CC BY
44
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРЭНЕРГЕТИКА
УДК 621.313
A.A. АФАНАСЬЕВ, A.B. НИКОЛАЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕСПАЗОВОГО ЭЛЕКТРОГЕНЕРАТОРА ДЛЯ БЕЗРЕДУКТОРНОЙ ВЕТРОУСТАНОВКИ
В последнее время все актуальнее становится проблема энергосбережения, использования нетрадиционных источников энергии, к числу которых относится энергия ветра. Данный вид источника энергии является экологически чистым и возобновляемым, его потенциальные запасы огромны.
На основании многолетних замеров установлено, что в более чем 65 районах СНГ скорость ветра превышает 6 метров в секунду [6]. Следовательно, в этих районах использование энергии ветра оправданно. Учет общего кадастра ветровой энергии в СНГ показывает, что его потенциальные возможности равны примерно 11 млрд кВт, что в 55 раз больше мощности электростанций стран СНГ на начало 1976 г. Поэтому рассматриваемая тема - использование даровой энергии ветра за счет эксплуатации ветроэнергетических установок (ВЭУ) - актуальна.
В безредукторных ветроустановках ротор синхронного генератора (СГ) обращенного исполнения непосредственно сопрягается со ступицей ветроко-леса и имеет сравнительно малую скорость вращения. СГ имеет большое число полюсов, изготовленных из ферритовых магнитов в форме прямоугольных брусков, наклеенных непосредственно на внутреннюю поверхность стальной трубы, являющейся обращенным ротором.
Неподвижный якорный сердечник изготовлен из стальной ленты, навитой на ребро. На его поверхности уложена беспазовая трехфазная обмотка. Беззубцовое исполнение якоря придает сравнительно высокую жесткость внешним характеристикам СГ.
Простота конструкции и технологии изготовления, дешевизна магнитов обеспечивает невысокую стоимость СГ.
Для углубленного электромагнитного расчета СГ с учетом особенностей конструкции, оптимизации функциональных свойств необходимо разработать его адекватную полевую математическую модель достаточно высокого уровня.
Основу математической модели составил метод сопряжения конформных отображений [1].
Для описания электромагнитных явлений, происходящих в электрической машине, принимаются следующие общепринятые допущения:
1. Магнитное поле в пределах активной длины машины считается плоскопараллельным.
2. Отсутствует гистерезис. Потери в стали (в статоре - на перемагничи-вание сердечника и вихревые токи, в роторе - только на перемагничивание) не входят непосредственно в уравнения электромагнитного преобразования энергии.
3. Равномерное распределение плотности тока по круглому сечению проводников. В случае, если плотность тока в сечении реального проводника имеет существенные отличия, он может быть разбит на несколько условных проводников, в каждом из которых протекает свой собственный контурный ток постоянной плотности.
4. Магнитные поля рассеяния в торцевых частях обмоток машины не зависят от насыщения магнитной цепи и углового положения ротора.
Произведем расчет магнитного поля (МП) и характеристик СГ с техническими данными:
/У=ЗкВт; и=200об/мин: У=50Гц; т=3; 2р=30; Ц,ф 220В; /„=5,7А;
Рис. 1. Поперечная геометрия синхронного генератора
Материал магнита - феррит-стронция 21СА320 с 2?г=0,34Тл и #с=239кА/м. Ярмо ротора - сталь 3. Ярмо якоря - электротехническая сталь 2013. Расчетная длина /¿=58*10'3 м. Обмотка якоря выполнена из медного провода круглого сечения с £//й?ш=1,25мм/1,ЗЗмм. Суммарная толщина обмотки - 10 мм. Число проводников в фазной зоне - {7^=105=15*7 (7 слоев по 15 проводников в каждом слое). Активное сопротивление фазы г=9,35 Ом.
На рис. 2 приведена расчетная область СГ, соответствующая половине пространственного периода МП, разбитая на 19 ЭУ, имеющих форму кольцевых секторов. Все ЭУ конформно отображаются вначале с помощью преобразования м>=1п2 на прямоугольники, а последние с помощью дифференциального уравнения Кристоффеля-Шварца (Ьм/с1г=к(1) - на верхнюю полуплоскость.
