CC BY
42
УДК 519.863
М.В. Виноградов, А.А. Павлов
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИЛ В ТРЕХСТУПЕНЧАТОЙ ФРИКЦИОННОЙ ПЕРЕДАЧЕ
Представлены результаты математического анализа взаимодействия сил в трехступенчатой фрикционной передаче, проведен теоретический анализ различных аспектов работы фрикционной передачи.
Фрикционная передача, привод подачи, взаимодействие сил M.V. Vinogradov, A.A. Pavlov
MATHEMATICAL ANALYSIS OF INTERACTION OF FORCES IN THE THREE-STAGE FRICTION GEAR
This work contains the results of the mathematical analysis of interaction of forces in the three-stage friction gear. The theoretical analysis of various aspects of friction gear work is presented.
Friction gear, power-operated actuator, interaction of forces
Фрикционная механическая передача (ФМП) осуществляет передачу момента за счёт использования сил трения. Данные силы используются при передвижении всех колёсных транспортных средств (так же и человек при ходьбе движется за счёт использования силы трения). Для проектирования ФМП необходимо рассмотреть теоретические аспекты передачи момента трением, выбрать рациональную конструкцию передачи и провести анализ взаимодействия сил, возникающих при ее работе.
1. Передача момента трением
Фрикционная передача представляет собой гладкие металлические цилиндры (или конусы), прижатые друг к другу с некоторой силой, обеспечивающей передачу момента. Передаточное отношение определяется отношением диаметров роликов. В случае многоступенчатых фрикционных передач передаточное отношение может достигать нескольких сотен единиц. На рис. 1 изображены виды фрикционной передачи.
Рис. 1. Виды фрикционной передачи: а - одноступенчатая; б -многоступенчатая; в - фрикционное преобразование углового перемещения в линейное
Благодаря отсутствию зубьев и высокому качеству поверхности ролика (достигаемому шлифованием/суперфинишем), привод с фрикционной передачей не имеет таких пороков традиционных приводов, как люфт («мертвый ход») и нестабильность передаточного отношения, а также обладает высокой жесткостью ввиду отсутствия упругих элементов в цепи передачи момента, что позволяет управлять положением с высокой точностью. Основная причина возникновения «мертвого хода» - люфты в передаточных механизмах. Известные безлюфтовые зубчатые передачи не лишены традиционных пороков зубчатых передач и имеют к тому же низкий КПД. Во фрикционной передаче величина люфта весьма незначительна, в то время как ее КПД достигает величины 0,98...0,99 [1]. Изготовление деталей передач традиционных типов (шестерни, червяки и т.п.) сопряжено с известными трудностями обработки зубьев. Изготовление же цилиндров, составляющих основу фрикционной передачи, заметно проще технологически и сводится к простейшим операциям металлообработки - точению и шлифованию.
Для функционирования фрикционной передачи требуется осуществить прижатие роликов друг к другу с некоторой силой P, обеспечивающей передачу окружной силы F = k■P, где k - коэффициент трения скольжения поверхностей роликов. Таким образом, передаваемая парой роликов сила в k раз меньше силы прижатия. Коэффициент трения для пары материалов «сталь-сталь» составляет 0,1-0,2, следовательно, прижатие должно осуществляться с силой, в 5-10 раз превышающей передаваемую силу. В случае многоступенчатой передачи передаваемая сила возрастает на каждой паре роликов при переходе от быстровращающегося вала к медленному пропорционально отношению диаметров этих пар роликов. Максимальный момент (и передаваемая окружная сила) достигается на последней паре роликов, следовательно, прижатие этой пары необходимо осуществлять с наибольшей силой. Этот факт позволяет осуществлять прижим роликов дифференцированно - с большей силой прижимать ролики, стоящие в кинематической цепи ближе к выходному валу.
Для функционирования фрикционной пары необходимо касание поверхностей роликов друг к другу. Для реализации контакта логично расположить один из роликов на подвижной опоре. Такое расположение опоры позволяет монтировать ролик в корпус передачи с последующим прижатием роликов друг к другу с заданной силой.
