CC BY
11УДК 621.313.13:621.38 В.Е. Высоцкий
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЕНТИЛЬНЫХ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЕЙ В СИСТЕМЕ ДИСКРЕТНО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ КООРДИНАТ
Математические модели электромагнитных процессов в вентильном двигателе с постоянными магнитами (ВДПМ) содержат в системе дискретно-ориентированных координат одно дифференциальное уравнение электрического равновесия с периодическими коэффициентами, решение которого сводится к определению тока, протекающего по обмотке якоря.
Это уравнение приводится к системе рекуррентных соотношений, которая распадается в дальнейшем в систему алгебраических уравнений произвольного порядка. Решение последней позволяет получить комплексные амплитуды токов якоря с любой заранее заданной погрешностью. Алгоритм решения имеет свои особенности в зависимости от закона распределения индукции в зазоре Поэтому решения уравнения для синусоидального и трапецеидального изменения поля по расточке якоря рассматриваются отдельно.
Замена обмотки возбуждения в электрической машине ВДПМ постоянными магнитами несет дополнительные сложности при математическом моделировании электромагнитных процессов. Это связано с тем, что м.д.с., развиваемая во внешней цепи и создаваемый ею магнитный поток не остаются постоянными, а изменяются с изменением магнитного поля реакции якоря и проводимости внешней магнитной цепи. Как участок магнитопровода, магнит представляет собой участок с большим внутренним магнитным сопротивлением. Вследствие этого значительная часть поля реакции якоря замыкается по путям потоков рассеяния.
Математическая модель электромагнитных процессов в вентильном двигателе с постоянными магнитами основана на методах исследования цепей с переменными параметрами. Они базируются на теории уравнений типа Хилла [1,2,3]. Для описания вентильных двигателей с электромагнитным возбуждением такой подход использовался при учете только первых гармонических намагничивающей силы и индукции в зазоре. Для исследуемого же класса ВД оптимальным является трапецеидальное распределение поля, которое, с одной стороны, позволяет снизить пульсации тока якоря, а с другой - обеспечивает наибольшее использование объема ротора.
Одной из особенностей электрических машин с радиальным расположением постоянных магнитов, в отличие от машин с электромагнитным возбуждением, является «неклассическое» соотношение продольной и поперечной составляющих индуктивности обмотки якоря. Для ряда конструкций роторов с явно выраженной полюсной зоной (ЯПЗ) например, ротора «звездочка» с полюсными наконечниками для поперечной и продольной синхронной индуктивности характерно соотношение /.,/</.<, [4,5]. Это связано с тем, что магнитная проницаемость магнита //„ близка по величине к магнитной постоянной р<,. Дня магнитов из сплавов альни, альнико, магнико /лм =(4-ь7)/^0. Поэтому значительная часть продольного потока якоря из-за малой проницаемости магнита замыкается по путям рассеяния полюсных башмаков.
Магнитное сопротивление путей рассеяния многократно превышает сопротивление воздушного зазора. Основная часть поперечного потока якоря замыкается через воздушный зазор и полюсные наконечники. Для некоторых случаев [6], независимо от величины тока, через полюсный наконечник проходит до 85% потоков поперечной составляющей реакции
якоря. Отношение /,,/4/Для отмеченных конструкций составляет 1,5_____3. Причем, чем меньше
воздушный зазор 5, тем больше отношение поперечной и продольной составляющих индуктивности обмотки якоря.
Для других конструкций магнитных систем электрических машин с неявно выраженной полюсной зоной (НЯПЗ), например, ротор «звездочка» без полюсных наконечников, величины продольной и поперечной составляющих индуктивности обмотки якоря соизмеримы. В этом случае поперечная составляющая потока реакции якоря встречает на своем пути значительно большее сопротивление.
Как показали исследования, для вентильных двигателей с постоянными магнитами, отношение оказывает существенное влияние на закономерности протекания
электромагнитных процессов в ВДПМ. Сложность физических процессов, имеющих место даже в установившемся режиме работы вентильного двигателя с постоянными магнитами, вынуждает при его математическом описании ввести, как и для ВД с электромагнитным возбуждением следующие допущения.
1. Обмотка статора симметричная, т — фазная.
2. Законы изменения параметров не зависят от величины тока якоря.
3. Постоянные магниты стабилизированы, а положение рабочей точки на прямой возврата определяется уравнением для эквивалентной обмотки возбуждения и в процессе работы не меняет своего положения.
4. Реальное распределение индукции в зазоре машины аппроксимируется трапецией, синусоидальный закон изменения индукции рассматривается как частный случай.
5. В роторе отсугствуют вихревые токи и демпферные контуры.
6. Включение и выключение вентилей преобразователя происходит за пренебрежимо малый отрезок времени.
Среди допущений первое, второе и третье являются общепринятыми. Насыщение магнитной системы не учитывается при выявлении законов изменения параметров ВДПМ в функции угла положения ротора. Количественный учет насыщения производится при расчете магнитной цепи. Найденные при этом коэффициенты насыщения и амплитудные значения параметров не зависят в дальнейшем от мгновенного значения тока якоря ВДПМ.
Положение прямой возврата на диаграмме магнита может быть охарактеризовано двумя параметрами: внутренней магнитной проводимостью магнита на продольной оси ДЛ|(/ =tg/3 и фиктивной внутренней м.д.с. магнита /rMo=const. В связи с этим постоянные магниты могут быть заменены эквивалентной фиктивной обмоткой возбуждения без потерь, включенной на источник тока [4] .
