Математическое моделирование деформирования линии электропередачи с учетом теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.315.2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЛИНИИ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ С УЧЕТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Р.Ш. ГИМАДИЕВ, Т.З. ГИМАДИЕВА Казанский государственный энергетический университет

Разработаны математическая модель и программный комплекс расчета деформирования ЛЭП с учетом теплопроводности. Программа отрабатывалась на тестовых расчетах. На основании тестовых расчетов выбирается аппроксимация граничных условий. Приводятся результаты численного моделирования теплопроводности деформируемой линии электропередачи с учетом весовой распределенной нагрузки и температурного удлинения.

Ключевые слова: математическое моделирование, математическая модель, численное моделирование, уравнение теплопроводности, уравнение движения, динамическая задача упругости, тестовый расчет, граничные условия, аппроксимация граничных условий, термоупругость, теплопроводность, деформация, линия электропередачи, обледенение, нагрузка, весовая нагрузка, температурное удлинение.

Во многих регионах нашей страны в осенне-зимне-весенний период создаются благоприятные условия для образования гололедных отложений на линиях электропередачи (рис.1, [1]). Для борьбы с этим опасным явлением разрабатываются и используются различные технологии, в том числе основанные на нагревании проводов с целью плавки гололеда.

Рис. 1. Гололедные отложения на линии электропередачи

Представляет теоретический и практический интерес расчет процесса распространения тепла в деформируемых средах.

В данной статье разработана математическая модель теплопроводности в линиях электропередачи с учетом их деформирования. Совместно решаются уравнения упругости и теплопроводности весомой линии провода. Математическая модель реализована программно. Проведены тестовые расчеты теплопроводности и линейного теплового расширения, результаты тестовых © Р.Ш. Гимадиев, Т.З. Гимадиева Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

51

расчетов сравниваются с точными решениями. Проведен расчет провиса линии электропередачи с учетом веса провода, веса обледенения и температурного удлинения. Исходное состояние провода берется в виде прямой линии между опорами, натяжение в проводе при этом равны нулю. В соответствии с решением дифференциальных уравнений движения система через форму максимального нагружения и провиса переходит в равновесное состояние. При образовании гололеда масса провода увеличивается и система переходит в новое равновесное деформированное состояние. При включении нагрева провод еще больше провисает за счет температурного удлинения. После прогрева обледенение сбрасывается, температура по линейному закону спадает до температуры окружающей среды, и форма провода переходит снова в равновесное состояние, которое соответствует нагружению только весом самого провода.

1. Математическая модель задачи теплопроводности 1.1. Уравнение теплопроводности для линейного элемента имеет вид

ди д с-р— = — к dt ds

г

ди

~eSS

+ fo(s, t), (1)

где р - плотность материала, кг/м3; с - теплоемкость единицы массы, кДж/(кг-К); k - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); fo — плотность тепловых источников Вт/м3; и - температура, K; t - время, c; s - лагранжева координата, м. При к, с, р = const уравнение (1) принимает вид

£ = а2 д2т+ f , (2)

dt ds2

2

где а = к / (с -р) - коэффициент теплопроводности, а f=fo(s,t)/(с,р) .

Рассмотрим уравнение (2) в безразмерном виде, для чего введем

2 2 2 2

следующие безразмерные параметры: s1 =s /1, t1 =(a*t)/1* , f1 =(l* / a ) f , где l -длина пролета. Тогда уравнение (2) приобретает безразмерный вид:

+ f1

ди д2 и

д 1 дs 2

или, если в этом выражении опустить нижние индексы, то запишется в виде

дди=д2и+/, (3)

д дs2

где 0 < ж < 1; 0 < г < .

1.2. Уравнение теплопроводности в разностном представлении Уравнение (3) в разностном представлении по явной схеме имеет вид

и1+1 - и1 = и'+\ - 2и1 + «1-1 + ф\ т к2 1

где ф/ = //; ж I = 1- к;1 = 0,1,2, к, N,

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

52

к = 1/N - шаг разбиения по лагранжевой координате,

= 3 • т; з = 0,1,2,к,Ь, где /Ь - шаг интегрирования по времени,

N - число разбиений пролета,

Ь - число разбиений временного интервала.

Отсюда

«{+1 = (1 - 2-Г>/ + "ТУ («3+1 + «/-1) + тф/ (4)

к к

Устойчивость схемы в сеточной норме для шага интегрирования требует выполнения условия

к2

т = т^ =а—, 0 <а< 1. (5)

2

1.3. Аппроксимация граничных условий для уравнени я теплопр о водности Аппроксимацию граничных условий можно проводить двумя способами (вариантами).

