Математические модели прохождения нейтронов через вещество Текст научной статьи по специальности «Физика»

— разность между максимумом и минимумом a(n)

(amax _ amin _ a2)’

— значения максимумов р (n), (р max є (Рь р 2)).

Критерий близости определяется видом сходимости. Известно пять видов сходимости: равномерная, сходимость в среднеквадратическом, в среднем, почти всюду и сходимость по мере. Сходимости по мере и почти всюду распространяются на функции, для которых не совпадают области сходимости. Аппаратов приближения по указанным видам сходимостей не существует. Функции, у которых совпадают области определения и сходимости, допускают приближение функциональным рядом в среднеквадратическом:

n

lim max f(x) - 2 aiФі(х) п^ю xe[a,b] i=0

= 0;

При этом условии равенство значений исследуемой функции и интерполирующего обобщенного полинома заменяется равенством их приближенных значений в среднеквадратическом [2]:

b

lim j

п a

-|2

dx = рг

(1)

f(x) - Zai9i(x)

i=0

С помощью соотношения (1) определены средне квадратические погрешности приближения, кото рые составили:

—для ТБС среднее значение ошибки приближения составляет 0,172018, среднеквадратичное — 1,26128;

— для КС среднее значение ошибки приближения составляет 0,39666, среднеквадратичное — 2,61273;

—для ГСС среднее значение ошибки приближения составляет 0,416725, среднеквадратичное — 2,60739.

УДК 739.173.84

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОХОЖДЕНИЯ НЕЙТРОНОВ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО

ПРОХОРЕЦИ.М., ПРОХОРЕЦ С.И., ХАЖМУРАДОВ М.А.

Рассматривается математический аппарат для расчета прохождения нейтронов через замедляющую среду, позволяющий создать комплекс программ для моделирования поведения нейтральных ядерных частиц в сложных экспериментальных и технологических установках.

Введение

Современные физические установки представляют собой сложные технические системы. К таким системам, в частности, относится установка для нейтронной радиографии [1], которая, как правило, включает в себя ускоритель заряженных частиц, нейтронную мишень, систему формирования поля нейтронов и диагностики пучков, систему визуализации изображений. При создании и использовании такой установки возникают вопросы, связанные с взаимодействием нейтронов различных энергий с веществом.

В заключение можно сделать вывод, что с помощью предложенных моделей биомеханических сигналов нижних конечностей представляется возможным количественная оценка результатов протезирования при сравнении реальных данных с нормой. При использовании простейших функций sin mx, cos mx и их комбинаций было достигнуто хорошее соответствие результатов моделирования экспериментальным данным. Полученные результаты работы уже сейчас могут быть полезными для врачей-протезистов.

Литература: 1. Основы протезирования / Под ред. Г.В. Красюк, В.В. Семенец. Харьков: ХТУРЭ, 2000. 330 с. 2. Рыжевский А.Г., Шабанов Д.В. Автоматизация контроля формы моноимпульсных сигналов. М.: Энергоатомиз-дат, 1988. 96с.

Поступила в редколлегию 24.12.2002

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Бых А.И.

Носова Татьяна Витальевна, аспирантка ХНУРЭ. Научные интересы: исследование и анализ биомеханических и биоэлектрических сигналов, снимаемых с пациента, радиоэлектроника. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-343.

Письменецкий Виктор Александрович, канд. техн. наук, пофессор кафедры МЭПУ ХНУРЭ. Научные интересы: модели и методы обработки сигналов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-343.

Семенец Валерий Васильевич, д-р техн. наук, профессор, проректор по учебно-методической работе ХНУРЭ. Научные интересы: методы автоматизированного проектирования и контроля параметров объекта.Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 43-30-53.

Изучение поведения нейтронов при прохождении через вещество — задача сложная, и её не всегда удается решить методами натурного эксперимента. Прежде всего это связано с огромными материальными затратами на создание экспериментального оборудования. Кроме того, измерения, как правило, не являются прямыми. Косвенная информация, полученная из измерений, требует количественной обработки и интерпретации. Эта работа может быть выполнена лишь на основе математических моделей, адекватно описывающих изучаемые явления [2,3].