Что касается четвертого допущения, то при равномерном воздушном зазоре погрешность от аппроксимации индукции трапецией минимальна.
Пятое и шестое допущение не являются грубыми и часто принимаются при анализе электромагнитных процессов в вентильных двигателях [7].
Рассмотрим вначале подход к анализу электромагнитных процессов при синусоидальном распределении поля в зазоре.
Приведем параметры ВДПМ к осям а и d эквивалентной якорной обмотки и продольной оси магнита (рис. 1), а также определим изменение этих параметров на межкоммутационном и коммутационном интервазе [8].
Уравнение электрического равновесия в соответствии с электромагнитной схемой для этого случая может быть представлено в виде:
{la._ + V COs2(Р)^Г- + КЛА<Р)‘а + 0)Т~Х ...
at дер (1)
X {-La_ cos 2<p)ia + (0МаК1^ cos (pi M = Ua(t),
причем
<p - координата эквивазентной оси токосъема, отсчитываемая от нейтрал и, t А (р - смещение этой координаты, обусловленное коммутационными процессами, со — частота вращения,
a I0==(] + cos—)(Lj + L ). т
Состояние постоянного магнита ротора определяется уравнением
Imwm = FK + OkRm , (2)
где FM0 = ItyWM - фиктивная м.д.с. магнита на один полюс;
FK, Фк - координаты точки отхода прямой возврата на диаграмме магнита;
/?л/- магнитное сопротивление постоянного магнита;
wKI- число витков фиктивной обмотки возбуждения на один полюс.
После группировки компонент уравнение (I) может быть представлено как
{La= + La_ cos2<p)^- + Ru(A<p)ia + cos2cp)ia = AUa{t), (3)
at a<p
причем график изменения активного сопротивления Ru(A(p) приведен на рис. 2.
Рис.1. Электромагнитная схема ВДПМ в дискретно ориентированных осях.
Рис.2. Функция параметра эквивалентного сопротивления
якоря /?„(Л<р).
Для случая синусоидального распределения индукции по расточке якоря выражения для параметров и воздействия в уравнении (1) имеют вид:
1а- со*2ср = 1ао + + ІаМе~іШ\
А = І
где
£а0 = — 2со5“ л/2т{I . -I Ып(— -2/1^)со52(Д)
/77
+ 1)(1 - 2соя—)со5—5Іп2^(Зсоз2(/?п -4р);
ЯГ “ С/ /77 2/77 и
I. = 0,5(^ - уХТ ) I* = 0,5(1; + Д;). в = 2юй>;
(4)
причем в этих выражениях
= — 2соб “ л/2т'\ /, у - А ! ьіп( — - 2^1^)со5 2(/?п - ^ л V а ч / т
Лер)
О
т"к -1
— (£ . - I )(1 + 2 сов —)СО.Ч БІП 2.4^ СОЯ 2(Р(\ - Лер)—-——*
л а Ч т 2т и т к
Ґк = — 2соз“ л/2т\ £ . - І *іп(—-2/1<р)5Іп 2(/7п--л \а Ч) т и
її „ /77^
//7
+ —
г „ Л-, її . . /н«
— (£ , -I )(1->-2с05 — )С05-— 5ІП 2/1(^5111 2(/?п -^(9) -
Л " Ч «7 2/7? и /71 к _1
где
"(“А,- «*2?) = *^ + +
*=1
^ о / ^ 7Г
2/ = &)—2соб л/2пі\ А(/Г -^*іп(-------2Л^)5Іп 2(/?0 - Л(з) +
/И 71 Я . »
+ ы — (/..-/,)( 1 + 2 соя—)««—- яіп 2Л^>5Іп 2(Дл -/1^);
Л а ч 777 2/77 и
їик =О’50ігЬ =°£-(хік+]хіЛ
(4а)
причем
причем
где
соМаМ^ СО%ср = Хмо + £,(Хмл^Ш + Хм,кЄ")кв'),
*=і
Хио = ю—Л/ 2 а»л12т$\п(— - А<р)соб(/?п - А(р) + со— М (і + 2со5;г/ш)8ІпЛ^со5(/?п - Аф)\ к т 2т и л т и
Хм.к = 0,5 [х'м,к ~ І Хм.к) 2 = 0,5 [/_'м л + І Хм.к )•
Хм.к =со— М 2соъл12т%\п(-^~ - А(р)со^р0 - А(р)——— + л 1т 4т Г-1
+ са-^-Мт - (і + 2со5/г/т)5Іп А<рсо$(/3() -Аср)
л
2 т
4т2к2-\
тс 2 шк
Хм .к ~ 10------------Мт 2соэ л/2т яіп( —----------------------^7)5Іп( у9п - А(р)
1т
4/м2А2 -
со М (і + 2 сое л/т )зіп А (р $іп( /?,, - А <р) л т и
2 тк
Согласно [1,2,3] решение уравнения (1) следует искать для вещественных составляющих токов и, следовательно, при учете только вещественных составляющих напряжений. Поэтому выражение (6) может быть представлено в виде:
(7)
)<р„
где Ай5а = А1]ае'"а.
Индекс «Ь> заменен индексом «5» с теми же пределами изменений. При этом в выражении (7) будем иметь: ^ ^ ^ \$м-іиіс^.
