Математические модели и опыт реализации системы планирования раскроя лесосырья Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 3

ИНФОРМАТИКА

УДК 519.85 И. В. Архипов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОПЫТ РЕАЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ПЛАНИРОВАНИЯ РАСКРОЯ ЛЕСОСЫРЬЯ

Петрозаводский государственный университет, Российская Федерация, 185031, г. Петрозаводск, ул. Краснофлотская, 13Б-42

В статье приводится описание задачи планирования распила бревен и алгоритма ее решения. Цель технологического процесса лесопиления состоит в получении из круглых лесоматериалов пиломатериалов различного назначения и технологической щепы. Распиловка бревен на пиломатериалы осуществляется по заранее разработанному плану в соответствии с поставом (схемой раскроя отдельного бревна). При планировании производства сначала производится расчет по отдельным поставам, затем составляется план раскроя всего пиловочного сырья с целью наиболее эффективного выполнения специфика-ционного задания из имеющегося сырья. Задача расчета поставов содержит определение размеров и числа досок, которые можно получить из бревна заданных качества, длины и диаметра. Поиск решения усложняется необходимостью учета большого количества ограничений, обусловленных параметрами производственного оборудования и особенностями заказов. Данная задача является задачей линейного программирования с дополнительным ограничением, при ее решении применяется метод генерации столбцов. Отдельно рассматривается учет ограничения массовости производства, который выводит задачу из класса задач линейного программирования, приводится специальный алгоритм решения. Разработанный алгоритм был протестирован на наборе реальных производственных планов, приводится оценка его эффективности. Программная система была апробирована на реальных данных лесопильных предприятий. Специалисты предприятий подтвердили экономию сырья, повышение прибыли, сокращение простоев оборудования при использовании разработанной программной системы планирования лесопильным производством. Библиогр. 10 назв. Ил. 3.

Ключевые слова: линейное программирование, лесопиление, эвристические алгоритмы, массовость производства.

I. V. Arkhipov

MATHEMATICAL MODEL AND EXPERIENCE OF IMPLEMENTATION OF WOOD SAWING PLANNING SOFTWARE SYSTEM

Petrozavodsk State University, 13B, fl. 42, str. Krasnoflotskaya, Petrozavodsk, 185031, Russian Federation

The paper describes research of task of wood sawing planning and development of algorithm for its solving. The aim of the sawing process consists in processing round wood into sawn lumber, as well as technological wood chips. The logs are cut into sawn lumber according to a plan, developed in advance. The sawing pattern is a scheme of sawing of a separate log (or sorting group of logs with approximately same diameters) into sawn lumber of demanded

Архипов Иван Владимирович — магистр, ведущий программист; e-mail: alien_aria@mail.ru Arkhipov Ivan Vladimirovich — magister, chief programer; e-mail: alien_aria@mail.ru

sizes. After the calculation of sawing patterns for each sorting groups of logs, a monthly plan of cutting of all raw material is made. Preparation of such plan is a highly responsible task, because one of the main targets is to produce required lumber from available raw materials with minimal waste. The problem of sawing patterns calculation consists in specification of sizes and number of lumber to be cut from each log of given quality, length and diameter. The solution to this problem must also take into account all features, limitations and parameters of process equipment, as well as of raw material and production orders. The problem is linear programming problem with additional constraint, the columns generation method is used. Special attention is paid to criteria of mass production, which excludes this task from linear programming class. Algorithm for solving this problem was tested on several different real production plans, and its efficiency estimate is given. The software system was tested on real operating data of several sawmills. Saving of raw materials, improving of monthly profit and reduction of idle times were confirmed by the mill staff. Bibliogr. 10. Il. 3.

Keywords: linear programming, swamilling, heuristic methods, mass production.

Введение. Цель технологического процесса лесопиления состоит в получении из круглых лесоматериалов (пиловочника) пиломатериалов различного назначения и технологической щепы [1].

Сырьем лесопильного производства служит в основном пиловочник хвойных и лиственных пород диаметром от 14 см и более в вершинном торце. Распиловка бревен на пиломатериалы производится по заранее разработанному плану. Постав -это схема раскроя отдельного бревна (или сортировочной группы) на пиломатериалы требуемых размеров, показывающая порядок и место пропилов, толщину, ширину, а иногда и длину пиломатериалов.

