CC BY
6УДК 629.7.08
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ НАБОРОВ СРЕДСТВ И МЕТОДОВ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ СТАРТОВОГО КОМПЛЕКСА
А.М. Астанков;
О.В. Мироненков, кандидат химических наук. Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского. А.В. Вагин, кандидат технических наук, доцент. Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России
Показаны принципиальные подходы к процессу формирования начального состава (набора) средств и методов неразрушающего контроля для проведения диагностических мероприятий на технологическом оборудовании стартового комплекса с определением вероятностных и стоимостных характеристик, планируемых к использованию средств измерения диагностических параметров. На основе оптимизационных алгоритмов методов дискретного программирования, симплекс-метода линейного целочисленного программирования и метода обобщенного понижающего градиента разработаны математические модели для решения задач по формированию оптимальных наборов средств и методов неразрушающего контроля в соответствии с заданной целевой функцией.
Ключевые слова: математические модели, методы неразрушающего контроля, комплексирование, оптимизационные алгоритмы, безопасная эксплуатация технологического оборудования
MATHEMATICAL MODELS FOR FORMATION OF OPTIMAL SETS OF MEANS AND METHODS OF NONDESTRODUCTIVE CONTROL OF TECHNOLOGICAL EQUIPMENT OF THE STARTING COMPLEX
A.M. Astankov; O.V. Mironenkov.
Mozhaisky military space academy named after A.F. Mozhaisky.
A.V. Vagin. Saint-Petersburg university of State fire service of EMERCOM of Russia
The principal approaches to the process of forming the initial composition (set) of means and methods of non-destructive testing for carrying out diagnostic measures on the technological equipment of the launch complex are shown with the determination of the probabilistic and cost characteristics, planned to use the means of measuring the diagnostic parameters. Based on the optimization algorithms of discrete programming methods, the simplex method of linear integer programming and the generalized decreasing gradient method, mathematical models have been developed for solving problems on the formation of optimal sets of tools and methods for non-destructive testing in accordance with a given objective function.
Keywords: mathematical models, non-destructive testing methods, integration, optimization algorithms, safe operation of technological equipment
67
Введение
Комплексирование средств и методов неразрушающего контроля (МНК) при определении технического состояния (ТС) объектов наземной космической инфраструктуры позволяет значительно повысить достоверность контроля их диагностических параметров [1-3], что, в свою очередь, способствует повышению безопасности эксплуатации технологического оборудования (ТО) стартовых комплексов (СК) ракетно-космических комплексов (РКК): снижению рисков возникновения опасных последствий при эксплуатации сложных технических систем наземной космической инфраструктуры.
На рис. 1 представлена зависимость надежности обнаружения аномалии или дефекта (у) у объекта контроля (ОК) от числа (п) используемых МНК (при условии принципиальной возможности их применения для контроля параметров объекта) [1].
1
0.9 0.8 0.7 0.6 >-0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 О
0 1 2 3 4 5
П
Рис. 1. Зависимость надежности обнаружения аномалии или дефекта (у) у ОК от числа (п)
используемых МНК
С другой стороны, при планировании диагностических мероприятий на ТО СК РКК с использованием средств и методов неразрушающего контроля (НК) важно учитывать экономическую составляющую.
На рис. 2 изображена зависимость материальных затрат от числа используемых МНК для выявления дефекта и снижение вероятности «пропуска» дефекта в зависимости от количества МНК [4].
Поэтому, принимая во внимание зависимости, приведенные на рис. 1, 2, при составлении плана проведения диагностических работ следует руководствоваться принципом разумной достаточности, когда количество задействованных для контроля параметров объекта средств и МНК обеспечивает требуемую достоверность определения его ТС в целом, но при этом затраты на проведение работ минимальны.
68
Рис. 2. Соотношение материальных затрат на проведение диагностических работ и вероятности
пропустить дефект
Таким образом, задача комплексирования МНК для выявления фактического ТС ОК является оптимизационной задачей при минимизации целевой функции (стоимости проведения диагностических работ) и ограничениях по достоверности контроля параметров объекта.
Принципиальные подходы к оптимальному комплексированию МНК.
Термины и обозначения
Поскольку результатом оценки достоверности НК является график зависимости вероятности обнаружения дефекта от его размера [4], то под достоверностью контроля параметров ТО следует понимать вероятность выявления (обнаружения) дефекта, которая зависит от технических характеристик прибора НК и условий его применения.
Введем обозначения. Пусть Х={х1, ..., хп} - множество размером п всех доступных МНК, которые могут использоваться для определения ТС исследуемого объекта; т - количество контролируемых параметров объекта; ру - вероятность выявления (обнаружения) дефекта при контроле /-го параметра объекта у'-м МНК из множества X, Су - стоимость использования у'-го МНК из множества X для контроля /-го параметра объекта; С - общая стоимость проведения диагностических мероприятий на ОК; Р - вероятность выявления дефектов при контроле всех критически значимых параметров элементов объекта (при условии независимости контроля данных параметров).