Целью данной работы является создание основ математического аппарата, позволяющего описать в аналитическом виде прохождение нейтронов с нерелятивистскими энергиями через вещество с учетом физических процессов взаимодействия этих частиц со средой.

1.Основные процессы взаимодействия нейтронов с веществом

Известно, что у нейтрона отсутствует электрический заряд, поэтому он не испытывает кулоновского взаимодействия с электронами и ядрами среды. Поведение нейтронов при прохождении через вещество определяется взаимодействием их с ядрами атомов, обусловленным ядерными силами.

124

РИ, 2003, № 1

(1)

Согласно современной физике ядро с массой А и зарядом Z представляет собой Z протонов и (A-Z) нейтронов, находящихся внутри среды, радиус которой определяется выражением R=1,45 -10'13А1/3 см.

Столкновение нейтрона с ядром может оканчиваться или простым отклонением нейтрона в поле ядерных сил от первоначального направления движения, т.е. рассеянием, или захватом нейтрона ядром. Рассеяние, представляющее собой простое отклонение нейтрона под влиянием поля ядерных сил, называется обычно потенциальным. Оно является простейшим процессом взаимодействия нейтрона с ядром. Так как ядерные силы — это силы притяжения, то возможность образования составного ядра всегда существует. Поэтому захват нейтрона — неизбежный процесс, идущий наряду с потенциальным рассеянием. Образовавшееся составное ядро оказывается в возбужденном состоянии . Если до столкновения с нейтроном оно поко -

илось, то приближенно можно считать, что энергия

* *

возбуждения E = є + E , где E — энергия налетающего, а є — энергия связи нейтрона. Переход возбужденного составного ядра в более низкие энергетические уровни (состояния) может совершаться путем испускания у -квантов, протонов, нейтронов, а -частиц или, как в случае деления ядер, более тяжелых ядерных фрагментов.

После испускания составным ядром нейтрона конечное ядро может остаться в основном или в одном из возбужденных состояний. Если конечное ядро остается невозбужденным, то такое рассеяние (взаимодействие) нейтрона называется упругим; если же оно возбуждается, то рассеяние называется неупругим. В последнем случае часть кинетической энергии налетающего нейтрона расходуется на возбуждение ядра — мишени. Следовательно, взаимодействие нейтрона со средой происходит посредством нескольких ядерных процессов, зависящих от его энергии и состава вещества. Основными из этих процессов являются:

— упругое рассеяние на ядрах А( n,n) А ;

— неупругое рассеяние А( n,n') А* , А( n, n')B .

В результате таких процессов может появиться один или больше вторичных нейтронов n', возбужденное А* или другое ядро В :

— радиационный захват нейтрона n+(Z, А) ^ у + +(Z, А +1), в результате которого появляется у — квант и новое ядро (А +1);

—ядерные реакции, в которых в результате захвата нейтрона ядром испускаются заряженные частицы;

— деление (n,f), в результате которого возникает больше одного нейтрона и осколки с большой массой. Этот процесс с большой вероятностью происходит на ядрах урана и плутония.

Полная вероятность провзаимодействовать нейтрону с веществом определяется суммой поперечных сечений этих процессов:

РИ, 2003, № 1

CTt = CTg + CTi + CTg + CTf Н-,

где CTt — полное сечение взаимодействия нейтрона с веществом; сте, ст;, стс, Of — парциальное сечение упругого, неупругого, захвата и деления соответственно. По своей физической природе последние из перечисленных процессов являются результатом захвата нейтрона ядром. Их можно отнести к неупругим, поэтому выражение (1) для удобства дальнейшего рассмотрения можно записать в виде

СТt — CTg +СТщ , (2)

где CTin — полное сечение всех неупругих процессов.

