CC BY
3
Айматова Ф.Х. старший преподаватель кафедра «Общественных и точных наук» Ташкентский государственный экономический университет
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ И ЕЕ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Аннотация. В данной статье описывается роль и значимость математических моделей в экономических задачах. А также, в статье показано решения экономических задач с применением системы алгебраических уравнений.
Ключевые слова: математические модели, экономические задачи, алгебраические уравнения, метод Крамера.
Aymatova F.Kh. senior lecturer Department of Social and Exact Sciences Tashkent State University of Economics
MATHEMATICAL MODELS IN ECONOMIC PROBLEMS AND ITS SOLUTION USING A SYSTEM OF ALGEBRAIC EQUATIONS
Abstract. This article describes the role and significance of mathematical models in economic problems. And also, the article shows solutions to economic problems using a system of algebraic equations.
Keywords: mathematical models, economic problems, algebraic equations, Cramer's method.
В данное время математические модели применяются во многих сферах науки, такие как физика, химия, биология, а также в технических и экономических направлениях науки. В основном математические модели можно разделить на три вида: аналитические, численные и статистические. Математическое моделирование является мощным инструментом для исследования и анализа различных явлений и процессов. Оно позволяет предсказывать результаты, оптимизировать решения и принимать более обоснованные решения в различных областях науки.
А также, математическое моделирование позволяет выделить для исследования наиболее важные свойства объекта, абстрагируясь от несущественных его характеристик. Часто моделирование позволяет сформулировать новые гипотезы и получить новые знания об объекте, которые при его исследовании были недоступны.
В математических моделях используются: формулы, уравнения, неравенства, системы уравнений, которые дают возможность с некоторой точностью описывают явления и процессы, происходящие в оригинале.
Например, финансовые состояния предприятия и ее оценки, можно показать с помощью математических моделей, используя математические формулы и таблицы, и решая их, с помощью систем линейных алгебраических уравнений, в котором можно выражать межотраслевые балансы предприятия, промежуточное потребление и производственные связи; структура конечного использования ВВП; стоимостная структура ВВП; перераспределение национального дохода. Этот метод является отражением межотраслевых балансов затраты и выпуска. Чтобы все это описать потребуется система линейных алгебраических уравнений, состоящее, например, из 2-х, 3-х или же п уравнений с п неизвестными, где п- количество отраслей, формирующих ВВП. И все это можно рассмотреть в такой вот форме:
АпгХп + ^пп^п ^п Здесь В СЛАУ х;-, (у — 1, ...п) - валовой продукт (объем
производства) отрасли у, у; - объемы конечного продукта отрасли
У, [а;;]пхп- матрица коэффициентов прямых затрат, целесообразно привести
компактную матричную форму записи рассматриваемой системы линейных уравнений:
ЛХ + V — X
и привести ее решение с помощью обратной матрицы относительно вектора-столбца X или Y вектора-столбца.
Рассмотрим составление математических моделей в двух простых экономических задачах.
Пример. Торговой фирме нужно купить пшеницы двух сортов: 1-сорта и 2-сорта в следующих соотношениях: 5 тонн 1-сорта и 8 тонн 2-го сорта с общей суммой 92 тысяч сумов или же закупить 8 тонн пшеницы 1 -го сорта и 5 тонн 2-го сорта. Торговая фирма заключает остановиться на первом варианте, так как при этом экономится сумма денег, для того чтобы купить 2-х тонн 1 сорта. Какая цена пшеницы 1-сорта и 2-го сорта?
Решение. Обозначим через х и у соответственно стоимость пшеницы 1-сорта и 2-го сорта. Тогда условие задачи можно переписать в виде следующего уравнения:
[5х + 8у — 92 [8х + 5 у — 92 + 2х Решим эту систему уравнений методом Крамера:
|5х + 8у — 92 ^6х + 5у — 92
д=
Ау =
5 8
6 5 5 92
6 92
_ Ах _ -276 А -23
= 25 -48 = -23,Ах = = 460- 552 = -92
92 92
= 460-736 = -276,
= 12, у = А1 = ^ = 4,
А -23
(х = 12 {У= 4
Ответ. 12 тысяч сумов это стоимость пшеницы 1-го сорта и 4 тысяч сумов стоимость пшеницы 2-го сорта.