Вариант 1. Для аппроксимации граничных условий воспользуемся квадратичным полиномом Лагранжа по трем точкам отрезка.

Для первых производных по времени на концах отрезка получаем:

=2Т (-3"0'+1+4"/ - «2),

«мт=2т (-3«м+х+н-1- «м - 2).

Первые производные на границе аппроксимируются со вторым порядком точности.

А для вторых производных по координате на границе имеем:

«ок =-;т( «0- 2«1 + «2), к

«мк = -гт(«м - 2«м-1 + «м-2).

к2

Вторые производные на границе аппроксимируются с первым порядком точности.

Тогда для границ на шаге интегрирования (/+1) имеем

«0+1 =- 1"7 «0 + -+ 2тф/,

3к2 0 Г к2' 1 3

«М+1 = - Т72 «М + Т^+ТТК-1- 3(1+2:Г)«М-2 + 2тф/. (6) ° к ° к ° к

Вариант 2. Для границ воспользуемся линейной аппроксимацией:

«0+1 - «0 = «0 - 2«1 + «2 + ф3

т к2

- + ф0,

«м+' «Му = «М 2«М-1 + «М -2 + ф3 2

тк

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

53

+ ф N.

Тогда имеем:

uJ0+1 = (1 + + uJ2 - 2u/) + тф0,

й2'° А2

4+1=(i++т2(4-2 - Н-1)+Чт • (7> h h

Для выбора варианта аппроксимации проводятся тестовые расчеты по обоим вариантам. Результаты тестовых расчетов приводятся ниже, в п.4.1.

2. Математическая модель динамической задачи упругости В работе [3] получены уравнения динамики движения линии электропередачи в пространственной постановке, отработан алгоритм решения и рассмотрены примеры. Гибкая система ЛЭП находится под действием веса провода. ЛЭП моделируется абсолютно гибкой системой, которая не воспринимает изгибных напряжений, но работает на растяжение и сжатие. ЛЭП с линейной плотностью po(s> = рпр (s> + роб (s> (линии провода и обледенения)

перемещается в пространстве под действием распределенной погонной нормальной нагрузки Fn и распределенной погонной касательной нагрузки FT, действующих на элемент провода. Углы между элементом ds гибкой системы и осями координат Oxi, Ox2 , OX3 составляют соответственно а, в, у.

Движение рассматривается в декартовой системе координат OxiX2X3. Опоры ЛЭП расположены в вертикальной плоскости OX2X3. Начальная форма принимается в виде отрезка прямой длиной пролета на высоте h параллельно оси OX2 . Считается, что в начальном состоянии ЛЭП не деформирована.

Деформация гибкой системы характеризуется степенью удлинения 1 = 1 + e, где e - относительное удлинение.

Уравнение движения в проекциях на оси координат записывается в виде:

cXi , . , . + FT—- + Fni sin ф sin а1 , ds

d vi d f T cXi

Po—1--1--1

д t д s ^ I ds

д v2 _ d f T dx2 ^

d t д s ^ Л Cs ,

д v3 d f T dx3 ^ Po "

Po

+ FT ^X2 - FnX cos ф cos ai,

дхз

я я + Fn^cosфsinY-Po^ (8)

d t д s ^ л ds J ds

где vi, V2, V3 - проекции скорости элементов на координатные оси; T -

натяжение,

cos a cos В

cos ai _ :, sin ai _-

._ 9 ¿111 V*1 — ■- 9

^cos2 a + cos2 P д/cos2 a + cos2 P

1 dxi 1 dx 2 1 дхз . Г 2~

cos a_--, cos P_--, cos у_--, sin у_д/1 - cos у .

Я ds Л ds Л ds

3. О совместном решении уравнений теплопроводности и упругости

Необходимым условием сходимости численного решения упругой задачи

по явной схеме решения дифференциальных уравнений является условие

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

54

Куранта-Фридрихса-Леви. Для материала с линейной характеристикой упругости Е шаг интегрирования по времени выбирается из условия т < к^рпр / Е , или

т = т« = ак^Рпр / Е, 0 < ал < 1, (9)

где а £ - коэффициент Куранта; к - шаг интегрирования по координате; рпр -

линейная плотность материала провода.

Для численных расчетов совместной задачи теплопроводности и упругости необходимо выбрать шаг интегрирования, удовлетворяющий условиям (5) и (9) , т.е.

к2

т = т* =а—, 0<а<1, * 2

и

т = т« < ку/Р0 / Е.

Для исходных данных, приведенных в разделе 4.1, расчет дает т* »1,5т«.

