Математические модели прогнозирования налоговых показателей Текст научной статьи по специальности «Математика»

н.н. Карабутов,в.гФеклин математические модели прогнозирования...

УДК 519.87: 336.22 (045)

Рассматривается множественно-функциональный подход к структурному синтезу математического описания налоговых показателей в условиях неопределенности. осуществляется выбор структуры модели с распределенным лагом. Приводится практика применения указанного подхода для построения моделей, описывающих изменение возмещения ндс и ввП.

Ключевые слова: налоговый показатель; структурная идентификация; математическая модель; прогнозирование.

A multi-functional approach to the structural synthesis of the mathematical description of tax figures under the uncertainty conditions is considered. The distributed lag model structure is selected. The above approach is applied to building of models describing changes in Vat and GNP refunding.

Keywords: tax index; structural identification; mathematical model; forecasting.

Математические модели прогнозирования налоговых показателей

Прогнозирование

Карабутов Николай Николаевич

д-р техн. наук, профессор, лауреат Государственной премии РФ в области науки и технологий, профессор кафедры «Математика-2» Финансового университета Е-таН: kn22@yandex.ru

налоговых показателей

Феклин Вадим Геннадьевич

канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой «Математика-2»

Одной из основных задач, решение которых во многом определяет эффективность социально-экономического развития страны и ее регионов, является стабильное поступление налогов в федеральный и региональные бюджеты. На уровень поступлений налоговых сборов существенное влияние оказывают как внутренние, так и внешние факторы. Важную роль играет состояние международной финансовой системы. К сожалению, оно неустойчиво. Поэтому актуальной является проблема прогнозирования собираемости налогов. В современных условиях наиболее эффективным средством решения указанной проблемы является разработка математических моделей, адекватно отражающих состояние налоговой системы и позволяющих разрабатывать сценарии принятия решений.

Для описания изменения налоговых показателей (НП) применяются различные статистические методы. В частности, для моделирования НП используют экстраполяцию для кратких временных прогнозов и метод экспертных оценок для получения долговременных прогнозов. Для обоснования социально-экономических прогно-

зов активно применяются следующие методы математического моделирования:

• экономико-статистические (эконометричес-кие) методы;

• математические методы обработки экспертной информации;

• методы прогнозирования на основе дескриптивных моделей (статических и динамических).

Методологическое развитие и обобщение указанных подходов дается в работе Ю. Джигира [1]. Отмечается, что на основе предварительного анализа можно сделать вывод, что используемая официальная методика прогнозирования НДС в Российской Федерации носит детерминистский характер. В этом случае особую важность приобретают экзогенные параметры расчетов, величина которых определяется на основе экспертных оценок.

Применяемые методы прогнозирования во многом зависят от имеющейся информации. Существующие в Российской Федерации методики основаны на анализе различных макроэкономических показателей. В статье Е.Д. Мальцева [2] отмечается, что «прогнозирование налоговых поступлений (в Российской Федерации) проводится на основе макроэкономических показателей, и ведущую роль при определении величины налоговых доходов государства играют экономические факторы, воздействующие на изменения базы налогообложения и на величину эффективной ставки: месячный реальный ВВП (оценка влияния экономической активности), индекс потребительских цен (используется в качестве дефлятора), динамика инфляции, совокупная дебиторская задолженность за вычетом просроченной задолженности покупателей (характеризует динамику расчетов между предприятиями)». На основании вышеприведенного в работе Ю. Джи-гира [1] делается вывод о том, что применение рассмотренных выше методов прогнозирования на основе указанной выше информации сопровождается такими рисками, как чрезвычайно сильное влияние субъективных экспертных оценок, несовершенство прогнозирования по методу эффективной ставки, недостаточный экономет-рический учет специфики взаимного влияния фискальных и макроэкономических показателей.