В большинстве случаев быстрый нейтрон, попадая в вещество, рассеивается на ядрах упругим или неупругим способом и теряет свою энергию до тех пор, пока она не станет равной энергии теплового движения атомов замедлителя. С такой энергией нейтрон будет диффундировать через вещество до тех пор, пока он не захватится ядром вещества ((y,n) — реакция) или не произойдет деление.

2.Математическая постановка задачи замедления нейтронов в веществе

Определение длины свободного пробега частицы в веществе. Взаимодействие двух частиц описывается поперечным сечением, которое определяет вероятность протекания физического процесса. Если на пути падающего пучка помещена тонкая пластинка толщиной dz с плотностью рассеивающих частиц N, то полное число частиц Nt, рассеянное пластинкой во все углы, определяется соотношением

Nt = FSNcttdz , (3)

где S — площадь пластинки; F — поток частиц, падающих нормально на единицу площади в единицу времени. Отметим, что произведение CTtdz в (3) — вероятность рассеяния одной частицы в материале толщиной dz.

Рассмотрим мишень произвольной толщины z . Обозначим через Р(z) вероятность прохождения частицей расстояния z без взаимодействия, а через wdz — вероятность взаимодействия частицы на отрезке между z и z + dz . Тогда вероятность Р( z) определяется по формуле:

Р( z) = exp( - wdz). (4)

Следовательно, вероятность взаимодействия Pint частицы на пути z равна

pint(z) =1 - exp(~wdz). (5)

Для небольших толщин выражение (5) можно разложить в ряд

Pint(z) = 1 - (1 - wdz + •••) = wdz . (6)

Для определения средней длины свободного пробега X воспользуемся общепринятым выражением средней величины:

IzP(z)dz ,

= --------= w

JP(z)d

(7)

Таким образом, средняя длина свободного пробега частицы обратно пропорциональна вероятности

125

взаимодействия прошедшей частицы. Воспользовавшись (3), можно написать

Х = 1/Nct t, (8)

а Р( z) = exp( -Notz). (9)

Упругоерассея-ние нейтронов.

Рассеяние нейтронов атомными ядрами среды относится к наиболее часто встречающемуся виду взаимодействия. Оно может оканчиваться или отклонением нейтрона в поле ядерных сил (потенциальное рассеяние), или захватом нейтрона с образованием составного ядра. Если кинетическая энергия налетающего нейтро-наменьше энергии первого возбужденного уровня ядра - мишени, то происходит упругое рассеяние с образованием составного ядра. Если кинетическая энергия нейтрона превышает энергию одного из возбужденных состояний ядра - мишени, то появляется вероятность неупругого рассеяния с образованием составного ядра. Зависимость вероятности образования составного ядра от энергии налетающего нейтрона носит резонансный характер. Однако и при резонансном характере взаимодействия, если возбужденное ядро остается в основном состоянии, полная кинетическая энергия нейтрона и ядра - мишени остается равной энергии провзаимодействовавшего нейтрона, т.е. происходит упругое рассеяние.

Рассмотрим в лабораторной системе координат единичное упругое столкновение нерелятивистского нейтрона со скоростью v0 с неподвижным ядром с массой М (рис.1). В единицах массы нейтрона mn (mn = 1) масса ядра мишени будет просто равна атомному номеру А. В системе центра масс скорость нейтрона

VCm = A(A + l)_1Vo , (10)

а ядро приобретает скорость

V = (A +1)_1Vo . (11)

После рассеяния нейтрон в системе центра масс (см. рис.1) сохраняет свою скорость, но изменяет направление движения. Так как мы рассматриваем рассеяние нерелятивистского нейтрона, для кото-

1 2

рого кинетическая энергия E =—mnv0, то 126 2

E = Ео(а2 +1 + 2Аcos0cm)(A +1) 2, (12)

где Eo и Е — кинетическая энергия налетающего и рассеянного нейтрона. Связь косинусов углов рассеяния в лабораторной системе отсчета и в системе центра масс можно записать в виде:

_12

cos 0 = (A cos 0cm + 1)( А2 +1 + 2А cos 0cm)" . (13)

Кроме полярного угла 0<Q<n ,упругое рассеяние нейтрона определяется еще одной случайной величиной, сохраняющей свое значение в обеих системах координат, — азимутальным углом 0 < ф < 2% .

