Математические модели пластической деформации структурно неоднородных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

№ 7 2007

РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МАШИН

539.374

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ

МАТЕРИАЛОВ

Д-р техн. наук, проф. К. И. РОМАНОВ

Рассмотрены особенности пластических свойств последовательного соединения стержневых элементов и континуальных блоков. Сформулированы условия потери пластической устойчивости цепных систем при одноосном и неодноосном нагружен:ш, позволяющие применить численные методы анализа сетевых структур сложного очертания.

Plastic properties of rod elements and their consecutive connection with continual blocks are examined. Conditions of loss plastic stability in chain systems are formulated at топ о axial and nonmonoaxial loading, which allow us to apply numerical methods of the analysisfor network infrastructures of a difficult outline.

Известно [1—5], что неоднородность свойств материала и закономерности ее распределения могут быть обусловлены различными причинами. Например, причиной неоднородности может быть статический разброс свойств пластичного материала по длине образца в опытах по измерению физико-механических характеристик условий образования шейки [б].

В [7] исследована устойчивость одноосного растяжения простейшей модели композитного образца, состоящего из непрерывного волокна и матрицы. При этом рассматривалась схема параллельного соединения двух стержневых элементов, соответствующая схеме Фойхта [8].

Вместе с тем, отдельные элементы структуры неоднородного материала могут быть соединены последовательно. В этом случае приходим к цепной системе, соответствующей схеме Максвелла.

1.Постановка задачи. Схема Фойхта параллельного соединения стержневых элементов, работающих на растяжение или сжатие под действием внешней силы Рг показана на рис. 1. Здесь 1{ = 12 = / —длины элементов в текущем состоянии; F} и F2 — площади поперечного сечения первого и второго стержней в текущий момент нагружения, соответственно. По свойствам этой модели = <7,7*5 + o2F2 , где — сила, воспринимаемая /-м стержнем; а —действительное напряжение в /-м элементе.

В отличие от схемы Фойхта модель Максвелла включает в себя систему последовательного соединенных элементов (рис. 2), При последовательном соединении сила, воспринимаемая каждым стержнем, является по методу сечений, одинаковой: Р{ = Р, = Р, а длина всей цепочки, наоборот, аддитивной / = l} + 1Г

По схеме Фойхта условие наступления пластической неустойчивости всей сборки элементов (глобальная неустойчивость композита) имеет вид dP^O. Это условие в общем случае может не совпадать с локальной неустойчивостью отдельных элементов, определяемой равенствами dP. - 0.

№ 7

2007

Р

Р

Рис. 1

Л.р. . АЛ - . р

о——:-о-£—---о-

Рис. 2

Свойством модели Максвелла является то, что глобальная неустойчивость всего композита по критерию дР - 0 и локальная неустойчивость отдельных элементов по критериям с!Р. = 0 совпадают между собой. Сказанное отличает модель Максвелла от модели Фойхта, в которой выход из строя слабого звена не означает потери устойчивости всего композита.

Таким образом, в модели Максвелла реализуется концепция слабого звена, в соответствии с которой несущая способность исчерпывается при одноосном растяжении при достижении равенства £,= —логарифмическая деформация/-го элемента, £(, —критическое значение деформации.

Следовательно, ключевой является задача отыскания слабого звена в цепочке элементов, составленной по схеме Максвелла.

2. Одноосная цепная система. На примере простейшей двухэлементной модели изучим особенности пластических свойств последовательного соединения стержней. Примем, что свойства материала подчиняются зависимости

о,- = Ар,

где А. и п. — постоянные для / = 1, 2, соответственно.

При растяжении двухэлементной модели (рис. 2) имеем цепочку соотношений для несжимаемого материала

¿г^сП^.,, = ^/„,//,,

(/ = 1,2)

/, /2

где 1оГ Ео. и ^ — начальные длины, площади поперечных сечений и объемы

стержней, соответственно. Г

По критерию с/Р = О име&И^^оавб^имЕ^^ус&овия локальной неустойчивости ¿/Р, = 0 и йРг = 0, т. е. 'Iе!

2 2

Следовательно, пластическая неустойчивость системы может реализоваться в трех вариантах при: 1) е, - = щ; 2) г2 - е2* = п2 или 3) в случае е, = ви = Л| и г2 = е,, - ^ | одновременно.

При = пл оказывается /|+ = /10ехрл, —длина первого волокна в момент потери устойчивости; РХч = А1Р01п"1 / е"1 — сила, при которой теряет устойчивость первое зве-

№ 7

2007

но. В свою очередь при = п2 длина второго волокна в момент потери устойчивости ¡2** ~ /2оехР/72 и> соответственно, сила, при которой теряет устойчивость второе звено, становится равной Р2„ = АгР{\)2п2- /е"2. Наконец, третья возможность обусловлена одновременным выходом из строя обоих элементов цепочки - пл и = п2.

