CC BY
28УДК 691.175
А.А. КУСТОВ, инженер (alexeykustov@outlook.com), А.М. ИБРАГИМОВ, д-р тех. наук (Igasu_alex@mail.ru)
Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (129337, г. Москва, Ярославское ш., 26)
Математические модели технических тканей с покрытием
В последнее время интерес к мягким оболочечным конструкциям вновь возрос. Материалом, из которых выполнены подобные сооружения, является техническая ткань с покрытием. Важным аспектом при проектировании мягких оболочечных конструкций является исследование поведения технических тканей с покрытием при различных внешних воздействиях. В статье представлены наиболее распространенные и верифицированные с натурными испытаниями математические (численные) модели материала. Обычно, они делятся на две основные группы, учитывающие отдельно геометрическую и физическую нелинейность, которые характерны для технических тканей с покрытием. В основном, акцент в работе сделан на зарубежные модели, в связи с небольшим количеством отечественных разработок в области математических (численных) моделей материала.
Ключевые слова: техническая ткань с покрытием, численное моделирование, мягкие оболочечные конструкции.
Для цитирования: Кустов А.А., Ибрагимов А.М. Математические модели технических тканей с покрытием // Строительные материалы. 2017. № 1-2. С. 94-98.
A.A. KUSTOV, Engineer (alexeykustov@outlook.com), A.M. IBRAGIMOV, Doctor of Sciences (Engineering) (Igasu_alex@mail.ru) National Research Moscow State University of Civil Engineering (26, Yaroslavskoe Highway, Moscow, 129337, Russian Federation)
Mathematical Models of Technical Fabrics with Coating
Recently, the interest in soft shell structures increased again. The material from which these structures are made is a technical fabric with coating. An important aspect, when designing soft shell structures, is the study of the behavior of technical fabrics with coating under various external impacts. The article presents the most distributed mathematical (numerical) models of the material verified with field tests. Usually, they are divided into two main groups taking into account the geometric and physical non-linearity separately which are typical for technical coated fabrics. Mainly, the emphasis in the work is placed on foreign models, due to the small number of domestic developments in the field of mathematical (numerical) models of the material.
Keywords: technical fabric with coating, numerical simulation, soft shell structures.
For citation: Kustov A.A., Ibragimov A.M. Mathematical models of technical fabrics with coating. Stroitel'nye Materialy [Construction materials]. 2017. No. 1-2, pp. 94-98. (In Russian).
В настоящее время вновь обретают популярность мягкие оболочечные конструкции (рис. 1—4). Уникальность свойств подобных сооружений заключается в их многофункциональности, достаточной простоте производства и относительно небольшой стоимости, малой массе и низкой материалоемкости, быстроте монтажа и демонтажа, многократной оборачиваемости, возможности полной заводской готовности, высокой стойкости к динамическим и сейсмическим нагрузкам, малом объеме в транспортном состоянии и возможности их доставки любым видом транспорта на любые расстояния.
Поведение технической ткани с покрытием под нагрузкой является сложным. Она представляет собой композитный материал, состоящий из двух разных материалов (нитей и покрытия), которые имеют отличия в своих физических свойствах. Более того, во время деформации нити могут изменять свое направление (угол между основой и утком). Техническим тканям с покрытием свойственна геометрическая нелинейность, в свою очередь нити и покрытие являются физически нелинейным материалом.
Конструктивные модели технических тканей с покрытием
Выбор конструктивной модели для описания нелинейного поведения технической ткани с покрытием является одной из важнейший составляющих при моделировании материала. Множество различных трудностей свойственны данному материалу, таких как нелинейные соотношения между напряжениями и деформациями, дискретная микроструктура, сложность во взаимодействии нитей и покрытия, большие деформации и т. п.; они осложняют создание и выбор конструктивной модели. Выделяют две основные группы конструктивных
моделей для моделирования технических тканей с покрытием:
• сплошная, непрерывная (continuum);
• дискретная, раздельная (discrete).
В непрерывной (continuum) модели техническая ткань с покрытием представляется сплошной средой без разделения на микроструктуру. Такое представление материала часто называют моделированием материала на мезоуровне (mesolevel). Достигается за счет осреднения (homogenization) микроуровня технической ткани с покрытием до однородной среды (рис. 5). В конечном итоге непрерывные модели более просты в моделировании и имеют меньшее количество необходимых параметров для создания модели, чем дискретные.
