Научная статья на тему 'Математические модели гемодинамики кровотока с учетом работы распределенного сердца'

Математические модели гемодинамики кровотока с учетом работы распределенного сердца Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
725
120
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
БИОМЕХАНИКА / ГЕМОДИНАМИКА / МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ − СТОКСА / АРТЕРИЯ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Доль Александр Викторович, Гуляев Юрий Петрович

Представлены математические модели движения крови в крупных кровеносных сосудах с учетом работы распределенного сердца. Рассмотрена модель в рамках одномерной теории течения вязкой несжимаемой жидкости. Представлена модель кровотока в трехмерном случае.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

MATHEMATICAL MODELS OF HAEMODYNAMICS WITH TAKING INTO ACCOUNT THE WORK OF A DISTRIBUTED HEART

The paper describes mathematical models of blood flow in large-scale vessels with taking into account the work of a distributed heart. The mathematical model of a viscous incompressible liquid flow is considered. A 3-dimentional mathematical model is described.

Текст научной работы на тему «Математические модели гемодинамики кровотока с учетом работы распределенного сердца»

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 423-424

УДК 539.3

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГЕМОДИНАМИКИ КРОВОТОКА С УЧЕТОМ РАБОТЫ РАСПРЕДЕЛЕННОГО СЕРДЦА

© 2011 г. А.В. Доль, Ю.П. Гуляев

Саратовский госуниверситет им. Н.Г Чернышевского

dzero@pisem.net

Поступила в редакцию 15.06.2011

Представлены математические модели движения крови в крупных кровеносных сосудах с учетом работы распределенного сердца. Рассмотрена модель в рамках одномерной теории течения вязкой несжимаемой жидкости. Представлена модель кровотока в трехмерном случае.

Ключевые слова: биомеханика, гемодинамика, математическое моделирование, уравнения Навье - Сто -кса, артерия.

Основная замкнутая система уравнений течения вязкой несжимаемой жидкости

Вопросы моделирования гемодинамики крупных кровеносных сосудов приобретают в последнее время все большую актуальность. Это связано с медицинскими проблемами реконструкции сосудистого русла при атеросклеротических поражениях и необходимостью прогнозирования возможного поведения сосуда в ближайшие и отдаленные периоды после оперативного вмешательства.

Построим математическую модель динамики кровотока.

Движение крови по сосуду предполагается осесимметрическим, поэтому будем рассматривать его в цилиндрической системе координат. Ось г направляем по оси сосуда, полярную ось г направим по его радиусу. Поле скоростей с компонентами уг, уг зависит от переменных г, г, I.

Уравнения Навье — Стокса в цилиндрической системе координат имеют вид:

Р

-+ V,

дР

дг

+ ц

дґ

(я 2 д V,

дvг

дг

1 ду

+ V,

дуг

~д,

дг

2 г дг

г

ду7 ду7

—-+уг—^ дґ г

дг

+ V,

- -Г+-

г

ду,

д,

дР =------------+ Ц

д,

1 д^7

- + —

дг2 г дг

д(^г) д)

+

д 2 V,

д,2

дг

- + -

д,

= 0,

где р — плотность крови, ц — вязкость крови, Р — давление.

Получим уравнения движения цилиндрической оболочки. На стенки трубы действует трансмуральное давление, состоящее из среднего давления Р0 и пульсационной составляющей Р. Оболочка находится в предварительно натянутом состоянии. Кроме трансмурального давления на стенки действуют силы вязкого трения и силы упругой податливости окружающих сосуд тканей в осевом и радиальном направлении соответственно: У = —К2ы, Р1 = = —к^, к, к — коэффициенты податливости тканей.

В поперечном сечении действует продольная сила: S = 50 + У, где 50 — средняя сила продольного натяжения, У — пульсационная составляющая продольной силы. В окружном направлении на элемент действует поперечная сила натяжения Т = Т0 + Т' , где Т0 — средняя сила поперечного натяжения сосуда, Т' — пульсаци-онная составляющая поперечной силы.