После расчетов по отдельным поставам составляется объемный план раскроя всего пиловочного сырья, который содержит количество и размерно-качественный состав распиливаемых бревен и получаемых пиломатериалов по каждому поставу, для наиболее эффективного выполнения спецификационного задания из имеющегося сырья.

При выработке перечня заказов на пиломатериалы неизбежны значительные потери и отходы древесины. Теоретически полезный выход обрезных досок длиной 6 м для диаметров бревен от 14 до 40 см составляет от 53 до 64%. К потерям относят припуски на усушку, к отходам — древесину, не используемую для выработки пиломатериалов (опилки, рейки, торцовые срезки и др.). На практике полезный выход еще меньше, так как спецификационные размеры не всегда позволяют максимально охватить поставом все сечение бревна, а также имеются различные отклонения (например, фактического диаметра бревна от расчетного, формы поперечного сечения бревна от круглой, продольной оси бревна от прямой линии).

Задачи, связанные с планированием раскроев сырья [2], эффективно решаются с помощью методов исследования операций, что позволяет повысить выход пиломатериалов по объему, выходу высшего сорта, прибыли, а также оперативность составления и уточнения планов раскроя сырья.

Постановка задачи. В связи с тем, что на производство поступают бревна разных сортов и диаметров, а получаемая продукция также делится по сортам и размерам, задача расчетов поставов включает определение размеров и количества досок в соответствии со схемой распила бревна. Как правило, расчеты проводятся для более 10 сортировочных групп с целью выпуска более 50 (или даже более 100) видов пиломатериалов.

При поиске решения необходимо учесть следующие ограничения технологического характера:

• количество пил 1-го и 2-го рядов для линий лесопиления;

• величина толщины пропила для каждой линии лесопиления (соответствующая толщине лезвия пил) (мм);

• зависимость максимального диаметра бревна, который можно распилить на данной линии лесопиления, от максимальной высоты пропила и максимальной ширины постава;

• границы производительности линии лесопиления (м3 сырья в смену);

• допустимая минимальная ширина двухкантного бруса в зависимости от диаметра бревна;

• запасы древесины каждого диаметра и ожидаемые объемы поставки лесо-сырья;

• минимальный объем распила по каждому поставу, обусловленный непроизводительными потерями времени при переналадке оборудования - критерий массовости производства;

• график работы технологического оборудования - линий лесопиления, сушильных камер, цеха строжки и т. д.

Система также должна обеспечивать учет таких требований, параметров и ограничений по составу сырья и заказов:

• минимальный и максимальный требуемые объемы продукции каждого вида;

• минимальная и максимальная длина пиломатериалов, а также шаг, с которым обрезается пиломатериал (например, при длине 2.7-6 м и шаге 0.3 м доска длиной 3.5 м должна быть обрезана до 3.3 м, что снижает полезный выход);

• влажность пиломатериала после сушки;

• приоритетность заказа для строгой выработки требуемого объема для срочных заказов и возможности отклонения для несрочных;

• требования по размещению пиломатериала относительно продольной оси бревна [3]:

- в брусовую часть, т. е. выпиливать только из двухкантного бруса,

- в боковую часть, т. е. размещать пиломатериал только для распила при первом проходе (при первом проходе выпиливают двухкантный брус и боковые доски, при втором распиливается сам двухкантный брус),

- в сердцевину бревна, т. е. только в центре бревна и в количестве 1 шт.,

- 2 Ex-Log, т. е. только в центре бревна и в количестве 2 шт. (без центральной доски), а также 4 Ex-Log (то же самое, но 4 доски),

- 2 Ex-Log не боковая, т. е. только в центре бревна, в количестве 2 шт. и с какими-либо еще пиломатериалами в поставе,

- 3 Ex-Log, т. е. только в центре бревна в количестве 3 шт. (1 центральная доска и 2 боковые), а также 5 Ex Log (то же самое, но 5 досок),

- 2,4,6 Ex-Log, т. е. только в центре бревна и без центральной доски;

• максимальный процент выхода боковой доски, у которой поставлено требование 2,4,6 Ex Log (для некоторых пиломатериалов допускается незначительное отклонение от ограничений).