По формуле определяются вероятности выявления дефектов у /-х элементов объекта при совместном применении нескольких МНК:
п
Р. =1 -П(! - р.. )• (1)
}=1
При этом значения р/ являются основными показателями при определении ТС объекта средствами и методами НК, так как по ним можно объективно и адекватно судить о качестве контроля всех критически значимых параметров, а, следовательно, и о качестве выявления ТС всего объекта в целом.
69
В работах [5, 6] основным показателем определения фактического ТС объекта является значение Р, определяемое по формуле:
р = П
г =1
1 -П ( - р„)
j=1
(2)
т
Однако значение Р малоинформативно, чтобы использовать его при оптимальном комплексировании МНК в качестве условия ограничения (Ртр), так как оно в ряде случаев может ввести в заблуждение. Например, пусть имеются два агрегата (объекта) с одинаковым набором МНК (рис. 3). Первый агрегат - с небольшим количеством элементов контроля (3 параметра), а второй - со значительным количеством элементов контроля (9 параметров).
Первые три параметра в обоих агрегатах имеют одинаковые значения р¡. Параметры с 4 по 5 во втором агрегате имеют значения рг не меньше максимального значения рг для первого агрегата, то есть каждый параметр во втором агрегате контролируется не хуже, чем в первом.
Агрегат (объект) 1 Агрегат (объект) 2
Эпенеш контроля мне 1 МНЕ 2 мнез мне 4 мне 5 Р; Элемент контроля мне 1 мне 2 мнез мне 4 мне 5 Р;
Парашетр 1 0:94 0.9 0 0 0 0,994 Параметр 1 0:94 0.9 0 0 0 0,994
Парашетр 2 0.94 0 0 0 0 0,940 Параметр 2 0:94 0 0 0 0 0,940
Парашетр 3 0:94 015 0,9 0 0 0,997 Параметр 3 0.94 015 0,9 0 0 0,997
Рх = 0,93:: Параметр 4 0,5 09 0,9 0 0,7 0,998
Р1>Р2 Параметр 5 0,5 0,7 0,9 0 0,5 0,997
Параметр 6 0:94 0Л 0,9 0,16 0,16 0,997
Параметр 7 0:94 0,5 0,9 0,16 0,16 0,998
Параметр Э 0^5 0,9 0,9 0,7 0 0,998
Параметр 9 0^5 0,5 0,9 0,6 0,7 0,997
Р2 =0,91»
Рис. 3. Вероятностные характеристики для агрегата 1 и агрегата 2
Однако неравенство Р\>Р2 создает обратное впечатление. Это связано с тем, что с увеличением количества контролируемых параметров значение общей вероятности выявления дефектов (Р) уменьшается (свойство умножения чисел меньше нуля). С точки зрения теории вероятностей здесь все верно: чем больше элементов контроля у объекта, тем меньше вероятность выявления дефектов (Р) у данного объекта. С другой стороны, если разбить второй агрегат на три группы (по три параметра в каждой группе), то ситуация изменится: в любой из полученных групп значения вероятностей выявления дефекта (Р2, Р3, Р4) будут не меньше значения вероятности (Р1) для первого агрегата. Такой подход справедлив, поскольку контролю подлежат критически значимые элементы объекта (их физические параметры), то отказ (или пороговый дефект, ведущий к скорому отказу) любого из них грозит срывом плановых пусконаладочных работ, поэтому знание значения рг для каждого контролируемого параметра важнее знания истинного значения Р для всего агрегата. При этом определить приемлемые (требуемые) значения вероятности выявления дефекта (Ртр) для ОК довольно затруднительно (в общем случае у объектов с неодинаковым количеством критически значимых элементов контроля эти значения будут отличаться и, при определенных обстоятельствах, отличаться значительно).
Кроме того, ОК (разной сложности) на СК РКК довольно много. Чтобы оценить вероятность выявления дефектов всего комплекса (Робщ) следует перемножить все Рк ОК, входящих в его состав. При этом значения Робщ для разных СК могут сильно варьироваться
70
в зависимости от количества и вида ОК, что создает определенные трудности в адекватном оценивании качества определения ТС всего комплекса.
Формула (2) справедлива для расчета значения вероятности выявления дефектов ОК только при условии независимости контроля параметров его элементов. Однако на практике это требование выполняется не всегда. Например, при использовании метода виброакустической диагностики часто получают спектральный отклик не от одного элемента контроля, а от совокупности (системы) элементов. При этом эффективно провести декомпозицию сигналов и достоверно локализовать причину неисправности не всегда представляется возможным. Поэтому даже установив факт наличия неисправности в системе контролируемых элементов с высокой достоверностью, но не определив ее причину, нельзя говорить о высоком значении вероятности выявления дефекта для каждого элемента данной системы.
Таким образом, наиболее корректно строить математическую модель оптимального комплексирования исходного набора МНК при проведении диагностических мероприятий на объектах СК РКК, задавая в качестве ограничений значения р/тр вместо значения Ртр, что позволит повысить надёжность принимаемых решений по ТС ОК.