Уравнение изменения количества движения элемента оболочки в осевом направлении имеет вид:

(1)

, д2 и дБ' £0 - Т0 дм

РЪ^Т = ^ +

д,

Я д,

- К2и, (4)

(2)

(3)

где м — радиальное смещение стенки, Я — радиус сосуда.

Уравнение изменения количества движения элемента в радиальном направлении:

д2м Р0 Т' „ д2м „ , ч

pH—— = Р +—м--------------+ 50—— - Клм). (5)

Р ~^2 Я Я 0 *-2 1

дґ2

д,2

Используя закон Гука, получим уравнения для усилий:

Р

S ' = ■

Eh

T ' =

1 -V 2

Eh

1 - V2

du w

— + V—

dx R _

w du

— + v —

R dx

(6)

V — коэффициент Пуассона.

Система (1)—(6) представляет собой замкнутую систему уравнений динамики кровотока в артериальном русле.

Одномерная теория

Для вывода уравнений одномерной теории нужно усреднить уравнения Навье—Стокса по радиусу трубы. Если ввести объемный расход по формуле

Q = | 2nrvzdr,

а также пренебречь конвективной составляющей ускорения частиц жидкости, инерционными силами, действующими на элемент оболочки, из замкнутой системы уравнений (1)—(6) получается более простой вариант системы уравнений динамики кровотока:

dQ R2 dp'

р^^ = -nR -£—

dt dz

Ч Q,

nR 2

dw

~dt

_L dQ

2nR dz ’

S

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

d2w , To T

0 —— + p +—- w---------= 0,

0 dz2 R2 R

(7)

T=

Eh w

1 -V2 Е

Пульсовая волна давления, распространяясь по сосуду, вызывает ответную реакцию мышечных слоев сосудистой стенки. Эта реакция выражается в принудительном продольном растяжении мышечных волокон, которые приводят к дополнительному перемещению сосудистой стенки. В силу наличия вязкости крови, последняя увлекается стенкой. В результате средняя скорость кровотока возрастает. Такую схему взаимодействия стенки сосуда с кро-

вью можно назвать распределенным (вторичным) сердцем.

Из этой системы получается уравнение для объемного кровотока с учетом реактивного перемещения стенок сосуда, возникающего под действием волны давления:

дQ п2 дР 8пц 2

р— --------------^2-пЕ (8)

дґ д, %Е2

где v0 - средняя скорость продольного перемещения стенки сосуда за счет мышечной реакции. Дальнейшая процедура построения решения задачи о пульсации кровотока представлена в работе [1].

Трехмерная теория

В трехмерном случае система уравнений (1)-(6) при определенных упрощениях методом разделения переменных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно амплитуд пульсирующего кровотока. При этом амплитуда продольных скоростей в жидкой части системы будет удовлетворять уравнению Бесселя нулевого порядка:

vz0 +1 v_z0_

dr r dr

/рю

vz0 = 0,

(9)

где Уг0 — проекция скорости течения крови на ось г; ю — круговая частота.

Работа «распределенного сердца» моделируется с помощью функции дополнительных продольных реактивных перемещений стенок сосуда, инициированных пульсовой волной.

Предложенные математические модели динамики кровотока достаточно точно описывают течение крови в сужающихся сосудах и могут применяться для решения задач динамики кровотока в артериальном дереве различной геометрической конфигурации.

Список литературы

1. Гуляев Ю.П., Коссович Л.Ю. Математические модели биомеханики в медицине. Саратов: Изд-во СГУ, 2001. 49 с.

0

MATHEMATICAL MODELS OF HAEMODYNAMICS WITH TAKING INTO ACCOUNT THE WORK

OF A DISTRIBUTED HEART

A. V Dol, Yu.P. Gulyaev

The paper describes mathematical models of blood flow in large-scale vessels with taking into account the work of a distributed heart. The mathematical model of a viscous incompressible liquid flow is considered. A 3-dimentional mathematical model is described.

Keywords: biomechanics, haemodynamics, mathematical modeling, Navier- Stokes, artery.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.