МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДАВЛЕНИЯ НА ПЛУНЖЕР ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ СКВАЖИН, ДОБЫВАЮЩИЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ НЕФТИ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

MATHEMATICAL SCIENCES

MATHEMATICAL MODELING OF PRESSURE ON THE PLUNGER DURING OPERATION OF

WELLS PRODUCING VISCOELASTIC OILS

Akilov J.A.1

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor

Dzhabbarov M.S.1

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Gaybulov Y.Sh.1 Scientific researcher

1Samarkand State Architectural and Civil Engineering Institute named after Mirzo Ulugbek, Lolazor str.,

70, Samarkand, 140147, Uzbekistan

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДАВЛЕНИЯ НА ПЛУНЖЕР ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ СКВАЖИН, ДОБЫВАЮЩИЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ НЕФТИ

Акилов Ж.А.1

Доктор физико-математических наук, профессор

Джаббаров М.С.1 Кандидат физико-математических наук, доцент

Гайбулов Ю.Ш.1

Научный изыскатель

1 Самаркандский государственный архитектурно-строительный институт имени Мирзо Улугбека, ул. Лолазор, 70, Самарканд, 140147, Узбекистан

Abstract

The article discusses the mathematical modeling of the pressure on the plunger during the operation of oil wells containing viscoelastic oils. A calculation formula is proposed to determine the total pressure on the plunger during downhole pumping operation of wells containing high-viscosity oils. On the basis of the relaxation model, numerical experiments have been used to study the effect of the viscoelastic properties of oil on the pressure change on the plunger when it moves upward in the riser pipe.

Аннотация

В статье рассматривается математическое моделирование давления на плунжер при эксплуатации нефтяных скважин, добывающие вязкоупругие нефти. Предложена расчетная формула для определения полного давления на плунжер при глубинно-насосной эксплуатации скважин, содержащие высоковязкие нефти. На основе релаксационной модели численными экспериментами изучено влияние вязкоупругих свойств нефти на изменение давления на плунжер при его движении вверх в подъемной трубе.

Keywords: plunger pressure, viscoelastic and viscous fluid, relaxation time, lag time, original and Laplace image.

Ключевые слова: давление на плунжер, вязкоупругая и вязкая жидкость, время релаксации, время запаздывания, оригинал и изображение по Лапласу.

Введение. Задачи контроля и управления технологическими процессами часто требует моделирование движения жидкостей с неравновесными реологическими свойствами. Интенсивное развитие механики вязкоупругих жидкостей - жидкостей, проявляющих как вязкое течение, так и упругое восстановление формы, обусловлено насущными потребностями практики и имеет применения в различных областях науки и техники, в частности, нефтедобыче. Имеется обширная литература по исследованию движения вязкоупругих жидкостей, из которых можно отметить [1-7].

В [7] экспериментальными исследованиями установлено, что нефти некоторых месторождений Узбекистана являются высоковязкими вязкоупру-гими жидкостями. Их структурно-механические

свойства, в основном обусловлено высоким содержанием асфальтено-смолистых и парафинистых веществ. При эксплуатации скважин глубинными штанговыми насосами с плунжерным лифтом, содержащие вязкоупругие нефти необходимо будет учитывать их релаксационные свойства. Ниже рассмотрено теоретический способ определения давления на плунжер при его движении вверх с учетом вязкоупругих свойств добываемой нефти. С помощью полученных формул, численными экспериментами изучено влияние вязкоупругих свойств жидкости на изменение полного давления на плунжер.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу определения давления на плунжер в подъемной трубе при эксплуатации нефтяных скважин глубинными

штанговыми насосами. Для математического моделирования процесса, относительно движения жидкости (нефти) используем общепринятые допущения (ограниченность скорости, условие прилипания на стенке трубы, пренебрежение концевыми эффектами).

На рис. 1 показана схема распределения скорости жидкости в кольцевом пространстве между колонной труб и штанг, относительно неподвижной системы.

Изменение давления жидкости на плунжер обусловлено ее инерцией, и полное давление на плунжер p(t) будет

p(t) = Ap(t) + (L — h)pg + p0, (1)

где t — время; Ap(t) — потери давления при нестационарном движении жидкости в подъемной трубе кольцевого сечения; p0 — давление на устье;

L — высота поднимаемого столба жидкости; h — глубина погружения глубинного насоса; р — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения.