Формирование начального набора МНК
Процесс подготовки данных (начального набора МНК) для оптимального комплексирования МНК при оценке ТС ОК (агрегатов) СК РКК можно разделить на ряд основных этапов.
Этап 1. На данном этапе определяются критически значимые узлы (типовые элементы) ОК и возможные дефекты, которые могут послужить причиной отказа данного оборудования.
Этап 2. На втором этапе проводится анализ возможности использования всех доступных методов и средств НК для проведения диагностических мероприятий на ОК. При этом по технической документации на объект определяются допустимые значения (размеры трещин, уровень вибрации и пр.) дефектов по каждому узлу агрегата для его дальнейшей безопасной эксплуатации, а по технической документации на приборы НК оценивают выявляемость данных дефектов и, учитывая условия использования каждого прибора, принимают решение о целесообразности его задействования для контроля того или иного узла агрегата.
В итоге на данном этапе формируется начальная (исходная) матрица вероятностей
Ру ), один из вариантов которой, составленный для
насосного агрегата (НА) 3-го класса стартового комплекса (ГОСТ 10816-1-97) представлен на рис. 4. Нулевые значения в ячейках таблицы на рис. 4 указывают на то, что данный МНК принципиально не может использоваться для контроля соответствующего параметра типового элемента ОК.
Следует отметить, что при формировании исходного набора МНК для измерения критически значимых диагностируемых параметров выбранного ОК крайне желательно включать в его состав все доступные средства НК, которые так или иначе могут быть полезны при проведении диагностических мероприятий. Это заметно повысит эффективность оптимального комплексирования МНК. Кроме того, чтобы соблюсти принцип комплексирования, необходимо формировать начальный набор МНК таким образом, чтобы для контроля типовых элементов агрегата для выявления возможных дефектов, где это возможно, было задействовано максимальное количество МНК: два, три и более.
выявления дефектов агрегата (
71
Начальная матрица вероятностей выявления дефектов
Узлы и дефекты объекта контроля МНК Pi
Типовой злемент Дефект УЗК ВИК АЭ ТВ ВД
:Нмплошвости, грешнны Hipv-кны; 0.94 09 0 0 0 0,994
О^нлаыент ..................................... ......................... ..................... ; Несшшшвоста трещины * ОМ 0.9 0 0 0 0^94 j
1 Хрупко е растр е скпе анпе 0 0 0,997!
Корпус НА IКоррозия (внешняя: 0 0 0^995
! Межжучкпаллитная коррозия 0 0 0,975
Подгшлшпкп (4 шт.) |Износ 0 0 0.9 0,16 0Л6 0^929
Вал (ротор) : Износ 0Л6 ОЛб 0,997!
! Износ 0,16 0Л6 0,998
Муфта [Коррозия (внешняя: Л ï Л ï л а 0 л 0 п и pu* .................< п отс
р = : 1,857
Рис. 4. Начальная матрица вероятностей выявления дефектов агрегата (УЗК - ультразвуковой контроль; ВИК - визуальный и измерительный контроль; АЭ - акустико-эмиссионный контроль; ТВ - тепловизионный контроль; ВД - вибродиагностический контроль)
Этап 3. На третьем этапе формируется матрица стоимостей выявления дефектов
в узлах агрегата (
C
), которая может быть представлена также, как на рис. 4, где вместо
значений вероятностей выявления дефектов агрегата проставляются значения стоимостей использования МНК.
Этап 4. На последнем четвертом этапе в соответствии с формулой (1) производится подсчет значений р^ по каждому возможному дефекту агрегата. При этом необходимо соблюдать условие: рг>ргтр.
В результате проведения мероприятий по формированию начального набора МНК получают начальную матрицу решений Gnm.
Пусть gij - булева переменная, которая принимает следующие значения:
gi —
|Х если у МНК исполь зу ется для контр оля г - го пар аметр а объекта; 0, если у МНК не используется для контроля г - го параметра объекта.
Тогда начальная матрица решений (использования МНК) при контроле агрегата будет иметь вид:
g —
Gnm
g
Решением задачи оптимального комплексирования МНК будет являться новая матрица использования МНК, полученная после моделирования (применения одного из методов оптимизации).
^п т | |*
Весь процесс подготовки данных (начального набора МНК) можно представить схемой, приведенной на рис. 5.
72
Расчет и проверкаформирование матрицы С,т,
Рис. 5. Схема формирования начального набора МНК
Определение значений вероятностей выявления дефектов
Любой МНК может считаться актуальным только в том случае, если для него установлен ряд параметров, позволяющих оценить возможности контроля с вероятностной точки зрения. Важнейшим среди этих параметров является достоверность контроля -вероятность принятия безошибочных решений по результатам НК. Именно достоверность контроля (или вероятность выявления (безошибочного обнаружения) дефекта является основным показателем эффективности контроля. Использование показателей достоверности позволяет оценить выгодность применения нескольких МНК для повышения достоверности выявления дефектов. При определении показателей достоверности контроля оценивают частоту появления ошибок первого и второго рода. Ошибка первого рода означает, что объект признают не годным к дальнейшей эксплуатации в случае, когда параметры
73
найденных дефектов не выходят за рамки допустимых. Ошибка второго рода возникает в том случае, если дефект признается допустимым, при том, что его параметры превышают установленные нормы.