При подключении напряжения вида (7) по обмотке якоря будет протекать ток. частота изменения которого кратна .V:
*«(0 = /° + Х 1*асо$($б1 + <р*а)
(8)
б’=1
или в комплексной форме записи при учете вещественной составляющей:
(9)
5 = -оо
где = 1ае
Подставив в уравнение (1) выражения для параметров, соответствующие синусоидальному распределению индукции, а также выражение тока якоря (9) и напряжения по (6) получим следующее уравнение:
*Р»и +Т.ЫУ'”**
к=\ к=\
+т^іа.кїу''і)в‘
к-1 *=1
Х4л/ум*")]= 2>чУ*
Л’=-оо +
А-1
(Ю)
к=I
д0/
А-1
6'=-<»
Осуществив рекурсивную замену д на з'=з-к, в четных и л на з"=з-к в нечетных слагаемых, а также сгруппировав слагаемые при одинаковых токах, получим:
X X! № - к)01<’Л + Хи + К.к Уи к) + [имьа0 + ла0 + х,Ж +
ОО Л=1
+да+ада>* + Хи + 4* ]^5+*’}=
где 5 — целые числа от -оо до сс , к - числа натурального ряда от 1 до 00.
Уравнение (11) можно представить в виде следующего рекуррентного уравнения:
у.1,к П.1,к) г5 у^.к Цз+к) _ лг’тх
^1. а +г/.0‘а *-!. 1а ~ Лиа'
(11)
(12)
где
2)* =і{$-к)вІак+Хі.м+К.к\ Х[.о = у5<жв0 + Л0о + 7/.0;
" Д5 + * )^о.* + XI..к + К.к •
Уравнение (12) распадается на систему алгебраических уравнений произвольного порядка, которая в матричной форме имеет вид
7 -2,0 £0 7-2'1 7-2.2 А і Ч2А • /;2 ли-/
. 77м 7-1,0 ^£0 у- 1.1 її''2 її13 • ли;'
*7 0,2 7 0,1 7 0,0 £0 у 0.1 •5 0.2 і X п - л и°а
• 2);3 71,2 71'1 у 1,0 ^ І0 І|2 • І'а ли]
2 23 і 72'2 1. 7 2,0 л/.0 її ли1
(13)
после чего ее решение на ЭВМ можно получить с любой заранее заланной погрешностью. Составляющие тока якоря вычисляются как
и*
1 $ _ а
+ /1
О'
где
/>' - определитель системы (13);
1У - определитель, полученный из определителя П' заменой соответствующего столбца правой частью системы (13).
Следует отметить, что О' - это числовой определитель произвольного порядка, элементами которого являются коэффициенты сходящег ося ряда Фурье.
Значения коэффициентов определяются конструктивными особенностями машины, законом позиционного управления, углом опережения включения вентилей преобразователя /?0 и частотой вращения.
Правая часть системы алгебраических уравнений (13) представляет собой матрицу — столбец падений напряжений Д£/ц' произвольного порядка. Она является разностью между приложенным напряжением ио и постоянной составляющей э.д.с. вращения по (6) при
В компонентах этой матрицы учитываются параметры материала постоянного магнита, а также, согласно (2), координаты точки отхода на прямой возврата диаграммы постоянного магнита.
Как отмечено в [9], наибольшее влияние на результат решения системы вида (12) оказывает центральная компонента, которая учитывает постоянные составляющие параметров. Для нулевого приближения, при т - фазной машине и длительности коммутационного интервала стремящейся к нулю, аналитическое выражение постоянной составляющей тока якоря будет:
1° = 1 а
2т . к
(О- ЯШ—СОБ /70
л т__________
Яа-(о(Ь соб
4 л
і 2 л . л . . п
---8ІП 8іп2р0
т т
(14)
Полученная формула аналогична выражению для тока в [10]. Однако, для ВД с
возбуждением от постоянных магнитов перед вторым слагаемым в знаменателе стоит знак «-», а не «+», как это имеет место для ВД с электромагнитным возбуждением. Огмеченная выше особенность машин с постоянными магнитами (/,^>/.с/) приводит к тому, что при опережающей коммутации и прочих равных условиях, постоянная составляющая тока якоря у ВДПМ с явно выраженной полюсной зоной будет меньше, чем у рассматриваемых двигателей с неявно выраженной полюсной зоной.
При запаздывающей коммутации постоянная составляющая тока якоря, согласно (14), у ВДПМ с ЯПЗ будет больше, чем у ВДПМ с НЯПЗ.
Анализируя полученное выражение для постоянной составляющей тока якоря, заметим,
что специфическое соотношение продольной и поперечной составляющей
индуктивности в машинах с постоянными магнитами накладывает свой отпечаток и на характеристики ВД.
В частности, электромеханическая характеристика у ВДПМ при опережающей коммутации «мягче», чем у ВД с электромагнитным возбуждением. В последнем случае при значительных нагрузках и опережающих углах Д) ВД может выйти из состояния равновесия. При возбуждении от постоянных магнитов он принципиально устойчив в описываемых режимах, однако, при запаздывающих углах запас устойчивости у ВДПМ меньше. Электромеханическая рабочая
н
Уо
VI
ш1
Рис. 3. Аппроксимация трапецеидального распределения индукции в зазоре ВДПМ
характеристика при одинаковых значениях полезной мощности на валу проходит выше, чем у подобных машин с электромагнитным возбуждением.
