CC BY
15
DOI: 10.15514/ISPRAS-2021-33(5)-14
Математические модели и методы расчета процессов, сопровождающих обледенение летательного аппарата
u И.А. Амелюшкин, ORCID: 0000-0002-4281-3531 <Amelyushkin_Ivan@mail.ru> 2М.А. Кудров, ORCID: 0000-0003-2056-1932 <MKudrov@mail.ru> 2А.О. Морозов, ORCID: 0000-0003-4620-9662 <Morozov.AO@phystech.edu> uА.С. Щеглов, ORCID: 0000-0002-0669-3392 <Shcheglov@phystech.edu> 1 Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского, 140180, Россия, г. Жуковский, ул. Жуковского, д. 1 2Московский физико-технический институт, 141701, Россия, Долгопрудный, Институтский пер., д. 9
Аннотация. Исследование режимов обледенения ЛА, при которых необходимо учитывать эффект дробления капель, представляет большой интерес при расчетах обледенения летательных аппаратов, оптимизации гидрофобных и противообледенительных свойств покрытий и актуально в ряде других практических приложении. Большой практической значимостью является разработка высокопроизводительных методов расчета взаимодействия аэрозольных течений с твердым телом. Данная работа посвящена развитию модели динамики частиц, а также модели дробления переохлажденных капель аэрозольного потока при его взаимодействии с поверхностью обтекаемого тела. Развитые физико-математические модели могут быть использованы в программных комплексах численного моделирования обледенения летательных аппаратов.
Ключевые слова: переохлажденные капли; несферические кристаллы; хаотизация; дробление; льдофобные покрытия.
Для цитирования: Амелюшкин И.А., Кудров М.А., Морозов А.О., Щеглов А.С. Математические модели и методы расчета процессов, сопровождающих обледенение летательных аппаратов. Труды ИСП РАН, том 33, вып. 5, 2021 г., стр. 237-248. DOI: 10.15514/ISPRAS-2021-33(5)-14.
Благодарности: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 19-29-13016).
Mathematical models and methods of numerical investigation of processes which accompany aircraft icing
uI.A. Amelyushkin, ORCID: 0000-0002-4281-3531 <Amelyushkin_Ivan@mail.ru> 2M.A. Kudrov, ORCID: 0000-0003-2056-1932 <MKudrov@mail.ru> 2A.O. Morozov, ORCID: 0000-0003-4620-9662 <MorozovAO@phystech.edu> uA.S. Sheglov, ORCID: 0000-0002-0669-3392 <Shcheglov@phystech.edu > 1 Central Aerohydrodynamic Institute, 1, Zhukovskogo st., Zhukovsky, 140180, Russia. 2 Moscow Institute of Physics and Technology, 9, Insitutskyper., Dolgoprudny, 141701, Russia
Abstract. The study of aircraft icing modes, in which it is necessary to take into account the effect of droplet crushing, is of great interest in calculating the icing of aircraft, optimizing the hydrophobic and anti-icing properties of coatings, and is relevant in a number of other practical applications. Of great practical importance is the development of high-performance methods for calculating the interaction of aerosol flows with a solid. This work is devoted to the development of a model of particle dynamics, as well as a model of fragmentation of supercooled droplets of an aerosol flow during its interaction with the surface of a streamlined body. Developed physical and mathematical models can be used in software systems for numerical modeling of aircraft icing.
Keywords: supercooled drops; non-spherical crystals; chaos; splash; ice-phobic coatings
For citation: Amelyushkin I.A., Kudrov M.A., Morozov A.O., Shcheglov A.S. Mathematical models and methods of numerical investigation of processes which accompany aircraft icing Trudy ISP RAN/Proc. ISP RAS, vol. 33, issue 5, 2021, pp. 237-248 (in Russian). DOI: 10.15514/ISPRAS-2021-33(5)-14
Acknowledgements. The work is supported by Russian Foundation of Fundamental Research (project No 1929-13016).
1. Введение
Исследование взаимодействия многофазных потоков с обтекаемыми телами - одна из актуальных задач аэрогидромеханики. Это обусловлено широким кругом явлений, возникающих в технических приложениях, в частности в задачах противодействия обледенению, управления тепломассообменом и при визуализации процессов в аэрогидродинамических установках. Присутствие дисперсной примеси даже в малых количествах зачастую приводит к существенным изменениям характеристик физического процесса, в частности к существенному снижению аэродинамического качества и повышению веса при обледенении. Исследование режимов обледенения ЛА, при которых необходимо учитывать эффект дробления капель представляет большой интерес при расчетах обледенения летательных аппаратов, оптимизации гидрофобных и противообледенительных свойств покрытий и актуально в ряде других практических приложении.