Рис. 2. Разбиение расчетной области на элементарные участки с точками наблюдения на границах
Три ЭУ (14,15,16) являются вихревыми, в них располагаются якорные проводники, принадлежащие соответственно фазам В, А и С. Плотности тока в них равны:
ЛИ=^/ШХ14' Д*6-(/^1сКб4, О)
где ¿к (к=А, В, С) - мгновенные значения фазных токов; 5г- (/=14, 15, 16) -
суммарные сечения фазных зон.
Вихревые МП этих зон заменяются суммой потенциальных и дополнительных МП [2]
Н = Нр+Н0, (2)
где дополнительное МГ1, определяемое интегралом
У
И0 = Н0х = ¡ЫУ’ <3)
У и
будет иметь компоненту только по оси х (рис. 3, а).
Поскольку интегрирование в формуле (3) проводится в направлении сужения вихревой зоны, то источники потенциального МП будут находиться только на границах вихревых зон (объемные магнитные заряды внутри зон
отсутствуют [1]). Это будет, во-первых, простой слой поверхностных магнитных зарядов на правой (п) и левой (л) радиальных границах с плотностью
0П(Л) = -и0°^0 = (±>‘о("(Ы -нол\ <4>
где • нормальные к радиальной границе составляющие дополни-
тельного МП рассматриваемой (1) и соседней (2) вихревых зон.
Во-вторых, - бесконечно тонкий слой тока фазной зоны (рис. 3, а)
1р = Дг5(;(г = 14,15,16), (5)
с линейной плотностью Я0т, размещаемый на радиальных границах (здесь //0т = НохтахСОЪО.) И НЭ НИЖНеЙ (ярМОВОЙ) СТОрОНе ЗОНЫ (здесь #0т= Нохтах=1ф/Ьср, где Ьср=(Ь,+Ь2)/2).
Этот бесконечно тонкий слой тока зоны 1^3 необходим для ограничения области с полем Н0 в пределах сечения фазной зоны. Этот слой может восприниматься в виде двойного слоя магнитных зарядов. При переходе через токовый слой имеем скачок скалярных магнитных потенциалов (СМП), однако нормальная составляющая индукции сохраняет непрерывность.
Поверхностные магнитные заряды при расчете МП реализуются как скачок нормальной составляющей напряженности МП на радиальных границах на величину скачка известных дополнительных полей (нормальных составляющих) вихревых зон, при этом, однако, нормальные составляющие индукции результирующего МП на радиальных границах сохраняют непрерывность (не испытывают скачка).
Токовый слой зоны имеет два обратных провода (рис. 3, в), размещенных вне расчетной области.
Скалярный магнитный потенциал (СМП) токового слоя определяется выражением
/
17 /2-
"От*
/ = 14,15,16,
(6)
где I - переменная интегрирования, отсчитываемая от левого края зоны.
Из этой формулы с учетом зависимости <3х=сасоэа и равенства (3) можем получить следующие выражения для СМП токового слоя соответственно на левой, ярмовой и правой сторонах зоны:
ф1 ч '¿Л Г V о А
2 |2 .2 ~Ь2 +• 2 2 х * — ^ 2 > X
фз.
фз
X + —=■ 2
(7)
(8)
£/,(*)—
,Ф3и ' / "2 л,фз 4Ч ~ X Л / н_ Ь2Л + ъ1_
Ъ\ +Ь2 2 "> Ь2х-Ь-2 2 Т 2 X \ 2 J 8
(9)
Графики изменения СМП на наружной поверхности ярма якоря одной фазной зоны и,(х) и всей обмотки якоря и^(х)= и■ (х) изображены на рис. 3, б), 4.
Токовые слои на ярмовых участках фазных зон и их обратные линейные проводники вместе с линейными лобовыми участками образуют магнитные листы (поверхности), расположение которых выбирается по соображениям удобства расчета МП. Будем считать положение этих листов совпадающим с наружной поверхностью ярма якоря. СМП токовых слоев и%(х) является вторым источником потенциального МП в машине.
Третьим источником потенциального МП выступает постоянный магнит, точнее - дивергенция его вектора намагниченности М , которую можно рассматривать как магнитные заряды с объемной плотностью рм. Из условия
6\уВ = Ц0(сНуМ+&уЯ1 = О (10)
следует
РЛ/ = Ц 0<*М/= -ц0(ИуМ. (11)
При однородном характере поля М внутри магнита (р„=0) вместо объемной дивергенции следует рассматривать поверхностную, которая воспринимается как магнитные заряды с поверхностной плотностью
- М и А/ = Ц0(УЛ/Л - *А/„). (12)
где ^ ^Мп - нормальные составляющие вектора М на общей границе /-го и
к-уо ЭУ.