Анализ существующего состояния методов идентификации эконометрических моделей в условиях неопределенности показывает их

невысокую эффективность, связанную с неучетом факторов, которые могли бы существенно повысить прогнозирующие свойства моделей. Одним из наиболее существенных факторов, влияющих на выбор математической модели, является учет переменных, между которыми существует высокая взаимосвязь. Это так называемая проблема мультиколлинеарности [3], рассматриваемая многими авторами книг и статей по статистике, для решения которой предлагается наиболее простое решение - исключение коррелирующих факторов. Но такой подход не всегда продуктивен [4] и часто приводит к дефициту структурной информации. Как показывают исследования, это, в частности, справедливо для изучаемой предметной области.

Ниже излагается подход к структурному синтезу математического описания налоговых поступлений в условиях неопределенности. Для этого используется множественно-функциональный подход, предложенный в работе одного из авторов настоящей статьи Н.Н. Карабутова [5]. Вводится информационный портрет, отражающий изменение исследуемого показателя. Для него ищутся секущие, и дается оценка степени линейности (нелинейности) показателя на множестве секущих. Далее показывается, как выбирается структура модели с распределенным лагом в зависимости от имеющейся исходной экономической информации, и приводится практика применения указанного подхода для идентификации возмещения НДС и ВВП.

Постановка задачи и выбор структуры модели

Рассмотрим систему

уя = Лтип + ВтХп + 4 , (1)

где уп е R - выход; ип е R - вектор входа, элементы которого являются ограниченными, предельно невырожденными функциями; п е JN = [0,N] - дискретное время, N < то ; X = X (и еи , у ) е Ят - вектор распределен-

П ^ I ,П П'*П'

ных лагов по щп е ип и уп; А е К1, В е Rm ~ векторы постоянных параметров, X е R - внешнее возмущение, | X |< то для всех п е ^.

Полагаем, что ц п еЦп (г = 1, k) и - нерегулярные функции времени. Для системы (1) известны множество измеренных значений

н.н. Карабутов,в.гФеклин математические модели прогнозирования..,

117

1о = {Уп,ип Чп е JN}

(2)

и отображение Го : {Цп} ^ {уп} Уп € JN, описывающее наблюдаемый информационный портрет [5].

Необходимо на основе анализа I Г0 оценить структуру объекта (1). Это означает, что следует оценить степень линейности и размерность вектора X .

Для решения указанной задачи будем использовать результаты исследований, представленные в работах [6, 7].

Для оценки степени линейности системы (1) рассмотрим сужение наблюдаемого информационного портрета Г"1' СГо|ц ^ V/ = 1, k, и для каждого Г"1' построим секущую 7(у,и1) = а¡и1п , где а{ есть некоторые вещественные числа.

Введем в систему (2) множество секущих для отображения Го: у) = {7(у,Ц ) V/ = 1,k}. В данном случае линейность системы (1) соответствует полноте поля структур SS системы (1). Здесь

s=т, у).

Обозначим

Фп = [7 (Уп Л,п X 7 (Уп,и2,п 7 (Уп ,ик,п )]Г и

рассмотрим уравнение

у = Фг Ф

п п

(3)

где вектор Фб Як определяется с помощью метода наименьших квадратов. Оценка Ф существует в силу сделанных выше предположений относительно входа Ц .

Теорема 1. Пусть задан вектор информативных переменных Ц £ Цк и поле структур SS С S(U, для (1). Тогда поле SS системы (1) является полным, если

£ У = 1

(4)

,=1

где — i-й элемент вектора ф в систему (3).

Теорема 1 дает достаточные условия линейности (нелинейности, коллинеарности) системы (1) на заданном поле структур SS . Если условие (4) выполняется, то поле SS является полным. Следовательно, SS есть линейная оболочка выхода системы (1). В противном случае следует принимать решение о наличии нелинейности или коллинеарности (автокорреляции) в системе (1).

Пусть ^^ = X. Величину Д(Ф) = X — 1 на-

i=l

зовем уровнем нелинейности системы (1) в параметрическом пространстве = (А, В). Так как распределенные лаги приводят к возникновению мультиколлинеарности в системе (1), то Д(Ф) будет принимать небольшие значения.