В дискретной (discrete) модели материал моделируется на микроуровне с учетом различных факторов: типа ткацкого переплетения, геометрических параметров нитей и покрытия, взаимодействия нитей между собой и с покрытием и т. п. Сложность дискретных моделей заключается в большом наборе параметров материала, которые необходимо определить для каждой технической ткани с покрытием индивидуально не только с помощью натурных испытаний, но и других исследований материала на микроуровне. Однако при моделировании технических тканей с покрытием на микроуровне появляется возможность учесть особенности структуры материала и решить ряд важных задач (рис. 6, 7).
В отечественной научной литературе математическими (численными) моделями технических тканей с покрытиями занимались авторы В.П. Багмутов, Н.Н. Берендеев, Р.А. Каюмов, Д.А. Кожанов, А.М. Сулейманов и другие. В основном модели представляли собой структурно-имитационную модель в виде представительной ячейки пленочно-тканевого
С ! - /Iii г Iii Ii
lA ®
Рис. 1. Воздухоопорные сооружения
Рис. 2. Тканевая плотина
Рис. 3. Мембранная конструкция
Рис. 4. Конструкция системы Tensairity
Рис. 5. Моделирование материала на мезоуровне (эквивалентные деформации)
(слоисто-волокнистого) композита с учетом геометрической нелинейности и накопления повреждений в материале. Например, в работе [1] было выполнено моделирование элементарной периодической ячейка тканого композита в программном комплексе ANSYS. Упруго-пластические свойства материала выражаются через теорию течения с линейным кинематическим упрочнением. При моделировании поведения композита под действием нагрузок учтена возможность возникновения повреждений в его структуре. Построены поля напряжений, деформаций и показаны зоны внутренних повреждений материала при одноосном деформировании.
Непрерывные модели (continuum models).
Nonlinear elastic constitutive model
В работе [2] предложена нелинейно-упругая конструктивная модель для описания поведения технических тканей с покрытием. В представленной модели учитываются: основные механизмы вращения волокон, удлинение нитей и покрытия, которые получены путем выражения уравнений равновесия для элементарной ячейки материала. Математическая модель материала построена на уравнениях равновесия для дискретной (discrete) модели, затем результаты были модифицированы в эффективные напряжения и деформации для непрерывной модели.
Fabric lattice model. Конструктивная модель, представленная в статье [3], описывает нелинейное поведение технической ткани с покрытием при рассмотрении материала на мезоуровне. В данной модели материал ткани заменен эквивалентной структурой, состоящей из ферменных элементов (стержней), пред-
Рис. 6. Моделирование материала на микроуровне (напряжения в МПа)
Рис. 7. Конечно-элементное моделирование нити материала с учетом крутки
rJ научно-технический и производственный журнал
Щ||ЛГЗ№1ЛЛЬ110 январь/февраль 2017
ставляющих нити и покрытие данного материала. Уравнения, представленные в fabric lattice model, рассматривают геометрическую нелинейность технической ткани с покрытием и учитывают контактные задачи («обжимные» взаимодействия), возникающие между нитями основы и утка. В статье [4] показана реализация конструктивной модели fabric lattice model на е-тканях («электронная ткань» или «умная ткань»). Представлены результаты сравнения численного моделирования и натурных испытаний.
A non-orthogonal constitutive model. В работах [5, 6] представлена конструктивная модель, описывающая анизотропное поведение композитных тканей с большими деформациями. Основная концепция модели — на основе анализа напряжений и деформаций в ортогональных и неортогональных координатных системах и матрицы вращения твердого тела получить соотношения между напряжениями и деформациями в глобальных координатах.
Pseudo-continuum model. В работе [7], состоящей из двух частей, представлена конструктивная модель в задачах плоского напряженно-деформированного состояния технической ткани с покрытием. Деформации материала полотняного переплетения классифицируются по трем типам деформаций нитей: угловое смещение, выпрямление, удлинение. Данная модель преобразует деформации ткани в осевые растягивающие и поперечно-сжимающие деформации отдельно для основы и утка.
A continuum constitutive model. В статье [8] предлагается новая конструктивная модель, в которой структурная конфигурация ткани связана с макроскопическими деформациями через метод минимизации энергии и используется для вычисления внутренних сил в направлениях основы и утка. Макроскопические напряжения определяются с помощью внутренних сил, для нахождения которых используют уравнения равновесия. Главным предположением этой модели является то, что проскальзывание нитей должно происходить таким образом, чтобы точки подвергались деформированию в схожей манере со сплошной средой.