Пример. Фабрика изготавливает продукции трех видов: кресла, диван и шкафы, используя сырье трех типов. Известна норма расхода на единицу изделия и объем расхода сырья на одну неделю (указаны в таблице). Найти
Вид сырья Норма расхода сырья на ед. изд. Недельный расход сырья в условных единиц
Кресла Диван Шкафы
1 2 0 260
Б2 2 0 3 460
Бэ 1 2 1 360
Пусть xl, Ж2, xз-еженедельный объем выпуска кресла, диванов и шкафов соответственно.
Составим систему уравнений
хх + 2ж2 = 260 2*! + = 460
+ 2*2 + *з —
3 6 0
Решим эту систему уравнений методом Крамера:
А=
12 0 2 0 3 12 1
= 0 + 6 + 0- 0- 6- 4 = -4
А* =
2 6 0 2 0 4 6 0 0 3 3 6 0 2 1
= 0 + 2160 + 0 - 0 - 1560 - 920 = -320
Ау
1 2 6 0 0 2 460 3 1 3 6 0 1
= 460 + 780 + 0 - 0 - 1080 - 520 = -360
А =
1 2 2 6 0 2 0 4 6 0 1 2 3 6 0
= 0 + 920 + 1040 - 0 - 920 - 1440 = -400
Дх -320 __ Ду -360 _ _ Дг -400 „ _ _
х — — —-— 80, у — — —-— 90, 2 — — —-— 100
Д -4 Д -4 Д -4
Ответ. Еженедельный объем выпускаемых продукции:80 штук кресел, 90 штук диванов и 100 штук шкафов.
Такое объяснение математической темы обычно представляет интерес для студентов экономического направления. Они здесь четко увидят необходимость изучения математических тем, связанные с матрицами, с обратными и транспонированными матрицами, оперировать их с понятиями определителя, алгебраическими дополнениями, минорами или же системами уравнений, а также начнут понимать важность изучения этих тем и научаться непосредственно их вычислять.
В дальнейшем на семинарских занятиях или же на лекциях по высшей математике, при решении задачи или примеры такого характера будет лучше, если остановиться на математических моделях с применением матриц, системы уравнений в экономике и т.д.е. Так, например, задачи с профессионально ориентированным содержанием, в частности, на составление оптимального решения проблемы в деятельности промышленного предприятия или же при оценке эффективности деятельности субъекта хозяйствования через основные показатели качества и производительности труда.
Сделаем вывод: математические моделирование нужны для того, чтобы: понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, внутренние связи, основные свойства, законы развития, саморазвития и взаимодействия с окружающей средой; научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях; прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.
Модели используются во многих сферах жизни: в управляющих организациях, в производстве, в потребительских коммунальных услугах, а также в услугах обслуживания жилого фонда, которые относятся к числу сложных, многокритериальных и динамических аспектов, для решения задач, которых будет целесообразно использовать математические модели.
Итак, чтобы построить математическую модель при решении экономических задачах, или же в задачах других направлений нужно построить следующие этапы: 1) цель исследования (анализ, прогноз, управленческое решение), определяются экономические переменные модели). 2) Анализ изучаемого объекта в нем формируется информация известная до начала исследования. 3) Определить вид модели, в котором выражается в математическая форма и взаимосвязь между переменными. 4) Сбор необходимых статистических информаций 5) Привести статистический анализ модели, где оценивается точность, значимость её
параметров и модели в целом. 6) Оценить соответствие модели реальному экономическому процессу.
Использованные источники:
1. Исследование операций в экономике: учебное пособие для вузов; /Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под.ред. проф. Н.Ш.Кремера - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. - 407 с.
2. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие. - М.: Издательство БЕК, 1998. - 141 с.
3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. Пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др. М.: ЮНИТИ, 1999,- 391с.
4. Федосеев В.В., Эриашвили Н.Д. Экономико-математические методы в маркетинге. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
5. А.Н.Боголюбов. Основы математического моделирования. http://math.phys.msu.ru/archive/2018_2019/27/OMM1.pdf.