Задачу оценки возможности выявления дефектов обычно решают методом направленного моделирования вероятностных характеристик, основанных на алгоритме, использующем регрессионный анализ данных зависимости сигнальных откликов детектора прибора НК от площадей дефектов с последующим транслированием данных анализа в вероятностную плоскость [7]. К одной из таких характеристик относится кривая выявляемости дефекта (Probability Of Detection (POD), представленная на рис. 6.
Кривые POD ориентированы на оценку выявляемости дефектов различного размера и должны быть построены для всех МЕК, которые обладают возможностью выполнять измерение размеров дефектов. Современная система НК должна обеспечивать вероятность выявления дефектов не менее 90 %. При этом доверительная вероятность не должна быть менее 95 % (90/95 POD) [4, 8].
1j0
0,5
5 ........
Л 0,6 ш
Q
CL.
0,4........
02
0 2.0 4.0 б.О 3.0 ....
3 ? ММ
Рис. 6. Пример POD диаграмм, построенных для различных методов НК
На практике при формировании начальной матрицы вероятностей выявления дефектов агрегата значения pj следует определять по POD диаграммам или другим паспортным данным на прибор, полученным в результате аттестационных испытаний систем НК, например, по ГОСТ Р 50.04.07-2018. При этом необходимо учитывать условия применения прибора НК: доступность элемента контроля для измерений, погодные условия, чистоту поверхностей, условия зависимости или независимости контроля одинаковых параметров различных элементов агрегата, возможность точно локализовать дефект и проч. Перечисленные факторы способствуют уменьшению вероятности достоверного выявления дефектов. Поэтому рекомендуется занижать (на основании экспертной оценки) номинальные (паспортные) значения вероятностей и максимально использовать принцип комплексирования при планировании диагностических мероприятий средствами и МНК.
Основное условие при формировании начальной матрицы вероятностей выявления дефектов - чтобы значение р¿, при выявлении дефектов у каждого элемента контроля агрегата, рассчитанное по формуле (1), было не меньше ргтр, где ргтр=0,9.
74
Определение значений стоимостей использования МНК
Формирование матрицы стоимостей выявления дефектов в узлах агрегата предполагает расчет затрат (Су) на использование МНК, которые могут быть определены как:
= + ЕШ ' ' Т1 ,
где С™ - текущие затраты на осуществление НК; К - капитальные затраты на осуществление НК; Ен. - ставка дисконирования; т ^ - время осуществления НК.
Текущие затраты на осуществление НК включают в себя расходы на вспомогательные материалы, необходимые для реализации данного МНК; расходы на заработную плату специалистам, осуществляющим контроль данным методом; командировочные расходы. Капитальные затраты на осуществление МНК состоят из стоимости средств контроля, затрат на модернизацию и затрат на адаптацию средства НК.
Следует отметить, что затраты на модернизацию и на адаптацию средства контроля условиям контроля в большинстве случаев не требуются (или требуются в незначительных объемах), поэтому на практике капитальные затраты могут полагаться равными стоимости средства контроля.
Ставка дисконтирования может быть определена по формуле:
ЕИ1 = ~ ,
ссг
где - срок службы рассматриваемого средства НК.
Формулировка задачи оптимального комплексирования начального набора МНК
С учетом положений, приведенных выше, задачу оптимального комплексирования начального набора МНК при проведении диагностических мероприятий на ОК в общем виде можно сформулировать следующим образом: провести оптимизацию начального набора МНК таким образом, чтобы, стоимость (С) проведения работ на ОК (агрегате) была минимальна, а вероятность выявления дефектов по каждому контролируемому параметру при этом была не ниже заданной (p¿^v=const=0,9).
На данную задачу можно наложить дополнительные условия (или требования) по количеству (¿¿) используемых МНК для контроля каждого параметра агрегата:
1. Условие «обязательного комплексирования», когда в итоговом наборе средств НК для выявления дефектов требуется использовать не менее двух МНК для контроля каждого параметра агрегата (¿¿>2 и V p1>p¿тр). Чтобы провести процедуру оптимизации в соответствии с данным условием, в результате которой каждая строка матрицы решений 0'ппг содержала бы не менее двух единиц, необходимо, чтобы хотя бы в одной строке исходной матрицы Спт было не менее трех единиц (¿¿>3), при этом в остальных строках матрицы Gиnг единиц было не менее двух (¿¿>2).
2. Условие «комплексирования по необходимости», когда в итоговом наборе средств НК для выявления дефектов требуется использовать столько МНК, чтобы достоверность контроля каждого параметра агрегата была не ниже заданной (¿¿>1 и V pl>p¿тр). В данном случае для контроля любого параметра агрегата может использоваться один МНК, если у него вероятность выявления дефекта не ниже ртр=0,9.