A simple model. Модель, предложенная в статье [9], основывается на экспериментальных наблюдениях за нитями при двухосном растяжении технической ткани с покрытием. Линейная зависимость между модулем упругости и соотношением нагрузок при двухосных испытаниях найдена экспериментально. Предполагается, что материал является ортотропным и находится в плоском напряженно-деформированном состоянии, в то время как упругие свойства могут меняться в зависимости от соотношения нагрузок. Это сделано для представления сложного взаимодействия между нитями основы и утка. Также были проведены численное моделирование материала в программном комплексе ANSYS, в который была интегрирована представленная модель.
Kinematic model. В работе [10] развита новая конструктивная модель технической ткани с покрытием, представленная для трех различных арамидных тканых материалов. Основная идея предложенной модели состоит в том, чтобы связать эффективную деформацию градиента F непрерывного элемента с деформацией кинематической модели, представленной тканью на мезоуровне, и определить эффективное напряжение Коши.
The dense net model. Большой популярностью в Европе пользуется the dense net model. Этой моделью были решены многие практические задачи, например в работе [11], в том числе данная модель была использована при проектировании новой крыши площадью 4000 м2 для открытой площадки театра в Польше (Forest Opera
in Sopot, Poland) [12]. The dense net model является легко применимым в собственных или коммерческих программах, базирующихся на методе конечных элементов. Он может быть использован для описания поведения материала в различных видах технических тканей (с разными типами нитей и покрытия).
Основная идея модели заключается в том, что напряжения, возникающие в семействах нитей основы или утка, зависят от осевых деформаций только в направлениях аналогичных семейств нитей основы или утка. В the dense net model можно правильно выразить сдвиговые и анизотропные свойства технической ткани с покрытием. Хорошая сходимость численных и натурных испытаний подтверждена многочисленными научными работами и статьями.
Во многих работах, например в [13], коллектива авторов P. Klosowski и A. Ambroziak представлено описание нелинейного поведения технической ткани, описанного с помощью the dense net model. Нелинейные соотношения между напряжениями и деформациями при испытаниях на растяжение в технических тканях с покрытием можно аппроксимировать как кусочно-линейные с помощью метода piece-wise linear. Для определения этих соотношений обычно пользуются методом наименьших квадратов в варианте Marquard-Levensberg.
Дискретные модели (discrete models). Micro/macro-mechanical model. В статье [14] была разработана комплексная микро-/макроконструктивная модель, основанная на микроструктуре материале, в которую входит ряд параметров: геометрические размеры волокон, нитей и ячейки, свойства материала, составляющих композит, ориентация нитей и т. п. Модель прогнозирует нелинейное поведение технических тканей с покрытием во время больших деформаций. Моделирование начинается с геометрического описания нити и ячейки (unit cell) во время деформации сдвига. Далее проводится механический анализ ячейки для определения свойств эквивалентного сдвига в технических тканях с покрытием, с помощью неортогональной конструктивной модели. Предложенная модель показывает хорошую сходимость с экспериментальными данными испытаний и результатами 3D-моделирования конечными элементами. Численные испытания были проведены в программном комплексе ABAQUS.
Multiscale modeling techniques. Целью работы [15] являлось описание метода многоуровневого моделирования для представления гибкой технической ткани с покрытием. Данная модель включает в себя моделирование материала с использованием структуры на уровне нити вокруг области воздействия нагрузок и осреднен-ный или мембранный тип структуры в отдаленных от воздействия областях. Уровень «разрешения» моделирования материала на микроуровне уменьшается с увеличением расстояния от зоны воздействия нагрузки. Это приводит к гораздо меньшим вычислительным потребностям в конечно-элементных моделях. Нити моделируются с помощью двух конечных элементов — твердого тела и оболочки.
В работах [16—20] представлены другие дискретные модели для моделирования технической ткани с покрытием на микроуровне.
Модели материала, описывающие свойства технических тканей с покрытием
Выбор модели для описания свойств технической ткани с покрытием зависит не только от типа материала, но и от вида воздействий (кратковременные или длительные загружения). Выбор модели, описывающей свойства материала в целом, всегда является сложным и
спорным вопросом. Для описания свойств технической ткани с покрытием чаще всего применяют следующие модели: нелинейно-упругую, вязкоупругую, вязкопла-стическую и упруговязкопластическую.
