Математические модели сушки солода (зерновой массы) в высоком плотном слое Текст научной статьи по специальности «Математика»

66.047.001.573

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СУШКИ СОЛОДА (ЗЕРНОВОЙ МАССЫ) В ВЫСОКОМ ПЛОТНОМ СЛОЕ

М.М. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ, О.Б. ФОМЕНКО,

И.И. СОРОКИН

Московский государственный университет пищевых производств

Задача поиска оптимальных режимов работы сушильных установок состоит в отыскании таких законов изменения управляющих параметров, которые обеспечили бы наилучшие показатели производственной деятельности — высшее качество готового продукта при наименьших затратах энергетических ресурсов. В настоящее время эта задача остается актуальной для большинства предприятий, осуществляющих производство готового солода и, соответственно, одной из важнейших его стадий — сушки солода, так как именно здесь возможны основные потери качества продукта, а также ощутимые затраты и потери энергоресурсов.

Для решения задачи оптимального управления сушильными установками необходимы знания об основных закономерностях происходящих в них физических, химических, биохимических и других процессов. Взаимосвязь этих процессов отражается совокупностью графиков, таблиц, математических формул и других математических зависимостей, что в общем случае и называется математической моделью объекта. Математические модели, отражающие кинетику, статику или динамику происходящих в объекте изменений, являются связями, которые вместе с автономными ограничениями используются при решении задачи оптимального управления. Поэтому наиболее достоверная математическая модель, проверка ее адекватности являются важнейшим этапом выбора оптимальных режимов проведения технологических процессов.

Наиболее продуктивный метод построения математических моделей — экспериментально-аналитический, когда в основу модели закладываются определенные математические зависимости на основе известных фундаментальных законов физики, химии, биологии и т.д., а затем с учетом экспериментальных данных определяются параметры модели с тем, чтобы расчетные и экспериментальные значения расходились минимально. Поскольку эксперимент на производстве очень дорог, в основном проводят исследования на подобных лабораторных установках.

Сушка зерновой массы в конвективных многоярусных сушилках с подводом сушильного агента перпендикулярно неподвижному плотному слою материала наиболее часто используется в солодовенном производстве и является объектом изучения многих специалистов в области пищевых производств. Основополагающие работы по разработке теоретических основ проведения сушки зерновых продуктов принадлежат А.В. Лыкову, П.Д. Лебедеву, М.Ю. Лурье, В.В. Красникову, А.С. Гинзбургу и др. Из зарубежных авторов следует назвать Т. Шервуда, Д. Сполдинга, О. Кришера,

Р. Кейя. Широко известны работы по моделированию сушки зерна и солода, проведенные В.И Жидко, В.А. Резчиковым, B.C. Уколовым, Н.В. Остапчуком, С.Д. Птицыным, В.И. Поповым, А.Н. Кашуриным, В.А. Домарецким, А.М. Гавриленковым, И.П. Баумштейном и др.

Процесс сушки солода, как и любого другого зерна, сопровождается глубокими физическими, химическими и физиологическими изменениями: снижение массы, влагосодержания, объема, повышение температуры, протекание сложных химических и биохимических превращений (осахарива-ние крахмала, распад белков, образование цвета и аромата и т.д.), имеет продолжительную длительность, а к качественным параметрам конечного продукта предъявляются строгие требования.

Основными физическими явлениями, происходящими при сушке, являются процессы совместного тепло- и массопереноса, описываемые дифференциальными уравнениями с частными производными. Эти процессы характеризуют их значительная распределенность как во времени, так и по высоте слоя, нестационарность, а также отсутствие зависимостей, связывающих их напрямую с управляющими воздействиями. Сложностью является и невозможность в большинстве случаев прямого измерения характеристик тепло- и массопереноса, что заставляет изучать их на лабораторных установках или измерять косвенно и, соответственно, ведет к потере адекватности полученных результатов.