При трапецеидальном распределении поля вдоль расточки статора выражения для индуктивных параметров модифицируются в соответствии с формулами аппроксимации, а также рис. 3. Гак собственные и взаимные индуктивности фаз определяются выражениями:
_ 4/+
М\,Ы =~
4
а
3 л 2т
А/ “4/
Л% і
г л=1
4
лС
-А);
, а 2т
-сое 2а(а)і - /30)\
л=|
4/+ 4/ п 4 ,.„+| $\па£ Л л _
^1,^+1 =------------^ СОЇ!ч-----------------л сое 2 а{соі +---/?0);
2 2т 2 лс, “ а т
М
Л'.Л'-И
іі+ія со-2л ~ 1Я 4 у ( ця+і яп ас
п=|
—соя 2 а(а)1 +------------/30).
а~ 2т
(15)
у1_уо Т 1
где(, = 1 причем - нижнее, а у0- верхнее основание трапеции; а = 2/7-1.
Что касается взаимоиндуктивностей с эквивалентным контуром возбуждения, то согласно выражениям для аппроксимации и рис. 3 они принимаю! вид
16 1 . У\ + Уп . У] — Уп . . Я _
м\ и =мм—--------------> -уэни'-1 д — ЬШУ ! и-81пу(в?/ + ----/?о);
я(у\ -уо)п?о'' 4 4 2т
.. ., 16 1 . У\ + Уп ■ у1~у0 • / . 71 о \
м V м = Мм —-------- Х-гвш V/ 1 бш V 1 - -и- Біп У(а> / — -/30);
я(у1-у0)^Ґ0уі 4 4 2т
., ,, 16 1 . • VI-Уя • / Зл- „ .
,\'+1.Л/ =Мм—-------------X— ып»'-*——51ПК-!—--------------А), (16)
где у = 2п +1.
Представление функций индуктивных параметров (15), (16) с использованием символического метода позволяет сформировать вектор-функции параметров на рабочем (межкоммутационном) и коммутационном интервале, а затем представить их в преобразованном виде.
Проекции этих вектор - функций параметров на ось эквивалентной обмотки якоря а и продольную ось ротора и дают выражения самоиндуктивности, а также основной и параметрической э.д.с. вращения системы (1), которые принимают вид
V со82р = £4,0я4 XX
л=1 п-\к=\ (17)
где постоянная составляющая индуктивности эквивалентного контура якоря с точностью до индуктивности рассеяния:
4
1-\ ^
4*о п = —2со52 я/2т(Ьц -І)зіп(— -2Л<р)—(-1)”+1 -1Г^-у2-со5 2а(Д) ~А(р)
’ я 4 т я£ а
т!Т г и 1 -> я л 4 , ,4/1-1
+ — (4*-4X1 + 2сое—)С05—ъ\х\2Л(!)—(-1) ---^~со^2а(Рй-Л(р).
я 4 /и 2т пС а~ у ’
Переменные составляющие индуктивности эквивалентного контура якоря:
4і,к,п ~ • {/'а,к,п №а,к,п\ ( ^
1'ак Г, =——------тН)""1 —р-2соь2 л/2т-(і.(і )5Іп(— -2Др)соз2а(/Зо - Аф)
п т к -1К а1 т *
+ ——Д------^;(-1)"+1 ^^44, - 4,)(1 + 2со5—)со5^-5Іп2^со52а(Д, - /1^);
я пґк~ -1 яС а 4 т 2т
,» т пік 4 . ,.я+18іпа(, _ •> \ ч
4а Я =-------272----“(“*) ----2^-2со5“ я/2т-Ь )5Ш(-----------2А<р)$т2а(Рц-А(р)
я т к -\а1 т
т тк 4 . ... . я я . . _
+-----, , - ■ ■ — (-1)------? (4/ — )(1 + 2соб—)сое — ею 2/1(351112а(рп - А(р).
Ят к ~\я£ а 4 т 2т
Индуктивное сопротивление эквивалентного якорного контура ВДПМ:
0)Іф{Іа- С°^)*Х*Ч, +Хіак/]ки\ (20)
™ /1=1 п-1 ^=1
где постоянная составляющая индуктивного сопротивления контура якоря
Хіл*„ = 2с°ь2 п!2т' (4/ - 4? )5ІП(- - 2/1^)-^; (-1)""1 БІП2а(А - /1^) +
л- 4 от а
т,г I чл 1 л- • 4 /• 1Ч/.+1 Біпа^ .
»— (/.^ -4)(1 +2с05—)соз—ч\х\2А<р — (-1) г^-БИ
я т 2т пС, а
а переменные составляющие индуктивных сопротивлений контура якоря
XLa.k.n — O'- \%L,k,n ~ JXL,k ,п\ XLa.k.n ixL.k.n JXl.,k.n\
Х!шл ---—УЬ*^ооі7с/2/и(L.-L W-2Лр)і\х0аЩ)-zty)+
п пґіґ -\пС от ' а 11J m
+аР—Д--------—у^(4/)0+2cos^)cosr^-sin2z^iii2«(/^-40);
я пік - аг Ч m 2т
ХІа.к.п = Ю~~Т?Т-----тгС-П”4' 2 cos2 п/2т ■ [lu - L )sin(— - 2A<p)cos 2а( Д, - Jp) -
птк - \Щ а т
т тк 4 . ,.„+і sinаС,, , ч„ ~ яг. я . „ , „ , „ , ч
+ со---у-г--------------------------------------------------------------(-1) -^r~(Ld ~ 4Д1 + 2cos—)cos — sin 2A(pcos2a(/30 - Acp)\
я m к -1 я£ a m 2m
Сопротивление взаимоиндукции эквивалентною контура якоря:
ю^аМ~ йОЪ<Р ~ У'.ХмО.п + II
Я=1 я=1*=1
у pJk<* л- У P~jk0t
Хм,к.пе + X,у , е М ,к,п
(22)
(23)
причем постоянная составляющая сопротивления взаимоиндукции якоря
ш . , я
X = со — Ми 2cos я/2т$\п(--------------Аср)у.
wo,n я 2 т
16 1 . v,+vn . V - v0 . , Л
sin v—’-----sm и —-sin у(/У0 - Аср) +
*(v, - v0) v/-
т / _ / \ , (24)
+ со — Л/,w (1 + 2 cos /г/./м jsin Аср х л-
16 1 ■ И1 + vo . V, -V0 . . „ .
