CC BY
42
STRESS STATE OF NON-CIRCULAR TUNNEL LININGS UNDER THE
ACTION OF HARMONIC COMPRESSION-TENSION WAVES SPREADING FROM CLOSE LOCATIONSOURСE
A.S. Sammal
Analytical method for determining of maximum stresses in closed monolithic lining of an arbitrary cross-section (with one axis of symmetry) for all time of the longitudinal compression - tension wave propagation from close source is described. The method is illustrated by examples of the tunnel design.
Key words: tunnel lining, dynamic effects, harmonic waves, the stress state, the design method.
Sammal Andrey Sergeevich,doctor of technical sciences, professor, sammal@ mm.tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 622.28
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ БЕТОННОЙ КРЕПИ СТВОЛА ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНУТРЕННЕЙ ЛОКАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ, ОБУСЛОВЛЕННОЙ ЖЕСТКОЙ АРМИРОВКОЙ
А.С. Саммаль, О.А. Тормышева, Н.А. Капунова
Предлагается метод определения напряженного состояния крепи ствола при действии внутренних локальных нагрузок, обусловленных, например, влиянием жестких конструкций расстрелов, препятствующих деформированию подземной конструкции. В основу метода положено соответствующее аналитическое решение плоской задачи теории упругости, реализованное в виде компьютерной программы. Рассматривается конкретный пример, иллюстрирующий метод.
Ключевые слова: ствол, крепь, локальная нагрузка, напряженное состояние, метод расчета
При проектировании крепи стволов, сооружаемых в сложных горнотехнических условиях, характеризующихся большими глубинами, наличием слабых и нарушенных пород, а также тектоническими проявлениями в массивах, возникает необходимость учета влияния воздействий, которое может оказывать жесткая армировка на напряженное состояние подземных конструкций. Возникающие при этом усилия в жестких расстрелах, препятствующих свободному деформированию крепи, передаются на нее в виде локальных внутренних нагрузок, достигающих значительной интенсивности, что негативно отражается на ее несущей способности.
В настоящей работе на основе обобщения накопленного в Тульском государственном университете опыта математического моделирования напряженного состояния подземных сооружений [1, 2] при различных видах воздействий предлагается новый аналитический метод расчета крепи стволов на действие внутренних локальных нагрузок, равномерно распределенных вдоль оси, параллельной одной из диаметральных плоскостей сечения ствола. Разработанный метод реализует современные представления механики подземных сооружений о взаимодействии подземной конструкции и окружающего массива как единой деформируемой системы и позволяет учитывать основные факторы, существенно влияющие на напряженное состояние подземной конструкции: размеры поперечного сечения и толщину крепи, деформационные характеристики массива пород и материала подземной конструкции, а также положение и интенсивность нагрузки.
В основу метода положено аналитическое решение плоской задачи теории упругости о равновесии кругового кольца, моделирующего крепь ствола, подкрепляющего отверстие в линейно-деформируемой среде, моделирующей массив пород, при действии по части внутреннего контура равномерно распределенного давления, моделирующего действие жесткой
Среда 50 и кольцо 51, имеющее толщину Д= Я0 - Я15 выполнены из разных материалов, имеющих модули деформации Е/ (/=0,1) и коэффициенты Пуассона V/ (/=0,1), и работают совместно как единая деформируемая система, т.е. на линии контакта Ь0 выполняются условия непрерывности векторов напряжений и смещений. На части внутреннего контура Ь1, ограниченной хордой Ь, действует вдоль оси 0х равномерное давление интенсивностью р.
Решение поставленной задачи получено с применением теории аналитических функций комплексного, свойств интегралов типа Коши и приема разложения функций в ряды Фурье.
На первом этапе осуществляется преобразование, согласно которому внешности единичной окружности в плоскости переменного £ будет соответствовать внешность внутреннего контура кольца Ц в плоскости переменного При этом окружность радиуса г0 = / Я1 перейдет в наружный контур кольца ¿0.