Особую сложность при составлении математических моделей сушки зерна представляет определение внутренних параметров и теплообменных и массообменных свойств зерновой массы (или единичного элемента); коэффициенты теплообмена, массообмена, теплопередачи, диффузии, термоградиентные коэффициенты, температуропроводность, потенциалы переноса тепла и влаги и др. Эти параметры характеризуются распределенностью во времени и по толщине слоя, поэтому во многих случаях их усредняют, что обусловливает потерю качества моделирования. Сложность описания динамического процесса, отсутствие зачастую средств измерения параметров в конкретных точках заставляют применять в расчетах всячески упрощенные модели, например, статики. В этом же причина столь распространенного подхода к плотному высокому слою как совокупности элементарных слоев. Такой подход позволяет избежать одной из распределенностей параметров (чаще всего по координате) с применением затем для перехода от слоя к слою численных методов, например, сеток, что накапливает погрешность. Фактически объект с распределенными параметрами рассматривается как объект с сосредоточенными параметрами.

Сложность процессов, происходящих при сушке и требующих математического описания, показывает параметрическая модель [1]:

А.с

d'vr

V,;, _

1,.С _

Р,*-

ГДЄ t,

Оси описаі теплої намич ки (р< ния 31 быть ( нений пласта

где

Грав

(01.573

юдели-

іенньїе

ловым,

повым,

Гаври-

фугого скими, ниями: повы-имиче-арива-івета и штель-ечного я.

юисхо-лестно-циффе-эизвод-іитель-к и по тсутст-імую с о явля-пря-ассопе-горных тветст-іенньїх

«атиче-ределе-[НЫХ и 1И еди-бмена, змогра-ровод-[ И др. ленно-ому во ливает ъ опи-5 зача-эетных ячески В этом хода к и эле-избе-ов (чаем для эв, на-.. Фак-ітрами иными

сушке

оказы-

и°,

А.С , _ Р«_

Л V, 1ъ К1',,

и кч мк

К*. +К!

1ВЫХ

ІПНХ

где

£ВЫ1 — начальная и конечная температуры

г ■

'ВЫХ

агента сушки; с* — начальное и конечное влагосодер-жание агента сушки; уас — скорость агента сушки; время сушки;

начальный и конечный расходы агента сушки;

Р — давление агента сушки;

С; — различные критерии эффективности;

Ц°, и* — начальное и конечное влагосодер-. ' жание зерна;

£* — начальная и конечная температуры зерна;

V, к — объем и толщина слоя зерна;

/ц, — начальные и конечные показатели

качества зерна;

Яс — аэродинамическое сопротивление слоя;

температуры отдельных конструктивных элементов сушильной камеры.

Основополагающие работы для математического описания явления совместного переноса влаги и теплоты принадлежат А.В.Лыкову [2]. С термодинамической точки зрения динамика процесса сушки (распределение температуры и влагосодержа-ния зерна) в неподвижном плотном слое может быть описана системой дифференциальных уравнений переноса применительно к неограниченной пластине:

дt д .. 81 ди /, ч

= +ег^?Г; <1а>

К*к

дх дх' дії д / дЦ . ді\

-3—• = — 1а — + ад —

дх \ т дх т дхг

(16)

где

I, и

температура и влагосодержание зерна;

ат, <5, Я — коэффициенты влаго- и теплопере-носа;

с, г, £ — термодинамические характеристики; т — время; х — координата.

Граничные условия в общем виде:

дх

-X

дх

+ qn(т) - г (1 - б) /г(т) = 0 ; (2а)

+ / (г) = 0 , (26)

1 д^

дх

V 1

где qII( т) — интенсивность теплообмена, или удельный поток тепла на поверхности;

/п( *) — удельный поток влаги на поверхности.

Начальные условия: О’^р^х); ?=/2(х) при г = 0.

