Математические зависимости при построении математической модели дискретных процессов в радиоудлинителе телефонной линии Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЧЕГОДАЕВ1 Николай Игоревич ЦЕБРЕНКО2 Константин Николаевич, кандидат технических наук, доцент

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАДИОУДЛИНИТЕЛЕ ТЕЛЕФОННОЙ ЛИНИИ

В данной статье рассматривается, математическое описание дискретных процессов при функционировании радиоудлинителя. телефонной линии; показаны, дискретные математические зависимости, приведено обоснование их применения, как имитаторов реальных устройств.

Ключевые слова: агрегат,, А-схема, дискретный процесс, радиоудлинитель, сообщение

This article covers mathematical description, of discontinuous processes for radio-extension, unit functioning; discrete mathematical dependencies are shown,, its application reasoning is quoted, as tangible devices simulators. Keywords: aggregate, A-circuit, discontinuous process, radio-extender, message

Телефонизация удаленных объектов на территории Российской Федерации представляет собой актуальную проблему. В публикации [1] была рассмотрена математическая модель аналоговых процессов при формировании канала связи радиоудлинителя телефонной линии авторской разработки. В статье [1] также было отмечено, что концепцией устойчивого развития сельских территорий Российской Федерации на период до 2020 г. [2, с. 30] обозначена необходимость телефонизации всех сельских населенных пунктов и объектов социальной сферы. Прокладка проводных линий связи, развертывание сетей IP-телефонии на базе технологий Wi-Fi или WiMAX требует больших финансовых затрат, а в некоторых случаях развертывание на объекте невозможно по техническим причинам. Абонентские системы сотовой связи также не всегда доступ-

ны [3]. В этой связи актуальна задача телефонизации объектов хозяйственной деятельности, расположенных в местности, где отсутствуют проводные телефонные линии связи абонентов. Передача аудиоинформации может быть основана на развертывании на объекте систем абонентского радиодоступа. Одним из вариантов решения задачи является интеллектуальный радиоудлинитель телефонной линии, математическая модель которого предлагается к рассмотрению. Приведем описание принципа действия устройства. В состав радиоудлинителя телефонной линии входят абонентский и базовый блоки, которые находятся на значительном удалении друг от друга. Имеющиеся телефонные линии подключаются к базовому блоку. С абонентским блоком коммутируются стандартные телефонные аппараты. Базовый и абонентский

блоки радиоудлинителя взаимодействуют в дуплексном радиоканале с разнесенными частотами посредством стандартных серийно выпускаемых радиостанций, что позволяет не ограничивать частотный диапазон канала. Для предупреждения использования служебного радиоканала связи не ав-торизированными к тому лицами предусмотрена взаимная аутентификация блоков устройства. Радиоудлинитель ретранслирует стандартные сигналы от автоматических телефонных станций телефонной линии к абоненту и обратно. Радиоудлинитель телефонной линии позволяет работать с несколькими телефонными линиями одновременно и выполняет перенос функций проводной телефонной линии посредством дуплексного радиоканала [3]. Цифровые процессы в радиоудлинителе связаны с установлением связи между элементами блоков устройства,

' — Академия маркетинга и социально-информационных технологий ИМСИТ, г. Краснодар, аспирант;

2 — Академия маркетинга и социально-информационных технологий ИМСИТ, г. Краснодар, директор института информационных технологий и инноваций.

а также коммуникациями между элементами. Центральный процессор радиоудлинителя также использует цифровые процессы для передачи команд элементам устройства и получения отчета о выполнении.

Необходимо построить математическую модель цифровых процессов устройства для того, чтобы получить представление о порядке коммутаций, происходящих при формировании аналогового канала связи при передаче аналоговой информации радиоудлинителем. Составим математическое описание с помощью комбинированных А-схем [4, с. 75].