X---------------Sin И—-----------Sin I/—1-—Sin v(/?0 - -4^),
*(V| - Vo) V 4 4
а переменные составляющие сопротивления взаимоиндукции якоря
Хм.к.п = 0,5 •(% м кп - j%M к,п\ Хм,к,п —0,5 "\Zm ,к.п^’ JXМ ,А,я)> (25)
где
, 2т 2 тк „ я я . . 16 . 1 . v. + v0 . и - v0 .
=ft;—мт—т-i—2 cos— s I п(-------------------Аср) —- sin^r sinv-'- sin v-1- sinvOff, - J<?) -i-
Я 4т к -1 2/и 2/и ;r(v, -v0) v- 4 4
2/я../, , , \ . . 16 . 1 . v>+vn . и -vn . . _ „ . 2/тгАг
+ <w-— Л/,„(1 + 2cos^//?i)sinzl^)--— sin—-sinv—--------— sin i'— --sinv(/^ -Acp)—z—-—;
я ' n(V\-Vo) v* 4 4 4m к -\
* 2m 1 ... я . , я . . 16 .1. v,+v0 . v,-v0
/мь = CO------=-=— Л/M2cos— sin(— -/V)—---------- sin-^sinsinv'- - — cosi;(-Atp)+
я 4/и я — 1 2m 2m ^v,-v0) 4 4 '
2/и /, _ 1 \ . 16 . 1 . Vi + Vq . v, -v0 1
+6/—Mu •(l+2cos^r/w)sin/l^—-— sin—sin^- ——sinv——^cosv(/|)-Acp)———
я ' tf(V|-v0) I'3 4 4 4m"к -1
Разность между приложенным напряжением к обмотке якоря Ua и основной э.д.с. вращения вентильного двигателя будет определяться как
AUa=Ua- соМаЧ _ cos ср!К1 и при подстановке по (23) она может быть представлена в виде:
AUa =ио- 1М [ £ Хм, + t £ (Хм, У9’ + )] (26)
я=1 А=1я=1
При учете только вещественной составляющей напряжения выражение (26) будет выглядеть следующим образом:
&*£/*'• ‘27> S--oвп=1
где лйа ' лиа |^. _^~иа -/м У,^„,„;
Л=1 Я=1
В выражении (27) произведена рекурсивная замена «£» на «5» с теми же пределами изменения.
Для трапецеидального распределения индукции в воздушном зазоре частота приложенного напряжения согласно (27) кратна 50. Однако, величины комплексных амплитуд составляющих гока якоря будут зависеть от результатов разложения в ряд несинусоидальных периодически изменяющихся параметров в функции угла поворота ротора (су/). Эти параметры имеют период т/т и, согласно (20), (23) и (26), изменяются с той же частотой 50. В подобных случаях решение уравнения (3) следует искать в соответствии с методами, изложенными в [2,3], в виде:
'.('>= £ о»
і=-оо я=1
Подставив в уравнение (3) выражения для параметров (17). (20), (23), соответствующих трапецеидальному распределению поля, а также выражения тока якоря (28) и напряжения (26) получим следующее уравнение:
/V*1* +
і=-1/Н к=I А=!
(29)
к-\
ОС 00
к=\
А=1
/(.»(*)<?/
= -ХМ/гіЙи*' '
.у=>-аол=1 к= 1
Осуществив рекурсивную замену .9 на 5'=5-к, во втором, пятом, восьмом слагаемом и 5 на в третьем, шестом, девятом слагаемых, а также сгруппировав слагаемые при одинаковых токах, получим:
X +7(5)+С,(^о+Хі0п +/5^4о.н-)+^’(^и +ХЦп +К^+к)0^
.р-00
оо оо <50 00
ХЦп ~~ У. Хі. .п' ^а.к.п ~ ^^4г.А,я’ Хі().п ~^^Х І^.п' Хі.к.п ~ ^'.Хь. .п'
л=—ос Аг=1
«=!
и=1
я=I
где
(30)
4 .*.„■= 1°акп=Ъ№ А0*а.»=ТА0^-
Я=1 Я=1 Я=]
Приняв следующие обозначения:
+ X!.кп' + ./(•*~ к)в1^а к п- — Х^ п, Ка.О + Хц.п + І^^аО.п ~^1.0,п’
Ка.к + Хі.к.п + Д* + к)0Іа,к,п = ^І'.п можно переписать выражение (30) в виде рекуррентного соотношения:
У5.к н*-к) 7.Ч ГІ 7 V,* !
