Математические модели оптимального управления транспортными сетями Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

r sin ф

Y2 = YK - YP = r2cosarcsin—--

b

а и ■ r,sin ф,

-R cos— + b cos arcsin—-L,

2 b

(8)

r sin Ф

X2 = XP -XK =1 r,cosф, + bcosarcsin—-- Itgф, -

(9)

r2r,sinФ, . а -r, sinф, ——-1 + Rsin—.

таны реакции для обжимного пресса, разработанного на основе огибающего механизма, схема которого представлена на рис. 1. Результаты расчетов представлены на рис. 2 в виде графиков зависимостей изменения реакций от угла поворота кривошипа ф1 [2].

R, Н

Решением уравнений (5) - (9) определяется уравновешивающая сила, приложенная к входному кривошипу.

Таким образом, в уравнениях (3) и (4) неизвестными остаются продольные реакции R1 и R 3, а также полные реакции в шарнирах О, А и В.

Из уравнения (3) находим продольную реакцию

Rj

Fc [COS у - f sin у]-^р Sin ф j

Rj =—[-2-^-. (10)

COS ф1

Из уравнения (4) находим продольную реакцию

R3

fa a^i

R 3 = Fc I sin- + f cos у I- Fw cos ф 1 + R1 sin ф 1. (11)

Полные реакции в шарнирах

RO = RA =\¡Fyp + Rj2 , RB = R3. . (12)

Таким образом, решением уравнений (10), (11) и (12) определяются аналитически все реакции в кинематических парах прямолинейно-огибающего механизма, рабочий орган которого деформирует материал в процессе огибания неподвижной прямой.

На основании изложенной методики определения реакций в кинематических парах прямолинейно-огибающего механизма в математической среде Maple 6 составлена программа для ЭВМ, по которой рассчи-

0 6 ф,, рад

Рис. 2. Реакции в шарнирах прямолинейно-огибающего механизма

Отрицательный участок кривой, характеризующей реакцию в шарнире В, указывает на смену направления действия реакции R В . Несимметричность смены

направления относительно оси ординат обусловлена смещением точки приложения силы и отклонением ее на угол под влиянием величины степени обжатия. К концу интервала приближения (слева) происходит увеличение реакций. Это вызвано тем, что на втором полуинтервале происходит снижение уравновешивающей силы, а тангенциальная составляющая реакции шарнира А переходит в продольную, увеличивая тем самым полную реакцию шарнира А и полную реакцию шарнира О.

Литература

1. Кузнецов С.А., Владимиров А.В. Графический и комбинированный методы силового анализа механизмов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. № 2. С. 79-81.

2. Владимиров А.В., Кузнецов С.А. Обжимной пресс // Техника, технология и экономика сервиса // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. № 6. С. 22-23.

Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты

7 ноября 2006 г.

УДК 656.072

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫМИ СЕТЯМИ

© 2007 г. С.В. Белокуров

Одной из основных проблем при условии оптимального управления транспортными сетями является выбор метода прогнозирования интенсивности движения. Возникающие в этом случае задачи можно

разделить на два класса: на детерминированные и стохастические. В детерминированных задачах все необходимые параметры транспортной сети определены. В основе этих задач используется математиче-

ская модель гравитационного типа, которая наиболее существенно отражает формирование автотранспортных потоков.

Гравитационная модель основана на аналогии между взаимным притяжением двух масс и «притяжением» выезжающих из района I к месту прибытия в районе т.е. в классической форме этой модели предполагается, что

QQ 2

C

(1)

у

где Qг1 - объемы выезда (истоков); Q 2 - объемы выезда (стоков); х- - число передвижений между каждой парой районов выезда и въезда; С- - обобщенная стоимость передвижения из района 1 в район -(аналог расстояния); к - некоторая константа.

Однако представленная гравитационная модель не может обеспечить естественные ограничения на х-, т.е.

Ех- = Q^ IеГж; Ех- = Q2 -еш ,

где N - расчетные узлы, на которые делится городская территория.

