Математические модели магнитных наноустройств и реализующие их вычислительные алгоритмы на основе автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Голованов О.А., Макеева. Г.С.

АТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАГНИТНЫХ НАНОУСТРОЙСТВ И РЕАЛИЗУЮЩИЕ ИХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ НА ОСНОВЕ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ С МАГНИТНЫМИ НАНОВКЛЮЧЕНИЯМИ И КАНАЛАМИ ФЛОКЕ

Разработан декомпозиционный метод на основе автономных блоков с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке на гранях (МФАБ) для математического моделирования устройств микроволнового и терагерцового диапазонов на основе магнитных наноматериалов и магнитофотонных кристаллов, базирующийся на решении уравнений Максвелла совместно с уравнением Ландау-Лифшица. Для построения дескрипторов МФАБ разработан вычислительный алгоритм решения нелинейной краевой задачи дифракции проекционным методом Галеркина.

Введение

Известные автономные блоки (АБ) с однородным заполнением (многомодовые АБ [1], минимальные АБ [2], универсальные АБ с каналами Флоке [3]) могут иметь лишь весьма ограниченное применение в построении математических моделей магнитных наноустройств, так как основой построения их дескрипторов являются уравнения Максвелла совместно с упрощенными уравнениями движения в материальной среде заполнения АБ. Указанные недостатки не присущи разработанным МФАБ, так как основой построения их дескрипторов являются уравнения Максвелла, решаемые совместно с уравнением Ландау-Лифшица, в котором учитывается поле обменного взаимодействия.

1.. Математическая модель магнитных наноустройств с учетом с учетом обменного взаимодействия.

Формулировка краевой задачи электродинамики для магнитных наноустройств состоит в следующем. Необходимо решить уравнения Максвелла:

rotH(t)=e0 s +<jE(t) ; (1)

dt

mtE{t)=-^H ; (2)

dt

B(t')=M(t) + jU0H(t), (3)

с электродинамическими граничными условиями

совместно с уравнением Ландау-Лифшица с учетом обменного взаимодействия [4]

=- y{M{t) X H^{t))+cor{Xo H(t)-M{t)); W

d t

H^{t)=H{t)+Hq{t); (5)

Hq{t)=qV2M{i), (6)

где E(t\H(t) - векторы напряженности электрического и магнитного полей; M(f) ~ вектор намагниченности среды; в(0- вектор магнитной индукции; Нэф«) - суммарное эффективное поле, включающее Н (t) - поле обменного взаимодействия; S - относительная диэлектрическая проницаемость среды; т - электропроводность среды; £0 , - электрическая и магнитная постоянные; у - гиромагнитное отношение; ф -частота релаксации; - статическая восприимчивость; q - константа об-

менного взаимодействия.

Используя формулы векторного анализа [5], запишем поле обменного взаимодействияН (t) (б) в ви-

де:

Hq (t)=q (grad divM(t) - rot rot M(t)). ( 7 )

Учитывая, что divM(/)=0 , и вводя векторную функцию

F(t)= TOtM(t) ,

представим (7) в виде

Hq(t)=-qmtF(t). (8)

Подставляя (3) в (2) и учитывая (8), получим систему уравнений электромагнитного поля, в которых учитывается поле обменного взаимодействия, в виде:

rotH(t)=e0 g +aÉ(t) ,

dt

- d - -

ro tE{t)=--{M{t)+MoH{t)), dt

^l=-r(M(t)x(H(t)+Hq(t)) + at , (9)

+ mr{X^(t)-M{t)) TotM(t)=F(t) , rotF(t') = - q~lHq (/) .

Сведем систему нестационарных нелинейных уравнений (9) к стационарным полагая, что электромагнитные поля источников с частотами C0^CÙ2^-^n монохроматические.