Нейтрон — ядерная частица, обладающая волновыми и корпускулярными свойствами. Длина волны нейтрона определяется по формуле [4]:

% n = Xn/2n = 4,65 •10_13E_1/2,

где %n в см, если энергия нейтрона e выражена в МэВ. В большом интервале энергии нейтронов выполняется условие %n >> R, т.е. длина волны налетающего нейтрона больше радиуса действия ядерных сил. Для наиболее тяжелых ядер

R = r0А1/3 = 1,45-10“13(240)1/3 и 10“12 см,

адлина волны нейтрона % n равна этой величине при энергии около 0,7МэВ [4]. Поэтому условие %n >> R выполняется для нейтронов с энергией Е<< 0,7 МэВ для тяжелых ядер, а в случае легких ядер верхний предел энергии нейтрона находится при энергиях в несколько МэВ. При условии %n >> R теория рассеяния нейтрона в сферически симметричном центральном поле утверждает, что в такое рассеяние вносит вклад только момент £ = 0. Следовательно, дифференциальное поперечное сечение не зависит от угла рассеяния 0cm , т.е. рассеяние нейтрона сферически симметрично в системе центра инерции налетающий нейтрон - ядро.

Неупругоерассеяние. Законы неупругого рассеяния нейтронов весьма сложны, их описание и трактовка зависят от типа рассматриваемой неупругой реакции и требуют глубоких знаний о физике ядерного взаимодействия. Когда рассматривают неупругое рассеяние нейтронов на средах и тяжелых ядрах, часто полагают, что ядерные реакции протекают через составное ядро. Одной из важнейших особенностей таких реакций является независимость процесса распада от способа образования составного ядра. Последнее живет настолько долго (в масштабах ядерных промежутков времени), что “забывает” о способе своего образования.

Как было отмечено в п.1, деление ядер 235U , 239Pu и U тепловыми или быстрыми нейтронами относится к неупругим процессам взаимодействия, в результате которых образуется больше одного нейтрона и тяжелые осколки. Число нейтронов v, образующихся при делении, является случайной величиной, поэтому известно лишь ее среднее значение. В случае деления 235 U медленными

РИ, 2003, № 1

Система центра масс

т„

Рис.1. Упругое рассеяние нейтрона на ядре с массой М в лабораторной системе координат и в системе центра масс, связанной с ядром и нейтроном

нейтронами среднее значение v« 2,5 , а дифференциальный энергетический спектр вылетающих нейтронов может быть представлен формулой [5,6]

N(E)dE= /—sh(2E)1/2e_EdE , (14)

V ле

где е — основание натурального логарифма, а Е — энергия, измеряемая в МэВ.

Кроме того, нейтроны деления по времени их возникновения разделяются на мгновенные и запаздывающие. В табл. 1 приведены относительный выход а; и период запаздывающих нейтронов T (с) при делении 233U , 235U , 239Pu тепловыми и 238 U быстрыми нейтронами [7].

В табл.2 приведены средние энергии запаздывающих нейтронов в КэВ при делении 235 и тепловыми нейтронами [7].

Из особенности модели составного ядра и модели испарения вытекает, что для каждого из нейтронов деления все направления в лабораторной системе координат равновероятны [4].

Рассеяние медленных и тепловых нейтронов. Согласно классификации, принятой в ряде работ, нейтроны с энергиями меньше 1—10 эВ относятся к медленным [6]. При прохождении таких нейтронов через некоторые жидкие или кристаллические вещества на замедление влияют химические связи и тепловое движение атомов замедлителя [9]. Характер упругого замедления, описываемый уравнениями (10)-(13), изменяется. Это происходит из-за возрастания эффективной массы частицы, с которой сталкивается нейтрон [9,10]. Поэтому применение уравнений (10)-( 13) при решении конкретных физических задач в области малых энергий нейтронов может рассматриваться как приближение. Корректное решение задачи прохождения нейтронов через вещество со скоростями, близкими к тепловым, требует разработки дополнительного математического аппарата.