Применение нелинейно-упругой модели справедливо лишь при воздействиях, которые не вызывают реологические процессы в материале (ползучесть, релаксацию), т. е. при кратковременных нагрузках. Данная модель для технической ткани с покрытием использована в работе [21].
Далее представлены распространенные модели для описания свойств материала. Все модели, приведенные ниже, уже были применены к техническим тканям с покрытием.
A simple continuum elastic-plastic model. В работе [22] представлена простая модель материала для прогнозирования упругопластического поведения композитных тканей. Модель использует скалярный параметр упрочнения (вместо эффективного соотношения напряжений-деформаций) для определения приращений пластических деформаций. Для двух различных композитных материалов с использованием экспериментальных данных доказано, что модель хорошо описывает нелинейные упругопластические свойства материала в задачах плоского напряженно-деформированного состояния. Модель подходит для жестких тканых композитных материалов с небольшими относительными деформациями (нити — стекловолокно/графит, матрица — полиэстер/полиамид).
A new elasto-plastic material model. В статье [23] представлена новая упругопластическая модель материала. Она основана на данных одноосных и двухосных испытаний на растяжение. Предложенная модель может учитывать нелинейность, эффект ортотропности и остаточные деформации в конструктивной модели поведения материала. Одиннадцать параметров входит в данную модель, восемь из которых определены из одноосных испытаний, остальные — из двухосных. Численное моделирование проводилось в программном комплексе ABAQUS с использованием пользовательских подпрограмм для описания модели материала. Показана хорошая сходимость между результатами численных и натурных испытаний. Также данная модель материала была применена в работе [24], где был представлен нелинейный конечно-элементный анализ мембранных конструкций, использованных в архитектурных решениях складных сооружений.
Unit cell approach. В работе [25] предложена модель материала, которая включает в себя серию нелинейно-упругих элементов, элементов трения и жестких связей для моделирования нитей, а также изотропную пластину для моделирования покрытия. Высокая степень точности и достоверности доказана сравнением с результатами натурных экспериментов. Главное различие между представленной моделью и другими существующими моделями заключается в том, как смоделированы нити. Модель нити состоит из четырех элементов — волокон, которые идут вдоль длины нити, а также присутствует «разрушающийся» элемент (crushing element) в точке перегиба нитей и жестких связей. В точке перегиба нитей и на границе элементарной ячейки четыре элемента волокна связаны между собой посредством жестких связей, что моделирует расстояние между нитями. В статье [26] предложена упрощенная модель, основанная на вышеизложенной. Модель устраняет избыточность элементов, что обеспечивает вычислительную эффективность и более ясное понимание представленной модели. Точность и достоверность новой модели материала в сравнении с результатами натурных испытаний остается на том же высоком уровне.
Murnaghan model. В работах [27, 28] применено два метода для описания нелинейного поведения материала: piece-wise linear для представления нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями, а также Murnaghan model для описания нелинейных свойств материала. Параметры материала были найдены в ходе проведения одноосных испытаний технической ткани с покрытием на растяжение в направлении основы и утка. Конструктивная модель the dense net model использована для создания непрерывной модели технической ткани с покрытием. Показана хорошая сходимость между численным моделированием и натурными испытаниями материала. Также в работе [29] успешно применена конструктивная модель the dense net model совместно с моделью Murnaghan model.
Bodner-Partom и Chaboche model (with damage). В статье [30] был применен the dense net model для численного моделирования технической ткани совместно с вяз-копластическими моделями Bodner-Partom и Chaboche для описания свойств. Параметры технической ткани с покрытием были определены на основании одноосных испытаний при растяжении в направлении основы и утка. Показана хорошая сходимость между численным моделированием и результатами натурных испытаний. Также упруговязкопластическая Bodner-Partom модель была успешно применена в работах [31—33] для описания нелинейных свойств материала. В статьях [34, 35] показана возможность применения Chaboche model with damage для описания упруговязкопластических свойств. Показана возможность разработки собственной подпрограммы (user-defined subroutine UVSCPL) для описания данных моделей в программном комплексе MSC Marc.