Эта система учитывает взаимное влияние потоков тепла и влаги друг на друга в неизотермическом процессе, т.е. возникновение теплового потока в связи с переносом массы (потери тепла зерна с уносом влаги), а также массового потока — не только вследствие разности потенциалов влагосо-держания, но и температур. Использование данной системы уравнений для расчета сушильных установок и решения задач оптимального управления затруднено тем, что громоздкие аналитические решения возможны лишь при допущении постоянства коэффициентов переноса, что может быть только при очень медленной сушке с малыми значениями градиентов влагосодержания и температуры или в пределах бесконечно малых зон, на которые разбивается весь объем влажного материала, а также тем, что в уравнениях не применяются параметры, которые могли бы быть использованы в качестве управляющих воздействий. Поэтому предпринимаются попытки использовать наряду с общей теорией градиентного переноса более простые, частные модели сушки, зачастую с исследованием единичного зерна [3, 4].

Так, в работе [5], рассматривая форму зерновки как неограниченный цилиндр с радиусом Я, стороны сушильной камеры как систему прямоугольных координат х, у, г, движение агента сушки вдоль оси х и считая, что направление оси х совпадает с осью цилиндра, описана кинетика конвективной сушки зерна в плотном подвижном слое (можно применить к неподвижному слою, приняв скорость движения зерновой массы равной нулю) следующей системой уравнений:

ди

дг

+ V:

‘ дх

ди 1 ди

дг

дт

+ о—-+-дх

где а=а(і),

С,Р

Г дг

эи

= 0 ; (За)

дт

ди_

' дх

ий=и( т, х, у, Я);

1!(т, х, у) = §г1)(х, х, г)йг ,

Я о

Граничные условия:

і/=(т,аг)=£/п(т.г);

=0 ,(3б)

(Зв)

Я)=

аХК)

5(^а.с)

(ин-ир)м^иг

(и,

аХК)

Условия симметрии: дЬ!

^ х’ °> = 0 • Начальные условия:

/,( г, 0) = /(г);

[/(О, х, г) = ио(х, г); ф, х) = /2(х),

ий>иг

(4)

(5)

где х — координата по длине шахты;

у — координата перпендикулярно к оси коробов;

г — координата шахты сушилки вдоль коробов;

г — координата вдоль радиуса зерна;

„ и3, р3 — скорость перемещения зерна и его

объемная масса;

А, В — эмпирические коэффициенты; ио, £/р, 1/ — соответственно начальное, равновесное, среднее влагосодержание зерновки;

иас, сас — скорость и приведенная теплоемкость агента сушки; сз — температура и теплоемкость зерновки;

{/г, ив — значения влагосодержания по радиусу зерновки г и при г=Л\ р, г, п — индексы, имеющие значения равновесное, гигроскопическое, поверхностное.

В работе [3] приведено решение данной системы дифференциальных уравнений с применением метода конечных разностей (сеток) путем замены частных производных обыкновенными.

В связи со сложностями расчета вышеуказанных уравнений динамики сушки, а также проблемами в определении их параметров в настоящее время получили широкое распространение методы непосредственного экспериментального получения данных о кинетике сушки и нагрева влажного зерна и их описание в виде аппроксимационных зависимостей. Преимущества этого экспериментального метода — надежность результатов, простота опытов получения кривых сушки и нагрева частиц. Недостатками метода являются отсутствие информации о нестационарных полях распределения влагосодержания и температуры, а также ограниченная область применения регрессионных моделей.

Так, кинетику сушки в периоде падающей скорости чаще всего описывают следующими дифференциальными уравнениями [2, 3, 6]:

а Г

дт

= Ме

зг

дт кр

дУР

Ж

дт

кр ■■ р/

А

(А + Вт) ’

дт

кр

(7а)

(76)

(7в)

(7г)

(7е)

критическое и равновесное влагосодержание;

N — скорость сушки в первый период или максимальная скорость сушки во второй период; к, А, В — постоянные эмпирические коэффициенты.

Рассчитаны [2, 3, 6-8] и часто используются в целях облегчения расчетов эмпирические формулы для коэффициента сушки, плотности зерновой

массы, усадки, равновесного влагосодержания, аэродинамического сопротивления слоя, времени сушки и других величин в зависимости от параметров сушки. Эти зависимости также считаются математической моделью процесса сушки и применяются в качестве уравнений связи при решении задач оптимизации. Особое место занимают уравнения, связывающие качественные показатели готового продукта сушки (например, солода) с входными (управляющими) воздействиями. Их достоинство — простота при построении и относительная доступность экспериментальных данных, но область их применения ограничена.

