Математическое моделирование автомодуляционных режимов в волоконном лазере с микрорезонаторным отражателем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование автомодуляционных режимов в волоконном лазере с микрорезонаторным отражателем

Ф.А. Егоров1, А.П. Неугодников2, В. В. Никитин3,0, В. Т. Потапов1

1 Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котелъникова РАН, Фрязинский филиал.

Россия, 141190, Московская обл., г. Фрязино, пл. Акад. Введенского, д. 1.

2 ЗАО «Мониторинг Центр». Россия, 105118, Москва, шоссе Энтуазиастов, д. 25/18.

3 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а markiz4@yandex.ru

Статья поступила 25.03.2009, подписана в печать 22.07.2009

Получены приближенные уравнения, описывающие динамику интенсивности излучения волоконного лазера с внешним отражателем на основе микрооптомеханических резонансных структур в условиях неравномерной накачки активного световода лазера. Результаты численного решения уравнений демонстрируют возможность существования автомодуляционных режимов с частотой модуляции, равной собственной частоте моды упругих колебаний микрорезонаторной структуры. Определены области параметров, при которых возможны автомодуляционные режимы.

Ключевые слова: волоконный лазер, автомодуляция, микрорезонатор, модуляция добротности, интерферометр Фабри-Перо.

УДК: 535.374:621.375.8. PACS: 42.55.Wd, 42.60.Fc.

Введение

Автомодуляционные режимы в волоконных лазерах (ВЛ) с микрооптомеханическими резонансными элементами (МРЭ) в цепи оптической обратной связи открывают возможности для создания волоконно-оптических датчиков (ВОД) с частотным выходом, характеризующихся повышенной помехоустойчивостью и точностью измерений [1, 2]. При этом микрооптомехани-ческий элемент (микрорезонатор) играет двоякую роль: с одной стороны является пассивным модулятором характеристик оптического резонатора ВЛ, с другой -выполняет роль сенсорного элемента датчика благодаря зависимости собственной частоты микрорезонатора от различных внешних воздействий (температура, давление, состав окружающей среды и т.д. [3, 4]). В схемах ВОД на базе эрбиевых волоконных лазеров (ЭВЛ) [5] длина волоконно-оптического резонатора ЭВЛ с активным световодом (АС), легированным эрбием (Ег) и сенсибилизатором — иттербием (УЬ), может составлять несколько метров, при этом с целью упрощения конструкции ВОД, как правило, используется несимметричная схема накачки АС, что приводит к существенной неоднородности в волоконном резонаторе лазера, которая может заметно влиять на динамику генерации лазера [6]. Учет этой неоднородности и является основной целью настоящей работы. Для упрощения расчетов примем, что активная среда лазера является изотропной, а излучение накачки — полностью деполяризованным. Кроме того, пренебрегаем мелкомасштабными пространственными решетками инверсии населенностей [7, 8].

Математическая модель такой системы ЭВЛ-МРЭ с неравномерной накачкой АС, учитывающая кинетику обмена энергией между сенсибилизатором (УЬ) и генерирующими активными центрами (Ег), описывается совокупностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [10], при этом микрорезо-

натор рассматривается как гармонический осциллятор в режиме вынужденных колебаний под действием фото-индуцированных сил. Целью настоящей работы является разработка приближенных численно-аналитических методов моделирования свойств системы ЭВЛ-МРЭ в условиях неравномерной накачки АС, позволяющих определить области параметров, при которых возможны автомодуляционные режимы.

Постановка задачи

Схема рассматриваемой системы ЭВЛ-МРЭ представлена на рис. 1. Примем, что длина активного световода совпадает с полной длиной волоконно-оптического резонатора лазера [0,1]. Накачка АС производится через полупрозрачное зеркало резонатора ЭВЛ (в точке х = 0) с коэффициентом отражения г5 на длине волны генерации Л5 = 1560 нм и полностью прозрачное для излучения накачки Лр = 976 нм. Ввод излучения накачки в АС и вывод лазерного излучения осуществляется с помощью волоконного спектрального мультиплексора (ВСМ). Роль второго отражателя резонатора (в точке х = Ь) выполняет нелинейный (оптически перестраиваемый) интерферометр Фабри-Перо (ИФП) на основе микрорезонатора, характеризующийся коэффициентами отражения определяемыми формулой Эйри [9]:

1 + Д£р- соэ '

(1)