2. Виды компоновки многоступенчатой фрикционной передачи
В динамическом режиме на фрикционный ролик действуют несколько сил - сила прижатия, сила, приложенная со стороны ведущего ролика, и силы реакции. Силами тяжести ввиду малых размеров роликов и силами трения в опорах роликов (в
подшипниках) пренебрежем. При расположении роликов на одной прямой (рис. 2, а) приходится прижимать все ролики одной силой, равной максимальной требующейся силе прижатия для осуществления передачи заданной окружной силы на последней паре роликов. Проекция передаваемых окружных сил на линию действия сил прижатия равна нулю, данные силы не оказывают влияния на параметры прижатия роликов. В случае линейного расположения осей роликов, подвижными должны быть опоры всех роликов (кроме последнего), а также крепление двигателя, приводящего входной вал передачи, что трудно реализуемо конструктивно. Для решения данной проблемы можно использовать угловую схему (рис. 2, б), когда оси роликов расположены в углах многоугольника. При такой компоновке на подвижную опору можно расположить только некоторые «внутренние» ролики, что значительно упрощает конструкцию передачи. При таком расположении роликов действующие силы в передаче начинают влиять друг на друга. Рассмотрим их взаимодействие (рис. 3).
Рис. 2. Виды компоновки многоступенчатой ФМП: а - линейная; б - угловая
Ролик О2 прижимается к роликам О1 и О3 силами Pn1 и Pn2, ролик О4 прижимает шток к ролику О3 силой Pn3. Сила прижатия Pn1 вызывает силу реакции #к1, которая реализует окружную силу Fт1. Силы Pn2 и Pn3 вызывают соответственно силы Nк2, Fт2 и Nк3, Fт3. При вращении ролика О1 возникающая сила Fт1 приводит во вращение ролик О2, который, в свою очередь, посредством силы Fт2 вызывает вращение ролика О3. Вращение последнего приводит в движение шток. Рассмотрим силы в системе в статическом режиме, для чего упрем шток в упор Х1. Шток начинает испытывать со стороны упора Х1 силу реакции Ыт3, уравновешивающую силу Fx3. Застопоренный таким образом ролик О3 воздействует на ролик О2 с силой Ыт2, также на ролик О1 начинает воздействовать сила Ыт1. Силы Fт1, Ыт1 и Fx2, Ыт2 попарно равны по третьему закону Ньютона. Таким образом, на ролик О2 действуют силы Fт1, Ыт2, Pn1 и Pn2. Ввиду того, что сила Fт2 в %1=D2/d1 раз больше силы Fт1, где d1 - диаметр ролика О1, D2 - больший диаметр ролика О2, и сила Pn1 в ^р раз меньше силы Fт1, силы Pn1 и Ыт2 оказываются сопоставимы по значению, и сила Ых2 может уменьшить воздействие силы прижатия Pn1 и, тем самым, значительно уменьшить силу реакции Ык1. Уменьшение силы Ык1 вызывает пропорциональное уменьшение максимальной передаваемой окружной силы, что может ввести передачу в
режим буксования. Буксование, помимо ошибки при передаче момента, приводит к
значительному износу роликов.
При некоторых значениях параметров передачи, сила Ыт2 может превысить силу прижатия Pn1 и вызвать отвод ролика О2 от ролика О1, тем самым исключив возможность передачи момента. Подобное явление наблюдалось при эксплуатации фрикционных
редукторов ТПАРМ-100.
Увеличение сил прижатия ролика Pn1 и Pn2 позволит предотвратить появление подобных эффектов. Чрезмерное увеличение сил
прижатия приводит к усложнению конструкции и возможным деформациям роликов. Для
нахождения оптимальных сил
прижатия построена математическая фрикционной передаче.
Рис. 3. Взаимодействие сил в ФМП при угловой схеме расположения роликов
модель взаимодеиствия сил в трехступенчатои
3. Математическое моделирование сил, возникающих при работе трехступенчатой фрикционной передачи
Трехступенчатая ФМП состоит из 5 роликов (рис. 4). Ролики 01 и 04 закреплены на неподвижной опоре, ролики 02, 03 и О5 расположены на подвижной опоре, позволяющей осуществить прижатие роликов. Ролик 05 прижимает шток к ролику 04. Упор Х2 ограничивает движение ролика О3 в одной степени свободы. При подведении момента ролики начинают передавать окружную силу Fт = ^р-Ык, где ^р - коэффициент трения, N - сила реакции опоры на прижимающую силу Pn. Ролики сопротивляются движению с силой Ыт, равной Fт. При передаче момента возникшие силы 1\ и Л'х начинают влиять на силу реакции опоры N..
Входными параметрами модели являются геометрические параметры роликов d1 - d4, D2 - D4, где d - малый диаметр роликов, D - больший диаметр роликов, коэффициент трения материалов роликов ^р и требуемая на штоке ролика сила Fx4.