Schapery model. Целью работы [36] являлось предложить модель для описания нелинейного вязкоупругого поведения технической ткани с покрытием. Были выполнены в пяти различных напряженно-деформированных состояниях материала (10, 20, 30, 40 и 50% от разрушающей нагрузки) длительные одноосные испытания с учетом ползучести. Показано, что нелинейная вязкоупругая модель материала Schapery совместно с конструктивной моделью the dense net model достаточно точно описывает поведение материала при длительных воздействиях.
Заключение. Выбор модели материала для численного моделирования технической ткани с покрытием является важной составляющей в проектировании мягких оболочечных конструкций. Подводя итог обзора математических моделей материала, приведенных выше, следует отметить следующее:
• целесообразность выбора конструктивной модели (continuum или discrete) и моделей, описывающих свойства материала, зависит не только от поставленной задачи, но и от конечных результатов, которые необходимо получить;
• моделирование материала на микроуровне не всегда является эффективной задачей из-за трудностей, возникающих при создании модели;
• немалое количество предложенных математических (численных) моделей материала показывает существующую сложность в описании поведения технических тканей с покрытием;
• представленные современные научные исследования в данной области доказывают актуальность изучения и моделирования поведения материала.
Список литературы / References
1. Кожанов Д.А. Особенности конечно-элементного моделирования вида структурного элемента гибких тканых композитов // Научно-технические ведомо-
сти СПбГПУ. Физико-математические науки. 2016. Vol. 237. No. 1, pp. 7-15.
1. Kozhanov D.A. Features of the finite element modeling of the form of the structural element of flexible woven composites. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU. Fiziko-matematicheskie nauki. 2016. Vol. 237. No. 1, pp. 7-15. (In Russian).
2. Stubbs N., Thomas S. A nonlinear elastic constitutive model for coated fabrics. Mechanics of Materials. 1984. Vol. 3. No. 2, pp. 157-168.
3. Kato S., Yoshino T., Minami H. Formulation of constitutive equations for fabric membranes based on the concept of fabric lattice model. Engineering Structures. 1999. Vol. 21. No. 8, pp. 691-708.
4. Beex L.A.A., Verberne C.W., Peerlings R.H.J. Experimental identification of a lattice model for woven fabrics: Application to electronic textile. Composites Part A: Applied Science and Manufacturing. 2013. Vol. 48. No. 1, pp. 82-92.
5. Xue P., Peng X., Cao J. A non-orthogonal constitutive model for characterizing woven composites. Composites Part A: Applied Science and Manufacturing. 2003. Vol. 34. No. 2, pp. 183-193.
6. Peng X.Q., Cao J. A continuum mechanics-based nonorthogonal constitutive model for woven composite fabrics. Composites Part A: Applied Science and Manufacturing. 2005. Vol. 36. No. 6, pp. 859-874.
7. Kuwazuru O., Yoshikawa N. Theory of elasticity for plain-weave fabrics. JSME International Journal Series A Solid Mechanics and Material Engineering. 2004. Vol. 47. No. 1, pp. 17-25.
8. King M.J., Jearanaisilawong P., Socrate S. A continuum constitutive model for the mechanical behavior of woven fabrics. International Journal of Solids and Structures. 2005. Vol. 42. No. 13, pp. 3867-3896.
9. Galliot C., Luchsinger R.H. A simple model describing the non-linear biaxial tensile behaviour of PVC-coated polyester fabrics for use in finite element analysis. Composite Structures. 2009. Vol. 90. No. 4, pp. 438-447.
10. Boljen M., Hiermaier S. Continuum constitutive modeling of woven fabrics. The European Physical Journal Special Topics. 2012. Vol. 206. No. 1, pp. 149-161.
11. Ambroziak A., Woznica K. On finite element modelling of architectural fabrics for hanging roofs. Machine Dynamics Problems. 2006. Vol. 30. No. 2, pp. 7-17.
12. Klosowski P., Ambroziak A., Zagubie A. Technical fabrics in construction of large scale roofs - numerical and experimental aspects. Vilnius: VGTU leidykla Technique. 2007, pp. 1-7.
13. Ambroziak A., Klosowski P. Mechanical properties for preliminary design of structures made from PVC coated fabric. Construction and Building Materials. 2014. Vol. 50, pp. 74-81.
14. Xue P., Cao J., Chen J. Integrated micro/macro-mechanical model of woven fabric composites under large deformation. Composite Structures. 2005. Vol. 70. No. 1, pp. 69-80.