Параметры магнита фиксируем по оси легкого намагничивания а и по перпендикулярной ей оси (3.
Имеем
Ва(р) = ^0 Ксф)+ I1 + *сф)К(р)1 ’ <13)
где Мт(Р), А',:, - соответственно остаточная намагниченность и восприимчивость по указанным осям являются паспортными величинами [4].
Для выбранного ферритового магнита 21СА320 принимаем
ц0Мга=0,34 Тл; Мф-0; £„=0,1074; Кр^/50.
Установим общую сквозную нумерацию СМП для всей расчетной области
I
и]
ф= ' фз
л\а
в
= -Ф
фг
—1^ 12
Рис. 3. К расчету магнитного поля в вихревых зонах
Для точки ^ (</е.?), совпадающей с точками наблюдения двух соседних ЭУ с номерами / и к, справедливо
Ч<Г*ВИ(?. (14)
Распространив равенство (14) на все аналогичные точки наблюдения, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неиз-
Т
вестного вектора и = [г/| I/, ... и^] , имеющую вид
|А|ч = Г, (15)
где [А] - квадратная матрица размера ¡2.
Ненулевые элементы вектора Г представлены источниками МП: остаточной намагниченностью Мт магнита; значениями напряженности Нт дополнительного магнитного поля; значениями скачка Ь\ в тех точках наблюдения, через которые проходят токовые магнитные листы обмотки якоря.
В рассматриваемой задаче р=528.
Решение СЛАУ производилось прямым методом Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице.
Распределение скалярного магнитного потенциала на границе ЭУ аппроксимировалось кусочно-ступенчатыми функциями.
При формировании уравнений (14), (15) учитывались также условия на внешних границах всей расчетной области:
1) нормальные составляющие магнитной индукции в точках наблюдения на наружных поверхностях ярем статора и ротора равны нулю (граничные цилиндрические поверхности расчетной области непроницаемы для МП);
2) нормальные и тангенциальные составляющие магнитной индукции на радиальных границах (левой и правой) отличаются только знаками.
С целью повышения точности расчета МП матрицы |^| и [Ч] каждого ЭУ подвергались нормировке [1] из условий, во-первых, точного выполнения
этих формул в тестовом равномерном МП и, во-вторых, обеспечения равенства нупю потока вектора магнитной индукции через границу каждого ЭУ (обеспечение непрерывности поля вектора магнитной индукции).
Таблица 1
I 1и у А 1Вп], Тл ° е-
і 18 -1.9014760е+001 1.5773806е-015 1.106е+003
(152) 36 -2.7462105е+001 -2.09853 ІЗе-015
54 -2.14969 Ібе+001 1.3508553е-015
74 2.8868989е-001 6.1877372е-001
94 -2.2122986е+001 -2.3012022е-001
112 -2.9548046е+001 -1.9965083е-001
130 -2.3143843е+001 -2.2542709е-001
151 -2.8868989е-001 6.1877372е-001
3 14 -2.5213608Є+001 2.1606269е-001 -
(120) 28 -2.9554558е+001 1.9962999е-001
42 -2.5640128е+001 2.1416728е-001
58 8.5472367е+002 -4.6097708Є-002
74 4.5788230е+003 -1.8325140е-001
88 4.9219704е+003 -1.8687575е-001
102 4.6507869е+003 -1.8381476е-001
119 8.7511023е+002 -4.6007347е-002
9 2 4.9159654е+003 1.864107ІЄ-001 1
(24) 4 4.9225323е+003 1.8588647е-001
6 4.9188616е+003 1.8551302е-001
10 4.7304004е+003 -1.7393418е-002
14 4.462768ІЄ+003 -1.8289087е-001
16 4.4713210е+003 -1.8392179е-001
18 4.4699348е+003 -1.8475624е-001
23 4.7350197Є+003 4.5761692е-003
15 6 4.4213031е+003 1.8482208е-001 1
(56) 12 4.4718720е+003 1.8572305е-001
18 4.4309705е+003 1.8500370е-001
26 2.3521956е+003 -1.1890779е-002
34 6.0413273е+000 -1.7566449е-001
40 6.2826024е+000 -1.7865760е-001
46 6.1241450е+000 -1.7680833е-001
55 2.3615119е+003 -1.1457053е-002
18 6 6.0589722е+000 1.7599787е-001 5.748е+003
(56) 12 6.2839695е+000 1.7868195е-001
18 6.1091833 е+000 1.7653044е-001
26 5.3380786е+000 -2619380е-001
34 5.8524186е+000 4.0129136е-016
40 6.0377414е+000 -2.7149244е-015
46 5.5265473е+000 -5296755е-015
55 5.3695057е+000 -2006150е-001
В табл. 1 представлены некоторые показатели МП при холостом ходе СГ для пяти ЭУ (г-1,3,9,15,18), относящихся (рис.2) к ярму ротора (г-1), магниту (г-3), воздушному зазору (/-9), обмотке (г'=15), ярму якоря (/= 18). Точки наблюдения на границах ЭУ нумеруются в порядке их обхода против часовой
стрелки (/-1.2...V,). Номер первый (/=1) имеет точка, находящаяся в правом
верхнем углу ЭУ.