Проблема мультиколлинеарности является сложной, и, несмотря на множество публикаций на эту тему, она не получила своего окончательного решения из-за причин, приведенных в статье автора [4]. Некоторые подходы к выбору длины лага, основанные на применении статистических методов, описаны в работе [8], где отмечается невысокая эффективность предлагаемых подходов. Подходы, предложенные в статьях [6, 7], основаны на переходе в специальное структурное пространство, позволяющее исключить проблему мультиколли-неарности. Опишем метод принятия решения о длине лага для вектора X(и. ), следуя результатам исследования, приведенным в статье [7]. Выбор переменной Щ п описан в статье [6].

Для решения задачи выбора структуры лага в X(и{ ) перейдем в пространство р = (к,е), которое в отличие от множества (2) позволяет решить задачу. Способ получения переменных keu ,е описан в труде [5]. Здесь е £ R отражает нелинейные процессы в (1), а keu £ R — коэффициент структурности по переменной Щ. Способ построения пространства р показывает, что еп может содержать неопределенности. Для исключения неопределенности N£ , вызванной неполным учетом линейной части в (1), применим модель [6] еп

еп = а ^ + аи^,

где а 0,а1 определим с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Введем переменную £п = еп — 7 (е,Щ ), которая не содержит N£ . Сформируем множество

Ккх = {(£п> К,х1п ^ = 1 т УП е •[М } ,

(5)

где К,х ,п = £п1*1,п , ^ ,п £ Хп.

На 1£ к введем преобразование

ГеА, '■К,,,,} - [е«}. Г

;к в пространстве

Уг,*,

У,

Уг,

450

360 -

270 -

180 -

90 -

0

^ <§> Ф ^ \ч

ч* ^ Ч* ч*" ^ ^ ^

Рис. 1. возмещение ндс и его прогнозы с помощью моделей (12) и (13)

Р е = (к£ х ,е) соответствует структура Sk е. Построим секущие для Sk е

7 (еп, ^) = в А,^ V/ = , (6)

где (31 определяются с помощью метода наименьших квадратов (МНК), т* — значение т, полученное с помощью алгоритма CD [6]. Сформируем вектор

вектор Хп е Rm' является элементом структуры системы (1), если

т*

Е ^ * 1 ,

1=1

ф =

е,п

7х 7 (¿п, Къп, ^ 7К^.)

(7)

и применим модель £п = Ф Е Ф£ п для прогнозирования изменения еп, где способ формирования вектора Фе € Rm"' описан выше.

Теорема 2 [6]. Пусть на множестве 1е,к построено поле секущих для еп

где т* определяется с помощью алгоритма СВр,

% е •

Замечание 1. Так как еп содержит информацию о влиянии вектора X , то при статистической трактовке и , Хп можно использовать аналог критерия Дарбина—Уотсона [6]

N

Е е2

А — И=1

s с =

Уеп,) (V/ = 1,т*)&(п е JN)}

(8)

и для прогнозирования изменения переменной еп применена модель £п В этом случае

N

П=1

Теорема 3 [7]. Пусть на

I е, к

секущих Se (8) для Skxe и секущая 7 (е , ke и ) = и для Sk е • Пусть для секущих из Se и 7(е, ке и ) известны коэффициенты детерми-

нации г£к , у = 1,т и г^к • Тогд

а вектор

н.н. Карабутов,в.г.Феклин математические модели прогнозирования..,

119

Рис. 2. оценка адекватности моделей прогноза возмещения ндс

X(и1 п ) е К"" является элементом структуры системы (1), если Vz = 1, т*

2 2 Ге,кх — Ге,ки.

< £

где 6х > 0 есть заданная величина•

Замечание 2. Компоненты вектора X (ы1п), как показано в статье [7], можно трактовать как нелинейности в системе. Для их анализа и выявления следует применять секущие, описываемые нелинейными уравнениями. С помощью теоремы 4 [7] можно оценить размерность вектора X(и. ) в (1).