75
Формализованное описание решаемых задач
Для решения обозначенных задач по оптимальному комплексированию первоначального набора средств и методов НК для оценивания ТС ТО СК РКК предлагается использовать математические модели, построенные на основе следующих оптимизационных алгоритмов: метода дискретного программирования, симплекс-метода линейного целочисленного программирования и метода обобщенного понижающего градиента (ОПГ).
Метод дискретного программирования
В формализованном виде задачу по формированию оптимального набора МНК для контроля параметров ТС агрегата методом дискретного программирования при минимизации целевой функции W(C) можно представить следующим образом:
п m
W(C) = ££Cjgj ^ min
J=1 i=1
при ограничениях
Vi е[1, m], £gjpj > p^;
j=1
p,w = const = 0,9;
gj е {0,1}, j е [1, n], i е [1, m].
(3)
Оптимизация начального набора МНК в данном случае проводится посредством выполнения ряда итераций по следующему алгоритму:
1. По формуле (1) для каждого контролируемого параметра агрегата рассчитывается значение рг-.
2. Через частные производные рассчитывается коэффициент влияния /-го параметра агрегата при контроле у'-м МНК:
1 дР1
ц дРи ц
3. Рассчитывается агрегата j-м МНК:
относительная
стоимость контроля /-го
параметра
— С, а =—-
£ а
i=1
4. Рассчитывается относительный коэффициент влияния /-го параметра агрегата при контроле у'-м МНК:
5. Для каждого контролируемого параметра агрегата находится средство НК с наименьшим относительным коэффициентом влияния, которое исключается из состава МНК, задействованных для контроля данного параметра (соответствующим показателям ру
и Cij в матрицах
Pl
и
CJj
присваиваются нулевые значения), и осуществляется пересчет
значений р^ при новом составе МНК. При этом, если р/>р/тр (р/>0,9), то представленная выше
76
<
итерация (пункты с 1 по 5) повторяется. Отметим, что в случае решения задачи оптимизации с условием «обязательного комплексирования», при выполнении данного пункта дополнительно проверяется соответствующее требование по количеству МНК для контроля каждого параметра агрегата (£¿>2). Поэтому, в случае, когда р>рпр, но £¿=2, для z'-го контролируемого параметра агрегата оптимизация заканчивается.
6. Чтобы выполнить ограничение (3), поступают следующим образом: если после очередной итерации алгоритма значение pi по какому-либо контролируемому параметру становится ниже ргтр, то в качестве решения по данному параметру оставляют набор МНК, полученный на предыдущей итерации.
Симплекс-метод линейного целочисленного программирования
Для решения задач по оптимальному комплексированию начального набора средств и методов НК для оценивания ТС ТО СК РКК можно эффективно использовать симплекс-метод линейного целочисленного программирования, алгоритм которого ищет решение оптимизационной задачи (глобальный экстремум) путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве, заданным системой n линейных равенств и неравенств. При этом строятся базисные решения, на которых монотонно убывает линейный функционал до ситуации, когда выполняются необходимые условия локальной оптимальности.
Для использования симплекс-метода целевую функцию W(C) представляют в виде линейного отображения в n-мерном пространстве как сумму произведений:
n m
W(С) = 22 Cjgij . При этом управляемые параметры gj будут принадлежать множеству,
j=1 i=1
которое задается системой линейных неравенств.
Математическая модель задачи оптимального комплексирования начального набора МНК симплекс-методом с условием «обязательного комплексирования» (£¿>2) может быть представлена следующим образом:
n m
W(С) = 22Cjgj ^ min j=1 i=1
при ограничениях
n
V/ e [1,m], 2 gjPj ^ Ртр + min(Pj X Pj * 0;
j=1
Ртр = const = 0,9; gj e{0,1}, j e [1,n], i e[1,m].
При решении задачи оптимального комплексирования МНК симплекс-методом с условием «комплексирования по необходимости» (¿¿>1) сначала необходимо преобразовать
исходные матрицы
Pi
и
C
следующим образом: если i-й параметр агрегата
контролируется каким-либо средством НК с вероятностью выявления дефекта не меньше 0,9 р > 0,9), то другие средства, у которых ру<0,9 исключаются из состава МНК, задействованных для контроля данного параметра (соответствующим показателям ру
77
и Cj в матрицах
Pi,
и
преобразования матрицы
Cj
Pi
присваиваются нулевые значения). На рис. 7 приведен пример
Начальная матрица вероятностен выявления дефектов
Узлы и дефекты объекта контроля МНК Pi
Типовой элемент Дефект V3K ВИК .АЭ ТВ вд
Фундамент : Нэсплопшосты. тргпшны нар\-жныг 0,94 0,9 0 0 0 0,994
: Несштопшости, тргпшны в объеме 0,94 0,9 0 0 0 0 391]
: Хрупкое растрескивание 0.94 0,5 0.9 0 0 0,997
Корпус НА : Коррозии (внешняя) 0.5 0.9 0.9 0 0 0,995:
Межкристаллитная коррозия 0,5 0,5 0.9 0 0 0,975
Подшипники (4 шт.) 1 Износ 0 0 0,9 0,16 0,16 0,929
В ал (ротор) ! Износ 0,94 •:д 0.9 0.16 0,16 0,99?!