іуп ауп ^/
.5,А Нз+к) _ .Г/І і.п а.п а.п'
(31)
Уравнение (З I) распадается на систему алгебраических уравнений произвольного порядка
7-2,0 Ю.п У "2-І 1л.п 7‘2'2 гг.? «Й* ' /~2-•* а,И ^;,я-
• 7-1'1 І.Л 7-1,0 ^ЧО.я 7-1,1 /. .я ^:,'я2 гг.'л3 • 4С/;І.
70.2 7 0,1 у 0,0 /,0,я 7<М /. ,я •50,2 Аі.п X /°. а.п =
• 713 1, ,п 71,2 і.п ЗІ ■71,0 71'2 • /..я І а.п' 4^і.я-
■ 71а ЛЛ.я у 2.3 1*уп гй 72'1 £і,я 72,0 Л/.0,я Iі, а. ^І,я'
(32)
Как и в случае синусоидального распределения индукции в зазоре, составляющие тока якоря могут быть вычислены на ЭВМ по (32) с заранее заданной погрешностью.
Активное сопротивление якорной цепи определяется по выражению
00
X- /" 2 ты! .. * 1к2пко1
(&а ке + ^а ке ^ №)
*=1 ’ ’
где постоянная составляющая сопротивления
л л
Тт ~2т+П
Ко = — [2гф«ЛиГ + — П,5/ф<:/аГ;
я- •' л- •"
_ «• _ л
2т 2т
переменные составляющие:
Кк =0-,/<А); Да =0Д/^* +К*); (33а)
* _ *
2/и ^7 2 2т
Я'а к = | 2гф сое2ткамс/а)1 + — | \.5гфСоь2тк(он](о1\
л л
~Т~
2т 2т
—
-» 2/и _ 2т
2т г „ . „ , , 2иг
2/// г # Г
=— J 2гф%\г\2ткаХ(1((Л + ^— J 1,5г. %\п2тка)1(1аЯ,
7Г 7Г
-_ + ^ ----------------------------
2т 2т
а величина А11 а определяется по выражению (27).
Отметим, что системы алгебраических уравнений для ВДПМ с НЯПЗ и ЯПЗ содержат комплексные амплитуды токов и напряжений, зависящие от номера гармоники п пространственного распределения поля в зазоре, то есть от закона изменения параметров вентильного двигателя с постоянными магнитами на интервалах повторяемости. Однако система (32), соответствующая ВДПМ с ЯПЗ в левой части содержит элементы, величина которых зависит от закона изменения индуктивности в функции положения ротора, в общем случае несинусоидального. Система уравнений для ВДПМ с НЯПЗ содержит в левой части элементы, которые не зависят ни от формы распределения поля в зазоре, ни от закона изменения индуктивности якорной цепи в функции положения ротора.
Определим величины постоянных составляющих токов якоря для нулевого приближения и длительности коVIмутационного интервала стремящейся к нулю.
Для ВДПМ с ЯПЗ определим постоянную составляющую тока якоря по системе (32):
,0 _Ли1.п
* /Л II
•а.п „о. •
/.О,л
После подстановки (27), (31) и 5=0 получим:
,, , 32оМмт уг-у 1 . и,+^0 . . 7г
и. -1и —т-----— > —уБНИ' хешу -— ЗШУ — СОвУД,
Л..__________ _________1____________1________» ..... ,34,
4
Яи -(0(1, -£</)(4т/я) У I (-1)"*1 --рхсо^а^-зта-вт2а/%
“ а 2т т
Выражение для постоянной составляющей тока якоря соответствует формуле для тока в [9]. Это косвенно подтверждает правильность преобразований и подстановок, проведенных выше. Также, как и для случая синусоидального распределения индукции, перед вторым элементом в знаменателе (34) стоит знак «-» в противоположность ВД с электромагнитным возбуждением.
Выражения для постоянных составляющих токов якоря (14), (34) являются усредненными интегральными характеристиками электромашинно-вентильной системы и в целом правильно характеризуют функционирование ВДПМ. Однако они являются приближенными и могут быть уточнены при решении определителей более высокого ранга. Для случая мгновенной коммутации возможно и аналитическое решение системы уравнений ВДПМ.
Приведенный метод гармонического баланса позволяет определить характер изменения гоков в контурах машины и их гармонический состав на межкоммутационном интервале. Совместное решение на ПЭВМ для обоих интервалов позволяет получить форму тока якоря, потребляемого ВД от источника питания и тока возбуждения на интервале повторяемости л/т.
Числовые определители произвольного порядка имеют конечное значение, и их вычисление может быть заменено с достаточной степенью точности вычислением конечных определителей ранга р, полученных путем выделения диагональных элементов центральной строки [2]. При этом переход от определителя ранга р к определителю (р+1) уточняет значение определителя ранга р за счет компонент более высокого порядка малости.
Величина выделенного определителя зависит от числа учтенных гармоник коэффициентов уравнения электрического равновесия якоря (3) и радиуса их сходимости. Чем быстрее сходятся ряды параметров и их производных, тем быстрее сходится ряд тока якоря ВДПМ и тем ниже ранг определителя и погрешность, обусловленная снижением ранга.
Для предварительного определения числа удерживаемых членов ряда необходимо оценивать величину ошибки конечных полиномов относительно периодической кривой изменения коэффициентов уравнения (3). Оценка проводилась с помощью равенства Парсеваля [11]. определяющего среднеквадратичную ошибку усеченного полинома
где .Дс«/) — закон изменения параметра в функции угла поворота ротора;
«о, о*, Ьк - коэффициенты Фурье;
Т- период изменения параметров равный л/т.