На рис.5 показано распределение нормальной составляющей магнитной индукции при холостом ходе и номинальном токе нагрузки по окружностям, проходящим: через основание магнитов (кривая 1, 5), по краю магнитов, обращенному к воздушному зазору (кривая 2, 6), по наружному краю обмотки якоря (кривая 3, 7), по краю ярма якоря (кривая 4, 8).
Рассматриваемый метод, как и теория натяжений [3], оперирует с показателями МП на границах расчетных областей. Поэтому электромагнитные силы и моменты могут непосредственно определяться на базе известных значений индукции и напряженности МП в точках наблюдения ЭУ [1]. Используя базу расчетных данных, несложно определить силы, действующие на магниты и беспазовую обмотку якоря, приклеенные к ярмовым поверхностям ротора и статора.
В табл. 2 приводятся значения сил, действующих на магниты и проводники обмотки якоря в номинальном режиме. Здесь же приводятся механические напряжения растяжения-сжатия (ст„) и среза (ог) клеевой массы у оснований магнитов и беспазовой обмотки.
Таблица 2
Показатели среды Г„ Н ^„.11 а„, Па аг, Па
Магнит 3,17803 95,0801 1678,88453 198,62687
Обмотка фазы В -4,11421 20,9836 914,97191 411,42100
Обмотка фазы А -8,50770 33,3544 1454,39006 850,77000
Обмотка фазы С -4,68983 12,2867 535,75103 468,98300
Значения а,„ и ат существенно меньше допускаемых значений (°и°” = 73МПа, адГ = ІЗМПа для эпоксидного клея типа ВК.1 [4].
Кривые мгновенного значения потокосцеплений фазных обмоток приведены на рис. 6: а соответствует режиму холостого хода, а б — режиму номинальной нагрузки.
Кривые мгновенных значений фазного и линейного напряжений обмотки якоря показаны на рис. 7 и 8: рис. 7 соответствует режиму холостого хода, а рис. 8 - режиму номинальной нагрузки.
а
Рис. 5. Расчетные кривые распределения магнитной индукции при холостом ходе (а) и номинальном токе нагрузки (б): у основания магнита (I, 5), на верхнем (2, 6) и нижнем (3, 7) краях воздушного зазора, на поверхности ярма якоря (4, 8)
а
6
Рис. 6. Расчетные кривые мгновенного значения потокосцеплений фазных обмоток для режимов холостого хода (а) и номинальной нагрузки (б) фазы А (2,5), В (1,4), С (3,6)
а
б
Рис. 7. Расчетные кривые мгновенных значений фазного (а) фазы Л (2), В (1), С (3) и линейного (б) 1/аЬ (5), Шс (4), Пса (6) напряжений обмотки якоря для режима холостого хода
а
Рис. 8. Расчетные кривые мгновенных значений фазного (<я) фазы А (2), В (1), С (3) и линейного (б) ПаЬ (5), ЦЬс (4), 11са (6) напряжений обмотки якоря для режима номинальной нагрузки