Для того чтобы учесть вышесказанное относительно ограничений в гравитационной модели, рассмотрим подробнее детерминированную задачу, в которой все необходимые параметры транспортной сети полностью определены. Городская транспортная сеть задана, проведение новых магистралей в городе не рассматривается. Город разбит на зоны с центрами {хк, Ук } (к е ), которые соединены транспортными сетями £.. . Таких сетей может быть несколько

(.е1, М), в зависимости от видов транспорта М, используемого в городе.

Анализ пассажиропотоков позволяет выявить наиболее или наименее нагруженные участки транспортной сети при существующих видах и маршрутах городского транспорта. В этом случае возникает необходимость как-то изменить маршруты, а может быть, и виды транспорта, чтобы получить равномерную нагрузку на транспортную сеть. Таким образом, возникает задача синтеза маршрутов городского транспорта.

Итак, рассмотрим некоторую сеть состоящую из N узлов, потоки между которыми X тп известны, п = 1,...,N т = 1,...,М. Если все узлы соединены между собой, то имеется полная сеть и N = М. При этом N > М > I > 3, т.е. множество жилых центров I и приложения труда 3 входит во множество N узлов сети X Поэтому путь между центрами 1 и - представляет собой путь [1-3]

к

1 = ть т тк = - ^ Мк (1, ]) = и {т., т .+1}.

.=1

Если путь Мк (1, -) не имеет общих участков с другими путями, то поток на нем определяется гравитационной моделью

X- = 2/(С-), 1 = 1,...,I; 1 = 1,...,3 . (2)

В зависимости (2) емкость жилого центра обозначена через Qг1, 1 = 1,...,I, емкость центра расположения труда - Q-, 1 = 1,...,3 , а пассажиропоток между ними - хн.

и

Функция / (С-) в формуле (2) зависит от стоимости поездки из центра 1 центр Эта функция обычно определяется по результатам обследований транспортной системы города. За основу стоимости поездки обычно принимается время, т.е. С - = I- . В связи с

этим предполагается известной экспериментальная «кривая расселения» /((-).

Естественными ограничениями на х- являются

Е Xj = Q1, i = 1,..., I;

j

Ехч = Q2, j = 1,..., J;

i

Е XjCj = cP, Xj > 0.

(3)

(4)

(5)

Ограничения характеризуют баланс по истокам и стокам, а выражение (5) - ограничение по стоимости поездки, где С - удельная стоимость на одного жителя, а Р - количество жителей.

Коэффициенты А1 и Б- определяются из систем

уравнений, получаемых подстановкой (2) в (3) и (4), т.е.

ai=|е q 2 bf (cj)

j=1

Вj = {е Q1 aJ(Cj)

-i

Величину С-, на основании вышесказанного,

можно представить в виде

к -1

С- = ^ = Е Ч,т.+1; т.е Мк (у). (6) .=1

Транспортный поток на участке т ., т обозначим через У^к т , в результате будет

= = 1Q 2/(С- ).

Общий поток на участке т., т будет образован из суммы потоков по таким путям к е К. , для которых этот участок является общим,

X = Е Yk

(7)

Из выражения (7) следует, что потоки во всех элементах сети можно определить, пользуясь гравитационной моделью. Характеристикой маршрута служат временные затраты /р, как это следует из материала, представленного в начале статьи. Это позволяет определять оптимальные временные затраты, являющиеся непрерывными переменными, вместо оптимальных маршрутов, которые выступают дискретными переменными.

Для транспортной сети с М видами транспорта, который характеризуется собственными средними скоростями, далее определяются пути минимальной длительности /р. Данная задача может быть преобразована к задаче определения путей минимальной длины на заданном ориентированном графе. Её решение определяет матрицу Т = ^ ^ кратчайших путей

между всеми жилыми и трудовыми центрами.