К основным физическим проблемам и задачам фундаментальных исследования обледенения следует отнести: 1) моделирование и управление взаимодействием воды и льда с поверхностью; 2) описание процессов, сопровождающих кристаллизацию переохлажденных метастабильных капель: преодоление потенциальных барьеров, поток энергии на межфазной границе и образование кристаллов при прохождении фронта кристаллизации; 3) описание движения кристаллов сложной формы и их взаимодействия с твердым телом; 4) реологические особенности пленки, содержащей кристаллы; 5) механизмы абляции и эрозии льда в потоке.
Создание высокопроизводительных методов расчета взаимодействия аэрозольных течений с твердым телом представляет большой практический интерес в задачах противодействия обледенению летательных аппаратов [1, 2]. Стохастические процессы, возникающие при движении частиц, и дробление капель о поверхность летательного аппарата могут существенно повлиять на процесс обледенения.
Данная работа посвящена развитию модели динамики частиц [3, 4], а также модели дробления переохлажденных капель аэрозольного потока при его взаимодействии с поверхностью обтекаемого тела. Развитые физико-математические модели могут быть использованы в программных комплексах численного моделирования обледенения летательных аппаратов.
2. Модель динамики частиц с учетом влияния стохастических процессов
При Лагранжевом рассмотрении движении частиц в задачах обледенения можно использовать модель сферической частицы. Сила, действующая на частицу может быть описана формулой:
7 1 2 |V |V , Ра dV ,21- f 1 dVP,g(T)
= - - eDna^pa \VpA |Vp,a + mpg - - ma - 6a^npaJ ———,
где Ур - скорость частицы, Уй - скорость среды в текущей точке нахождения частицы, Ур,й -скорость частицы относительно среды (индексы a и p относятся к воздуху и частице, соответственно); Св - коэффициент сопротивления частицы, зависящий от режима ее
4 о
обтекания - главным образом от чисел Рейнольдса и Маха. тр = рр- пар - масса частицы; ар - объемноэквивалентный радиус частицы; £ - текущее время; рр - плотность частицы; ра - плотность среды; ц.а - вязкость газа.
Первое слагаемое в (1) соответствует силе аэродинамического сопротивления, второе - силам тяжести, третье - силе Архимеда ^ - вектор ускорения свободного падения), четвертое -
силе, обусловленной наличием «присоединенной» массы (здесь та = тр —), пятое -
Рр
«наследственной» силе Бассе. Как показывают оценки, в случае газового аэрозольного потока ввиду различия на три порядка плотностей газа и твердых частиц (капель) значимы только первое и второе слагаемое.
После принятых допущений сила, действующая на сферическую частицу, примет следующий вид:
1 ,11
рр = -2С0ПарРа\Ур,а\Ур,а + тр&
Большой интерес также представляет случай кристаллического обледенения. Кристаллы, в отличие от капель, характеризуются большим разнообразием форм. В качестве характерной формы можно рассмотреть сфероид (эллипсоид, две полуоси которого равны). В отличие от частиц сферической формы, для сфероидов следует учитывать подъемную силу, а также наличие вращательного момента силы. В таком случае уравнения динамики частицы примут вид:
dV„ 1 , \9l|2 1 f \ T \ 2
mp—=--CD(a,Rep,E)na2pa\Vpal eD + -CL(a,Rep,E)na£pa\VpAl eL+mpg
2
d^^ 1 . ,2n(2ari) , N
Ipc-^r^PaKJ У JJ CT(a,Rep,E)e7
•рс ^ 2 р,а\ 8
-Т^- = V
<и = шр
Здесь гр - радиус-вектор положения частицы в неподвижной системе координат; др - угол между осью симметрии частицы и осью х неподвижной системы координат (рис. 1); 1рс -момент инерции частицы относительно оси 7, проходящей через центр масс частицы; шрс -
Г, а
проекция угловой скорости вращения частицы на ось г; Е = - - удлинение частицы; а - длина главной полуоси частицы; Ъ - длины боковых полуосей частицы; ев, ет, еь - единичные направляющие вектора; Св, Ст, Сь - коэффициенты силы лобового сопротивления, подъемной силы и вращательного момента соответственно, зависящие угла атаки частицы а, от числа
Рейнольдса обтекания частицы Re„ = Райр]/р'а и ее удлинения Е; - динамическая вязкость среды.