Далее вводятся в рассмотрение комплексные потенциалы Фз (£), \з (£) (/ = 0,1), определяющие напряженно-деформированное состояние соответствующих областей и связанных с напряжениями и смещениями известными Колосова - Мусхелишвили. Принимая во внимание, что действующая на внутренний контур нагрузка не самоуравновешена, т.е. главный вектор внешних сил X + гУ отличен от нуля, а напряжения на бесконечности отсутствуют, рассматриваемые потенциалы, следуя работе [3], представляются в виде
X + 7У X + 7У ~
ФЗ ® = - Ь ^ ® , ^® = ^ Ь Ч®, (1)
где ~ j (£), j (£) - обозначают функции, регулярные в соответствующих областях (] = 0,1), общие представления которых имеют вид
~ j (2> = Е ак\к , \ j (2) = ЕЬ^\к , (2)
—да —да
причем в области S0 имеют место равенства
ак0 = ъ(0 = 0 (к = 1,....да),Ъ00) = 0.
Для облегчения дальнейшего решения задачи вводятся новые функции (] = 0,1)
Ф/0 = Ф}(0, ЗЬуЗЮ, (3)
которые на основании представлений (1), (2) могут быть записаны в виде
да да да да
Ф 7 (О = Е 41)( ^ + Е С™ j )ск, Ч (О = Е ^ 3 к + Е ^3 Ч* ,(4)
к=1 к=0 к=1 к=0
здесь:
скЗХ0) = сС4Х°) = 0 , (к = 1,....да) ,
с(3)(з) = мз) = 0, мы =— Х + 7у , с(2)(]) = а х — 7у (/ = 0,1).(5) 0 0 1 2я(1 + аг j) 1 3 2я(1 + азу) 47
Принимая во внимание представления (1) - (5), коэффициенты а (з)
и с(^)( 3) можно связать следующими соотношениями:
с(1)(з) =—(к — 1)а—(к—1), с^ =—(к — 1)Ъ%—^ (к = 2,...,да), (6)
4ЗХз ) = (к + 1)ак^+)1 с^к) = (к + 1)Ъкк^+)1 (к = 1,..., да).
В общем случае отсутствия силовой симметрии задачи все рассматриваемые коэффициенты представлений (2) - (6) являются комплексными величинами.
Граничные условия поставленной задачи, отражающие непрерывность вектора напряжений и смещений на наружном контуре кольца Ь0, принимают вид [3]
фх (гст)+гстф; (га)+щ (гст) = ф0 (гст)+гстф'0 (гст)+у 0 (гст), (7)
ае1ф1 (гст) - гстф; (гст) - щ (гст) = Г гт (га) - гоф0 (га) - що (га)] ,
Ць J
Е• / ч
где ае у = 3 - у> Ц, = 1 ч =0,1) •
2(1 + vi)
Условие, отражающее локальное действие по части обвода внутреннего контура кольца Ь1 усилий, параллельных оси х, можно записать через функции (5) в виде [3]
0Ф1 (а) + аф(а) - ф(а) - = - (Хп + 1Уп). (8)
Здесь
Гр на части контура Ц ,ограниченной углами ^ и 02 Уп = 0; п [0 на остальной части контура Ц.
Таким образом, поставленная задача сводится к отысканию двух пар функций фу (С), (С) (у = 0,1) и одной пары функций ф (С), ^ (С) из
граничных условий (7)-(8). Эта задача является определимой, если принять во внимание связь между функциями ф (С), щ (С) и ф (С), ^ (С) в форме выражений (3).
Дальнейший ход решения состоит в последовательности следующих операций. Сначала определяется главный вектор внешних сил X + ,У из выражений
0 2
X = Я1 Iрй0 = Я1 р(02 -0:), У = 0 • (9)
01
Затем выражения (1)-(2) с учетом представлений (9) подставляются в граничные условия (7). В результате после приравнивания в правых и левых частях полученных равенств коэффициентов при одинаковых положительных и отрицательных степенях переменной а, удается прийти к соотношениям, связывающим коэффициенты а(1) ,Ь(1) (к = +1,+2,.. + да) разложений функций (2) в кольце ^ с соответствующими коэффициентами а^,Ь(°) (к = 1,2,..да) потенциалов, определяющих напряженно-деформированное состояние среды Sо. Указанные соотношения последовательно подставляются в выражения (6), а затем в представления (4) и в условие (8). Дальнейший путь решения аналогичен описанному в работе
[3]. Полученное из (8) равенство и сопряженное с ним выражение почлен-
1 й<з
но домножаются на ядро Коши --а затем интегрируются по кон-
2 л/ (а - С)
туру окружности Г в предположении, что рассматриваемая точка С располагается вне контура. В результате представления всех функций в виде степенных рядов и последующего приравнивания в правых и левых частях полученных равенств коэффициентов при одинаковых положительных и отрицательных степенях переменного С удается прийти к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. После решения полученной системы, укороченной до 4N уравнений (к = 1,...Д), и нахождения корней, представляющих собой действительные (при /=1) и мнимые (при /=1, 2) части коэффициентов с^,0)(/1 I = 1,2; у = , на основе соотношений
(6) определяются коэффициенты разложений потенциалов Ф j (С), у] (С) 0 = °,1) и по формулам Колосова -Мусхелишвили - напряжения в областях 8 ^ (j = 0,1).