Выходными параметрами
являются передаваемые каждым роликом окружные силы Fт1 - Fx4, силы реакции Nк1 - Ык5, прижимные силы Pn1 - Pn4 и углы а и в между линиями, соединяющими оси роликов 01-02, 02-03 и 02-03, 03-04.
Передаточные отношения пар роликов: Х2 = dl/D2, Хз = d2/Dз, Х4 = dз/D4.
Рис. 4. Схема сил трехступенчатой ФМП
Запишем уравнения равновесия системы:
Г(Рш - К,з)- (Рп2 - К,1) • соз(а)- ^ • зіп(а) = О
(К,1 - Рп2 ) - (Рп1 - К,з > С0»(а) + ^2 • 8Ш(а) = 0
Р - N 5 )-(К, з - К, 4 )• еов(р) + Рх1 • 8іп(р) = О (К,з - К44) + (Рпз - К,5 ) • С08(р) - ^ • 8іп(р) = О
^ = кср • N«1 ^ = кср • N. 5
Рт1 = Рт2 -Х 2 Рт2 = Рт3 -Хз Рт3 = Рт4 -Х4
Р = к • N
/ т2 ^Ср е3
Решим систему уравнений, принимая углы а и в как параметры. Данная система имеет единственное решение:
^ = Х2 Х3 Х4 Рх4 .
кф
N = Хз Х4 Рт4
к
Ор
N 4 =■
ХзХ4 Рт4 • С0Э(Р)2 + Хз Х4 Рт4 кОр • ^(Р) • С0Э(в) - Хз Х4 Рт4 + Х4 Рт4 кОр • 8іп(в)
кОр - кОр • С0»(Р)2
К, 5 =
Х 4 Рт4 . к,
Ор
Рпі =•
Рп2 =
Хз Х4 РхА ктр • 5Ш(а) • С05(а) - Хз Х4 РхА ктр • С05(а)2 + Хз Х4 РхА + Х2 Хз Х4 РхА ктр • 5іп(а) .
кР - кр • С0й(а)2 ’
Х2 Хз Х4 Рт4 кр • 5іп(а) • С05(а) - Х2 Хз Х4 Рт4 • С05(а)2 + Х2 Хз Х4 Рт4 + Хз Х4 Рт4 кОр ' ^п(а)
кОр - кОр • С05(а)2
Рпз =
Х4 Рт4 ктр • С0^(Р)2 + Х4 Рт4 кр • 5іп(в) • С05(в) - Х4 Рт4 + Хз Х4 Рт4 кОр ' ^п(в)
кОр - кОр ■ С08(Р)2
Рт1 =Х2 Хз Х4 Рт4.
Рт2 =Хз Х4РТ4.
^Тз =Х4 ^Т4-
Из формул видно, что от угла а зависят силы Рп1, Рп2, от угла в - силы Кк4 и Рпз.
Для численных расчетов возьмем значения параметров фрикционного редуктора
Параметры фрикционного
Параметр Значение
10 мм
бг 15 мм
dз 20 мм
б4 20 мм
Ог 40 мм
Оэ 75 мм
О4 60 мм
Р\4 1000 Н
ктр 0,1
ТПАРМ-100, приведенные в таблице.
Решив совместно уравнения dPn2(а,в)/dа=0 и dNк4(а,в)/dв=0, получим углы а0 = 104,5°
и во = 101,5°. При данных значениях этих углов, воздействие передаваемых сил на параметры прижатия минимальны. Определяем прижимные силы: Рп1 = 667 Н, Р п2 = 231 Н, РП3 = 3333 Н,
Рп4 = 10000 Н. Полученные значения прижимающих сил являются оптимальными силами прижатия роликов с учетом влияния передаваемых окружных
сил и могут использоваться при настройке передачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Павлов А.А. Привод подачи прецизионного станка с шаговым двигателем и фрикционным приводом / А.А. Павлов, М.В. Виноградов, А.А. Игнатьев // Современные технологии в машиностроении: материалы Междунар. конф. Пенза: Пенз. дом знаний, 2006. С. 78-82.
Виноградов Михаил Владимирович -
кандидат технических наук,
доцент кафедры «Автоматизация и управление технологическими процессами» Саратовского государственного технического университета
Павлов Алексей Александрович -
аспирант кафедры «Автоматизация и управление технологическими процессами» Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 11.03.08, принята к опубликованию 22.05.08