Для моделирования СВ,СТ, Сь можно использовать зависимости, полученные на основе численного моделирования в работах авторов Фролиха (РгоЬИсЬ), Сандживи (8ащееуу), Заставни (Zastawny), Шиллера и Науманна (8сЫ11ег&№итапп) [5-8] (рис. 1).
Рис. 1. Основные величины для сфероидной частицы Fig. 1. Scheme of the main forces acting on a spheroid particle near a streamlined body
В процессе движения частица может испытывать стохастическое влияние следующих видов (рис. 2):
• турбулентные пульсации потока;
• броуновское движение малых частиц и молекул;
• стохастические эффекты при столкновении частиц друг с другом и с обтекаемым телом;
• эффекты неоднородности и нестационарности электромагнитного поля.
Рис. 2. Схема движения частицы аэрозольного потока. Здесь F - сила, V- скорость, S - малая величина, индексы p - частица, Turb - турбулентный, Br - броуновское, Det - детерминистический Fig. 2. Aerosol flow particle motion diagram. Here F is the force, V is the velocity, S is a small value, the subscripts p is a particle, Turb is turbulent, Br is Brownian, Det is deterministic.
Оценим вклады различных типов стохастического влияния. Отношение характерных величин скоростей турбулентных и тепловых пульсаций можно оценить следующим образом:
\
(^турб)
(^тепл) д
12(иаш)28ррпа^
9кТ
Для ледяных частиц с плотностью рр = 920, диаметром <1р = 260 мкм, при скорости потока {иат) = 9м, интенсивности турбулентных пульсаций I = 0.05 и температуре Т =
268К имеем 1-^=106.
В практических задачах массовое содержание частиц имеет порядок десятка г/м3. Объемная доля частиц в таком случае составляет порядка 10 5, что позволяет пренебречь взаимодействием частиц [9].
Таким образом, из всех стохастических механизмов наиболее существенным оказывается наличие турбулентных пульсаций потока. Классический подход исследования турбулентности заключается в представлении параметров потока в каждой точке пространства в виде суммы среднего значения и мгновенной пульсационной составляющей:
Уа(г, 0 = {Уа(г,0> + У'а(г,{). При использовании моделей к — £ и к — ш с помощью ЯА^-уравнений вычисляется среднее поле скорости {Уа(г,С)) (Уа(г,/)) и моделируются характеризующие турбулентность
величины к,£,ш. к=-{Уа1Уа1) представляет собой удельную кинетическую энергию турбулентных пульсаций и характеризует средний квадрат пульсаций скорости в данной точке пространства. Часть информации о турбулентной скорости газа при усреднении теряется. Необходима модель для генерации пульсационной скорости.
Предполагая локальную изотропность пульсаций скорости, рассмотрим одну компоненту пульсационной скорости движения частицы среды. Воспользуемся описанием движения с помощью уравнения Ланжевена:
dt
V'(t + dt) = V'(t) + V'(t)~-+
*СОГГ д
2<52
dW(t), (2)
Т
1 corr
где о = ^(У2) = - среднеквадратическое значение компоненты пульсационной
скорости в данной точке пространства; дШ(Ь) - Гауссов белый шум с дисперсией dt и нулевым средним, Тсогг - локальный временной масштаб турбулентности, который из соображения размерностей моделируется в виде: Тсогг = С - где С - эмпирическая константа.
Уравнение (2) содержит как демпфирующее слагаемое, вызванное трением о соседние слои жидкости, так и слагаемое, моделирующее стохастические импульсы. Уравнение (2) преобразуется к дискретной форме для конечных величин А£:
У'(С + АС) = У(С)П1(АС) + о^^1—Й2(АС), (3)
где Rl(At) = (У (^ = ехр(—А1/ТС0ГГ) - Лагранжева автокорреляционная функция
пульсационной компоненты скорости; N(0.1).
3. Результаты моделирования движения несферических частиц вблизи тела
Моделируются ледяные частицы (рв = 917■кг) вблизи цилиндра диаметром Б = 315 мм при
г —3
скорости потока воздуха Уат =9 - и температуре Т = 268К. Интенсивность турбулентных пульсаций на левой границе задана равной 1 = 5%. Данные условия были выбраны в соответствии с экспериментальными данными [10]. Расчет аэродинамических полей вблизи цилиндра осуществляется с использованием модели турбулентности 88Т. Вязкость воздуха вычисляется по формуле Сазерленда.