:Износ 0.94 0,5 0.9 0.16 0.16 0J98;
Муфта Коррозия (внешняя) 0.5 0,9 0.9 0 0 0,995
: Межкристаллшная коррозия 0.5 0.5 0.9 0 0 6jrr5:
Р =0.857
Прео&разованная начальная матрица вероятностей выявления дефектов
Узлы и дефекты объекта когароля МНК
_1шовой элемент Дефект УЗК ВИК АЭ ТВ вд Pi
Фундамент П*-ттлптттагкгпг гр^ггганы 0,94 0,9 0 0 0 0394
Нэсшюшносш. трешины в обьгмг 0.94 0,9 0 0 0 0,994;
Хрупкое растрескивание 0,94 0 0,9 0 0 0,994
Корпус НА Коррозия (внешняя) 0 0,9 0.9 0 0 0,99
Межкристалгаггная коррозия 0 0 0.9 0 0 0.9
ПоГЩШЛНИКИ (4 шт.) Износ 0 0 0.9 0 0 0J
В ал (ротор) Износ 0.94 0 0.9 0 0 0 J94
Износ 0.94 0 0.9 0 0 0,99-i
Муфта Коррозия :*Енешняя^ 0 0.9 0.9 0 0 039
Межхристаллитная коррозия 0 0 0,9 0 0 Oil |
Р = 0,693
Рис. 7. Пример преобразования матрицы p
Дальнейшая оптимизация преобразованного набора МНК с использованием симплекс-метода может быть проведена по следующей математической модели:
W(С) = Cg ^ min
j=ii=i
при ограничениях
V i е [1,т\, £gjPj > j=i
piip = const = 0,9;
gj е {0,1}, j е [1, n], i е [1, m].
if max(Pij) > ргтр, Pij *0; PiW + min(PijX if max(Pij) < PiW, Pij *
n m
n
<
Алгоритм симплекс-метода (как и метода обобщенного понижающего градиента) реализован во многих программных продуктах, в том числе и в MS Excel, что делает его более доступным для использования.
78
На рис. 8, 9 показаны примеры решения задачи оптимального комплексирования начального набора МНК симплекс-методом с условием «обязательного комплексирования» (s¿>2) и с условием «комплексирования по необходимости» (s>1) соответственно.
Оптимизация проводилась в среде MS Excel с применением надстройки «Solver» (поиск решения») по моделям, представленным выше. Для расчетов использовались данные из рис. 7.
А В С D Е
1 Начальная матрица вероятностей
н
М N О Р Q R S =СУ\1 МГПРОШВ (HI б: L 2 5; Al 6: Е2 5) -
и V
целевая функция
2 УЖ ВИК АЭ IB вд Pi ограничения
3 0,94 0,9 0 0 0 0394 =С УД ГМПР01ВВ(Н16:L 1 б; A3:13) =0.9+ДШН(АЗ:ВЗ)
4 0,94 0,9 0 0 0 0394 =СУ1ШПР01В В(Н17:L 17; А4:14) =0.9+МИН<А4:В4)
5 0,94 0,5 0,9 0 0 0J97 =СУММПРОИЗ[ В(Н1 S:L 18;А5:1 5) =0.9+ДШН(А5:С£)
6 0,5 0,9 0,9 0 0 0J9S =СУМЛ1ПР01В В(Н19 :L 15; А6:16) =0.9+ДШН(А6:С6)
7 0,5 0,5 0,9 0 0 0J75 =СУММПР01ВВ(Н20:Ь20;А7:Е7) =0.9+ДШН(А7:С7)
8 0 0 0,9 0,16 0,16 0329 =СУММПРОНЗВ(Н21 :L21 ;A3lE8) =0.9+ЛШН(С8:Е8)
9 0,94 0,2 0,9 0,16 0,16 0397 =CyMMHPOE3B(H22:L22iA9i9) =0-9+МИЩА9:Е9)
10 0,94 0,5 0,9 0,16 0,16 039S =СУММПР01В]B(H23 :L23 ;A10 :Е 10) =0.9+ДПШ(А10:Е10)
11 0,5 0,9 0,9 0 0 0395 =СУМЛ1ПР01В В(Н2 4:L 2 4; Al 1 :Е 11) =0.9+МИЩА11:С11)
12 0,5 0,5 0,9 0 0 0J75 =СУДГМПР01ВВ(Н2?:1,25;А12:Е12) =0.9+:МИН(А12:С12)
13 Р = 0,857