Общая цель моделирования — построение математической схемы переключений цифровой части радиоудлинителя при коммутации блоков устройства между собой, а также подключение элементов этих блоков. Цель моделирования системы радиоудлинителя состоит в теоретическом изучении процесса установления связи между блоками при формировании канала передачи аудиоинформации при заданных входных последовательностях х-сообщений на входных полюсах схемы, а также установления состояний внутренних агрегатов при коммутации элементов внутри блоков системы. Необходимо установить дискретные зависимости между состояниями элементов устройства, приближенно описывающие поведение системы при служебных переключениях. Данная модель актуальна в связи с необходимостью показать общую структуру дискретных сигналов, обмен которыми производится блоками и элементами устройства при формировании радиоканала связи для передачи аудиоинформации. Последнее является непосредственной задачей радиоудлинителя, принцип действия которого заключается в перенесении свойств удаленной телефонной линии к телефонному аппарату абонента посредством дуплексного радиоканала [3]. Необходимо установить законы взаимодействия дискретных элементов устройства с учетом влияния внешней среды для того, чтобы уточнить способы управления формированием канала связи и передачей служебных сигналов при заданных в виде х-сообщений на входные полюсы А-схемы условиях внешней среды. Определим условия

переходов между блоками и элементами при определенных значениях сообщений и агрегатов. Спрогнозируем при помощи модели прямые и косвенные последствия реализации заданных входных комбинаций в целях исключения неработоспособных из числа применимых на фактическом устройстве. Результаты, полученные на модели, сравниваются с работой реального объекта, и дальнейшее поведение объекта уточняется при повторении указанных комбинаций с учетом его особенностей.

В публикации [1] приводилось описание построения модели аналоговой части радиоудлинителя. Там же приводилась структурная схема модели. В настоящей публикации приведем описание модели взаимодействия цифровых элементов устройства. Приведем краткое описание структуры математической модели аналоговой части устройства. Математическая модель аналоговой части устройства включает в себя элементы аутентификации, аналоговой коммутации, при их взаимодействии с учетом влияния внешней среды Е, включающей в себя элементы передачи данных, являющиеся стандартными выпускаемыми промышленностью приемо-передающими радиостанциями, стандартными антен-но-фидерными устройствами. В силу этого обстоятельства они включены в модель как часть внешней среды, а их параметры являются ограничениями для уравнений модели. Кроме того, одним из структурных элементов моделируемой системы является элемент «Связующее звено» [1]. В настоящей публикации необходимо построить модель и привести схему данного элемента.

В качестве схемы автомата для моделирования целесообразно выбрать А-схе-му, которая является наиболее общим подходом к формальному описанию процессов функционирования систем. Концепция А-схем была предложена Н.П. Бусленко [4, с. 75]. В данном случае А-схему имеет смысл предпочесть по ряду причин. Описываемая система является сложной и состоит из двух подсистем с тремя элементами, а для описания таковой подходит А-схема. В состав объекта входят приемо-пере-дающие радиостанции, которые моделируются как агрегаты-полюсы для

обмена информацией между системой и внешней средой Е [4, с. 77]. Очевидно, что моделируемое устройство — радиоудлинитель — представляет собой модульную систему, состоящую из двух основных блоков и внешней среды Е [1]. Имеет место системный подход к созданию модели, при котором необходимо выделить систему S и внешнюю среду Е [4, с. 21]. При этом модель также является системой S' = S'(M), рассматриваемой относительно внешней среды Е [4, с. 22]. Таким образом, приводимая система является сложной, и ее коммутирующая цифровая часть не может быть формализована в виде математической схемы одиночного агрегата, поэтому ее необходимо формализовать в виде схемы из восьми агрегатов, формула (1):

п = 1, Ыл , (1)

где ЫА — количество элементов схемы, то есть п = 1, 4 .