Таблица 1

Изотоп i Номер группы

1 2 3 4 5 6

239Pu a! 0,035 0,302 0,204 0,332 0,084 0,043

Ti 53,19 22,61 5,59 2,17 0,621 0,256

233 U a; 0,085 0,291 0,254 0,285 0,051 0,034

U Ti 54,64 20,77 5,25 2,14 0,611 0,276

a; 0,038 0,211 0,197 0,396 0,132 0,026

235U Ti 53,95 22,34 6,40 2,26 0,494 0,179

ai 0,013 0,137 0,162 0,388 0,225 0,075

238U Ti 52,5 21,6 5,0 2,0 0,5 0,17

Таблица 2

Группа запаздывающих нейтронов

1 2 3 4 5 6

300+60 670+60 650+100 910+90 400+70 -

150+28 484+48 477+45 432+43 - -

150 460 >690 540 520 >61

Распространение тепловых нейтронов в среде, в которой они испытывают достаточно большое число столкновений, можно рассматривать как диффузионный процесс. Распределение нейтронов в среде описывается дифференциальным уравнением, известным как уравнение диффузии [4,6]:

= DAn + q-—n, (15)

dt х

где n(r) — плотность нейтронов в точке с координатами г ; D — коэффициент диффузии; д — оператор Лапласа; q — плотность рождения нейтронов в единице объема в секунду; т — время жизни нейтрона. Если пространственное распределение нейтронов не зависит от времени, то (15) упрощается:

DAn + q - — = 0 . (16)

х

Решение этого уравнения зависит от геометрии и граничных условий задачи. Так, в случае бесконечного плоского источника нейтронов с поверхностной плотностью q уравнение (16) принимает вид:

dx2

— = 0 Dx

(17)

так как в этом случае плотность нейтронов меняется только по нормали к плоскости, направленной вдоль координаты x, а q = 0 для всех точек вне плоскости источника. Решение этого уравнения при условии, что поток нейтронов по обе стороны плоскости равен q, имеет следующий вид [4]:

n(x) = 2DexP( xO , (18)

где L = VDx .

Определение местоположения частицы после рас -сеяния. Рассмотрим область вещества, заданную функцией f(x,y,z) = 0 в декартовой прямоугольной системе координат X,Y,Z. Пусть Pi и Pi+1 — две точки в этой области, в которых последовательно происходит рассеяние нейтрона (рис.2).

Соединим эти точки направленным отрезком, абсолютная величина которого равна длине свободного пробега нейтрона. В каждой точке расположим локальную декартовую систему координат. Ось Z; такой системы направлена по лучу, выходящему из Pi , а оси X; и Y i направлены про-

РИ, 2003, № 1

127

извольным образом (рис.3) [11]. Z;

Рис. 3. Поворот локальной системы координат после сдвига

Таким образом, находим местоположение частицы в интересующей нас области вещества, полагая, что расстояние между актами рассеяния (взаимодействия) определяется длиной свободного пробега, а траектория движения частицы — ломаная линия. Границы области могут состоять из плоских, сферических, цилиндрических и других поверхностей. Отметим, что рассматриваемая область может содержать в себе конечное число однородных или неоднородных по составу областей.

Заключение

Приведенное в данной работе математическое описание процессов прохождения нейтронов через вещество можно рассматривать как основу для создания алгоритмов программ, моделирующих поведение нейтронов в различных устройствах экспериментальных физических и технологических установок. Алгоритмы и конкретные примеры моделирования нейтронных процессов в веществе будут рассмотрены в следующей статье.