Математическая модель задачи. Для построения математической модели введем обозначения.

Индексные множества:

L - множество пиломатериалов;

W - множество видов древесины (характеризуется типом - ель/сосна и диаметром);

М - множество линий лесопиления;

С - множество возможных вариантов распилов бревен (поставов).

Технологические параметры:

аг,з - доля пиломатериала г € Ь в поставе ] € С;

9т- признак соответствия постава ] € С виду древесины т € Ш (1, если постав относится к древесине, 0 - иначе);

- признак соответствия постава ] € С к линии лесопиления т € М (1, если постав относится к линии лесопиления, 0 - иначе);

- минимальный объем бревен, распиленных на линии лесопиления т € М;

- максимальный объем бревен, распиленных на линии лесопиления т € М; Vе - весовой коэффициент для равномерной загруженности линии лесопиления

т € М;

Ъ'1 у - доля выхода пиломатериала г € Ь из постава ] € С, в боковой части; г - минимальный объем одного постава. Учетные параметры:

- объем вида древесины т € Ш на складе. Заказные характеристики:

ур - минимальный объем выпуска пиломатериала г € Ь по заказу;

- максимальный объем выпуска пиломатериала г € Ь по заказу;

Ьг - признак «основной» (выпиливаемый из брусовой части) для пиломатериала г € Ь (1 — «основной», 0 — иначе);

пъ - минимальная доля объема «основных» пиломатериалов;

п\ - максимальный процент выхода пиломатериала г € Ь из боковой части;

т" - минимальный суммарный объем поставов.

Прочие величины:

/ - штраф за невыполнение ограничения на объем выпуска пиломатериала г € Ь; ¡т - штраф за невыполнение ограничения на производительность линии лесопиления т € М.

Неизвестные величины:

ху - объем бревен, которые необходимо распилить по поставу ] € С; ¿1 - величина отклонения от нижней границы объема выработки пиломатериала г € Ь;

¿и - величина отклонения от верхней границы объема выработки пиломатериала г € Ь;

¿е - максимальная загруженность линий лесопиления (для равномерной загруженности);

¿т - величина отклонения от нижней границы производительности линии т € М;

¿т - величина отклонения от верхней границы производительности линии т € М.

Целевая функция имеет следующий вид в случае ограничения по объемам на линии лесопиления:

Е Е а,1 ху - е /1 (¿и+¿г) - Е ¡т (¿т+¿т) ^ тах (1)

зео геь геь тем

либо в случае использования равномерной загруженности линий

EE ai'j хз & d+- v°dc ^ max • (2)

jeC ieL ieL

Ограничение на объем выпускаемых пиломатериалов

vP < Е aijxj + dU - di < vq, i e L. (3)

jeo

Ограничение на запасы имеющегося лесосырья

Y^dwjXj < vbw, w e W. (4)

jeo

Ограничение на загруженность линий лесопиления по объемам

vdm < E hm,jXj + dbm - dtm < vm, m e M, (5)

jeo

либо в случае использования равномерной загруженности линий лесопиления

E hmjxj - dc < 0, m e M. (6)

jeo

Ограничение на минимальный объем планирования

Е Xj > wv. (7)

jeo

Ограничение на объем «основных» пиломатериалов

ЕЕaij U - h) Xj < 0. (8)

jeo ieL

Ограничение на объем пиломатериалов, выпиливаемых из боковой части:

ЕЕ aijj (bsi,j - us) Xj < 0. (9)

jeo ieL

Критерий массовости производства

Xj e {0} и [r, (10)

Матрица ограничений задачи планирования лесопильным производством схематически представлена на рис. 1.