Представляя векторные функции E(t), H<S), Mit), F(t), Hq(t) в виде рядов по всевозможным ком-

бинационным частотам и подставляя эти ряды в (9), в результате получим следующие системы стационарных нелинейных уравнений электромагнитного поля, в которых учитывается поле обменного взаимодействия, на каждой из комбинационных частот:

тШ(ют) = іютє0є(ют)Е(ют) ; (10 .1)

хо\Е(сот) = -ісотМ(сот)-ісотіл0Н(сот) ; (10.2)

Е^0/(®,)х(Я(®р+Яї(®і/))) = -(®г+»-®я)А/(®я) +

/ = —00 _у=—00 (10.3)

+®,. *0Я(/) - гЛ/0 х Я(®,„) - /М0 X Я„(®,„) - /М(®т) X Я0;

шШ(©т) = І?(©т) ; (10.4)

шІ^(®т)=-9-1Яг(®т) ; (10 . 5)

7/7 = +1, +2,... ,

где (От - комбинационные частоты ( ®т> 0, ®_т= — ®т, ®0 = О) ; Й0=Н(а>0);

ґг Гг , , .^(®т) С°’ если ю,.+ю .

М0=М{(0 0); є{сот) = є{сот)-г--^=1,

*0®т ІЛ если Ю,. + Ю, =Ю,„.

2. Алгоритм решения нелинейной краевой задачи дифракции для автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке

На рис.1 показан АБ в виде прямоугольного параллелепипеда, содержащего магнитные нановключения, с виртуальными каналами Флоке на гранях блока (МФАБ).

Нелинейная краевая задача дифракции для МФАБ (рис.1) формулируется следующим образом. Электромагнитное поле должно удовлетворять в области магнитных нано-включений V системе уравнений (10.1-10.5), а в остальной области МФАБ

Рис.1. Автономный блок с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке (МФАБ): V -

внутренняя область МФАБ; V - область магнитных нановключений; V _V - область, заполненная средой с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями в , ¡Л

- однородным уравнениям Максвелла тоШ(а>п) = ісоп є0 £гЁ{ат) ; (11)

гоХЁ(ют) = -ісот/л0¡лхЙ(ют),

а также условиям неасимптотического излучения на гранях МФАБ (входных сечениях £ ) [8] .

Для решения нелинейной краевой задачи дифракции для МФАБ (рис.1) применим проекционный метод

Галеркина [6] . В качестве базисных функций , ^Нк^ту^ , где к - индекс базисной функции, т

- индекс комбинационной частоты, используем систему собственных функций прямоугольного резонатора с однородно-периодическими граничными условиями на стенках резонатора (гранях МФАБ) (рис.1).

Собственные частоты 6)к и собственные функции резонатора определяются из реше-

ния краевой задачи для однородных уравнений Максвелла:

тХЙк{т) =іткє0Йкш- 1 ^

_ Г в области У0 , (12)

тіЕШп = -іа>кН>НкШ’ \

с электродинамическими граничными условиями на стенках резонатора (гранях МФАБ)

ЁкШ)(Б 1) = Ёк{т)(Я4\ Нк(т)(5,) = НкШ)(Я4у,

Йк{т){Б2) =ЯДЧт)(>?5); , (13)

4,„>(^) = 4,„А), Нк{т){Б2 ) = Нк{т){Б6).

Используя теорему Остроградского-Гаусса, тождество векторного анализа ЪхоХа —ахо\Ъ = хо\(а хЬ) и учитывая (12), запишем систему стационарных нелинейных уравнений (10.1-10.5) в проекционной интегральной форме [7]

§(Н{а>т) X 4*(т)) • <Ё = 1сот е01 ё{а>т)Ё{а>т)- Ё*к{т) ¿V +

X ¥0

+1а>к110\Н(а>т)-Й1(т)с1¥-,

г0

§{Ё{шт) X Щ(т))-с1ё = ШЯ\М{ШЯ)- й;(т) ОУ -

Б К0

-1 ®тНо \Н{ат)-Щ(т)сIV-гюке01Ё(сот)■ Ё*к{т)сIV;

Го г0

I Р(а>т) ■ Ё*к(т) (IV + ¡тк |М(тт) ■ Н*к(т) аV = 0;

Г0 Го

Ч11 Йч(ют) ■ Й*к(т) сIV + iсок е0 | Р(ют) ■ Ё*к(т) йГ = 0; (14)

Г0 Г0

~{тг + г ют) | М{тт) • Й*к(т) (IV - у | (А?0 х Я(от)) • Н*к(т) с¡V -

Го Го

-г\{МаУ.Йд {шт)) • Я;(т) (IV -у | (М(тт) х Й0) ■ Й+

Го Го

СО СО

+а>гХа\Й{тт)-Й1(п)аУ = г^ £ Г„\{Щт,)х{Й{т^+Й,,(«,))•Н^ОУ,

г0 г =-с ]=-с Г0

где £ = ^ ^^ ^.