Замечание 3. Для оценки длины лага вектора X (уп ) можно вое пользоваться подходом, предложенным в статье [7], который основан на развитии и обобщении полученных выше результатов. Эти же результаты применимы и в случае, если

X = Х(и1п еип,уп)еЯт.

Математически е модели для оценки налоговых по казателей

Описанный выше метод может быть использован для построения математических моделей различных экономических показателей.

Рассмотрим информационный массив 1д, содержащий данные об основных макроэкономических и налоговых показателях за 2004-2012 гг.,

который включает следующие показатели: И1 -ВВП (млрд руб), и2 - экспорт (млрд руб), и3 - импорт (млрд руб), и4 - занятость (млн чел.), и5 - индекс потребительских цен (%), и6 - поступления НДС (млн руб), и7 - возмещения НДС (млн руб).

В качестве выходных показателей рассмотрим ВВП (у1 = и1) и возмещение НДС (у2 = и7). Проведенный корреляционный анализ показал, что существуют тесные взаимосвязи вида

Я = / (и2,из,и4)

^2 = /(их,Ы2,Ыг )

(9) (10)

Для оценки степени линейности моделей применялась теорема 1. Соответствующие показатели

равняются: для у1 Х\ = 0,99 ; для у2 х2 = 0,98.

Из полученных значений уровней нелинейности можно сделать вывод, что модели (9), (10) можно отнести к классу линейных. Но для модели (10) возможна модификация структур ы за счет добавления лаговых переменных с целью повышения прогнозирующих свойств.

Перед выбором лаговых переменных была применена процедура сглаживания у2 с целью уменьшения влияния выбросов, содержащихся в у2 .

Для выбора лаговых переменных для у2 необходимо согласно вышеприведенному определение переменной е2. Для этого применялась модель

20

л

я.

15

10

аА \

' Ли

кварта

о0 о0 о4 ^ # # ^ # # ^ 0<ь ^ ч\

ч^У^' ч^У^' ^

Рис. 3. Результаты работы модели (14)

У2,Е,п = а(и

1,п

+ и2,п + Щ,п ),

(11)

а параметр а устанавливался из условия минимизации невязки У2^п — У2,т,,п, где - сглаженное значение у2п . Затем рассчитывался прогноз согласно модели (11) и определялась ошибкам прогнозирования е2 п. Вычисление коэффициента взаимной корреляции показало, что в качестве лаговых переменных можно использовать и1 и У2^п . Результаты параметрической идентификации позволили получить модель

У2^,п = 0,05 У2,s,n-1 + 0,0Ч,п + 0,7«1,,- 1 + +0,01и2п - 0,02и3 п.

Коэффициент детерминации для модели (12) равен 0,99. Линейная модели (10) без применения процедуры сглаживания имеет следующий вид:

у2,п = 0,36ы1п + 0,001м2 и - 0,02щ п. (13)

Коэффициент детерминации для модели (13) равен 0,94.

Результаты, отражающие прогнозирование возмещения НДС (ВНДС) с помощью полученных моделей показаны на рис. 1.

Более наглядно адекватность моделей можно оценить на плоскости (у2,у2). Соответствующие результаты представлены на рис. 2. Здесь использованы следующие обозначения: 1 - прогноз ВНДС

с помощью (12), 2 - ВНДС, 3 - прогноз ВНДС с помощью (13).

С помощью модели (12) рассчитан прогноз на II квартал 2013 г. Он равен 423,67 млрд руб.

Для ВВП применение модели (9) с линейным оператором f дает коэффициент детерминации, равный 0,95. Дальнейший анализ, основанный на применении полученных выше результатов, позволил в качестве лаговых переменных выбрать и2 и и1. Посредством применения идентификационной процедуры получена авторегрессионная модель

(12) у = 0,788^ +0,005%, -0,047«^ +

+0,097м3 в - 0,008и4>в

(14)

Коэффициент детерминации для модели (14) равен 0, 99. Относительная ошибка прогнозирования не превышает 15%.