В последнем случае использование ресурса пластичности является оптимальным в том смысле, что параметры системы подстроены под одновременное исчерпание пластической устойчивости всех элементов. В этом случае локальная и глобальная неустойчивость наступают одновременно. В частности, в рассмотренном примере оптимальное соотношение параметров модели определяется равенством

А^/в"^ А2Е02п?/е'\

Условие выбора слабого звена может быть получено следующим образом. Предположим, что устойчивость двухэлементной модели теряется при £, = е1? = п}. Тогда Рч = - /ехрл,, т. е. деформацию второго волокна в момент потери устойчи-

вости первого можно найти из соотношения

А^Х'1 /ехрл, = А2Е^ /ехре2,

логарифмируя которое получаем трансцендентное уравнение

р

/л(е2/«2)= г2/п2-п2-(1)

м*

где Д, = /ехрп, — сила потери устойчивости второго стержня.

Таким образом, первый элемент будет слабым звеном, если корень уравнения (1)

окажется меньше 1, т. е. при г2/п2< 1. При

(2)

выполняются одновременно оба равенства е, = = щ и £2 = е2, = п2. Следовательно, равенство (2) дает оптимальное соотношение параметров композита.

Пусть, например, требуется определить параметры устойчивости модели при е2 / л, = 0,8 и л, = 0,2. В этом случае из (1) следует Ръ 1,46 .

Естественно, число элементов в цепочке может быть любым. В этом случае выбор слабого звена основывается на системе соотношений типа (1). Опасное состояние в цепочке реализуется при выполнении требований £,.= £у+ = л,- и £у < иу, где / — номер слабого звена; / Ф / и 1 < / < т — число элементов в цепочке.

3. Двухосная цепная система. Например, при растяжении четырехэле-ментной модели (рис. 3) система геометрических соотношений и уравнений равновесия имеет вид 1Х = / + , 1у = + и

¿1Х = /,,^,1 + 1х2^х2 (3)

4 с11у = 1у^гу] + 1у2с1гу2

Рх

«

Р,

1 ,,

1 „

. = Ау/оу\- ЛугКу2 , ЕУ

'и .V 2

№ 7

2007

Р

у

Р 'а ^ з2» а2

1 р К

0 1 р

Рис. 3

Следовательно,

< = . р /„I С

с/е

*2

«л 2

К2-£.т2)

-Г I -Г I

с/Е ("Л1! 1"7"2

("у! - £,<-1 ) = Т^-("»-2 - ет)

V! Д5с!

уТ2

(4)

По критерию с/Рхс11х + с!Рус11Х1 - 0 имеем набор возможных условий наступления пластической неустойчивости в зависимости от того, какие из стержней цепной системы используются для вычисления с1Рх и с1Р . Если, например, взять за основу первый стержень в цепочке вдоль х и первый — в цепочке вдоль уь то по (3)—(5) получим

с!Рхс11х+ с!Рус11 =

А V

пх\г ох\

ОС, А + 1Жг)+ еД/,,^,, + 1у1с/гу1)= 0.

¿8

Этот критерий приводит к следующему выводу. В неоднородной цепной системе, построенной по схеме последовательного соединения стержней, локальная и глобальная неустойчивость наступают неодновременно.

Например, в рассматриваемой четырехэлементной модели локальная неустойчивость может реализоваться в четырех случаях: при ех1 = пхХ, вх2 = лд2, ег1 = пу1 и ег2 = пу2. Глобальная неустойчивость наступает, когда выходят из строя слабые звенья вдоль оси х и вдоль оси у одновременно.

При одновременном выходе из работы слабых звеньев вдоль оси х и вдоль оси у достигается оптимальное использование свойств композита.

4. Двухосное растяжение континуальных блоков. Рассмотрим особенности соединения блоков сплошной среды, имеющих различные физико-механические характеристики Ау п и А? соответственно, на примере двухэлементной модели (рис. 4).

2007

№ 7

у Р ч

1 1 , р

* X

О 1 р " Х{ X

Рис. 4

В направлении х блоки соединены по схеме Максвелла и выполняются соотношения

Рх = = Шх = с!1х] + с/1х2.

В направлении у элементы работают по схеме Фойхта на основе равенств

Ру = °уА-1 = & = ЛУХ + с//у2 .

Условие с1Рхс/1х+ с!Рус(1у - 0 приводит в случае несжимаемого материала к различным равенствам, выполняющимся в момент наступления неустойчивости. При вычислении с1Рх по первому элементу

с1РхсИх + с1РусИ¥ = У10

*Х\

+ ¿¿г -о Лг1),

гДе /„ = 1х2 = /т20ехрЕл2.

