CC BY
13
I. МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА
УДК 528.23
С. Г. ВАЛЕЕВ, К. М. САМОХВАЛОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Для практического проведения геофизических работ предлагается использовать модели в виде усеченных разложений в ряд Фурье по сферическим поверхностям; рассмотрен алгоритм адаптивного статистического моделирования, позволяющий строить оптимальные математические модели. Описано разработанное программное обеспечение, позволяющее строить статистические модели потенциальных полей и осуществлять построение соответствующих карт поля аномалий и их остатков.
Глобальные модели потенциальных полей (гравитационного, магнитного и др.) необходимы при решении геофизических и других задач как для всей Земли, ее отдельных регионов, так и при построении локальных моделей. В последнем случае глобальные модели могут быть использованы как рефе-ренцмодели (модели относимости).
Для представления глобальных моделей чаще всего используют разложения но сферическим функциям, коэффициенты гармоник которых при неоднородном распределении данных определяют МНК. Исходными данными для обработки являются: а) результаты наблюдений ИСЗ; средние аномалии в свободном воздухе в трапециях обычно Г х Г; средние одноградусные аль- тиметрические высоты геоида относительно океанической поверхности.
Для описания глобального гравитационного поля исследуются разложения аномалий силы тяжести Ag в сферическом приближении в виде:
где GM = G(M0 +МаП2Л1) - геоцентрическая гравитационная постоянная, учитывающая атмосферу Земли; а - большая полуось общеземного эллипсоида; г.ОАО'-фД - сферические координаты точки: соответственно геоцентрическое
1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ 1.1.ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Т
расстояние, полярное расстояние (ф - геоцентрическая широта), географическая долгота; ДС,т, ДSnm - разности коэффициентов нормированных сферических функций реального и нормального полей; Рпт(cos8) - нормированные присоединенные функции Лежандра степени п и порядка т. Учитывая, что в модели (1) исключена планетарная компонента, соответствующая нормальной Земле, можно полагать, что она включает локальную и региональную компоненты, порожденные соответственно аномалиями гравитационного поля в верхней мантии и земной коре. Это обстоятельство обеспечивает возможность использовать с определенной точностью математическую модель (1) для отождествления геологических структур, порождающих аномалии.
При стандартном подходе модель (1) считается заданной для принятого порядка разложения т, если по избыточному числу измерений аномалий получены МНК -оценки поправок к амплитудам гармоник. После чего, используя выражение (1) в режиме прогноза, строят карту гравитационного поля (гравиметрическую карту). На основе теории и вычислительных экспериментов с большими массивами данных было доказано, что стандартные разложения по сферическим функциям с МНК-оценками амплитуд гармоник не в полной мере соответствуют реальным измерениям, по которым они построены [1]. Основной причиной этого факта является избыточность математической модели, содержа-щей многочисленные (до 60% и более) шумовые гармоники. При исследовании такой модели для прогноза (построения изолиний - изоаномалов или изогипс в случае описания рельефа) происходит понижение точности от нескольких десятков процентов до одного порядка, что вызывает соответствующие смещения изоаномалов и потерю точности в отождествлении геологических структур.
Для решения проблемы адекватности глобальных моделей и соответственно гравиметрических карт аномалий силы тяжести предлагается использовать статистический подход при их построении в виде так называемого адаптивного регрессионного моделирования [1]. Последний уже на этапе устранения шумов позволяет повышать точность отождествления структур до нескольких раз. Опыты по его применению при относительно небольших порядков разложения описываются в [I].
1.2. ЛОКАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Для локальных моделей обычно применяют плоские функциональные аппроксимации в виде полиномов низких степеней, тогда как в глобальных моделях исследуют разложения по сферическим функциям, используя сте-пень п порядка 360. Тем не менее для региональных и локальных моделей в качестве функции тренда также могут быть использованы сферические (ша-ровые) функции. От-
меченные функциональные модели можно применять для прогноза регулярных значений аномалий.
Область приложения локальных моделей достаточно широка. Помимо описания систематического поведения потенциального поля они могут задавать региональные или локальные поверхности относимости, формируемые протяженными геологическими структурами. В последнем случае остатки, например, (^g, - Agi) = е,. между наблюдаемыми и вычисленными (прогнозируемыми) значениями аномалий, можно интерпретировать как проявление возмущений, порожденных изменением плотности геологических тел.