где и — коэффициенты отражения зеркал

ИФП — торцевой поверхности активного световода (Я'ар) и поверхности микрорезонатора (й"р) соответственно на длине волны генерации (я) и накачки (р);

/ (Нп+и)2А2

= ( 1Н--) — коэффициент, обусловленный

расходимостью пучка в полости ИФП; — диаметр

интерферометр Фабри-Перо на основе микрорезонатора, ВСМ — волоконный спектральный мультиплексор

модового пятна в АС; Я0 — исходная база ИФП; у — фотоиндуцированная деформация МРЭ, зависящая от интенсивности лазерного излучения, падающего на микрорезонатор; — постоянный сдвиг фаз, вносимый зеркалами ИФП. Схема энергетических уровней активных центров (Ег31) и сенсибилизатора (УЬ31) приведена на рис. 2. Распределение ионов вдоль АС предполагается однородным с объемной концентрацией Л/ег и Л/уь соответственно.

Л

<т„,

УЬ

Ег

^ ре А 1

Рис. 2. Схема энергетических уровней ионов Ег и УЬ3+

з+

Динамика системы ЭВЛ-МРЭ описывается следующей системой уравнений [10]:

= - [о'раП-1 - ареп3] (1р | + /р_) +

+ [а,еп2 - ст^КД, + Т21 (2)

дп-2 ~~дГ = - СГ^, «2 ](/;,- I Т-21 + Х П2 (3)

дпъ д! = [сГреП4 — &*рапь\{1р 1 Т~45 + СсгП{П4, (4)

п4 + п5 = ЫуЪ, П1+П2 + ■ П3 = ЫЕп (5)

01,

1 81,

дх V 0Г

= [СреЩ + а*реГЦ — СГраП-1 — араП^]1р | •

д1„

1 д!„.

дх V 0Г

= [РреПз + (ТреП4 ~ СГраП1 - а*аП5]1р^ - 1р1р

(6)

(7)

1

дх ' V д(

дь. 1 дь.

дх ■ -Г V зг

П2

I1_ Н- '"у ^

Тц

= [ст^Яг - - кЬ- + 7

Т21

й2у ш йу 2 _ С ■ , т ч

(9) (10)

с граничными условиями

1Р, (О, о = /о, /^(1,о = я;(£/)/р|(1,о, (П)

, (0, 0 = г!(0, Г), (I, 0 = Я,(£/)/, ,(1,0, (12)

где определяется по формуле (1). Здесь перемен-

ные П[, п2, пз и п.4, я,5 — заселенности энергетических уровней ионов Ег31 иУЬ31 соответсвенно; переменные Д-± — интенсивности волн лазерного излучения в АС, бегущих в противоположных направлениях; переменные 1Р± — интенсивность излучения накачки; и — сечения поглощения и излучения для Ег31 на длине волны генерации; ара,е, <у*ра>е — соответсвенно сечения поглощения и излучения на длине волны накачки для Ег31 и для УЬ31 ; V — скорость света в активном световоде; — эффективные коэффициенты потерь излучения в АС; ттп — характерное время спонтанного перехода с энергетического уровня т на уровень п\ 7 характеризует интенсивность спонтанного излучения в АС; ш и С} — собственная частота и добротность упругих колебаний микрорезонатора; Ссг характеризует эффективность энергетического обмена между Ег31 и УЬ31 ; /о — интенсивность излучения накачки, направляемого в АС; М и Т7 = б • Д- ((Ь, /) в формуле (10) — значения эффективной массы и эффективной фотоиндуцированной силы, обусловленной, в частности, давлением лазерного излучения на микрорезонатор.

Результаты расчета

За время полного пробега фотоном оптического резонатора лазера населенности энергетических уровней меняются незначительно. Это позволяет существенно упростить задачу и провести численный расчет. Такое приближение естественно назвать адиабатическим, т. е. предполагающим, что величина а ~ Ь/тУ — малый параметр. Здесь т — характерное время изменения населенности энергетических уровней. Для оценки а заметим следующее. Автомодуляционный режим рассматриваемой системы обусловлен регулярными всплесками интенсивности лазерного излучения. В момент всплеска скорость изменения заселенностей максимальна и почти целиком определяется величиной Д1тах, поэтому с*тах можно оценить как