Задача с целевой функцией (1) или (2), а также с ограничениями (3)-(9) является задачей линейного программирования [4], где матрица раскроев есть генерируемая матрица (полное описание решения задачи построения матрицы раскроев описано в статье [5]). Для ее решения используется симплекс-метод с методом генерации столбцов [6]. Далее будет отдельно рассмотрен вопрос, как учитывать ограничение (10), которое выводит данную задачу из класса задач линейного программирования. Похожий класс задач был рассмотрен В. В. Поляковым [7], однако методы, предложенные им не подходят для искомой задачи в силу того, что интервал переменной полубесконечный.

L L M 0 l 1 3 i : N

cost (lxL) <x Ж i м | i (lxN) j

up bound

M (Ш) \ \ \ i \ \

L < M (Lxl)

W < M (Wxl)

M < MS (lxl)

1 MS (ixl) < 55

1 55 = MS

i i i i ! ! ! \

low bound

Рис. 1. Матрица ограничений задачи планирования лесопильным производством

Ограничение массовости производства. При решении задачи возникла проблема: симплекс-метод довольно часто находит поставы с маленьким объемом для достижения оптимального результата, но на производстве такое недопустимо, поскольку переналадка от одного постава к другому занимает определенное время. Для решения этой проблемы добавляется ограничение (10), которое выводит задачу за рамки линейного программирования.

Данная задача может быть решена методом ветвей и границ [8], однако при его практической реализации было выяснено, что он не подходит в силу следующих обстоятельств:

1) длительного времени работы этого метода. При тестировании были применены различные эвристики для оценки, по какой ветке следует идти (либо х^ = 0, либо х2 ^ г), но существенного ускорения не наблюдалось, поскольку поиск первого решения требует длительного времени, а метод оценок выгодности ветки используется в случае, когда получено хотя бы одно решение. Для сравнения - предложенный автором метод работает порядка 5-10 с для расчета одного плана, а метод ветвей и границ, в зависимости от минимального объема одного постава г, может работать от нескольких часов до нескольких дней;

2) результирующий план (который может быть найден за время порядка от нескольких минут до нескольких часов) часто содержит много поставов объема г, что теоретически может быть оптимально, но на производстве такое дробление может оказаться недопустимым.

Поэтому был разработан следующий метод: решается задача без ограничения (10), затем удаляется постав минимального объема, для которого не выполнено ограничение на минимальный объем выпуска, и далее снова осуществляется поиск решения с использованием только тех поставов, которые были найдены на предыдущем шаге. В случае, когда мы имеем недопустимое решение, то добавляем К наилучших по целевой функции поставов (которые генерируются отдельным методом),

и данную операцию проводим не более чем Р раз. При таком подходе получается, что в некоторых случаях сбалансированного плана может не оказаться, а будет только приближенный. Однако важными преимуществами данного подхода являются скорость, простота реализации и практическая применимость (рис. 2).

Рис. 2. Алгоритм решения задачи с ограничением массовости производства

Примечание 1. Под допустимостью решения понимается допустимость без учета штрафных переменных /г1 и /т.

Теорема. Алгоритм заканчивает работу за конечное число шагов, и в результате будет найдено решение (возможно недопустимое) при условии, что

> г (11)

М

(г, как правило, менее 1% от общего объема), где М - количество строк матрицы ограничений задачи (3)-(9).

Доказательство. Из неравенства (11) по принципу Дирихле [9] следует, что среди поставов xj найдется хотя бы один, для которого выполнено ограничение xj ^ r. Далее на каждой итерации исключается один из поставов, а поскольку дополнительно в ходе работы алгоритма будет добавлено не более чем P х K поставов, следовательно, алгоритм сходится за конечное число итераций. □

Однако на практике выявлено, что алгоритму требуется всего 1-3 итерации, и в большинстве случаев план получается сбалансированный в силу следующих причин:

1) ограничения на пиломатериалы являются гибкими, т. е. не строгое требование «выпустить 100 м3», а «выпустить от 90 до 110 м3»;

2) один и тот же пиломатериал часто присутствует в большом количестве поставов;

3) за счет эвристики «добавление максимальных поставов» часто удается найти допустимое решение, благодаря перекомбинации объемов с новыми поставами.