Внешней средой считаем элементы передачи данных и принимаем ее как прямой канал связи между блоками. Таким образом, подсистемы модели будут взаимодействовать с внешней средой не только в целях получения входных данных для одной из подсистем, но и для передачи выходных, которые, в свою очередь, будут являться х-сообщениями для второй подсистемы. Элементу «Связующее звено» абонентской подсистемы необходимо получить от модуля аналоговой коммутации сообщение о том, что абонент, возможно, снял трубку телефонного аппарата. Также на модуль аналоговой коммутации от внешней среды приходят сообщения о входящих вызовах. На стороне абонентской подсистемы элементу «Связующее звено» необходимо также сформировать сигнал «Коммутация» для приемо-передающего модуля и установки моста «проводные линии — дуплексный радиоканал». На стороне базовой подсистемы происходит следующее. Телефонные линии подключаются непосредственно к устройству сопряжения, составляющему основу элемента аналоговой коммутации базовой подсистемы. Здесь элемент «Связующее звено» формирует только один управляющий сигнал «Коммутация» для сопряжения

¥(0) Х(1) ¥(1)

очэ

АО

Х(3) ¥(3) Х(0)

АО

Рис. 1. А-схема абонентской подсистемы

АО

¥(0)

Х(1) ¥(1)

Х(3) ¥(3)

Х(0)

АО

Рис. 2. А-схема базовой подсистемы

телефонных линий через «Элемент передачи данных». Элемент аутентификации со стороны подсистемы абонента должен генерировать сигналы двухтонального многочастотного сигнала набора номера пониженной частоты, он должен получить соответствующий управляющий сигнал от «Связующего звена». Элемент аутентификации на стороне базовой подсистемы совершает обратное действие, то есть, получив последовательность в виде аналогового сигнала от абонентской подсистемы, он должен преобразовать его в двоичное число и передать «Связующему звену» для принятия решения. «Элемент передачи данных» в общем случае представляет собой стандартную выпускаемую промышленностью приемо-передающую радиостанцию. На стороне абонента агрегат этого элемента имеет три входных контакта, которые получают сообщения от агрегатов элементов аутентификации, «Связующее звено» и у-сообщение из внешней среды от стандартного телефонного аппарата. На стороне базовой подсистемы число входных сигналов агрегата элемента ограничено двумя: управляющим сигналом от процессора и у-сообщением из внешней среды от телефонной линии. Выходная клемма агрегата связана с внешней средой и передает х-сообщения в дуплексный радиоканал связи после получения соответствующего разрешающего сигнала от агрегата элемента «Связующее звено». Очевидно, что в системе имеется два агрегата-полюса, получающих у-сообщения из внешней среды и один агрегат-полюс передающий х-сообщения во внешнюю среду [4, с. 77]. Механизмы обмена сигналами агрегатов А-схем абонентской и базовой подсистем имеют симметричные отличия. Подсистема абонента генерирует аутентификационное х-сообщение посредством элемента аутентификации, который включен в цепь между микроконтроллером и агрегатом элемента передачи данных. В базовой подсистеме для его распознавания элемент аутентификации включен между агрегатами элементов аналоговой коммутации и «Связующее звено». В соответствии с вышесказанным составим А-схему агрегатов для подсистемы абонента. На рис. 1 приведена А-схема абонентской подсистемы, на

рис. 2 — А-схема базовой подсистемы.

Опишем А-схемы, приведенные на рис. 1, 2, в формальных терминах, принятых для описания агрегативных моделей. Функционирование данной А-схемы связано с обработкой и передачей информации, показанной на схеме стрелками. Информация, циркулиру-

ющая в А-схемах, делится на внешнюю и внутреннюю. Внешняя информация поступает от объектов, а внутренняя вырабатывается агрегатами самой схемы. Обмен информацией с внешней средой Е происходит через агрегаты, которые называются полюсами А-схе-мы. При этом различают входные полюсы А-схем, представляющие собой

агрегаты, на которые поступают х-со-общения, и выходные, информация с которых является у-сообщениями. При этом внешняя среда Е (и составляющие ее элементы), представлена в виде фиктивного элемента системы АО, вход которого содержит конечное число входных контактов ХО и выходных контактов УО [4, с. 78]. Принимаем следующие условия при математическом описании подсистем, описанных выше:

1) взаимодействие между А-схемами и внешней средой осуществляется посредством сигналов;

2) взаимовлияния сигналов вне механизма обмена не учитываются;

3) сигналы описаны конечным набором характеристик;

4) элементарные сигналы в системе передаются независимо друг от друга по элементарным каналам;

5) к входному контакту любого элемента А-схемы подключается не более одного элементарного канала;

6) к выходному контакту любого элемента схемы подключается некоторое конечное число элементарных каналов при условии соблюдения пункта 5 [4, с. 78].

Очевидно, что модель каждой из подсистем системы Б представляет собой одноуровневую схему сопряжения. Подсистема абонента двухсторонне взаимодействует с базовой подсистемой посредством внешней среды Е. Внешняя среда Е представляет собой двунаправленный дуплексный радиоканал связи между подсистемами. Передаваемые полюсами абонентской подсистемы во внешнюю среду сообщения являются у-сообщениями полюсов для базовой подсистемы. Сообщения, передаваемые во внешнюю среду базовой подсистемой, являются у-со-общениями для полюсов абонентской. Составим математическое описание агрегатов в терминах, принятых Б.Я. Советовым и С.А. Яковлевым [4]. Под агрегатом понимаем любой объект, определяемый совокупностью множеств моментов времени Т, входных сигналов х^) е X, выходных сигналов у(У е У, состоянием в момент времени z(t) е X, момент времени завершения обработки заявки %Г), внутренними параметрами самого агрегата к^) е Н и случайными операторами

V, и, ш, а.

В момент поступления в агрегат ^ еТ входного сигнала хп его состояние определяется выражением (2):

z(tn + 0) = ^^ z(tn), хп].

(2)

При заданных полуинтервалах времени работы прибора и Д'Д2), при условии, что интервал времени (^п+) не содержит ни одного момента поступления сигналов, то при условии t е ^п4п+1) состояние агрегата выражением (3):

z(tn + 0) = VII, П z(tn + 0)].

(3)

Оператор Ш представляет собой частный случай оператора и для особых моментов времени он определяется для описания скачков состояний агрегата bz в соответствии с выражением (4):

z(t6 + 0) = Ш[(6, z(t6)].

(4)

Момент выдачи выходного сигнала определяется оператором выходов в соответствии с выражением (5):

у = ар6, z(ts)].

(5)

(6)

+ 0) = У^К), ^ % + 0) = 1.

Уравнения (6) определяют время, оставшееся до окончания обслуживания заявки Z'(t) в момент времени при условии, что количество заявок в приборе без очереди Z2 равно единице. Поскольку очередь в данных агрегатах отсутствует, выражения для определения положения заявки в накопителе вычислять нецелесообразно. Пусть в момент времени t = ^ окончено обслуживание очередной заявки, то

есть происходит особый скачок состояний, когда z(t) достигает 2(г), определяется оператором Ш вида (7):

+ 0) = г^),

I г2 а81 + 0) = 0.

(7)

Уравнения (8) для оператора и, определяющего моменты поступления в агрегат входных и выдачи выходных сигналов следующие:

) = ^(Х) + , к), Ъ + 0) = 1 .

(8)

Поскольку в агрегатах А1, А3, А4 отсутствует очередь, то заявки обрабатываются в моменты их поступления по схеме «одна заявка — одна обработка». В ином случае следующая заявка будет отброшена по истечении времени ожидания [4, с. 82], которое в данном случае равно нулю, то есть всякая заявка, не находящаяся в данный момент в обработке, будет отброшена агрегатом. Выходной сигнал агрегатов А1, А3, А4 определяется выражениями (9) параметра а следующего вида:

Агрегаты А1, А3, А4 абонентской и базовой подсистем в силу специфики работы моделируемых приборов представляют собой системы массового обслуживания, которые исполняют обработку заявок без очереди в порядке их поступления, а время обработки заявки определяется временем ее поступления и временем обслуживания заявки т) = Ф(вук), где в] — случайный параметр, зависящий от параметров агрегата. Таким образом, оператор V для них можно записать с помощью системы уравнений (6):

|у = (1,е-,к, | у = е- , К гЪ2 ).