Следовательно, устойчивость задачи термоупругости будет обеспечена, если будет удовлетворено условие устойчивости упругой части задачи (9).

Разработанная математическая модель совместного решения задачи теплопроводности и упругости запрограммирована на языке ФОРТРАН.

4. Тестовая отработка программы 4.1. Тестовая отработка алгоритма расчета теплопроводности Для расчетов примем следующие исходные данные: Начальная длина провода = 160м; коэффициент линейного расширения

алюминиевого провода составляет а* = 23,8 • 10-6 1/К, [2]; модуль упругости 10 2

Е = 6,25• 10 Н/м - провода марки ЗАЛП [4]; диаметр провода й = 0,0147м;

3

плотность материала провода рпр = 2700 кг/м ; теплоемкость единицы массы с = 0,9кДж/(кг • К); коэффициент теплопроводности к = 209 Вт/(м • К),

/0 = 0Вт/м - плотность тепловых источников; «= 273,15 К - температура. Количество дискретных элементов в разбиении длины провода для разностной схемы N = 50.

Задача 1. В начальном состоянии температура провода равна температуре окружающей среды (минус 5°С). Пусть теплоизолированный провод разделен на две равные части. Мгновенно левый пролет нагрет до 200°С (473,15 К) , а правый имеет температуру окружающей среды (минус 5°С (267,15 К)). В безразмерном виде эти температуры составят 1,7322 и 0,9817. Перераспределение температуры по длине и по времени происходит без потери тепла (теплоизолированный провод) и процесс продолжается до температуры выравнивания до теоретической (безразмерной) величины (1,7322+0,9817)-0,5=1,35695, что соответствует 370,65089 К.

Расчеты теплопроводности проводим по подразделам 1.2-1.3 при аппроксимации граничных условий по варианту 1 и варианту 2 и сравниваем с теоретическим значением, чтобы выбрать вариант аппроксимации, с которым будут в дальнейшем проводиться расчеты. © Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

55

По варианту 1 (аппроксимация граничных условий квадратичным полиномом Лагранжа) численный расчет дает температуру выравнивания 1,36058 или 371,64243 К, выравнивание температуры происходит примерно за 2,3 с.

По варианту 2 (линейная аппроксимация граничных условий) расчет дает 1,35689 или 370,6345 К. Вариант 2 дает наилучшую сходимость с теоретическим значением.

Таким образом, в дальнейших расчетах граничные условия будем аппроксимировать по линейному закону, по варианту 2.

4.2. Линейное тепловое расширение. Пусть /1 - начальная длина провода при температуре «1 и /2 - конечная

длина провода при температуре «2 , при этом Д/ = ^ - ^ - удлинение провода, а Д« = «2 — «1 - разность температуры. Коэффициент линейного расширения обозначим а* . В соответствии законом линейного расширения имеем

Д/ =а*/1Д«.

Тогда конечная длина равна /2 = /1+ Д/ =/1(1 + а* Д«). Относительное температурное расширение составляет

в* =1—1 = а* Д«. (10)

/1

Усилие, возникающее в проводе за счет температурного расширения, [2]

Т = Е в*. (11)

4 *

Численные расчеты по математической модели п.1.1 с использованием формул (10), (11) по исходным данным подраздела 4.1 дают: относительное

температурное удлинение составляет в* = 24,4 • 10—4, усилие, возникающее в

проводе за счет температурного удлинения, соответственно, Т =25,9 кН.

Задача 2. Теперь рассмотрим следующую задачу: Пусть 1/10 часть пролета имеет температуру 200°С и со временем не изменяется. Остальная часть пролета в начальный момент имеет температуру минус 5°С, и она за счет теплопроводности нагревается.

Расчеты показывают, что температура выравнивается примерно через 4 секунды до температуры 200°С на всем пролете. И при этом температурное натяжение составляет Т =51,6 кН.

5. Расчет провиса линии ЛЭП с учетом веса провода, веса обледенения и температурного удлинения. Переходные процессы Пример расчет провиса деформированной линии электропередачи под действием весовой распределенной нагрузки проведен в работе [3] в соответствии с решением дифференциальных уравнений (8).

И здесь начальное состояние провода в расчетах принимается в виде прямой линии. (Обычно монтажная длина провода составляет Ьм = /0(1 + Тм /Е), где /0 -расстояние между опорами, Тм - монтажное усилие).

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

56

Итак, исходные данные в расчетах примем в соответствии с подразделом 4.1, и для примера пусть плотность обледенения равна плотности самого провода

роб =рпр .