Во многих работах взаимодействие процессов тепло- и массопереноса рассматривается по отдельности, но по возможности с учетом их совместного влияния. Т.е. на основе законов сохранения массы и тепла составлены дифференциальные уравнения теплового и материального балансов как для плотного, так и тонкого слоя (при различных допущениях, облегчающих решение). Например, в работах [6, 9] приведена система дифференциальных уравнений для тонкого слоя солода:

+ = (8а)

ду

~.дТ дТ . дТ

сгО-^+вРгсгаг^зО ■-Фз'1 -ф*-эг=0;(8б)

йт

(8в)

где

о

У

расход теплоносителя, кг-с/

м ;

— влагосодержание теплоносителя, кг влаги на 1 кг теплоносителя;

— координата по высоте слоя, м;

— температура, К; порозность слоя;

Рт

Г,

плотность теплоносителя, кг/

м

и*

влагосодержание солода, кг влаги на 1 кг влаги + сухих веществ; влагосодержание солода, кг влаги на 1 кг сухих веществ;; равновесное влагосодержание солода, кг влаги на 1 кг сухих веществ;

с — теплоемкость теплоносителя, Дж/кг К;

с3 — теплоемкость солода, Дж/кг/ К; г — теплота фазового перехода, Дж/кг. Во многом схожие уравнения изложены в работах [10, 11]:

уравнение материального баланса по зерну

сіт

(9а)

уравнение теплового баланса по зерну

СІТ

*»/ГРц/№м

д + А/^г=0 ; (96)

уравнение теплового баланса по воздуху

б

+

а

г дх ' дт

уравнение материального баланса по воздуху

где ,

До<

ных п учет { И Вре] конкр стато! тов т< измеь предс НИЙ Е

В[

совме нера! жить неран новеа связа Онза! щая т суши] силой разно

ХИМИ1

ного дельк для п

Я

ё:

где

До(

а так: тепло МО до состо)

щ

проц^ ствие анало ствии ватно щей в

г

ржания, времени от пара-[итаются и приме-эешении ют урав-»тели го-)с вход-[х досто-оситель-ных, но

зоцессов э отдель-аестного 1Я массы авнения [ЛЯ плот-допуще-в рабо-иальных

г, (8а)

-0;(8б)

(8в)

/м2;

ІСИТЄЛЯ,

теля;

, м;

/ з сг/м ;

:г влаги

:ств;

:г влаги

ние со-

хих ве-

ителя,

ЇГ/ К; Дж/кг. в работу

(9а)

О; (96)

-Я- + - «г.

О .

(9г)

где gu, gг — массы материала и газа; > йт — влагосодержание газа;

£н, 1Т — температуры материала и газа; ам/т — коэффициент теплообмена между материалом и газом;

— расход газа;

Рк/ — площадь поверхности теплообмена; I — теплосодержание теплоносителя.

Достоинства моделей такого типа: связь выходных параметров с управляющими воздействиями, учет распределенности параметров по координате и времени, учет как общих законов физики, так и конкретных условий проведения процесса. Недостаток: необходимость определения коэффициентов тепло- и массообмена (переноса), а также их изменения в процессе сушки. Особую сложность представляет решение дифференциальных уравнений в частных производных.