■¿'С^аД.тах

а„

П[ 2 V

V

Следовательно, указанное приближение тем точнее, чем меньше импульсная мощность и длина резонатора лазера. В экспериментах, как правило, Л-,max ^ Ю29 фотон/м2с, L i; 10 м, поэтому оценка сверху дает amax ~ 3 • Ю-3 <С 1. Как показано в приложении А, это позволяет получить упрощенную систему уравнений (А5), (А6), (All), (А12), (А9), и в результате задача сводится к решению системы интегродифферен-циальных уравнений для переменных ri{{x,t), n2{x,t), n5(x,t), S(t):

dri{ (л\ t)

Ft

= kn kst,rt2 - crsa«l ] (4 I + h-)

n2

- kn[apani - apen3](Ipi +/p_)H---CtTrtirt4,

T-21

dri2{x,t) , . 1/r r . П2 n3

-- = kn lCTsart 1 - CTS£Jn2J (4 I +4-)---1--.

at т21 T32

dn5{x,t) . n 4 -—- = 1er - cr rt5J (/pi + /p- ) H---h СсгП1ПА,

at p p T45

П4 + П^=В, til + Il2 + Щ = 1,

t/p_j_ —- «/Q

Ip-=Ipi(L,t) + \nR*(y) +

dtFp{t,t),

^p- = [a + b] + ^KSpri2,

Л-- (.t, 0 =

r- n ^ о a a + b x + 2L + 2 2 L '

1/ „ a , a + b x

T~ V

a{t) = In r +

dÇF^J), b{t) = \nR{z) +

dÇFMJ),

d'2z 2-к dz t 2 ,, .s

Здесь использованы функции и безразмерные переменные, введенные в приложении В. Л(г) = R{y/yo) определяется формулой (1). Эта система уравнений легче поддается численному расчету, так как ее можно рассматривать как систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой пространственные координаты, по существу, выступают лишь в роли параметров. Для численного решения задачи мы ввели решетку по оси х. Таким образом, адиабатическое приближение позволило свести задачу к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений временного аргумента для каждого узла решетки и функции времени S(t) при наличии интегральной связи по оси х. Интегралы, в свою очередь, приближенно рассчитывались

Численные значения параметров задачи

Параметр Значение Параметр Значение Параметр Значение

Upa ! Upe 2 • 10-i!b M2 721 1CF2 с Q 1000

/т* /т* 2 • ÎO"25 m2 T"32 3•10~6 с G/M 1.5- 10"28 м/с2

Usa 8- ÎO"25 M2 745 1.5- 1СГ3 с R's 0.5

Use 9.5 • 10"25 M2 Ccr 0.7- Ю-22 м3/с Ri' 0.9

NEr,j 1.0 - 1025 M-3 ls 0.05 м^1 К 1.0

NYb,j 1.0 - 1026 м-3 h 0.05 м^1 К 0.1

V = c/n 2 • 10» м/с 7 5•10^6 Я, (0 -г- 20) • 10^6 м

L 1 M Ul 3- 105 с^1 i/o 10^8 м

IJI

15

10

5

о р

IJI

О р

0.8 0.6 0.4 0.2

0

У, Ю" 1510 50 — -5-

10

10

20

20

30

30

40

t, мс

40

t, мс

Рис. 3. Временные зависимости интенсивности ЭВЛ и смещения микрорезонатора в автомодуляционном

режиме (а) и при непрерывной генерации (б)

с использованием кусочно-полиномиальнои аппроксимации функций /^Д.г, 0|/=сопе1 ■ Расчеты выполнялись с использованием численных значений параметров, приведенных в таблице и взятых из работы [2].

На рис. 3 представлены результаты расчетов временных зависимостей интенсивности лазерного излучения и смещения микрорезонатора, соответствующих автомодуляционному режиму (а) и непрерывной генерации (б). Частота модуляции практически совпадает с собственной частотой микрорезонатора. На рис. 4 в плоскости параметров (/о,#о) показаны зоны автомодуляции, периодичные по параметру #о с периодом А^/2, в соответствии с формулой (1) и расчитанные с использованием модели, учитывающей ассиметрич-ность накачки (а) и упрощенной модели (б), в которой инверсия населенностей предполагается однородной (см., напр., [11]). Видно, что учет неоднородно-стей в активном световоде ВЛ приводит к сужению расчетной области автомодуляции, как и следовало ожидать. Мы не будем останавливаться на упрощенной модели подробно. Однако необходимо заметить, что значение /0р пороговой интенсивности излучения накачки, рассчитанное с ее помощью, оказывается на порядок меньше. В силу этого на рис. 4 в обоих случаях использовано значение /ор, расчитанное с использованием модели, рассматриваемой в данной статье.