Реологическое уравнение состояния жидкости (нефти) принимаем в виде

5

V1 + Äl Jty't ^ = ß

1 + ¿2— I —, (2)

dt J dr

где г — радиальная координата; V — скорость жидкости; ц — динамическая вязкость; т — касательное напряжение; Л и Л2 — время релаксации и время запаздывания.

Уравнение (2) при Л = Л = 0 выражает закон вязкого трения Ньютона, при Л > 0, Л = 0 -модель вязкоупругой среды Максвелла, а при

Л > 0, Л > 0 — модель двухпараметрической вязкоупругой жидкости Олдройда (Л > Л )• С учетом уравнения движения

дг Ар 1 д / \

Р— = — +--\гт),

д- Ь г дг

нетрудно получить дифференциальное уравнение относительно скорости жидкости:

(, . д \ дv 1 д ( (, „ д Л дv Л

Р 1 + Л^7 ^ =

r dr

r\ 1+ Л,— I —

dt J dr

+

1+л !]Ар, (г2 < г <к), (3)

где г2 — радиус штанга, Я — радиус подъемной трубы.

Для определения потери давления в подъемной трубе Ар(-) используем уравнение баланса:

Я

0 = ж(г! — г22 >р (-) = ^(г, -(4)

г2

где 0 — расход жидкости; г — радиус плунжера; V (-) — скорость движения плунжера.

Следуя работе [8], скорость плунжера в период одного цикла Т его движения, можно представить в виде

.. 24v0 ^ 1 — (—1)п . 2жп-Vp (-) = 7 —У^ЯП —, (5)

Ж

W I

■11

П=1

n

3

T

где — средняя скорость движения точки подвески штанг. Графики зависимости от времени скорости и ускорения плунжера для Т = 20с, v0 = 0.60 м / с приведен на рис. 2.

скорости и ускорения плунжера для приведен на рис. 2.

Рисунок - 1. Распределение скорости жидкости в кольцевом пространстве между колонной труб и штанг относительно неподвижной системы

Рисунок - 2. Графики зависимости от времени скорости и ускорения плунжера.

1 — Vp (-); 2 — V,(-).

Vх

Начальные и граничные условия для уравнения (3), в соответствии с принятыми допущениями, имеет вид

^г, 0) = 0, ^(г,0) = 0, (г2 < г < Я); (6) д-

v(r2,-) = Vp(-), v(R,-) = 0, (- > 0). (7)

В практике эксплуатации нефтяных скважин глубинными насосами, в большинстве случаях, радиальный зазор между трубой и колонной штанг можно рассматривать как плоская труба[8]. В этом случае уравнение (3), равенство (4), начальные и

граничные условия (6)-(7) можно представить в d2~

следующем виде: (1 + ^s)—^- ~s(1 + Аs)~(x,s) =

dx

Т+Xn¡jit=Т+ X g¡Jy + -(1+ Xs)~(s), (0 < x < 1) (.7)

с граничными условиями

' -]q(t), (0 < y < i); (8) ~(0, s) = ~р (sX ~(1, s) = 0 (18)

1 + ]а(г), (0 < у < I); (8)

V дг) Равенство (16) в изображении по Лапласу при-

I нимает:

- ^ )V, (г) = 2ж( (у + г2 X у,! )Л; (9) г2 - г2 ~ _ \ г2

0 ^¡Т- ~р (5) = | (х + -2->(х, ^х . (19)

у 0) 21 0

v( у, 0) = 0, —= 0, (0 < у < I); (10) Решение уравнения (17) с условиями (18)

дг можно представить в виде

у(0,!) = Vo(г), v(/, г) = 0, (! > 0), (11) - х)

V (х, = Vр ( +-

где i = R - r2, q(t) = Ap(¡) / L. p shw s

Л shw(1 - x) shwx ^ ;--1----;— (20)

shw shw j где w = t]s(1 + Xl s) /(1 + X2 s) .

Уравнение (3) и соотношения (5)-(7) выражает математическую модель рассматриваемого процесса. Отметим, что в [8] рассмотрено приближенное решение данной задачи для вязкой жидкости, в [9] получено точное решение для вязкоупругой жидкости Максвелла. Шдставлга (20) в (19) получим следующую

Для решения сформулированной задачи сна- формулу доя ~(: чала введем безразмерные параметры: I

и у и ■ и ~(= (■ f(w'), (21)

г=Ат г, х = у, т=Ат т, х1=Атк1, I+2г р

pi2 i pi2 1 pi

'2

где

и v v i2 V(w) w

X2 = ^Я2,v = —, vp = -p-, q =-q. (12) /(w)= —-, W(w) =1 -chw + -shw,

pi Vo p Vo uvo W(w) 2

С учетом (12) в безразмерных величинах полу- Г Г2 - Г2

чим уравнение (рЩ = 1--+ у (1 - екм>) + 12 .