Оптимизировать целевою функцию:
SMS1
Д0; Максимум в :Миниму] '.-Значения
Изменяя ячейки переменных:
SHS16:SLS25
В соответствии с ограничениями:
ÍHÍ16:ÍLS25 <= 1 iHS16:SLS25 - целое ÍHÍ16:ÍLÍ25 >= 0
14 Нячжльнш матрица стоимостей
15
16
17
18
19
20 21
22
23
24
25
26
УЗК ВИК АЭ IB вд Ct
56 4з9 0 0 0 49S
56 4а 9 0 0 0 49S
13J 0 0 383.9
3U 13,3 333,3 0 0 383.9
37J 13J 333,3 0 0 383J
0 0 1000 260 295J 15S8.3
112 40 1000 260 29SJ 1710-3
13J 333,3 260 29SJ 942,2
3U 13,3 333,3 0 0 383.9
37J 13J 333,3 0 0 383J
Матрица решений
УЗК вик АЭ IB вд КОЛ-БО МНК
1 1 0 0 0 2
1 1 0 0 0 2
1 1 0 0 0 2
1 1 0 0 0 2
0 1 1 0 0 2
0 1 1 0 2
1 1 0 0 0 2
1 1 0 0 0 2
1 1 0 0 0 2
0 1 1 0 0 2
Огтгимизированная матрица вероятностей
УЗК вик АЭ IB вд Pi
0,94 0,9 0 0 0 0J94
0,94 0,9 0 0 0 0J94
0,94 0,5 0 0 0 0J7
0,5 0,9 0 0 0 0.95
0 0,5 0,9 0 0 0,95
0 0 0,9 0,16 0 ОЛб
0,94 0,2 0 0 0 0JS2
0,94 0,5 0 0 0 031
0,5 0,9 0 0 0 0.95
0 0,5 0,9 0 0 0,95
С= 7120J
Р = 0,660
Рис. 8. Пример решения задачи оптимального комплексирования начального набора МНК симплекс-методом с условием «обязательного комплексирования» («¿>2) в среде MS Excel
A BCDE F G Н
1 Преобразованная начальная матрица вероятностей
2
УЗЕ
0,94
0.94
вик
0,9
0,9
АЭ
ТВ
вд
9
1 0_
11 _о
1 2_о
13 Р - 3.ÍS3
14 Преобразованная начальная матриц! стоимостей Матрица решения
0,954
0,99 0.9
0,99 0.9
М N О , Р Q R S Т =CYM\niFOH3B(H16:IJ5;A16:E25j
и V
целевая функция
W
ограничения
=СУММШЧЖ1В(Н1 6:L 1S; A3 :ЕЗ) =СУММПРОИЗВ(Н17 Д, 17uU:E4) =С ^~ММПРОИЗВ(Ш 8: L1 SiA5 :Е5) =СУММДРОИЗВ(Н19Д.1»;А6:Еб) =С УЛШПРОИЗВ(Н2 0 :L2 0; А7:Е7) =СУМШ1РОИЗВ(Е21 ДД1 АЗ:Е8) =С>:\ШПРОИЗВ(Н22 :L22 ;А9:Е9)
ÍC.THpLAKC(.i3:E3p=0.9;0.9;D.9+lfflH(A3:B3)) I СЛЩМАКС<А4:Е 4)>=0.9;0.9;[>.9+3DlH(A4: В4» ■Е СЛЩМАКС(А5Д sp-0.9;0.9;[>.9líDIII|As: Csl) ÍСЛН(МАКС(А6Д б)5=0.9;0.9;[>.9+ЛШН(Аб: Coi) i С.ТЩЛ1АКС<А7:Е 7)5=0.9;0.9;0.9+ЛШН<А7:С7)) iСЛЩМАКЦАЯД 8J5=0.9;0.9;[>.9+3DIH(C8:E $j) ■I СЛЩМАКС(А9Д 9)>=0.9;0.9;[>.9+3DlH(A9:E 9)) -СУММДГОИЗВ(Н13ДД»;АИ>:ЕИ)) -E СЛЩМАКС(А10:Е 10p-0.9;[l.9;[l.9HDni|A10:110)) =СУММДРОИЗВ(Н14ДД4;А11Д11) =ЕСЛИ(ЛШ;С(А11:Е11>=0.9;[).9;[).9+ЛШН(А11:С11)) =ОАШПРОИЗВ(Н2 = :L2 5 ;А12 :Е12) =Е С.ТЩЛ1АКС<А12:Е 12)5=0.9;0.9;0.9+МИН<А12: С12))
Оптимизировать целевою функцию: До:
■ Максимум 9 Миниму; ■ Знэч
Изменяя ячейки переменных: SHS16:SLS25
В соответствии с ограничениями:
SGS3:SGS1! SMS3:SMSL2
ÍHÍ16:ÍLÍ25 <=1 ÍHÍ16:ÍLÍÍ5 • целое SHS1É:SLS25 > = 0
15 УЗК вик АЭ IB вд с, УЗК вик АЭ IB вд КОЛ-БО МНК УЗК вик АЭ IB вд Pi
16 56 439 0 [1 0 495 1 0 [1 0 0 1 0.94 0 0 [1 0 0,94
17 36 439 0 0 0 495 1 0 0 0 0 1 0,94 0 0 0 0 0,54
18 37J 0 333J 0 0 370.Í 1 0 0 0 0 1 0.94 0 0 0 0 0J4