Интерес представляет интегральная характеристика взаимодействия частиц с поверхностью:
П =Т—^
Щпс
где Ш1тр - масса частиц, сталкивающихся с поверхностью тела, в единицу времени; щпс -масса частиц, проходящих в единицу времени через поверхность, ширина которой равна ширине тела (красная поверхность на рис. 3). На рис. 3 расчетная область обозначена пунктирной линией, а частицы - зелеными точками. Также на рис. 3 показано каким образом определяется угол попадания частицы 6.
Рис. 3.Схемарасчетной области Fig. 3. Scheme of the computational domain Результаты моделирования с различными моделями расчета аэродинамических коэффициентов приведены на рис. 4. Видно, что п зависит от отношения больших полуосей сфероидов Е для цилиндра D = 315 мм. Результаты моделирования показывают, что как наличие удлинения у частиц (Е > 1), так и наличие сплюснутости (Е > 1) приводит к дополнительному рассеянию, вызванному несферичностью частицы. Максимум п
наблюдается для сферических частиц. Максимум величины п наблюдается для сферических частиц (Е > 1) и совпадает с [10] при использовании моделей Шиллера-Науманна и Фролиха.
Рис. 4. Результаты моделирования величины п в зависимости от удлинения сфероидов E для цилиндра
D=315 мм
Fig. 4. The results of modeling the value of п depending on the elongation of the spheroids E for the cylinder
D = 315 mm
На рис. 5 представлены траектории сферических частиц с диаметром Dp = 3 — мкм с учетом влияния на них турбулентных пульсаций и без учета последних. Для наглядности на этом же рисунке приведено поле скорости (Va).
Рис. 5. Траектории частиц вблизи цилиндра Fig. 5. Particle trajectories near the cylinder
На рис. 6 приведена зависимость предельного угла попадания Qmax частиц на поверхность цилиндра от числа Стокса StkM = . Число Стокса варьировалось путем изменения
диаметра частиц dp. Учет стохастического влияния турбулентных пульсаций приводит к увеличению QmaX.
Рис. 6. Зависимость максимального полярного угла попадания частиц на поверхность втах от числа Стокса Stk^ с учетом влияния турбулентности (синие точки) и без учета (красные точки) Fig.6. Dependence of the maximum polar angle ofparticle hitting the surface втах on the Stokes number Stk^ taking into account the effect of turbulence (blue points) and not taking into account (red points)
4. Модели дробления капель при соударении с поверхностью
При значительном отличии счетной концентрации ввиду отличия количества капель, которые моделируют брызги, распределения массовых концентраций капель практически не отличаются при N > 5. Таким образом, оптимальное значение N около 5. При расчете использовались следующие параметры: ар = 50 мкм; начальное число частиц Np = 200000; радиус цилиндра R = 0.1 м; Vam = 100 М; давление атмосферное; температура Т =
263К. Распределение толщины пограничного слоя 5 вблизи обтекаемого аэрозольным потоком поперечного цилиндра можно оценить на основании следующего хорошо согласующегося с более точным решением уравнений газовой динамики выражением 5(s) =
50 (l + ), здесь s - координата на поверхности цилиндра радиуса R.
yinax
В настоящей работе c учетом зависимости [11] максимальной скорости удара капель —— =
Урю
exp(-1/4StkM) получен критерий режима дробления капель аэрозольного потока который обтекает крыло летательного аппарата с характерным радиусом кривизны профиля R:
_ Wen _ 2арррУ^п _ 2apppv£ -2Stkl~
G G
где Vpm - скорость капли вдали от обтекаемого тела с характерным радиусом кривизны передней кромки R.
Если значение К > 1 при обтекании тела, капли аэрозоля будут дробиться при ударе о
поверхность. Здесь учтена зависимость числа Вебера Ven = PpdpVpn удара капли по нормали
к поверхности тела от числа Стокса StkM, рассчитанное по нормальной компоненте скорости удара, Oh = - - число Онезорге, av - коэффициент поверхностного натяжения
жидкости.