Эти кривые получены при численном решении уравнений
£/, ------— - і ——-г.і , к = А,В.С,
к ж ал ¿і к к
сЫ/. <йі
______г _________________5.
(16)
(17)
где ¿стл, г\ - индуктивность лобового рассеяния и активное сопротивление
Фазные токи СГ при постоянстве скорости вращения ротора определялись, согласно (16), из дифференциальных уравнений
рость вращения ротора СГ; и = ир +юр/ - угол между продольной осью ¿1 ротора и магнитной осью фазы А статора (на рис. 1 имеем и,-, = -6° );
При выполнении вращения ротора СГ расчетная область изменяется, что приводит к нахождению конформного отображения для нового положения ротора. Конформные отображения составляют значительную часть при численном расчете МП. Поэтому с целью оптимального использования машинного времени необходимо выполнять расчет таким образом, чтобы находить отображение только изменившихся ЭУ. С этой целью наиболее удобной в использовании является применение «сетки» из расчетных точек, наложенной на всю расчетную область. При вращении ротора сетка остается неподвижной, происходит лишь смещение расчетных точек только для изменившихся ЭУ. Применение данной технологии оправданно, так как число поворотов роторг значительно.
Потокосцепления обмоток аппроксимировались кубическими сплайнами [6]. Локальные кубические сплайны обладают свойствами сглаживания погрешностей в значениях табличной функции, неизбежно сопутствующих численным расчетам МП машины. Расчет локальных сплайнов и их производных легко программируется и требует сравнительно небольшого числа математических операций и затрат времени ЭВМ. Это позволило получить более гладкую картину изменения токов и напряжений.
фазы (¿стл=0,0102 Гн, г =9,35 Ом).
*75° С
(18)
где А /? - индуктивность и активное сопротивление нагрузки СГ.
(¿=0,07375 Гн; /?=30,88 Ом); со =---------- - номинальная
Р 60
2кп„
— номинальная угловая ско-
Р, Вт
Рис. 9. Расчетные кривые внешних характеристик генератора дая различных фазных углов нагрузки (активно-индуктивная нагрузка)
Рис. 10. Расчетные кривые зависимости активной мощности генератора от тока нагрузки для различных фазных углов нагрузки (активно-индуктивная нагрузка)
При исходных входных данных действующее значение напряжения холостого хода для всех фаз оказалось заниженным (меньше необходимых 220 В). В связи с этим число витков фазной зоны увеличилось в 1,35 раза и стало равным 142.
Кривые внешних характеристик СГ для различных фазных углов нагрузки (активно-индуктивная нагрузка) приведены на рис.9. Зависимость активной мощности генератора от тока нагрузки для этих углов (активноиндуктивная нагрузка) приведены на рис. 10.
Рис. 10. позволяет определить максимум выходной активной мощности СГ для каждого из фазных углов нагрузки. Для cos (<р) =0,8 максимум лежит около 10 А, а выходная максимальная активная мощность составляет 3662 Вт.
Таким образом, результаты математического моделирования подтверждают возможность выполнения на основе выбранных материалов и геометрических размеров СГ с заданными техническими характеристиками. Несмотря на значительное несинусоидальное распределение магнитной индукции в воздушном зазоре, форма фазных и линейных напряжений СГ близка к синусоидальной. Из-за отсутствия стали в полюсных наконечниках размагничивающее действие реакции якоря СГ оказывается незначительным. Поэтому его внешние характеристики для различных фазных углов нагрузки близки друг к другу. В зависимости от того или иного критерия оптимизации на основе математической модели могут быть определены параметры проектируемого СГ.
Литература
1. Афанасьев A.A., Воробьев АН. К расчету плоскопараллельных магнитных полей в нелинейных средах // Изв. РАН. Энергетика. 1992. №2. С.77-91.
2. Демирчян К.С., Чечурин B.JJ. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986.240 с.
3. Иванов-Смоленский A.B. Электромагнитные силы и преобразование энергии в электрических машинах. М.: Высшая школа, 1989. 312 с.
4. Постоянные магниты: Справочник / Под ред. Ю.М. Пятина М.: Энергия,1980. 488 с.
5. Самарский А.А, Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. 400 с.
6. Сельская молодежь. 1988. №6.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ родился в 1939 г. Окончил Московский энергетический институт. Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой управления и информатики в технических системах Чувашского университета, член-корреспондент Российской академии электротехнических наук, действительный член Нью-Йоркской академии наук. Автор более 140 научных работ, в том числе 3 монографий и 11 свидетельств и патентов на изобретения в области электромеханики и электропривода.
НИКОЛАЕВ АЛЕКСЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ родился в 1979 г. Окончил Чувашский государственный университет. Аспирант кафедры управления и информатики в технических системах Чувашского университета.