Координаты точки Pi+1 в системе координат (Xi,Yi,Zi) равны (0,0,Х;). Нейтрон, рассеянный в точке P1+i, испытывает очередное взаимодействие в точке Pi+2 . Чтобы получить новую систему координат, связанную с направленным отрезком между точками P1+i и Pi+2, вначале сдвигаем систему (Xi+i, Yi+i,Zi+i) на величину Xi, а затем поворачиваем ее таким образом, чтобы ось Zi+i была направлена по лучу из Pi. Для того чтобы координаты луча в системе (Xi+b Yi+bZi+i) преобразовать в систему координат (Xi,Yi, Z^ , необходимо выполнить сдвиг первой системы на -Xi, поворот сначала на угол (-0) и затем на угол (-ф). Матрицу такого преобразования м можно представить в виде [11,12]:

M = R( XijB^ 0) С_1 (cp), (19)

где матрицы поворотов

cos Ф sin Ф 0 0" "1 0 0 0"

- sin Ф cos Ф 0 0 IV1 ] = 0 cos 0 sin 0 0

0 0 1 0 ,L J 0 - sin 0 cos 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1

а матрица сдвига

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 -X,

0 0 0 1

Аналогичным образом можно осуществить переход из локальной системы координат, связанной всегда с текущим лучом, в “мировую” систему координат X, Y, Z, связанную с объектом исследования. При трассировке нейтрона приходится выполнять последовательный переход из “мировой” системы в систему координат текущего луча.

Литература: 1. Тюфяков Н.Д., Штат А. С. Основы нейтронной радиографии. М.: Атомиздат, 1975. 256с. 2. Любарский Г.Я., Слабоспицкий Р.П., Хажмурадов М.А., Адушкина Р.И. Математическое моделирование и эксперимент. К.: Наук. думка, 1987. 160с. 3. ПоповЮ.Н., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент. М.: Знание, 1983. №11. 64с. 4. Власов Н.А. Нейтроны. М.: Наука, 1971.428с. 5. WattB.E. Energy Spectrum ofNeutrons from Thermal Fission of 235U // Phys. Rev. 1952. V.87, N6. P. 1037-1041. 6.Прайс Б., Хортрон К., Спинни К. Защита от ядерных излучений. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. 490с. 7. Waldo R.W., Karam R.A., Meyer R.A. Delayed neutron yields: Time dependent measurements and a predictive model // Phys. Rev. C. 1981. V.23, N3. P.11131127. 8.Mares V., Schraube H. Improved response matrices of Bonner sphere spectrometers with 6LiJ scintillation detector and He proportional counter between 15 and 100MeV // Nucl. Instr. and Meth. 1995. A366. P.203-206.

9. Мухин H. H. Экспериментальная ядерная физика. Т. 1. Физика атомного ядра. М.: Атомиздат, 1974. 584с.

10. Маляров В.В. Основы теории атомного ядра. М.: Наука, 1967. 512с. 11.Порев В.Н. Компьютерная графика. СПб.:БХВ-Петербург, 2002. 432с. 12.ЭйнджелЭ. Интерактивная компьютерная графика. М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. 592с.

Поступила в редколлегию 27.01.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Прохорец Иван Михайлович, канд. физ-мат. наук, старший научный сотрудник Национального научного центра “Харьковский физико-технический институт” (ННЦ ХФТИ). Научные интересы: информационно-измерительные системы и детекторы в ядерной физике. Адрес: Украина, 61108, Харьков, ул. Академическая, 1, тел. 35-61-13.

Прохорец Светлана Ивановна, инженер-исследователь ННЦ ХФТИ. Научные интересы: математическое моделирование физических процессов и систем, программирование. Адрес: Украина, 61108, Харьков, ул. Академическая, 1, тел. 35-65-94.

Хажмурадов Манап Ахмадович, д-р техн. наук, профессор, начальник отдела ННЦ ХФТИ. Научные интересы: математическое моделирование физических процессов и систем, автоматизация проектирования, программирование. Адрес: Украина, 61108, Харьков, ул. Академическая, 1, тел. 35-68-46.

128

РИ, 2003, № 1