На рис. 2 и 3 приводятся результаты расчета. В соответствии с решением уравнения движения (8) провод под действием только собственного веса движется до максимального прогиба /тах=3,4 м, при этом натяжение составляет 12 кН, затем в результате переходного процесса по истечении времени около 30 секунд самоустанавливается до формы равновесного состояния с прогибом /тах=2,3 м, рис. 2.

-0,05 -

Рис. 2. Форма проводов ЛЭП: форма провода без учета обледенения в момент действия максимального динамического

нагружения (1=2,7 с); -равновесная форма под действием веса провода

На эту форму равновесного состояния накладывается равномерная по длине масса обледенения. Система снова выходит на равновесное состояние с массой провода и обледенения, это состояние в момент времени * =51 с приводится на рис. 3. При этом максимальный прогиб составляет /тах =2,95 м и натяжение Т = 9,8 кН. Считается, что в момент времени * =51 с 1/10 часть пролета мгновенно нагрета до температуры 150°С, и эта температура держится неизменной на этой части и нагревает остальную часть пролета за счет теплопроводности в течение 5 секунд. В течение этого времени эта температура успевает распространиться и выравняться до 150°С по всей длине. При этом происходит удлинение за счет теплового расширения (рис. 3). В конце нагрева максимальный прогиб достигает величины 6,2 м, и температурное натяжение в проводе составляет величину 38 кН.

О 0,05 ОД 0Д5 0,2 0,25 0,3 0^5 0,4 0,45 0,5

-0,05 -

—опора ™™ земля

Рис. 3. Форма проводов ЛЭП с учетом: • веса провода с обледенением до начала нагрева (4=51 с); веса провода с обледенением в конце нагрева провода (1=56 с)

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

57

После этого масса обледенения считается сброшенной мгновенно и считается, что в течение одной секунды температура выравнивается (по линейному закону) с температурой окружающей среды, равной минус 5°С. Рассчитывается дальнейшее движение, система переходит в новое равновесное состояние с максимальным прогибом 2,3 м и натяжением в проводе 6,2 кН (это равновесное состояние приведено на рис. 2 сплошной линией).

Отметим, что изменение температуры по времени связано со скоростью (формула (1)), а изменение движение элементов провода связано с ускорением (формула (8)). Поэтому в конце нагрева провода температура по длине провода распределяется почти равномерно, а упругие относительные удлинения по длине имеют неустановившейся характер (температурные натяжения раскачивают упругую часть задачи, связанную с весовой нагрузкой самого провода), упругие натяжения только со временем выравниваются. Поэтому в конце нагрева более точно можно оценить только температурное натяжение.

Выводы. Разработанные математическая модель и алгоритм расчета динамической задачи термоупругости линии электропередачи представляют теоретический и практический интерес и могут быть использованы в исследовательских разработках в борьбе с разрывами при обледенении ЛЭП.

Summary

The mathematical model and the program complex of calculation of power lines deformation taking into account heat conductivity are developed. The program was fulfilled on test calculations. The approximation of boundary conditions is chosen on the basis of test calculations. The numerical simulation results of heat conductivity of deformable power line taking into account the weight load and temperature elongation are resulted.

Key words: mathematical modeling, mathematical model, numerical simulation, heat equation, the equation of motion, the dynamic problem of elasticity, a test calculation, calculation, boundary conditions, approximation of boundary conditions, thermoelasticity, heat conduction, strain, power line, icing, load, weight load, temperature elongation.

Литература

1. ОАО «ФСК ЕЭС» испытывает управляемое устройство плавки гололеда. 17 января, 2010 / http://elektroas.ru/oao-fsk-ees-ispytyvaet-upravlyaemoe-ustrojstvo-plavki-gololeda.

2. Кухлинг Х. Справочник по физике. Москва: МИР, 1982, 520 с.

3. Гимадиев Р.Ш., Динмухаметов Ф.Ф. Моделирование разрыва линий передачи энергий // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2008. №7-8. С. 137-143.

4. Модифицированный провод для ЛЭП напряжением до 35 кВ марок ЗАЛП и ЗАЛП-В / http://www.ruscable.ru/info/cable/zalp.html

Поступила в редакцию 14 апреля2011 г

Гимадиев Равиль Шамсутдинович - д-р техн. наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры «Высшая математика» (ВМ) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел. 8-917-8598975; 8 (843) 562-24-04. E-mail: gimadievr@mail.ru.

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

58

Гимадиева Тамара Зиевна - канд. техн. наук, доцент кафедры «Высшая математика» (ВМ) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел. 8-917-2888138; 8 (843) 562-24-04. E-mail: gimadievat@mail.ru.

© Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

59