Точность конечного результата, естественно, зависит от того, в какой мере будут соблюдаться предположения, заложенные в математический аппарат обработки данных для получения оптимальных моделей, в частности, МНК.
В качестве локальной модели, описывающей потенциальное поле на сегменте сферической поверхности, можно предложить модель вида
Для описания аномалий может быть предложена и формула (1).
1.3. ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬ-
НЫХ ПОЛЕЙ И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЯ Применяя аппроксимирующие описания и МНК, исследователи сталкиваются с проблемами несоблюдения условий использования МНК со всеми вытекающими отсюда последствиями - МНК-оценки не являются на практике наилучшими линейными оценками.
С учетом вышесказанного в работе ставились и решались следующие задачи :
1.Разработка алгоритма статистического моделирования локальных потенциальных полей на основе адаптивного регрессионного моделирования (АРМ-подхода).
2.Разработка про1раммного обеспечения АРМ-подхода с применением разложений в ряды Фурье.
3.Исследование эффективности АРМ-подхода на примере реального массива данных.
2 .МЕТОДОЛОГИЯ И АЛГОРИТМЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО (РЕГРЕССИОННОГО) МОДЕЛИРОВАНИЯ
2.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ, ПРЕДНА-
ЗНАЧЕННАЯ ДЛЯ ПРОГНОЗА ХАРАКТЕРИСТИК
ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ
Под математической моделью обработки данных понимается четко определенная модель наблюдаемого (измеряемого) явления (объекта, процесса), сформулированная в математических терминах. Например, связь аномалии силы тяжести и измеренных координат объекта на полигоне можно описать моделью вида
М У = г\[Х,$)> {3)
где У - зависимая переменная (аномалии силы тяжести); Х=(дг0, JCi,..., -У/,л) -матрица независимых переменных (измеренных координат, их произведений или других комбинаций), которые могут изменяться в некоторой области пространства Rp; |3 = ({30(31...рр_,)г - вектор неизвестных параметров, определяемых по результатам экспериментов; М - оператор математического ожидания.
Анализ стандартной методики, используемой в геофизике для параметрической идентификации модели (3), показал, что для существенного повышения точности представления необходимо разрешение ряда проблем, возникающих при применении МНК.
С позиций математической статистики и теории восстановления функции стандартная методология может быть подвергнута критике как методология, не способствующая получению всей возможной статистической информации о модели и ее членах и не предусматривающая получения адекватных структур и параметров по результатам проверки используемых гипотез. Ниже детализируются эти утверждения.
1.Выбор мер точности для оценки качества модели, ее пригодности для целей прогноза ограничен. Из существующего в математической статистике набора внутренних мер используется только одна мера - остаточная дисперсия или ее разновидности. Используемая в ряде работ смешанная мера точности в виде ошибки прогноза предполагает соблюдение предположения об отсутствии систематической ошибки в модели, что не всегда выполняется. В то же время внешним мерам не уделяется должного внимания, способы их применения несовершенны, а множество используемых подходов ограничено.
2.Математическая модель после постулирования считается жестко заданной независимо от происхождения: получена ли она в результате проективных или других построений или является аппроксимирующей. В последнем случае члены модели в процессе решения не анализируются на значимость, т.е. процедура структурной идентификации не выполняется.
3.В работах по моделированию в геофизике не проявляется должный интерес к тому обстоятельству, что МНК-оценки параметров статистической 7 Вестник УлГТУ 1/2001
модели (3) являются наилучшими, т.е. состоятельными, несмещенными, эффективными в классе линейных несмещенных оценок только в условиях соблюдения ряда предположений, рассмотренных в [1].
2.2.МЕТОДОЛОГИЯ АРМ-ПОДХОДА
Регрессионный анализ (РА)
Модель РА.
Модель обработки данных (1 )-(3) может быть представлена в виде [1 ]:
К форме (4) приводит обычное математическое представление прямых и косвенных наблюдений при пассивном эксперименте в геофизике. Предположения РА - МИК. Для корректного применения РА необходимо соблюдение ряда предположений. Часть предположений, приведенных в [1], порождена статистической теорией оценивания, в которой устанавливаются условия на выборку данных и метод оценивания (МНК), другая часть - теорией статистических критериев. Кроме того, с учетом размерности задачи мы вводим предположение <5.1> на метод идентификации структур.