/о / ¡Ор

3.0 г

2.6 2.2 1.8 1.4 1.0

0 л/2 л Зя/2 2л 5тс/2 Зя 7я/2 4л 10/10р Фо.РЗД 3.0 г ....... б .......

2.6 2.2 1.8 1.4 1.0

0 л/2 к Зтг/2 2к 5к/2 Зк 7я/2 4я

Фо.РВД

Рис. 4. Зона автомодуляции в плоскости параметров (Iq,<Pq), = 4-kHq/Xs , расчитанная с помощью модели, рассматриваемой в настоящей статье (а) и упрощенной модели, не учитывающей пространственной неоднородности инверсии населенностей (б)

Заключение

В рамках адиабатического приближения разработан численно-аналитический метод для исследования динамики излучения волоконного лазера с нелинейно-оптическим отражателем на основе микрооптомеханической резонансной структуры. Рассмотрен волоконный лазер с линейной конфигурацией, в котором оптическая накачка осуществляется через торцевую поверхность активного световода. Решение представляется в виде ряда по степеням малого параметра, равного отношению времени жизни фотона в резонаторе к характерному времени изменения инверсии населенности и, таким образом, с учетом необходимого количества членов ряда, позволяет получить заданную точность решения. Показана возможность существования автомодуляционных режимов с частотой модуляции, определяемой собственной частотой микромеханического осциллятора, что качественно согласуется с экспериментальными данными. В связи с тем что уравнения содержат большое количество параметров, численные значения которых в эксперименте известны лишь приблизительно (в особенности это относится к параметрам активной среды лазера), в настоящей работе не ставилась цель получения количественного согласия с результатами экспериментальных исследований, которое станет предметом дальнейших исследований.

Приложение А. Адиабатическое приближение

В предположении малости параметра а упростим уравнения (2)-(12). После замены переменных в соответствии с приложением В (штрихи в дальнейшем будем опускать) уравнения (6)-(9) и граничные условия (11), (12) имеют вид

Jp+ + yjp+ '

--F».

+1/

V р~

<FP, (AI)

/р+(0,/) = In k = J0, F,

Jp^(L,t)=Jp+(L,t) + lnR;(y), (A2) ■■Fs, (A3)

■'/- + -Ц-

Л+(0,0=Л-(0,0 + 1пг, Л_(/.,0=Л+(£,0 + 1п(А4)

Здесь и далее точкой обозначены частные производные по времени, а штрихом — по пространственной координате. В уравнении (АЗ) не учтен вклад спонтанного излучения — это будет сделано ниже.

Пренебрегая величинами первого порядка малости по а ~ Fs.pL/Fs.pV, перепишем уравнения (А1), (А2) в интегральном виде:

]р+ ~ /о -

d(Fp((,t), Jp^^Jp+(L,t) + lnR*

о

В том же порядке (A3), (A4) преобразуются к виду

х L

dWZ.t)-

(А5)

Js-

dmz,t)+Js+, Js.

dCFs(Ct)+Js- (A6)

Здесь Js-f- И js. уравнений

решения соответствующих однородных l'± ± = 0 (А7)

с граничными условиями

/s+(0, t) ~/s^(0, t) + a(t), JS-(L, t) ~ JS+(L, t) + b(t), (A8)

a(t):

in г -

d£Fs{£,t), b(t)^\nR(z)

Интегрируя (А7), (А8), получаем

j ( . . 2 L

h+ [x,

4

■ (x, I

V 2L

V

Js+(x, t ) -(x,t)-

il

b(t)--b(t)

dmtt). (A9)

a(t), - a(t).

Вводя величину

S« = у

[7s+(x, t) + (x, £)] dx,

(A10)

будем иметь

S~ [a + b]

В адиабатическом приближении пространственное распределение 7S+ и линейно, с «движущимися» по нему со скоростью света неоднородностями, причем характерные времена изменения этих неоднородностей много меньше характерных времен движений в рассматриваемой задаче. Это дает возможность использовать формулы

а + b х - V „ а а-4+ :

4

t _ ч 2 L 2

2 V

2LÖ+ 2

(All)

Теперь учтем вклад спонтанного излучения. Решение задачи слабо зависит от величины 7 в формулах (8) и (9), поэтому нам важен лишь порядок этого слагаемого. Вклад спонтанного излучения учтем, вводя соответствующий член в уравнение (А 10):

7"о

S ~ [с

м 2L

V IqT2\

п 2-

(А12)

Таким образом, в рассматриваемом приближении уравнения (А5), (А6), (А9), (All), (А12) эквивалентны исходным (А1)-(А4), но удобнее для численного расчета.