(9)

Выходными сигналами А-схемы являются сведения о заявках, покидающих прибор, то есть для выражения (9) признак обслуживания заявки: 1 — заявка обслужена, 0 — заявка не обслужена. Далее следуют сведения о случайных входных параметрах заявки, параметрах обслуживающей системы и моменте времени, в который заявки покинули систему [4, с. 80]. Агрегат А2 системы представляет собой прибор, производящий обработку входящих сообщений по заданной логике. Поскольку микроконтроллер АТТшу2313 имеет функции распараллеливания [5], целесообразно представить его агрегат в виде О-схемы массового обслуживания [4, с. 65]. Приведем описание О-схемы в терминах комбинированных схем.

При поступлении в момент времени ^ новая заявка определяется в соответствии с оператором V и выражением (2), аналогичным (6), однако в данном случае в агрегате присутствует очередь, поэтому выражение (10) для агрегата А2 (А'2) следующее:

!ЛЕД

^ + 0) = 2х(гх), + 0) = ) +1, (/. + 0) = (/. ), (/.. + 0) = (/.. ),

7+2к ( * . + 0) = е. ,

(/. + 0) = ф ,, И),

Таблица 1. Оператор сопряжения абонентской подсистемы

(10)

"2+2 к

1 + 0) = ¥(е., И), Ъ«. + 0) = 1.

Очевидно, что последние два выражения в системе (10) для агрегата с очередью совпадают, так при выборке на обработку последней заявки из очереди число элементов в очереди становится равно нулю.

Пусть в некоторый момент времени обработка очередной заявки окончена, тогда согласно выражению (4) и подобно выражению (7) выражение (11) для оператора Ш данного особого случая следующее:

^51 + 0) = Ф<А+х. й),

гг(*81 + 0) = г2(/51) -1 7п (/51 + 0) = 7п+2(51Х

(/51 + 0) = 2 (/51 ), (11)

71(/51 + 0) = г1(/51\

72 (/51 + 0) = 0.

В данном случае, как и в случае с оператором Ш, описанным в (7), имеет место особый случай, когда в момент времени t = ^ окончено обслуживание очередной заявки, и z(t) достигает Т^. В случае агрегата с очередью, моделирующего работу микроконтроллера («Связующее звено» на рис. 1), как и в случае уравнений (10), наличествует переменная zm(t). В общем случае zm(t) = ек; переменная описывает параметры заявок в очереди. Для агрегата с очередью имеется также особое состояние, наступающее в моменты поступления и выдачи сигналов в схему, оно описывается оператором Ш вида (12):

2Х(/) = 2х(/п + 0) - (/ - /п), 2,(() = 2г(1п +

> (12)

2т (/)=2т ап+o),

2, (/) = 2х( (п + 0) - (/ - гп ).

п г

1 2 3

0 4,1

1 0,1 0,2

2 1,1

3 2,1

4 3,1 2,2 0,3

Таблица 2. Оператор сопряжения базовой подсистемы

п г

1 2 3

0 4,1

1 0,1 0,2

2 3,1

3 1,1

4 2,1 0,3

Усложнение описания операторов в данном случае связано с наличием в агрегате очереди и необходимостью учитывать параметры заявок в очереди, однако выходной сигнал всех агрегатов совпадет [4, с. 83] и для агрегата А2 также определяется в соответствии с выражением (9).