На рис.4, представлены зависимости средней квадратичной погрешности <5 для первой производной взаимоиндукции при различных значениях углов опережения Д, в функции числа учтенных компонент ряда. Анализ кривых показывает, что при варьировании углов /?0 в широких пределах величина ошибки не превышает 10% при удержании 2...3 компонент при любом законе изменения поля в зазоре. Причем с увеличением значения угла /?о требуется учитывать большее число гармоник ряда. Отметим, что для малых /?о величина ошибки, при одном и том же числе удерживаемых составляющих ряда, значительно меньше для случая трапецеидального распределения индукции в воздушном зазоре (показана пунктиром).
Увеличение угла опережения включения вентилей приводит к тому, что величины ошибок для различных законов распределения поля приближаются друг к другу. При значительных углах Д) ошибка для случая трапецеидального распределения поля становится несколько большей, по сравнению с вариантом синусоидального распределения индукции. Это объясняется характером поведения кривой э.д.с. при изменении /У0.
11ри углах опережения удовлетворяющих условию
и трапецеидашном распределении индукции кривая э.д.с. практически не содержит высших гармонических. Наличие высших гармонических составляющих обусловлено лишь коммутационными процессами и распределением фазной обмотки по расточке якоря. При
приводят к увеличению средней квадратичной ошибки при ограниченном числе удерживаемых членов ряда.
Величина ошибки д зависит также от числа фаз машины и от частоты вращения двигателя (в частности это касается первой производной взаимоиндукции по времени). При уменьшении со и при увеличении числа фаз т (рис.5) величина ошибки снижается.
С учетом изложенных ранее положений был предварительно определен ранг выделенной матрицы р=9. На рис.6, 7, 8 приведены некоторые результаты расчета тока якоря на ЭВМ по системе алгебраических уравнений (32) для опытного образца вентильного двигателя с ротором типа звездочка и полюсными наконечниками. Основные параметры образца: магнит марки ЮНДК35Т5БА, т=3, /?„=1,84 Ом, £,/£,/=2,15, закон управления вентилями 2л:/т. Во всех режимах работы напряжение на обмотке составляло 300 В. На рис.6 показана расчетная кривая тока при угле опережения включения вентилей /?о=-8 эл.град. Величины тока в начале и в конце межкоммутационного интервала примерно одинаковы.
(35)
О 1/л 1/л О
(30 ~^>)</?0<(^»_30 )
(36)
о
углах До близких к величине (30---------) появляются резкие провалы в кривой э.д.с., которые
Рис. 4. Зависимости погрешности 6 от числа учтенных членов рядов первой производной при различных углах опережения включения /?0.
1ф. о.е.
I-----------------------------------
Рис.6. Ток фазы якоря ВДПМ при нейтральной коммутации (/И) эл.град).
Рис. 5. Зависимости погрешности <5 от числа учтенных членов рядов первой производной взаимоиндукции для различных частот вращения со и числа фаз т
• 90 гоЦэл.грал)
В этом случае ВДПМ работает при нулевом значении текущего угла опережения включения вентилей преобразователя р. При указанном
режиме имеет место совпадение векторов первых гармоник фазного тока и напряжения двигателя. Такой режим является наиболее предпочтительным для ВД.
Следует заметить, что у ВД с возбуждением от постоянных магнитов совпадение векторов первых гармонических напряжения и тока при прочих равных условиях имеет место при больших значениях тока якоря. Это объясняется меньшим искажением главного потока поперечной составляющей реакции якоря
а)
■ ш ■ и\
1К2СЗ ■ ш им
ИНИН м ■ II
к
га тлтт ■
■I 119В ж 1 ■
б)
Рис. 7. Ток фазы якоря при запаздывающей коммутации ф=+15 эл.град) а) расчет
б)
Рис. 8. Ток фазы якоря ВДПМ при опережающей коммутации (у5=-15 эл.град). а) расчет б) эксперимент
Увеличение угла Д0 в сторону запаздывания приводит к изменению характера протекания тока якоря (рис.7). К концу интервала повторяемости значение тока якоря больше, чем после окончания процесса коммутации. То есть на межкоммутационном интервале ток якоря не возрастает.
При значительных опережающих углах Д0 (рис.8) мгновенное значение тока имеет большее значение в начале межкоммутационного интервала и к концу интервала спадает.
Хараклер изменения тока якоря обусловлен, в основном, влиянием формы кривой противо-
э.д.с. В зависимости от момента переключения вентилей эта противо-э.д.с. соответствующим образом определяет значение и форму тока двигателя. Учитывая реальное распределение фазной обмотки по расточке якоря, следует отметить, что минимальные пульсации тока имеют место, когда наибольшее значение противо-э.д.с. приходится на середину межкоммутационного интервала.
При числе пазов на полюс и фазу ц равном единице и сосредоточенной обмотке диапазон изменения угла опережения с минимальными пульсациями тока якоря соответствует (38).
Анализ расчетов показывает, что с увеличением нагрузки заметно увеличивается только постоянная составляющая тока якоря, в то время как переменные составляющие изменяются мало. Таким образом, пульсации тока определяются, прежде всего, не нагрузкой, а параметрами машины.
На рис.9 показаны зависимости Б-х гармоник тока якоря относительно постоянной составляющей при различной нагрузке и угле опережения включения вентилей До=-8 эл.град. Заметим, что независимо от закона распределения поля в зазоре, гармонический состав тока при росле нагрузки заметно улучшается. При трапецеидальном распределении индукции по расточке якоря меньшие пульсации тока наблюдаются при углах опережения включения До до 10-20 эл.град в зависимости от величины нагрузки ВДПМ. При дальнейшем увеличении угла До спектры гармоник токов якоря для различного закона распределения поля приближаются друг к другу и при максимальных углах До - близких к 50-60 эл.град, пульсации тока для случая синусоидального распределения несколько меньше, чем для трапецеидального.