Адаптивное регрессионное моделирование
Последствия нарушения предположений РА - МНК. Отсылая за подробностями к работе [1], отметим, что в целом нарушение условий применения РА - МНК приводит к смещенным, несостоятельным и неэффективным МНК-оценкам как параметров модели обработки Ру ( =0,р-\)} так и значений величины Y при использовании модели в режиме прогноза.
Выявление нарушений. Для выявления нарушений условий применения РА -МНК могут быть использованы как соответствующие статистики, так и различного рода графические процедуры [1].
Методология АРМ-подхода. Безусловно, применение регрессионного анализа является заметным шагом вперед по сравнению с использованием МНК: I) проводится анализ модели по ряду критериев А-критериям); 2) анализируется статистическая значимость не только модели в целом, но и каждого отдельного слагаемого модели. Последнее позволяет, используя те или иные методы структурной идентификации, выйти на оптимальную в некоторой степени структуру модели.
К сожалению, и РА не решает полностью поставленную задачу - нахождение наилучших линейных оценок Ру и 7.
В развиваемом в [1] системном АРМ-подходе дополнительными этапами относительно стандартной методологии МНК являются: 1) оценка адекватности модели наблюдениям и поиск ее оптимальной структуры; 2) проверка соблюдения предположений МНК; 3) последовательная адаптация схемы об-работки к нарушению условий МНК применением набора вычислительных процедур (пе-
ребор постулируемых моделей, методов параметрического оценивания и структурной идентификации и др. [1]); 4) использование набора мер (критериев качества моделей, включая и многокритериальную концепцию). 2.3 АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
ПОЛЯ АНОМАЛИЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
На данный момент просматриваются по меньшей мере два конкурирующих сценария решения геофизических задач обработки данных, представленных в виде моделей (1)-(4).
Пусть модель прогноза постулируется в виде модели (4).
Один из перспективных сценариев обработки можно описать вкратце так.
1.На основе исходного описания (4) осуществляется однокритериальный поиск по глобальному критерию оптимальной математической структуры. Такой перебор может быть либо полным, если позволяют вычислительные возможности, либо неполным. В последнем случае метод неполного перебора с ограничением может быть одним из методов псевдобулевой оптимизации.
В качестве глобального (основного) критерия качества модели могут быть либо случайные и систематические ошибки, определяемые но контрольным объектам, не использованным при построении модели обработки, либо значения общего F -критерия.
2.Второй и последующий этапы структурно-параметрической идентификации оптимальной модели основаны на проверке всех условий применения РА - МНК и последовательной адаптации по степени существенности нарушений. На практике «цепочки» алгоритмов адаптации могут быть разными, что порождает особые требования к «интеллектуальности» автоматизированной системы обработки данных.
Второй конкурирующий сценарий обработки данных при реализации не предполагает использование глобального критерия; последний, основанный на контрольных точках, используется только на конечной стадии. Основой этого подхода является проверка соблюдения предположений для исходной модели (4) и ее последовательное улучшение путем адаптации к наиболее серьезным нарушениям по мере убывания степени искажения свойств наилучших оценок.
2.4. АЛГОРИТМ КАРТИРОВАНИЯ ПОЛЯ АНОМАЛИЙ
Для построения изолиний в виде изоаномалов по уравнению (2) можно применить метод, основанный на способе из [3]. Адаптация этого способа приводит к следующему алгоритму.
Вычисляя двумерные кривые, определяемые оптимальным математическим описанием при исходной модели (2)
¡V п
I ^(С^здтХ + ^^^^^е)^^, (5)
а-АА-Р
например, при £=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6, получим изоаномалы, вдоль которых отклонения значений Ag от 0 будут -2, -1.5,-1 и т.д. до +3. 9 Вестник УлГТУ 1/2001
Перепишем
уравнение
(5)
(Ь)
Пусть к фиксировано, и в качестве начальной выбрана произвольная точка (А,О.0О). Тогда наиболее вероятно, что Чтобы найти точку (А.,,0,), ДЛЯ которой
О)
введем приращения 5 А, и 50 и потребуем, чтобы удовлетворялось уравнение
В первом приближении полним
м, решая (2) сов
(9)
Затем, решая (2) совместно с уравнением
Ыл
определим
(1(5)
те
Если эти величины прибавить к А.0 и 0О, то условие (7) будет выполнено. При последующих приближениях будут достигнуты значения Х{ и 0,, которые удовлетворяют уравнению (6). Найдя одну точку кривой (пусть это будет М)), дадим ей приращение вдоль касательной, т.е. приращение должно удовлетворять условию
дае
■ о.
