-1

а'п - Кп1Вп1+ X [Вп,]В$] + Впп]Вп]] , I - , (1)

7-1

где N- количество всех граничных элементов;

- и„ (х,0_)+ ип (х,0+), - и, (х,0_)+ и, (х,0+) - ком-

поненты разрывов смещений j-ого отрезка трещины в нормальном и касательном направлениях соответственно;

д2

д2

д2

д2

и„ (х,0_ )и„ (х,0+) - нормальные смещения нижнего и верхнего берегов тещины;

и, (х,0_), и, (х,0+) - касательные смещения нижнего и верхнего берегов тещины;

а$ ,а'п - касательные и нормальные напряжения на границе тела соответственно;

кш,кц - нормальная и касательная жесткость заполнителя ього элемента соответственно;

в^,в^,в^.,вппЧ - фундаментальные решения.

Экспериментально было установлено, что процесс разрушения протекает в два этапа: де-локализованное накопление микротрещин и их объединение в крупные трещины вплоть до момента образования магистральных трещин, приводящих к макроразрушению и разделению тела на части [3].

Для выявления физической сущности этого процесса был предложен следующий критерий критического раскрытия микротрещин по границам зерен материала [4]:

ж Еат

где к 1 = 7 ■ 105 н/м32 - коэффициент интенсивности напряжений 1-го рода;

ат = 70 мпа - предел текучести материала. Формирование и развитие трещины происходило под действием постоянно увеличивающихся нагрузок на границе материала. Поэтому для численной реализации данного процесса система линейных уравнений (1) была решена относительно неизвестных Бщ, Бд к раз. При этом использовали следующий алгоритм расчета:

1. Если на к-том шаге ширина раскрытия і-той микротрещины не достигала критического значения, т.е. \ош(к *| <8^, то на берегах трещины прикладывались следующие нормальные

напряжения

полнителя кпі линейно уменьшались по следу-

ющей зависимости кпі = —109 ■ р®|+з 105

К

этом К.,, =

при

2(1 +у)

2. При р/] < 8кр к берегам трещины прикладывали касательные напряжения

а-<к> = £к/> ■ Р/>;

3.к 1 Если смещения в нормальном и касательном направлениях превышали критическое значение, т.е. рш| > 8 , |р.| > 8 , то на этом эле-

менте задавалось остаточное напряжение ар - _1 МПа, а Кп] - о,к]} - о. Значение ар - предел прочности материала при одноосном растяжении.

На рисунке 3 приведена кинетика образования микротрещин по границам зерен материала при увеличении нагрузки и воздействии различных видов инструментов.

Анализ полученных результатов показал, что процесс разрушения материала данного образца можно условно разделить на три стадии:

I - образование микротрещин по границам зерен материала;

II - объединение микротрещин в более крупную устойчивую трещину;

III - неустойчивый рост трещины.

Для выявления особенностей каждого этапа формирования и развития трещины при воздействии на образец разными инструментами, были составлены схемы образования микротрещин по границам зерен материала.

На рисунках 4 - 7 представлены схемы образования микротрещин по границам зерен материала при различных режимах нагружения и видах воздействия на породу. В виду сим-

Рисунок 2. Схема воздействия инструментов на образец материала

к=1

Рисунок 3. Изменение количества микротрещин N по границам зерен материала при увеличении нагрузки: а) а8 -0;ап-ап0 , б) а-ап°;а --апф , Ф-П, в) а>-ап°;а --апф , ф-^, г) а8-а0;ап -0

2‘8ф 2‘8ф

б)

в)

Рисунок 4. Схема формирования микротрещин при а$ - 0; ап - ап 0: а) ап - 80 МПа ; б) ап - 110 МПа;

в) ап - 260 МПа.

а)

б)

в)

0 ^ П

Рисунок 5. Схема формирования микротрещин при Оп -Оп ;их - —п—, — - "7:

2-* —

а) Оп - 80 МПа; и, - 69,3 МПа; б) Оп - 110 МПа; - 95,3 МПа; в) СТп - 260 МПа; - 225,2 МПа.

у\

в)

^ 2

а) = 60 МПа; = 112 МПа; б) = 110 МПа; = 205,3 МПа; в) = 360 МПа; = 671,8 МПа.

метрии результатов моделирования была рассмотрена только половина образца материала. Пунктирной линией изображены границы зерна материала, тонкой сплошной - границы зерен, подверженные растягивающим напряжениям, и жирной сплошной линией - микротрещины с шириной раскрытия превышающей критическое значение.

Схемы 4,а - 7,а показывают местообра-зование первых микротрещин по границам зерен материала и раскрывают особенности протекания первого этапа формирования трещины при различных видах нагружения материала. Возникновение первых микротрещин, независимо от геометрической формы индентора, происходит со стороны границы

0

Рисунок 6. Схема формирования микротрещин при &п —оп \и5 =

б)

в)

Рисунок 7. Схема формирования микротрещин при о!. = о°;оп = 0: а) о, = 55 МПа; б) о, = 110 МПа;

в) о, = 510 МПа .

контакта инструмента. Однако при воздействии на образец инструментами с плоским основанием и с углом заострения 60° образование микротрещин происходит на расстоянии двух диаметров зерна 2ё. Для образцов, нагруженных штампом и инструментом с углом заострения 60°, характерно образование ядра уплотнения материала под лезвием инструмента. Зона сжатия сохраняется в процессе всего нагружения образца инструментом с плоским основанием. При внедрении инструмента с углом заострения 60° это ядро исчезает после увеличения нагрузки. Для инструментов с более острым углом заострения можно отметить отсутствие ядра уплотнения.

Промежуточные этапы накопления микротрещин при последовательном увеличении нагрузки демонстрируют схемы 4,б - 7,б. Они показывают, что существенное влияние на образование микротрещин по границам зерен материала оказывают касательные напряжения. Накопление микротрещин в образцах нагруженных более острыми инструментами происходит намного быстрее.

Образование крупной неустойчивой трещины, как результат объединения микротрещин, можно наблюдать на рисунках 4,в -7,в.

При воздействии на образец материала штампом или инструментом с углом заострения 60° образование трещины происходит за счет объединения только вертикальных микротрещин. Уменьшение угла заострения инструмента приводит к увеличению количества наклонных микротрещин в материале.

Исследования показали, что при различных видах клинового нагружения картина формирования и развития трещины не одинакова.

Экспериментальные исследования по разрушению образцов на установке, позволяющей одновременно фиксировать величину нагружающего усилия, число и амплитуду электромагнитных импульсов на каждом этапе разрушения, установили такие же зависимости усилий нагружения от числа образованных микротрещин в образце [3].

Таким образом, разработанный алгоритм формирования микротрещин по границам зерен материала позволяет прогнозировать процесс разрушения образцов горных пород.

Список использованной литературы:

1. Полкунов Ю. Г. Математическое моделирование развития неустойчивых трещин в зернистых материалах / Ю. Г. Полку-нов, Е. О. Каракулина. - Вестник ОГУ.- 2007, №5.- с.181-184.

2. Крауч С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / С. Крауч, А. Старфилд. - М.: Мир, 1987.-328 с.

3. Тарасов Б.Г. Физический контроль массивов горных пород / Б.Г. Тарасов, В.В. Дырдин, В.В. Иванов, А.Н. Фокин.-М.: Недра, 1994.-240 с.

4. Партон В.З. Механика упругопластического разрушения / В.З. Партон, Е.М. Морозов. - М.: Наука, 1985.-504 с.