, -лл-л- / w I 21

|1 + 4 _ |_ = |1 + 4 _ + С целью перехода в (21) в оригинал по

V 1 дг') дг' V 2 дг' )дх2 Лапласу, разложим функцию /(w) в ряд, исполь-

А д Л зуя теорему Коши о разложении мероморфной

1 + Х1 — \д' (г'), (0 < X < 1), (13) функции на простые дроби [11]:

V

d¡' j 4 f »

с начальными и граничными условиями f (w) = —0 + 4^

^ л dV(x,0) л ^ ^ w2 k=;

v(x, 0) = 0, —= 0, (0 < x < 1); (14)

d¡ 4/0(1 + X2 s) ^

v(0, ¡') = vp (¡ \ v(1, ¡) = (.5) s01 + ^s) + 4£í

1 . + .

w 2 + ak2 ¥k (w 2 + wk2)

1 + X s

2 ■ +

p

Соотношение (9) в безразмерных переменных принимает следующий вид:

s(1 + X s) + (1 + X2 s)a 2

+ _ wkPk (1 + X2s)

Г12 - Г22 _ ., 1, ^ Г2 Щк (5(1 + 45) + (1 + Х2)

- V (г) = I (х + (х, г )ах. (16) ■

21 р о 1 где ^ = 2кж; щ = 2гк, (к = 1,2,...) -

Для решения уравнения (13) с краевыми усло- положительные корни уравнения щ(щ) = 0; ^ -виями (14)-(15) применим интегральное преобразование Лапласа [10] ш^жителмью корни уравнения = г;

3 / 2 2 \

~(х, 5) = I е - * V (х, г ' )аг ', 5) = I е - (г ' )аг ', ■/0 =ут 1Г1 - Г2 - Г21)-1;

0 0

Wk = wk cos wu - Sin wk,

~(s) =f e-stq(t' )dt', Sin wk r2n л r12 - r22 .

0 Vk =1 —— - cos wk)wkSin wk;

и в изображении по Лапласу получим диффе- k

ренциальное уравнение Перех°да к оригиналу найдем оригинал

0(¡ ) , соответствующий к изображению /(w) в

следующем виде:

0(0 = 4fo

1 -

1

. 4

-2аГ

+ 8e

-at'

I

k=1

F (ak ß, t ') + ^ .F (a ,ß, t ')

Vk

1+ X2ak, ßk =441

(22)

где 1

= —т, a

a1k = 1 + ß1k = V4Ä

22

F (A, B, t ') =

X2 cos aBt'+(1 - X2 aA)

-a12k = sin aBt

aB

e

-aAt

Используя теорему о композиции операционного исчисления из (21) найдем оригинал д(/ '), соответствующий к :

I С <ЗУп (£) д(Г ') = 7-^- | , • Ф{1 '-(23)

q(t') =

I + 2г2 1 С учетом (22) из (23) получим:

41 ,

/ ^ Ц ') - /

l + 2r

2

Л

V 'Ч

t /

I e -2a(t' -z) ^^ dz + 2aI \ [F(a*, ßk, f-z)

dz

k=1 0

+-F (a1k, ß1k, t - z)

Vk

dVp(z) I

(24)

где

24 ^ 1 - (-1)n . 2mty

A? ) = -г I--T-^sm-

3 / • 3

Ж n=1 n

T

dvp (t') 48 " 1 - (-1)n 2mt' —--= —;— I -\ cos-

df ж V t? я

p, МПа 8.5

T

7.5

Перепад давления Ар(^) на плунжер, при известной скорости ее движения определяется по формуле:

Ap(t) = Evrq (f). l

(25)

Полное давление на плунжер р(1) определим подставляя (25) в (1).

Результаты расчетов и выводы. С помощью полученных формул проведены численные эксперименты по расчету полного давления на плунжер, используя следующие исходные данные:

Ь = 1000 м, к = 100 м, у0 = 0.60 м/с, р0 = 105 Па, Т = 20с, Я = 0.030 м, Г = 0,02988 м, г = 0,010 м при значениях параметров релаксации: Л = Л = 0 (вязкая ньютоновская жидкость); Л =1 с, Л = 0.5 с;

Л = 2 с, Л =1 с; Л = 3 с, Л =1 с;

Л = 5 с, Л = 2 с..