Было произведено тестирование алгоритма на реальных планах комбинатов (порядка 50 планов) с различными значениями минимального объема одного постава r. Сравнение было произведено с верхней оценкой целевой функции для случая r = 0 (релаксированная задача). Представим результаты сравнения (в качестве значений таблицы брались усредненные показатели):

r ..................................................50 100 150 200 250 300 350 400 450

Отклонение от

целевой функции

релакс. задачи, % 0.008 0.048 0.062 0.105 0.100 0.078 0.244 0.280 0.365

Примечание 2. На некоторых планах был обнаружен следующий эффект: после добавления условия на r > 0 алгоритм находил план с лучшей целевой функцией, но с незначительными (сотые доли процента) отклонениями от объема пиломатериалов.

Примечание 3. В случае больших r (^ 200) на планах, где выдавалось значительное отклонение от величин целевой функции релаксированной задачи, был запущен метод ветвей и границ, который находит строго оптимальное решение задачи. Результат сравнения с предложенным автором алгоритмом показал, что полученное отклонение - порядка 0.01%.

Система планирования лесопильного производства. Пользовательский интерфейс системы «Планирование лесопильного производства» позволяет осуществлять ввод исходных данных, расчет оптимального плана выработки продукции в течение заданного промежутка времени, а также формировать различные отчеты. В системе реализованы разные справочники - пиловочник, сортировочные группы, линии лесопиления, пиломатериалы и пр. Для ввода исходных данных, расчета плана и просмотра/редактирования списка поставов реализован удобный пользовательский интерфейс (рис. 3). Система выполнена как stand alone приложение, а также как облачный сервис (SaaS), поскольку это относится к перспективным направлениям развития программных систем [10].

Заключение. В статье приводится описание одной из задач, которая возникла при разработке и практической реализации системы планирования лесопильным производством. Поскольку объемы древесины, перерабатываемой лесопильным предприятием в течение месяца, составляют десятки тысяч кубометров, увеличение полезного выхода продукции даже на несколько процентов является актуальной

со о

Main

Name i Apn'l plan Volumetric table i GOST 2708-75

Date

i 4/4/2013 Cale type

: Cale sawing patterns

Summary

Profit (r.) i 350.751,000 ! Volume (m3)

Energy (r.) : ¿,877,547 ; Basic timber (%)

Chip (r.) i 128,919,787 j Output SF (%)

172,387.43:

81.13

0.00

апппк - 3.s % Sawdust -16.4!

1

(§) Add new item i

Line Line 1

Wood Pine

Drag and drop timber

Sort group i Volume (m3) 26 15984

Delta (r./m3) 875

Actions 0 Edit X Delete j

Line 1 ; Pine 28 i 11088 964 0 Edit X Delete

Line 1 Pine 30 8208 1,119 | 0 Edit ^^^^^

Line 1 i Pine 32 5616 1,175 0 Edit X Delete

Line 1 Pine 34 3024 1,173 ! 0 Edit ! X Delete |

Line 1 i Pine 36 1584 1,122 ! 0 Edit X Delete

Line 1 Pine 38 576 976 0 Edit . X Delete ..

Рис. 3. Форма просмотра и редактирования плана, вкладка со списком поставов

и востребованной задачей. Программная система была апробирована на реальных данных ООО «Медвежьегорский лесозавод», ООО «Сокольский ДОК», ЗАО «Соло-менский лесозавод», ООО «Устьянский ЛПК», а также успешно внедрена на ЗАО «Соломенский лесозавод». Для сравнения решений, полученных в результате работы предложенной системы, были сгенерированы более чем 12 планов работы завода на каждый месяц, составленных специалистами заводов с учетом имеющихся ресурсов и заказов. Для планов, рассчитанных программной системой (за 5-10 с), экономический эффект составил порядка 1-2% в месяц, что для крупных предприятий может составлять порядка 0.5 млн р. При этом специалисты заводов подтвердили приемлемость всех полученных поставов и выполнение всех прочих требований.

Литература

1. Воронин А. В., Кузнецов В. А., Шабаев А. И., Архипов И. В., Кашевник А. М. Разработка и реализация системы планирования лесопильным производством // Труды С.-Петерб. ин-та информатики и автоматики РАН. 2012. С. 400—415.