Приложение В. Замены переменных и параметров

Целесообразно использовать следующие (штрихованные) безразмерные параметры и переменные:

2-7Г

Ip,s = kplp.s, гц = n0n'i, щ = Л/ег, t=Tt', Т = —, р р ш

у = у0г, а' = п0а, С'сг = щТС„, kn = l^-%

I щ

V' = VT, Кщ

7"о IqT2]

B = ^Yb х' = — а' - /(I"/ J G hr ' Уо'

iVEr

уо м'

где lop — порог генерации лазера, уо — характерный масштаб колебаний микрорезонатора. Также введем функции населен-ностей Fp, Fs и интенсивностей JStP±:

Fp = [ареЩ + сг*е«4 - арап\ - сг*апъ] - 1Р,

Fs = [<rsen2 - Osati 1 ]-ls, Is,p± = exp(4P±).

Здесь использованы штрихованные обозначения, но штрихи опущены.

Список литературы

1. Бурков В.Д., Егоров Ф.А., Потапов В.Т. 11 Журн. техн. физики. 2005. 75, № 1. С. 70.

2. Егоров Ф.А., Никитов СЛ., Потапов В. Т. // Радиотехника и электроника. 2005. 50, № 6. С.736.

3. Culshaw В. II Sensors and actuators. А. 1995. 46-47. Р. 463.

4. Ниева П. // Датчики и системы. 2008. № 5. С. 38.

5. Курков A.C., Дианов Е.М. // Квантовая электроника. 2004. 34, № 10. С. 881.

6. Овчинников Е.А., Хандохин ПЛ., Широков Е.Ю. // Квантовая электроника. 2000. 3, № 1, С. 23.

7. Khandokin P.A., Mandel Р., Koryukin I.V. et al. // CLEO/EQEC'96. Hamburg. Germany. 1996. P. 142.

8. Khandokin P.A., Mandel Р., Koryukin I.V. et al. // Phys. Letters A. 1997. 235, N 3. P. 248.

9. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M., 1970.

10. Егоров Ф.А., Бурков В.Д., Потапов В.Т. // Тр. меж-дунар. конф. IT+SE'2001 «Информационные технологии в науке, образовании и телекоммуникации». Гурзуф, 20-29 мая 2001 г. С. 277.

11. Бурков В.Д., Егоров Ф.А., Потапов В. Т., Потапов Т.В. II Радиотехника и электроника. 2000. 45, № 7. С. 880.

Mathematical simulation of the self-modulation modes in fiber optic laser with microresonator reflector

F. A. Egorov1, V.T. Potapov1, A. P. Neugodnikov2, V. V. Nikitin 1

1 Fryazino Branch of the Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, of Russian Academy of Sciences, Fryazino, Moscow Region, 141190, Russia.

2 "Monitoring Center", Entuziastov road 25/18, Moscow, 105118, Russia.

3Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow,

119991, Russia.

E-mail: a markiz4@yandex.ru

Approximate equations are obtained which describe the dynamic under irregular pumping conditions of the fiber optic laser with an external reflector constructed on the basis of the microresonance structures. Results demonstrate a possibility of existence of the automodulation modes with frequency equal to eigenfrequency of the micro-resonator structure. Parameter regions in which self-modulation modes are possible were calculated.

Keywords: fiber laser, self-modulation modes, microresonator, quality factor modulation, Fabry-Perot interferometer.

PACS: 42.55.Wd, 42.60.Fc. Received 25 March 2009.

English version: Moscow University Physics Bulletin 6(2009).

Сведения об авторах

1. Егоров Федор Андреевич — канд. фнз.-мат. наук, ст. науч. сотр.; тел.: (496) 565-25-79.

2. Потапов Владимир Тимофеевич — докт. техн. наук, профессор, зав. отделением; тел.: (496) 565-25-79.

3. Неугодников Алексей Павлович — зам. генерального директора; тел.: (499) 261-21-47.

4. Никитин Владимир Валерьевич — аспирант; e-mail: markiz4@yandex.ru.