Стохастический тип задач по использованию загрузки транспортных сетей значительно уступает рассмотренным выше детерминированным задачам. В стохастических вероятностных задачах можно выделить два направления. Первое использует модели теории надежности, которые определяют вероятность непревышения пропускной способности любого из участков транспортной сети. Данный показатель надежности служит критерием оптимальности сети. Второе направление использует модели теории массового обслуживания и характеризуется средним временем ожидания, что является также критерием оптимальности вероятностной транспортной сети. Эти два направления, а следовательно, и получаемые критерии применяются в стохастических вероятностных задачах для организации движения транспорта на оптимальной транспортной сети.

В общей сложности в различных методах прогнозирования интенсивности движения используется более 100 факторов. Естественно, что все их практически невозможно учесть в одной модели. Кроме этого, многие из этих факторов являются частными, характерными только для выявления каких-то специфических перевозок, а другие взаимозависимы и могут быть представлены одним из факторов. При прогнозировании интенсивности движения с использованием моделей гравитационного типа в качестве потенциалов применяют, как правило, экономические показатели корреспондирующих пунктов, такие как национальный доход, товарооборот, прибыль, объем валовой продукции, объем капитальных вложений. Однако следует отметить, что все эти показатели зависят от плотности (численности) населения в регионе. Чем больше жителей в регионе, тем больше производится продукции, строится различных объектов, перевозится грузов, продается товаров и т.д. Следовательно, все эти показатели могут быть обобщены в виде единого

показателя - емкость жилой территории Qг1, ¡=1,..., I. Воронежский институт МВД РФ

В математических моделях гравитационного типа интенсивность движения определяется в зависимости от расстояния между корреспондирующими пунктами (зависимость (1)). Однако во многих работах говорится о влиянии не расстояния, а времени сообщения между корреспондирующими пунктами [1, 4-6], т.е чем меньше время сообщения между корреспондирующими пунктами, тем выше интенсивность движения автотранспорта между ними. Подобные аналогии рассмотрены выше и в данной статье. В связи с этим следующим важным фактором, подлежащим необходимому учету, является время сообщения /р (6), которое зависит от расстояния между корреспондирующими пунктами Хр и скорости движения транспортного потока. Скорость же движения, в свою очередь, зависит от технического уровня и состояния автомобильной дороги (транспортно-эксплуатационных качеств), уровня загруженности движением, наличия объектов светофорного регулирования и других факторов, влияющих на скорость транспортного потока.

Анализ факторов, используемых в математических моделях прогнозирования оптимального управления транспортными сетями, позволяет сделать выводы, что основными факторами, влияющими на формирование транспортных потоков, являются: численность населения в корреспондирующих пунктах; технический уровень (транспортно-эксплуатационные качества) автомобильных дорог; уровень насыщения легковыми и грузовыми автомобилями и автобусами.

Литература

1. Ресин В.И., Понков Ю.С. Развитие больших городов в условиях переходной экономики (системный подход). М., 2000.

2. Белокуров С.В., Сербулов Ю.С., Бугаев Ю.В. Модели выбора недоминируемых вариантов в численных схемах многокритериальной оптимизации. Воронеж, 2005.

3. Белокуров С.В., Велинко С.В., Соловей Д.Е. Синтез функций выбора на интеграциях поиска в численных моделях многокритериальной оптимизации. Воронеж, 2004.

4. Байбулатов Х.А., Рябиков Н.А. Совершенствование методов прогнозирования интенсивности движения автотранспортных средств // Автомобильные дороги. 1992. № 4. С. 18-22.

5. Рябиков Н.А., Байбулатов Х.А., Байбулатов НХ. О факторах, влияющих на формирование автотранспортных потоков // ВИНИТИ. Транспорт: наука, техника, управление. М., 2001. № 8. С. 39-41.

6. Рябиков Н.А. Совершенствование метода прогнозирования интенсивности движения сети автомобильных дорог // Автомобильные дороги. 1995. № 7-8. С. 13-15.

10 ноября 2006 г.