В ряде работ [1, 12] рассматриваются процессы совместного тепло- и массопереноса с точки зрения неравновесной термодинамики. Если предположить, что сушка зерна является нестационарным неравновесным процессом вблизи состояния равновесия, то векторы потоков и движущих сил связаны друг с другом линейными уравнениями Онзагера [13, 14]. Движущая сила, характеризующая теплоперенос, зависит от температур зерна и сушильного агента ( \ /Ти — 1/Гв ), а движущей силой, характеризующей массоперенос, является разность ( Из/Тв — («„/ Тк), где —

химические потенциалы соответственно сушильного агента и зерна. Тогда математической моделью процесса может служить система уравнений для потоков

Ч=*11(1/Тм-\/Тв)+а12(^/Т-цы/Ты) (10а)

в =аз1(1/Т»-1/Т,)+°гг(м3/Т-ия/Тм), (106) где <7 — тепловой поток;

£ — массовый поток; ш/ — коэффициенты Онзагера, причем а12 = ^21'

Достоинством такой модели служит ее простота, а также возможность учета совместного влияния теплового и массового потоков. Однако необходимо доказать, что процесс сушки протекает вблизи состояния равновесия.

Многообразие применяющихся для изучения процесса сушки математических моделей и отсутствие типовых, пригодных для широкого класса аналогичных объектов, свидетельствуют об отсутствии единого подхода к построению модели, адекватно описывающей реальный процесс, учитывающей все его особенности и решаемой с достаточной

степенью точности. Поэтому задача получения приемлемого математического описания процесса сушки зерна в плотном слое остается актуальной. Один из методов решения этой задачи, позволяющий достичь компромисса между адекватностью описания и пригодностью для инженерных расчетов, изложен в работах [1, 12, 15] для целого ряда процессов совместного тепло- и массообмена. Данную методику можно применить для поиска параметров оптимального управления процессом сушки солода в плотном слое. Подход к процессу с термодинамической точки зрения позволяет, во-первых, определить величины оптимальных теплового и массового потоков, во-вторых, оценить эффективность проведения реального процесса, т.е. его ’’близость” к оптимальному, а затем дать рекомендации, как достичь этой оптимальности. Данный подход, в силу его применимости ко многим видам однотипных процессов тепло- и массообмена, дает перспективы для выработки единой методики по оценке эффективности проведения различных технологических процессов пищевых производств.

ЛИТЕРАТУРА

1. Оптимальное управление в задачах о предельных возможностях необратимых термодинамических процессов / В.Н. Орлов, А.В. Руденко / / АиТ. — 1985. — № 5.

2. Лыков А.В. Теория сушки. — М.: Энергия, 1968.

3. Остапчук Н.В. Математическое моделирование технологических процессов хранения и переработки зерна. — М.: Колос, 1977.

4. Фролов В.Ф. Моделирование сушки дисперсных материалов. — Л.: Химия, 1987.

5. Жидко В.И. Исследование процесса сушки в связи с его автоматизацией: Авторе*. ... д-ра техн. наук. — Одесса, 1970.

6. Гинзбург А.С. Основы теории и техники сушки пищевых продуктов. — М.: Пищевая пром-сть, 1975.

7. Елагина И.А., Потрошков В.А. К определению коэффициента сушки солода / / Изв. вузов. Пищевая технология, — 1972. — № 3.

8. Сушка солода и ее интенсификация / А.М.Гавриленков.

А.П.Макаров, В.К.Предтеченский. — М.: Пищевая

пром-сть, 1975.

9. Кашурин А.Н., Домарецкий В.А. Математическое моделирование процесса сушки зерна солода в стационарном слое // Ферментная и спиртовая пром-сть, — 1976. — № 7.

10. Баумштейн И.П., Майзель Ю,А. Автоматизация процессов сушки в химической промышленности. — М.: Химия, 1970.

11. Баумштейн И.П. Автоматизированные системы управления тепловыми процессами в керамической и стекольной промышленности. — Л.: Стройиздат, 1979.

12. Миронова В.А. Оптимальное управление и термодинамический анализ химико-технологических процессов: Дис. ... д-ра техн. наук. — М.. 1992.

13. Булатов Н.К., Лундин А.Б. Термодинамика необратимых физико-химических процессов. — М.: Химия, 1984.

14. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. — М.: ИЛ, 1960.

15. Процессы минимальной диссипации / А.М. Цирлин, В.А. Миронова, С.А. Амелькин / / ТОХТ, 1997.

Кафедра автоматизации технологических процессов

Поступила 28.05.97

О ;(9в)

духу