На рис. 3 приведен графики зависимости от времени полного давления на плунжер при его подъеме вверх для значенияй вязкости и плотности

нефти ¡л = 0.07 Па • с, р = 800 кг / м3. Графики показывает, что вязкоупругие свойства нефти в процессе разгоне плунжера приводит к отставанию значений полного давления относительно вязкой жидкости, а при замедлении подъема и в момент торможения - наоборот, к опережению. С усилением вязкоупругих свойств разница между профилями давления вязкой и вязкоупругой жидкости возрастает, максимум давления смещается вправо по оси времени.

р, МПа

--1 ----2 ------3

/ ^

/ / У Хч

V'* XX

/V

/V V\

/V /* /+' & \ч \ S

7.5

„V > \ч

----2 ------3

0

6

8

Г. с

10 0

8

Г. с

10

Рисунок - 3. Графики зависимости от времени полного давления на плунжер при его подъеме вверх.

¡л = 0.07 Па • с, р = 800кг /м3 и:

а. 1— Л =Л = 0.; 2 — Л =1 с, Л = 0.5 с; 3 — Л = 2 с, Л =1 с;

б. 1— Л = Л = 0.; 2 — Л = 3 с, Л =1 с; 3 — Л = 5 с, Л = 2 с.

e

0

Рисунок - 4. Графики зависимости от времени полного давления на плунжер при его подъеме. и = 0.10 ^ ■ с, р = 900 кг / м3. а. и б. как на рис. 3.

Расчеты давления для

/л = 0.10 ^ ■ с, р = 900кг / м3 покаывает, что с ростом вязкости и плотности жидкости давление на плунжер увеличивается. Вид профилей давления и характер влияния вязкоупругих свойств сохраняется, но степень его влияния растет. Это особенно заметно при разгоне подъема и в момент торможения плунжера. С ростом разности Л2 влияние вязкоупругих свойств проявляется отчетливо.

Заключение. На основе полученных формул и проведенных численных экспериментов можно заключить, что при эксплуатации скважин, добывающих вязкоупругие нефти глубинными насосами, необходимо учитывать релаксационные свойства нефти.

References

1. Astarista G. and Marrucci G. Principles of Non-Newtonian Fluid Mechanics. McGraw-Hill, New York, 1974. 289 pp.

2. Chhabra R. P., Richardson J.F. Non-Newtonian Flow and Applied Rheology: Engineering Applications. Butterworth-Heinemann / IChemE. 2nd Edition. 2008.

3. Casanellas L., Ortirn J. Laminar oscillatory flow of Maxwell and Oldroyd-B fluids: Theoretical analysis // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 2011.166. P. 1315-1326.

4. Makris N., Dargush G. F., Constantinou M. C. Dynamic Analysis of Generalized Viscoelastic Fluids

// Journal of Engineering Mechanics, 1993.119 (8). P. 1663-1679.

5. Ametov K.M., Baidukov Yu.N., Ruzin L.M., Spiridonov Yu.A. Extraction of heavy and high-viscosity oils. - M .: Nedra, 1985 .-- 205 p. [Published in Russian].

6. Akilov Zh. A., Dzhabbarov M. S. and Khu-zhayorov B. Kh. Tangential Shear Stress under the Periodic Flow of a Viscoelastic Fluid in a Cylindrical Tube. - Fluid Dynamics, 2021, Vol. 56, No. 2, pp. 189199. DOI: 10.1134 / S0015462821020014.

7. Akilov Zh.A. Unsteady motions of viscoelastic fluids. Tashkent: Fan, 1982. 104 p. [Published in Russian].

8. Mirzajanzade A.Kh., Khasaev A.M. and others. Theory and practice of the

use of deep pumps with a hydraulic seal. - M .: Nedra, 1968 . - 158 p. [Published in Russian].

9. Akilov, J., Dzhabbarov, M. S. & Gaybulov, Y. S. (2020). Stress modeling on the plunger at operation of the holes mining n-Newton oil. ISJ Theoretical & Applied Science, 10 (90), pp. 118-123. Doi: https://dx.doi.org/10.15863/TAS.

10. Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Operational calculus. Moscow: Nauka, 1975. - 256 p. [Published in Russian].

11. Lavrent'ev M. A, Shabat B. V. Methods of the theory of functions of a complex variable. -M.: Nauka, 1987. - 688 p. [Published in Russian].