Зная скорость подлета V0 и отскока VRebound капли, конечную и начальную массы капли т0 и raRebound, а также массу брызг raSplash, скорость последних можно найти согласно следующему выражению:
m0V0 — ^Rebound^Rebound
^Splash —
mSplash
Рис. 7. Визуализация поведения капель при их дроблении для различных значений N: 1) N = 2; 2) N = 5;
3) N = 10
Fig. 7. Visualization of the behavior of drops during their crushing for different values of N: 1) N = 2; 2)
N = 5; 3) N = 10
Поскольку капля дробится на колоссальное количество брызг, в настоящей работе брызги моделировались набором одинаковых более мелких частиц, суммарный импульс которых рассчитывался в соответствии с изменением массы и скорости удара капли о поверхность. Направления разлета брызг - равновероятные в полусфере, которая перпендикулярна поверхности обтекаемого тела. В расчетах предполагалось, что если размер капли уменьшается на 99 %, то считается, что капля полностью распалась при ударе на брызги. В расчетах предполагалось, что брызги моделируются заданным количеством N отдельных капель массой ra'Splash = mSplash/N, разлетающихся под произвольными углами в полупространстве, ограниченном касательной плоскостью к точке удара о поверхность обтекаемого тела.
На рис. 7 показана визуализация изменения размеров капель при их взаимодействии с цилиндром в воздушном потоке. Поскольку размеры капель на 5-6 порядков меньше радиуса цилиндра, на рисунке их размеры увеличены в 104 раз. Из рисунка видно, что качественно распределения частиц в пространстве отличаются незначительно. Наибольшие отличия вблизи поверхности тела, т.к. мелкие брызги в силу малости их инерции и времени релаксации быстро увлекаются потоком и сносятся вниз по течению. Влияние количества капель на распределение массовой концентрации незначительное.
На рис. 8 показано интегральное значение разницы концентраций вблизи обтекаемого тела. Под счетной концентрацией частиц понимают их количество в единице объема, под массовой - массу частиц в единице объема. Область интегрирования: х 6 [-2R, 0],у Е [-2R,2R], R -радиус цилиндра. Значения объемных концентраций нетрудно получить, домножив значения массовой концентрации на плотность материала частиц.
Рис. 8. Интегральная разность концентраций капель: а) счетной, б) массовой. Внизу показаны зависимости разности концентраций от максимального значения числа Вебера: входящая в выражение для числа максимальная скорость удара капель о поверхность зависит от числа Стокса Fig. 8. Integral difference of droplet concentrations: a) countable, b) mass. Below are shown the dependences of the concentration difference on the Maximum Weber number: the maximum velocity of droplet impact on the surface included in the expression for the number depends on the Stokes number
5. Заключение
Исследовано и иллюстративно показано влияние формы частиц на коэффициент их захвата поверхностью в приложении к задачам расчета обледенения летательных аппаратов. Приведены оценки характеристик основных механизмов стохастического движения тел в неоднородных средах. Показано, что учет стохастического влияния турбулентных пульсаций приводит к увеличению предельного угла попадания частицы на поверхность. Сформулирован критерий режима дробления соударяющихся с поверхностью капель, зависящий от параметров аэрозольного потока для оценки наличия дробления при обтекании тела при заданных параметрах. Показано влияние дробления капель на интегральную разницу в распределении массовой и счетной концентраций капель. Представленные в работе результаты аналитических и численных исследований могут быть использованы в расчетах обледенения и послужить основой в задачах противодействия этому явлению.
Список литературы / References
[1] Амелюшкин И.А., Кудров М.А. и др. Модели процессов, сопровождающих кристаллизацию переохлажденных капель. Труды ИСП РАН, том 32, вып. 4, 2020 г., стр. 235-244 / Amelyushkin I.A., Kudrov M.A. et al. Models of processes accompanying crystallization of supercooled metastable droplets. Trudy ISP RAN/Proc. ISP RAS, vol. 32, issue 4, 2020. pp. 235-244 (in Russian). DOI: 10.15514/ISPRAS-2020-32(4)-17.
[2] Кашеваров А.В., Стасенко А.Л. Взаимодействие частиц различной формы с несущим континуальным потоком (обзор). Ученые записки ЦАГИ, том XLV, вып. 5, 2014 г., стр. 3-17 / Kashevarov A.V., Stasenko A.L. Interaction of particles of various shapes with a carrying continuous flow (review). TsAGI Scientific Notes, vol. XLV, issue 5, 2014, pp. 3-17 (in Russian).