15. Nilakantan G. et al. On the finite element analysis of woven fabric impact using multiscale modeling techniques. International Journal of Solids and Structures. 2010. Vol. 47. No. 17, pp. 2300-2315.
16. Ben Boubaker B., Haussy B., Ganghoffer J.F. Discrete models of woven structures. Macroscopic approach. Composites Part B: Engineering. 2007. Vol. 38. No. 4, pp. 498-505.
17. Tabiei A., Jiang Y. Woven fabric composite material model with material nonlinearity for nonlinear finite element simulation. International Journal of Solids and Structures. 1999. Vol. 36. No. 18, pp. 2757-2771.
18. Argyris J., St. Doltsinis I., da silva V.D. Constitutive modelling and computation of non-linear viscoelastic solids. Part I: Rheological models and numerical integration techniques. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1991. Vol. 88. No. 2, pp. 135-163.
19. Argyris J., Doltsinis I.S., da Silva V.D. Constitutive modelling and computation of non-linear viscoelastic solids. Part II: Application to orthotropic PVC-coated fabrics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1992. Vol. 98. No. 2, pp. 159-226.
20. Onate E., Kreplin B. Textile Composites and Inflatable Structures II. Dordrecht: Springer. 2008. 270 p.
21. Ambroziak A. Analysis of non-linear elastic material properties of PVC-coated Panama fabric. Task Quarterly. 2005. Vol. 9. No. 2, pp. 167-178.
22. Odegard G., Searles K., Kumosa M. A continuum elastic-plastic model for woven-fabric/polymer-matrix composite materials under biaxial stresses. Composites Science and Technology. 2001. Vol. 61. No. 16, pp. 2501-2510.
23. Dinh T.D. et al. A new elasto-plastic material model for coated fabric. Engineering Structures. 2014. Vol. 71, pp. 222-233.
24. Dinh T.D. et al. A study of tension fabric membrane structures under in-plane loading: Nonlinear finite element analysis and validation. Composite Structures. 2015. Vol. 128, pp. 10-20.
25. Pargana J.B., Lloyd-Smith D., Izzuddin B.A. Advanced material model for coated fabrics used in tensioned fabric. Engineering Structures. 2007. Vol. 29. No. 7, pp. 1323-1336.
26. Pargana J.B., Leitao V.M.A. A simplified stress-strain model for coated plain-weave fabrics used in tensioned fabric structures. Engineering Structures. 2015. Vol. 84, pp. 439-450.
27. Ambroziak A., Klosowski P. Example of Tension Fabric Structure Analysis. Task Quarterly. 2010. No. 1-2, pp. 5-14.
28. Ambroziak A. Application of Murhagam model in analysis of nonlinear elastic properties of PVC-coated fabric. Task Quarterly. 2006. Vol. 10. No. 3, pp. 253-265.
29. Ambroziak A., Klosowski P. Influence of thermal effects on mechanical properties of PVDF-coated fabric. Journal of Reinforced Plastics and Composites. 2014. Vol. 33. No. 7, pp. 663-673.
30. Klosowski P., Zagubien A., Woznica K. Investigation on rheological properties of technical fabric Panama. Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv). 2004. Vol. 73. Iss. 9-10, pp. 661-681
31. Ambroziak A. Modelling of continuum damage for application elasto-viscoplastic Bodner-Partom constitutive equations. Engineering Transactions. 2007. Vol. 55. No. 2, pp. 115-128.
32. Ambroziak A., Klosowski P. Determining the viscoplastic parameters of rubber-toughned plastics. Task Quarterly. 2007. Vol. 12. No. 1, pp. 1001-1009.
33. Ambroziak A. Elasto-viscoplastic properties of AA2017 aluminium alloy. Task Quarterly. 2011. Vol. 15. No. 1, pp. 1001-1016.
34. Ambroziak A. Numerical modeling of elasto-viscoplastic chaboche constitutive equations using Msc.Marc. Task Quarterly. 2005. Vol. 9. No. 2, pp. 157-166.
35. Ambroziak A. Identification and validation of damage parameters for elasto-viscoplastic chaboche model. Engineering Transactions. Vol. 55. No. 1, pp. 3-28.
36. Klosowski P., Komar W., Woznica K. Finite element description of nonlinear viscoelastic behaviour of technical fabric. Construction and Building Materials. 2009. Vol. 23. No. 2, pp. 1133-1140.