Решение нелинейной краевой задачи дифракции для стационарных нелинейных уравнений электромагнитного поля (10.1-10.5), в которых учитывается поле обменного взаимодействия, с условием неасимптотического излучения [8] для МФАБ ищем в виде рядов Фурье по следующим системам функций:

во внутренней области У0 МФАБ (рис.1) по системе собственных функций прямоугольного резонатора

{Дм»} ' {Й„(т)\ :

СО

Е(со ) = \а (со )Ё , •

^ т■' пV т■' п(т)~

п=1

со

Й(а>т) = '£Ьп(а>т)Йп(т)-

п=1

СО

М(а>т) = '£ап(а>т)Йп(т)-

п=1

СО

Й„(а>т) = ^п(а>т)Йп(т)- (15)

п=1

СО

Р'(о)т) = ^/п(1»т)Ёп(ту ;

П=1

на гранях МФАБ - по системе собственных волн каналов Флоке г |^/(у?)(^т)| [9] :

со

Ёд(ат) = 'У',(С1( П\(03т)+с1< П'Х^тУ) ёцв^(ат)’ (16)

/=1

НР (®Я! ) “ Е (Скр) (®Я! ) С1(Р) (®Я!)) \р) (ют )■

т

/=1

Подставляя (15), (16 ) в (14), (11) и учитывая нормировку собственных функций, а также условие

неасимптотического излучения на гранях МФАБ [8], получаем следующую систему нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ап (от) , Ь (от) , $п (О^т) , §п (от) ,

/п ((От) и С^(3){Фт) , С/(3)(Фт) :

6 да со

22^(т)/(/?) С1{р)(.СОт) + Югп еу $кп + * фт £о(^(фт) ~ £у)А(т)п(т)) ап(фп) +

/3=11=1 п=1

6 с

+ гтк $кп Ьп (тт ) = (т)! (3) С1(3)(Фт ); (17.1)

3=1 !=1

6 с с

ЕЕ ^к (т)! (3) С«Р)(ат ) +^®к Зкпап (®т ) + (1®т Л Зкп + 1®т ^0(1 - ^ )Вк (т) п(т)) Х

3=1 / = 1 И=1

6 с

хЬп (фт ) + гФт Вк(т) п(т) ^п (Фт ) = ЕЕ^к(т)/(р) С/(3)(Фт );

3=1 / =1

8. Голованов O.A. //Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35. №.9. С.1853.

9. O.A. Голованов, Г.С. Макеева, A.A. Туманов. // Физика волновых процессов и радиотехнические

системы. 2007. Т. 10. N4. С. 63-72.