Таким образом, для вентильных двигателей с постоянными магнитами и трапецеидальным распределением индукции в воздушном зазоре существует диапазон изменения угла опережения включения вентилей преобразователя До до 10-20 эл.град в зависимости от нагрузки, обеспечивающий минимальные пульсации якорного тока. Оптимальное значение угла До может быть определено по предложенной математической модели для каждой конкретной машины с определенной конструкцией магнитной системы.
По поводу применимости полученных выше выражений для расчела тока якоря можно отметить следующее.
При малом числе фаз и небольшой нагрузке ВДПМ, согласно рис.9, необходимо учитывать высшие гармонические тока до 3-4 и в этом случае целесообразно ' воспользоваться выражениями для синусоидального и
трапецеидального закона распределения
индукции соответственно. При нагрузке равной и большей номинальной расчет тока якоря может вестись с учетом только постоянной составляющей по выражениям (14) и (36). Погрешность, обусловленная пренебрежением высших гармонических составляющих тока, в этом случае не превышает 10%.
При использовании полной системы алгебраических уравнений достаточно
остановиться на ранге 7-9 выделенного определителя. В этом случае для возможных режимов работы, числа фаз и частоты вращения относительная погрешность, вычисляемая как отношение разности определителей р+2 и р ранга к определителю р+2 ранга, находится в заштрихованной области (рис. 10).
Рис. 9. Зависимость Б-ой гармоники тока при различной нагрузке и угле опережения До=-8 эл. град. — холостой ход; — номинальный ток;
1 синусоидальное поле;
2 - трапецеидальное поле.
Полученная математическая модель вентильного двигателя постоянного тока в системе дискретно-ориентированных координат позволяет проанализировать электромеханические процессы в электромашинно-вентильных системах этого типа при различных принципах реализации позиционной обратной связи и способах коммутации УВК, различных схемах
обмотки и коммутатора. Анализ потокосцеплений в ВД на межком мутационном и
коммутационном интервалах дал возможность определить характер изменения параметров ВД
Аналитические выражения для параметров учитывают позиционный закон управления, ограниченное число фаз, угол опережения
(запаздывания) включения УВК, закон
изменения индукции в воздушном зазоре, а
также внутреннюю магнитную проводимость и м.д.с. магнита.
Предложенные эквивалентные схемы ВД, учитывающие постоянные и переменные составляющие параметров, позволили составить математическую модель для
квазиустановившегося режима работы и получить решения числового определителя произвольного порядка, уточняющие выражения для постоянных составляющих токов контуров.
В результате расчетов, проведенных по методу, представленному в работе установлено, что
пульсации токов в контурах машины определяются глубиной модуляции параметров ВД.
Причем характер кривой тока якоря зависит от угла опережения (запаздывания) и нагрузки на валу. Оценка точности выражений для расчета постоянных и переменных составляющих тока якоря показала, что при нагрузке ВДПМ до номинальной, необходимо учитывать 3-4 высшие гармонические тока. При нагрузке равной или большей номинальной расчет может быть проведен по выражениям для постоянной составляющей с погрешностью менее 10%.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тафт В. А. Спектральные методы расчета нестационарных цепей и систем. М.: Энергия, 1978. 272 с.
2. Тафт В. А. Основы спектральной теории и расчет цепей с переменными парамеграми. М.: Наука, 1964. 260 с.
3. Тафт В А. Электрические цепи с переменными параметрами. М.: Энергия, 1968. 327 с.
4. Осин И. Л., Колесников В. П.. Юферов Ф М. Синхронные микродвигатели с постоянными магнитами. М.: Энергия, 1976. 232 с.
5. Балагуров В А.. Галтеес Ф Ф. Электрические генераторы с постоянными магнитами. М.: Энергоатомиздат, 1988.280 с.
6. Высоцкий В. Е„ Каретный В. Д.. Скороспешкин А. И. Широкоре1-улируемый электропривод с вентильным двигателем для главного движения металлорежущих станков //Электропривод переменного тока с полупроводниковыми преобразователями: Тез. докл. VII науч.-техн. конф. Свердловск, 3-7 февр.. 1986
7. Овчинников И. Е. Теория вентильных электрических двигателей. Л.: Наука, 1985. 164 с.
8. Грачев П.Ю., Костырев МЛ. Метод дискретно вращающихся координат. // Специальные электрические машины / Сб. науч. тр. Куйб. политехи, ин-т. Куйбышев. 1983. С. 40 -45.
9. Зиннер Л. Я.. Скороспешкин А. И, Вентильные двигатели постоянного и переменного тока. М.: Эиергоиздат. 1981. 136 с.
10. Лутидзе III. И., Михневич Г. В.. Тафт В. А. Введение в динамику синхронных машин и машиннополупроводниковых систем. М.: Наука, 1973.338 с.
11. Заездный А. М. Гармонический синтез и анализ в радиотехнике и электросвязи. Л.: Энергия. 1972. 528 с.
с возбуждением от постоянных магнитов.
Рис. 10. Область возможных значений погрешности вычисления тока якоря при различных режимах работы ВДПМ в зависимости от ранга определителя