Линейная постановка решаемой задачи позволяет воспользоваться принципом суперпозиции при рассмотрении одновременного приложения усилий на нескольких участках внутреннего контура поперечного сечения крепи.
Для оценки несущей способности рассматриваемой конструкции полученные результаты должны быть просуммированы с напряжениями и усилиями от других видов воздействий (собственного веса пород, давления подземных вод и пр.) в самых неблагоприятных сочетаниях.
Описанное решение реализовано в виде компьютерной программы.
Ниже в качестве иллюстрации приводятся результаты конкретного примера. При расчете принимались следующие исходные данные: Я0 = =3,5 м, Я1 = 3,0 м, Е0 = 2400 МПа, у0 = 0,3, Е1 =24000 МПа, V! =0,2,
01 = 179о, 01 = 181о. Расчетные эпюры безразмерных нормальных тангенциальных напряжений на внутреннем (а(/П) / р) и наружном
(а(ех) / р) контурах обделки приведены на рис.2 а, б (в силу симметрии получаемых результатов относительно вертикальной оси эпюры даны для соответствующих половин контуров обделки).
^)¡ p p
0.14
-0.05
0.05 0.14 0.231
0.31
0.12
0.07 ,0.00
а б
Рис. 2. Расчетные эпюры нормальных тангенциальных напряжений на внутреннем а и наружном б контурах крепи
В заключение можно отметить, что описанный в настоящей работе подход к расчету подземных конструкций на действие внутреннего локального давления может быть обобщен на случай рассмотрения транспортных тоннелей, когда нагрузка, распределенная по части внутреннего поперечного сечения обделки, обусловлена весом подвижных средств.
Список литературы
1. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений в примерах и задачах: учеб.пособие для вузов. М.: Недра, 1989. 270 с.
2. Фотиева Н.Н. Расчет крепи подземных сооружений в сейсмически активных районах / под ред. Н.Н.Фотиевой. М.: Недра, 1974. 240 с.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.
Саммаль Андрей Сергеевич, д-р.техн. наук, проф.,sammalamm.tsu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Тормышева Ольга Александровна, канд. техн. наук, доц.,knopka.85 a hk.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Капунова Наталья Адольфовна, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELING OF SHAFT LINING STRESS CONDITION UNDER INFLUENCING LOCAL INTERNAL PRESSURE DUE TO RIGID
SHAFT FURNITURE
A.S. Sammal, O.A. Tormysheva, N.A. Kapunova
А method for determining the stressed state of shaft linings under the action of local internal loads caused, for example, the influence of rigid buttons; preventing deformation of the underground structureis described. This method is based on corresponding analytical solution of the elasticity theory plane problem, programmed for a computer.
Key words: shaft, lining, local load, stress state, design method.
Sammal Andrey Sergeevich,doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
TormyshevaOlga Alexandrovna, candidate of technical sciences, knopka. [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Kapunova Nataly Adolfovna, candidate of technical sciences, docent, 7richrich@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 624.101
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ ОБДЕЛКИ, СОЗДАВАЕМОЙ
В РЕЗУЛЬТАТЕ ВОССТАНОВИТЕЛЬНОГО РЕМОНТА КОЛЛЕКТОРНОГО ТОННЕЛЯ
А. С. Саммаль, О.М.Левищева, Т.Г. Саммаль
Излагается аналитический метод определения напряженного состояния трехслойных подземных конструкций, создаваемых в результате восстановительного ремонта коллекторных тоннелей способом "труба в трубе". Метод иллюстрируется примером.
Ключевые слова: коллекторный тоннель, обделка, напряженное состояние, метод расчета.
Успешное функционирование современного городского коммунального хозяйства связано с интенсивным использованием подземного пространства, предусматривающим не только строительство новых, но и безаварийное поддержание существующих выработок, значительный процент среди которых составляют канализационные коллекторные тоннели.