[3] Амелюшкин И.А., Стасенко А.Л. Стохастика и детерминизм движения капель воды в переохлажденном аэрозольном потоке, обтекающем твердое тело. Вестник МГОУ, серия 'Физика-математика', no. 4, 2014 г., стр. 61-69 / Amelyushkin I.A., Stasenko A.L. Stochastics and determinism of water droplet motions in a supercooled aerosol flow which circumfluents a solid body. Bulletin MSRU, series Physics and Mathematics, no. 4, 2014, pp. 61-69 (in Russian).
[4] Кашеваров А.В., Стасенко А.Л. Дискретно-капельный режим образования льда. Журнал технической физики, том 90, вып. 1, 2020 г., стр. 46-52 / Kashevarov A.V., Stasenko A.L. Discrete-Drop Mode of Ice Accretion on a Cylinder in Transverse Supercooled Flow. Technical Physics, vol. 65, issue 1, 2020, pp. 41-47.
[5] Fröhlich K., Meinke M., and Schröder W. Correlations for inclined prolates based on highly resolved simulations. Journal of Fluid Mechanics, vol. 901, 2020, article A5.
[6] Zastawny M., Mallouppas G. et al. Derivation of drag and lift force and torque coefficients for non-spherical particles in flows. International Journal of Multiphase Flow, vol. 39, 2012, pp. 227-239.
[7] Schiller L. and Naumann A.: Fundamental calculations in gravitational processing. Zeitschrift Des Vereines Deutscher Ingenieure, vol. 77, 1933, pp. 318-320.
[8] Sanjeevi S.K.P., Kuipers J.A.M., & Padding J.T. Drag, lift and torque correlations for nonspherical particles from Stokes limit to high Reynolds numbers. International Journal of Multiphase Flow, vol. 106, 2018, pp. 325-337.
[9] Pozorski J. Models of Turbulent Flows and Particle Dynamics. In Particles in Wall-Bounded Turbulent Flows: Deposition, Re-Suspension and Agglomeration. CISM International Centre for Mechanical Sciences (Courses and Lectures), vol 571, Springer, 2017, pp. 97-150.
[10] Vigano A. Modélisation numérique et expérimentale des phénomènes de givrage par accrétion de neige collante. Autre. ISAE-ENSMA Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et d'Aérotechique - Poitiers, 2012. 192 p.
[11] Амелюшкин И.А., Миллер А.Б., Стасенко А.Л. Оценка периода шероховатости противообледенительных покрытий тела в потоке воздуха с переохлажденными каплями. Вестник МГОУ, серия 'Физика-математика', no. 1, 2021 г., стр. 54-63 / Amelyushkin I.A., Miller A.B., Stasenko A.L. Estimation of the roughness period of anti-ice body coatings in air flow with supercooled droplets. Bulletin MSRU, series Physics and Mathematics, no. 1, 2021, pp. 54-63 (in Russian).
Информация об авторах / Information about authors
Иван Алексеевич АМЕЛЮШКИН - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЦАГИ и МФТИ, Научные интересы: динамика многофазных сред, высокопроизводительные вычисления, обратные задачи и их приложения, молекулярное моделирование и многомасштабный анализ.
Ivan Alekseevich AMELYUSHKIN - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher at TsAGI and MIPT, Research interests: dynamics of multiphase environments, high performance computing, inverse problems and their applications, molecular modeling and multiscale analysis.
Максим Александрович КУДРОВ - кандидат технических наук, доцент, ведущий научный сотрудник, заведующий лабораторией информационных технологий и прикладной математики МФТИ. Научные интересы: разработка комплекса программ для компьютерного моделирования физических процессов.
Maksim Aleksandrovich KUDROV - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Leading Researcher, Head of the Laboratory of Information Technologies and Applied Mathematics MIPT. Research interests: development of software for computer modeling of physical processes.
Алексей Олегович МОРОЗОВ - инженер МФТИ. Научные интересы: компьютерное моделирование физических процессов, численные методы в задачах аэрогидродинамики.
Alexey Olegovich MOROZOV - engineer at MIPT. Research interests: computer modeling of physical processes, numerical methods in problems of aerohydrodynamics.
Андрей Сергеевич ЩЕГЛОВ - инженер ЦАГИ, аспирант МФТИ. Научные интересы: математическое моделирование физических процессов, численные методы, динамика полета.
Andrey Sergeevich SHCHEGLOV - engineer at TsAGI, post-graduate student at MIPT. Research interests: mathematical modeling of physical phenomena, numerical methods, flight dynamics.