-J CT) ел OJ м I—1 л

ш

к И К > О к К S S

s Ш S S S

я X Я > ?3 Я о

0 CD О О О О

ь Ш ь Ь ь я

er Ь сг << сг сг Т5

Q 0 о Т5 О о о ш

Я CD Я 0 Ь ?3 ?3 в

S S CD О S S ш

Sc К SC S CD SC SC S

£ ш

CO О со I СО со о

О X

CO со CD СО со

л t

s > > > О

^ CO о (J \

Ш ь ь \ t

T5 0 0 О ш ь

S I Я 0 ь CD S

Ш I ь О Т5 I

JÜ Е Т5 ?3 ш CD О Е

s 0 О О t ш CD

0 t CD S I ш О

I S S О О а

I 0 I CD нЗ S

E ш S 0 0

CD О S ш X о S I

t S I I

s Е Я I S > О

0 ш S я \

ш \ О

0 1 S I \ TJ

t Е S \ ш CD

E S Т5 0 t CD

ш « ш S ш

tl о ?3 ь t О S

b а О 0 S S

X К Т5 Ь ?3 О О

Ш О 0 X ^ t

CD << о а Т5 0 I 5 0

I Я ш О X s <d Sc

<< ш Т5 I I I ?з ~о о

> ш S S S ш й

T5 I X ?3 я CD

0 1—1 0 ш ш S -о S

I I S О) X

I -J S 1 S Ü

S СЛ 0 CD ь

X о ю Ü 0

1 Т5 ь о ь я

CD Ш X о 0

Ш t Е ?3 Т5

tl OJ S О

Ш ю О Т5 I

£ О CD 1 О S

о I я

ü ь нЗ S ш

Ь X к ?3

0 ш СЛ ш

Я I—1 I—1

к ?3 ко

T5 ш 1—1 -J

0 1 со

t к I—1 --J

S ш ю ю

I << ю нЗ

Ш Я I—1

S ш ю нЗ

S ю

Я 1 OJ

S 1—1 ю

о

-J

S со I—1

ю

ю

СЛ OJ

'X 1 о

Ш OJ I—1

<< О ю

Я О OJ

Ш о 1—1 I—1

> о

-j

1—1 о

S t) (D m й Ф а У г а г

а S О — JÜ SC Ш t

Q S Я • S I Я ф S

о

s ф в ь и ж

ь й tr „ а » " Jt, I S

S SS S ш S ь (J .о- Ч-? _ . S

ж ь

1 5 1

M8s 1^8

■О s S “ ф ' J5 V|^8 ® ^[у]8

О X m Ti т О“1 _^ J >-3 — L ■*

о ь

0 S <i Т5 s

£ ш I

Т5 0 ?3 0 нЗ ^d

S о л Sc ш t

S я S I ?3 0

> S S О S

SC S S S ö.

о о t ^3 о

О ш а ь о /• s

t I О X T5 а

0 ш ь S Т5

Т5 ь сг S о > и а ш

5^ ш в S S 03 S 03 X ь S 0 03 о S

X ш Т5 I \ ^

Hd ш ?3 S Т5

I I 03 S Ш OQ

ш S Т5 о 03 о

I О I Ш а ьЗ О Т5 S ш Т5 Ш s

S tr о нЗ а

ш X X Т5 о

ш S 1

0 I I _р ш

Т5 ш I о Е I Cö

S I tr CD X

ш О Sc 0 Т5 ш S Ш

ь << tl £

Е о ш 0 о Q 0 0

Ь I Т5 I

I Т5 ^d ш 0 Ш s

ш О О X Л X

Sc Т5 ?3 X S

О О S s О я

о Т5 X I 0

I CD S 0 I ü

О CD S CD Е 0 я tr Sc о о

0 S Е X s

?3 2 s S CD _p

о Т5 S S о Е s

S О о > 2 0

о CD ь о и s

ьЗ О 0 о

0 Ь I о ь 0

S X S S CD

О X 0 S Е ш •»

S ш CD О t о 0 ь а

Hd ^d 0 Q сг 0

I О о ÜC I ь

S ?3 I о tr к

S Т5 0 CD Sc £

I S Ъ 0 0

tr ьЗ а S ш

X I ш I О 0 Т5 Ш ^d 0 Т5 О Т5 Ш S X 0 Sc I tr X Т5 0 Е 0 I s Ь ^d О Т5 S ные на

£ Л О X S

ш О > ш ÜH

о CD И Ь I T5

1-3 О ^d X ш 0

S ^d 0 0 X t

л а Т5 О S О t S ш а МОЖНО а Т5 ш S £ 0 ь S I 0 SC I О Sc 0 t 0 1 S Ё << В 0 Sc

03 CD О ш 03 о а Т5 о о я S X t S 0 T5 Ш

ь сг I о CD 0 X ?3 Т5 0 о

I CD О << ш ?3

О ьЗ Т5 0 Т5

Sc Т5 ш S ш CD CD О S а s

о CD Ü I Sc

О Ь ь 0 О

Т5 S 0 I CD Т5

S £ S Ш Ш

Е I Sc t

О Т5 Ш S

SC О £ О

о t 1—1 S >

о ^d S -~J и

0 0 I t

Т5 О ш 1—1 s

1 1 1 i CD

.х

о

__ __ t

^ hvl s Р ^ N/l

3 ж 8 ш ^ g та ^ ' Л L J8 s и, p'j

agio^SSw X JMsKiMs

sgxii“^o Ä ~V % -V

О ^ ш Xl ^ ^ 't_o ^ s ^

0 i rr: г ш &

O^^rtrra" £ ^ 5 £

ъ

g E n o> 0 ^ m ^

Я

О

о

OQ

0^

s

^ _p

0 S

T5 О

Ш I

JÜ I

S E

Sc Sc