Пара множеств: {Х(п)} заданных входных сигналов и {У/п)} заданных выходных сигналов — составляют математическую модель агрегата Ап. Для описания взаимодействий элементов между собой присутствует оператор сопряжения К, который для абонентской подсистемы, показанной на рис. 2, определен в табл. 1, а для базовой подсистемы, приведенной на рис. 3, определен в табл. 2. В табл. 1, 2 строки пронумерованы номерами элементов-агрегатов, столбцы имеют номера к,1, указывающие номер элемента к и номер контакта I, с которым соединен контакт Х(п) каждого агрегата.

Пара множеств {Х(п)}, {У/п)} и оператор К образуют схему сопряжения элементов в систему S [4, с. 79]. Данная модель позволяет определить зависимости времени поступления входных заявок в приборы — элементы блоков радиоудлинителя — и сравнить их с заданными спецификациями

реальных элементов при натурном моделировании.

Получена дискретная математическая модель, состоящая из абонентской и базовой подсистем, каждая из которых, в свою очередь, состоит из элементов-агрегатов. Условными элементами подсистемы модели внешней среды Е являются средства приема и передачи сигналов и коммутации блоков. Система взаимодействует с внешней средой посредством фиктивного элемента А0. При построении математической модели установлены правила обработки заявок на обслуживание переключательными схемами без накопителя - А0, А3, А4 - (уравнения (6) - (8)) и схемой с очередью (уравнения (10) — (12)), а также функция выходных сигналов элементов, выражение (9). Указанное выше установлено для взаимодействия подсистем системы передачи информации интеллектуального радиоудлинителя телефонной линии [2]. Приведенный набор параметров позволяет оценить порядок поступления-обработки заявок цифровой частью системы при заданных интервалах времени и значений сообщений, а также рассчитать временные параметры системы на каждом этапе. В приведенной математической модели при описанных условиях внешней

среды установлены дискретные математические правила обработки заявок на соединение и генерацию сигналов между элементами-агрегатами, приближенно описывающими поведение А-схемы при формировании указаний и управляющих последовательностей для формирования аудиоканала связи. Приведенная математическая модель приближенно описывает процессы пе-

редачи информации для устройства интеллектуального радиоудлинителя телефонной линии [3], на которое имеется патент [6]. Модель адекватна реализации полезной модели [4, с. 36] при условии соответствия временных параметров поступления заявок модели, суммарных временных характеристик обработки заявок по блокам модели радиоудлинителю телефонной линии с

некоторой степенью приближения при условии соответствия последовательности поступления заявок по модели порядку поступления заявок в объекте. Параметры радиоудлинителя заявлены в спецификациях элементов устройства радиоудлинителя при формировании коммуникационных цифровых связей между элементами блоков радиоудлинителя телефонной линии [3]

Литература

1. Чегодаев Н.И., Цебренко К.Н. Построение математической модели формирования радиотелефонного канала для. передачи аудиоинформации./ Спецтехника и связь, 2012. — № 2 — С. 58 — 63.

2. Концепция, устойчивого развития, сельских территорий Российской Федерации на период до 2020 года./ Центр экономической безопасности [Электронный ресурс] — режим доступа: http://econsec.ru/files/28.pdf

3. Чегодаев Н.И. Проблематика научных исследований в области телефонизации удаленных объектов хозяйственной деятельностью./ Молодой ученый, 2011. — № 9 — С. 61 — 64.

4. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем.. — М.: Высшая, школа, 2010. — 343 с.

5. Atmel ATTiny2313 8-Bit Microcontoller Datasheet./ Atmel Manuals — режим, доступа: http://www.atmel.com/

6. Патент, на полезную модель 111732 РФ, МПК 8 H04Q7/24. Радиоудлинитель телефонной линии./ Н.И. Чегодаев, К.Н. Цебренко; заявитель, и патентообладатель Негосударственное аккредитованное некоммерческое частное образовательное учреждение высшего профессионального образования. «Академия, маркетинга и социально-информационных технологий - ИМСИТ» (г. Краснодар). - № 2011131251; заявл. 26.07.2011; опубл. 20.12.2011.