При вычислении с1Р по второму элементу

¿РХ<ИХ+ с!РусН¥= У^№ахгс1гх1--ах2ЫЕхг4Ех1) +

Таким образом, имеет место тождество

/ г1 - У2^№<5х2с1ехЛ- ахгс1Ех^Ех[)+ У20(с1ах2с1Ех2-ох2с1е]2),

которое представляет собой дифференциальный инвариант, не зависящий от способа вычисления с1Р Ш.

.V X

Значение 3 = + <ЗР^1у в текущий момент нагружения можно рассматривать как меру оценки опасности напряженно-деформированного состояния композита, а J=0i как критерий разрушения при развитых пластических деформациях.

№ 7 2007

Наряду с 7 может быть образована другая дифференциальная форма. Например, И7 = Р <¡11 х + Р сИ, — мощность рассеяния энергии системой неоднородных элементов. Критическое значение интеграла энергии

Э=\(Рх<Их + РуШу)>Э = Э.

также можно рассматривать как критерий разрушения.

Выбор того или иного инварианта в качестве скалярного критерия разрушения определяется экспериментальными данными. Однако наиболее оправданным, подтверждаемым экспериментами, по крайней мере при одноосном растяжении, является критерий локализации У = 0, непосредственно предшествующей разрушению.

Заметим, что в случае решетки, составленной из стержневых элементов инвариант Поможет быть проинтегрирован. Например, в четырехстержневой модели (рис. 3)

/

=

о1+".ч л у с,+ "г;

л! , Лх2у ох2 Чс2

пх] АХ[У0Х[ 1+ пх2 ,

+ А.лу]

р1+и' л V

с1'1 ^у2у оу2 у2

Ау1Ум1 1+*у2

— интеграл, характеризующий диссипацию энергии решетки.

В стержневых системах значение Э = Э+ соответствует диссоциации решетки. В системе континуальных блоков, материал которых подчиняется уравнению состояния

= ,

где <5^ —эквивалентное напряжение в /-м блоке; — параметр Удквиста, энергия

может быть представлена в форме

пм

5. Смешанная модель. Смешанная модель представляет собой комбинацию стержней или континуальных блоков в виде параллельно-последовательного соединения. Если придерживаться классификации моделей по схемам Максвелла и Фойхта, то смешанные модели аналогичны схеме Кельвина [8].

Например, в системе, показанной на рис. 5, четыре стержня вдоль оси работает по схеме Максвелла, три стержня вдоль оси у — по схеме Фойхта и выполняется система соотношений

^х = Рх\2 -^л-34' Ру ~ Ру\ + Руг + ^12 = + Рх2' ^34 ~ РхЪ + Рх4 '

'*=Ч1+'х2=Чз-Ч4. ',= ',1 = 1У2= 'уу

В сочетании с континуальными блоками могут быть структуры с любым типом симметрии. Например, на рис. 6 показана элементарная ячейка регулярной структуры с симметричным армированием вдоль осей х и у, а на рис. 7 представлена модель материала, у которого континуальные блоки вдоль оси х работают по схеме Максвелла, а вдоль оси у — в сочетании с армирующим волокном — по схеме Фойхта. Такая структура характерна, например, для бетона.

№ 7 2007

Ч| У Р £ Р / хЗ>' ХЗ * * р „ 1рр Р

р. - X 1 р £ Я -V ^ £ Р ' Ъ*' № ; р

р р / Х< » ¿X г7 Р Р Г Р ^ , на р

Рис. 5

р

р

р

X

Рис. 6

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Рис. 7

1. С м и р н о в В, С., Д у р н с в В. Д. Текстурообразование металлов при прокатке. — М.: Металлургия, 1971.

— 254 с.

2. Пресняков А. А. Локализация пластической деформации. — М.: Машиностроение, 1983. — 56 с.

3. Д а в и д е н к о в Н. Н., Л и х а ч с в В. А. Необратимое формоизменение металлов при циклическом тепловом воздействии. — М.; Л.: Машгиз, 1962. — 223 с.

Микропластичность / Под ред. В.Н. Гемииова и А.Г. Рахштадта. — М.: Металлургия, ] 972. — 341 с. П а й е р л с Р. Квантовая теория твердых тел. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 260 с.

Р а д ч е н к о В. П., Н е б о г и н а Е. В., Б а с о в М. В. Структурная модель закритнческого упругопластического деформирования материалов в условиях одноосного растяжения // Вестник Сам ГТУ. Сер. Физ.-мат, науки.

— 2000. — № 9. — С. 55—65.

Романов К. И., Р о м а н о в а Г. В. Устойчивость растяжения композита // Известия вузов. Машиностроение, 1980.—Х°3.— С. 142—143.

М а л и и и н Н. И. Прикладная теория пластичности и ползучести. — М.: Машиностроение, 1975. — 399 с.

7.