2. Урбан А. Р., Кузнецов В. А Математические модели и методы учета сроков продукции в задаче раскроя тамбуров бумагоделательных машин // Учен. зап. Петрозаводск. гос. ун-та. 2014. Вып. 4 (141). С. 81-84.

3. Соболев И. В. Управление производством пиломатериалов. М.: Лесная пром-сть, 1981. 184 с.

4. Канторович Л. В., Залгаллер В. А. Рациональный раскрой промышленных материалов. Новосибирск: Наука, 1972. 300 с.

5. Архипов И. В. Математические модели раскроя лесосырья в задачах планирования и управления лесопильным производством // Учен. зап. Петрозаводск. гос. ун-та. 2013. Вып. 8 (137). С. 93-97.

6. Кузнецов В. А. Задачи раскроя в целлюлозно-бумажной промышленности. СПб.: Изд-во С.-Петерб. лесотехн. академии, 2000. 132 с.

7. Поляков В. В. Решение задачи линейного программирования с интервальными переменными методом локального поиска // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2008. Вып. 2. С. 23-29.

8. Land A. H., Doig A. G. An Automatic Method of Solving Discrete Programming Problems // Econometrica. 1960. Vol. 28, N 3. P. 497-520.

9. Виноградов И. М. Дирихле принцип, ящики // Математическая энциклопедия: в 5 т. М.: Сов. энциклопедия, 1982. Т. 2. 552 с.

10. Богданов А. В., Е. Мьинт Найнг. Сравнение нескольких платформ облачных вычислений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 2. С. 102-110.

References

1. Voronin A. V., Kuznecov V. A., Shabaev A. I., Arhipov I. V., Kashevnik A. M. Razrabotka i realizacija sistemy planirovanija lesopil'nym proizvodstvom (Development and implementation of software system of sawmill planning). Trudy S.-Peterb. in-ta informatiki i avtomatiki RAS, 2012, pp. 400415.

2. Urban A. R., Kuznecov V. A Matematicheskie modeli i metody ucheta srokov produkcii v zadache raskroja tamburov buma,god,ela,tel'nyh mashin (Mathematical model and methods of accounting of terms of production in task of drum cutting of paper machine). Uchenye zapiski Petrozavodsk State University, 2014, issue 4 (141), pp. 81-84.

3. Sobolev I. V. Upravlenie proizvodstvom pilomaterialov (Production management of timber). Moscow: Lesnaja prom-st', 1981, 184 p.

4. Kantorovich L. V., Zalgaller V. A. Racional'nyj raskroj promyshlennyh materialov (Rational cut of industrial materials). Novosibirsk: Nauka, 1972, 300 p.

5. Arhipov I. V. Matematicheskie modeli raskroja lesosyr'ja v zadachah planirovanija i upravlenija lesopil'nym proizvodstvom (Mathematical models of wood sawing in problems of planning and management of sawmilling industry). Uchenye zapiski Petrozavodsk State University, 2013, issue 8 (137), pp. 93-97.

6. Kuznecov V. A. Zadachi raskroja v celljulozno-bumazhnoj promyshlennosti (Problems of cutting in pulp and paper industry). St. Petersburg: Izd-vo S.-Peterb. lesotehn. akademii, 2000, 132 p.

7. Poljakov V. V. Reshenie zadachi linejnogo programmirovanija s interval'nymi peremennymi metodom lokal'nogo poiska (Solving of linear programmin problem with interval variables using local

search method). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2008, issue 2, pp. 23—29.

8. Land A. H., Doig A. G. An Automatic Method of Solving Discrete Programming Problems. Econometrica, 1960, vol. 28, no. 3, pp. 497-520.

9. Vinogradov I. M. Dirihle princip, jashhiki (Dirichle, principle, boxes). Matematicheskaja jenciklopedija: in 5 vol. Moscow: Sov. jenciklopedija, 1982, vol. 2, 552 p.

10. Bogdanov A. V., E. M'int Najng. Sravnenie neskol'kih platform oblachnyh vychislenij (Comparison of several platforms of cloud computing). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2013, issue 2, pp. 102-110.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 3 апреля 2013 г.