Видим, что результаты моделирования подтверждают работоспособность и эффективность рассмотренного подхода.

выводы

Особенностью предложенного метода синтеза математических моделей является выбор структуры модели при наличии тесной взаимосвязи между налоговыми показателями. Данный метод может применяться для прогнозирования налоговых показателей как на федеральном, так и на региональном уровне.

5

0

н.н. Карабутов,в.гФеклин математические модели прогнозирования..,

121

литература

1. Джигир Ю. Методы налогового прогнозирования и оценки. URL: http://fisco-id. com/download.php?m=an&l=ru&id=106 http://www.financialfamily.ru/index.php?s_ id=articles&e_id=981(дата обращения: 28.10.2013).

2. Мальцева Е. Д. Методика прогнозирования налоговых поступлений в федеральный бюджет РФ в условиях экономического кризиса // Материалы научно-практической конференции Территориального органа федеральной службы государственной статистики по Челябинской области «Современная статистика в диалоге с обществом». Челябинск: ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет», 2009.

3. Mosteller, J. W. Tukey, Data analysis and regression: a second course in statistics, Addison-Wesley Publishing Company, London. 1977.

4. Karabutov N. N. About structures of state systems identification of static object with hysteresis // International journal sensing, computing and control. 2012. Vol. 2. No. 2. P. 59-69.

5. Карабутов Н. Н. Структурная идентификация статических объектов: Поля, структуры, методы. М.: УРСС/ Книжный дом «Либро-ком», 2011. 152 с.

6. Karabutov N. N. Structural Identification of static systems with distributed lags // International journal of control science and engineering. 2012. Vol. 2. No. 6. P. 136-142.

7. Karabutov N. N. Structural identification of systems with distributed lag // International journal intelligent systems and applications. 2013. Vol. 5. No. 11. P. 1-10.

8. Dhrymes, P. J. Distributed Lags: Problems of Estimation and Formulation. - Holden-Day: San Francisco. 1971. 414 p.

Навстречу 95-летию Финансового университета

Дипломы с отличием получили 2304 выпускника Финуниверситета, в том числе среднего профессионального образования - 481 чел., высшего профессионального образования - 1823 чел. Важнейшим конкурентным преимуществом Финансового университета остается высокая (95-97%) степень трудоустройства его выпускников.

В Финуниверситете успешно работает система бизнес-образования. За 2012/2013 учебный год ее 7 институтов и школ реализовали 174 программы дополнительного профессионального образования, по которым повысили квалификацию, обучили и выпустили 34 584 чел. В Высшей школе государственного управления в 2012/2013 учебном году обучено 14 402 человека, что почти в два раза больше, чем в 2011 году, в том числе 11 233 человека с использованием дистанционных образовательных технологий (77,9%). В Институте делового администрирования и бизнеса в 2012/2013 учебном году прошли обучение 1053 чел., что на 68,48% больше, чем в 2011/2012 учебном году. Признанием высокого уровня программ ДПО Финуниверситета является присуждение в октябре 2012 г. Институту делового администрирования и бизнеса (ИДАБ) второй премии «Лучшие бизнес-школы двух столиц 2012» по версии издания «Элитный персонал». Кроме того, ИДАБ по итогам 2012 г. занял почетное 4-е место в «Т0П-20 программ МВА» по рейтингу журнала «Секрет фирмы», составленного по опросам выпускников бизнес-школ.

По результатам проведенных исследований в 2012 / 2013 учебном году было организовано более 100 научных мероприятий различного формата, подготовлены и изданы 92 монографии. Возрос объем опубликованных статей. В 2012/2013 учебном году опубликовано более 1700 статей в научных журналах и сборниках, в том числе 859 научных статей в российских журналах из перечня ВАК и 139 научных статей в зарубежных изданиях, из них - 7 в изданиях, индексируемых в Web of Science или Scopus.