(П)
Для движения вперед нужно, чтобы скалярное произведение приращений (дХ. 50) двух последовательных точек кривой было положительным. В про-тивном случае нужно изменить знаки обеих компонент. Уравнение (11) дает только направление, поэтому для движения в каждый момент нужно выбрать еще и величину шага.
3. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
3.1. ПЕРВАЯ ВЕРСИЯ АСИИ
Разработанная автоматизированная система (АС) первой версии [3] является специализированной системой, реализующей стратегию статистического
в
(регрессионного) моделирования [1] для решения ряда задач математического описания рельефа и гравитационных полей планет. Основное назначение системы - получение регрессионных моделей процессов или явлений с последующим их использованием для прогноза выходных характеристик (откликов) и реализации некоторых функций управления в интерактивном (дисплейном) и пакетном режимах работы. Необходимость наличия подобной АС порождается большими затруднениями при выполнении подобных работ, требующих как многовариантности расчетов, так и применения различных методов оценивания параметров и структурной идентификации, а также анализа остатков при выбранном сценарии проверки соблюдения предположений МНК.
Система модулей, реализующая методы регрессионного анализа, рассматривается как базовое математическое обеспечение. Данные модули обеспечивают решение нормальных и избыточных (переопределенных) систем алгебраических уравнений. В АС используются как оригинальные программы, так и модифицированные программы известного пакета научных программ на Фортране.
3.2. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ВЕРСИЯ АСНИ
Программный пакет АСНИ 1.0 [3] не в полном объеме использует вычислительные средства; из-за использования 16-битного кода скорость вычислений недостаточна высока, поэтому процесс моделирования требует значительных затрат времени. Возможности пакета ограничиваются построением моделей при использовании сферических функций порядка N<40.
Новая реализация отличается от исходной применением оптимизированного 32-битного кода, добавлением новых процедур обработки файлов и кардинально новым многооконным интерфейсом. В программе используются методы математического моделирования, непрерывной и дискретной оптимизации, численные методы, методы теории вероятностей и математической статистики. При воплощении алгоритмического кода использовались методы объектно-ориентированного программирования, вследствие чего структура пакета стала более простой, появились возможности разделения основных функций системы и добавления новых функций для реализации различных методов расчета. В данной реализации программы АСНИ 2.0 для операционной системы Windows 9х/2000/ХР обеспечивается эффективное решение проблемы адекватности моделей рельефа и гравитационных полей планет на уровне точности измерений и объемов используемой информации.
Для формирования кода программы была использована среда C++ Builder 5.0. Пакет АСНИ 2.0 состоит из интерфейсной, управляющей частей и модулей, реализующих схемы вычислений. Также в состав пакета включена программа картирования и программа построения сечений. Размер пакета 2,5 Мбайт.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработанные математическое и программное обеспечения используются для получения локальных и региональных трендовых моделей, а также построения карт изоаномалов и вариаций аномалий силы тяжести для одного из районов Поволжья. Результаты свидетельствуют об эффективности приведенной методики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Валеев С. Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений. М.: Нау-ка, 1991. (Валеев С. Г. Регрессионное моделирование при обработке данных. - 2-е изд.. доп. - Казань: ФЭН, 2001. - 296 с.).
2.Гудас К. Разложение рельефа Луны по сферическим функциям // Фтура Луны и проблемы лунной топографии. - М.: Наука, 1968. - С. 184-211.
3.Валеев С. Г., Дьяков В. И. Автоматизированная система для моделирования мегарельефа и гравитационных нолей планет // Изв. вузов. Сер.: Геодезия и аэрофотосъемка.-1998.-№4-5.-С. 45-49.
Валеев Султан Галимзянович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика» Ульяновского государственного технического университета, окончил физический факультет Казанского государственного университета. Имеет статьи и монографии в области астрометрии и небесной механики, математической статистики и разработки информационных технологий.
Самохвалов Константин Михайлович, ассистент, аспирант кафедры «Прикладная математика и информатика» Ульяновского государственного технического университета, окончил экономико-математический факультет Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи в области математического моделирования и информационных технологий.