19 0 13J 333,3 0 0 346,6 0 1 0 0 0 1 0 0,9 0 0 0 0J
20 0 0 333,3 0 0 333,3 0 0 1 0 0 1 0 0 0,9 0 0 0J
21 [1 0 1000 [1 0 ■ООО 0 0 1 0 0 1 0 0 0,9 [1 0 0,9
22 112 0 1000 0 0 1112 1 0 0 0 0 1 0,94 0 0 0 0 0,94
23 37J 0 333,3 0 0 370,5 1 0 0 0 0 1 0,94 0 0 0 0 0,94
24 0 13J 0 0 346,6 0 1 0 0 0 1 0 0,9 0 0 0 0,9
25 0 0 0 0 333,3 0 0 1 0 0 1 0 0 0,9 0 0 0,9
26
Рис. 9. Пример решения задачи оптимального комплексирования начального набора МНК симплекс-методом с условием «комплексирования по необходимости» («¿>1) в среде MS Excel
79
Метод ОПГ
Метод ОПГ позволяет искать локальные экстремумы для нелинейных функций. Поэтому математическая модель задачи оптимального комплексирования начального набора МНК методом ОПГ в формализованном виде может быть записана следующим образом: - с условием «обязательного комплексирования» (¿¿>2):
W(С) = ££Cg ^ min
j=и=1
при ограничениях
V i е[1,т], Pt =1 - П(1 - Pjgij) > Pirn, Pup = Const = 0,9
j=i
V i е[1, m], £ Pijgtj >1
gj е {0,1}, j е [1,n], i е [1,т].
- с условием «комплексирования по необходимости» (si > 1):
W(С) = ££Cjgj ^ min j=1 i =1
при ограничениях
n
V i е [1, m], Pt = 1 - П (1 - Pijgij) > Pirp , Pirp = COnSt = 0,9
j=1
V i е [1, m], £ Pijgij >
gij е {°, 1}, j е [1,n], i е [1,т].
На рис. 10, 11 показаны примеры оптимизации начального набора МНК методом ОПГ в среде MS Excel с условием «обязательного комплексирования» (s>2) и с условием комплексирования понеобходимости» (s>1) соответственно.
n
<
80
л А В С D Е F G н I J к I М N О Р О R S T U V I W I X Y Z
1 Начальная матрица вероятностей =СУММПРОИЗВ(Н16:Ь25;А16:Е25) целевая функция
2 УЗК вик АЭ IB вд Pi ограничение
3 0,94 0,9 0 0 0 0394 =1-«1-АЗ *Н1 б)*<1 -ВЗ *11 б)*(1-СЗ * J1 6)*<1-D3 *K1 i)*<l-E3 *L 16)) Оптимизировать целевую функцию:
4 5 6 0,94 0,9 0 0 0 0,954 =1-«1-А4*Н17)*<1 -В4Ч17)*<1-C4*J17)*(1-D4*K17)*<1-Е4*L 17)) =1 -<<1-AS*H1 Я)*<1 Ri;*ll Я)*<| -ГЯ*.П Jt)*<l П5*К1 Я)*(1 F5*Ijl Я)) =Ч(1Аб*Ш9)*(1В6*Ц9)*(1С6*.П9)*аМ*Ю9)*(11«*Ь19)) Д°; О Максимум ®|Миниму| О Значен
0,5 0,9 0,9 0 0 0J95
7 0,5 0,5 0.9 0 0 0.975 =1 -((1-А7*Н2 D)*(l -B7*I2 D)*(l -C7*J2 0)*(1 -D7*K2 0)*<1 -Е 7*1-2 0)) изменяя ячеики переменных:
8 0 0 0,9 0.16 (.16 0 329 =1 -((1-А8*Н21)*(1 -B8*I21)*(1 -С8* J21)*(1 -D8*K21)*{1-Е 8*L 21)) JHJ16:JLS25
9 0,94 ОД 0,9 0,16 0,16 0397 =1-«1 А9*Н2 2)*(1 B9*I2 2)*(1 C9*J22)*<1-D9*K2 2)*(1 Е 9*L22)) В соответствии с ограничениями:
10 0,94 0,5 0,9 0,16 0,16 0.998 =1-((1-А1 D*H23)*(1 -В1 D*I23)*<1-C10*J23)*{1-D10*К23)*(1 -Е1D*L23))
SHS16:SLS25 <= 1 SHJ16:SLS25 = целое SH116:SLS25 >= 0 $HtiiHI12s= 0,9 SMJ16:tNi2S >- 1
11 0,5 0,9 0,9 0 0 0J95 =1 -((1-А11 *Н2 4>* (П -В11 *I2 4)*(1 -С1П * J24)*(l -D11*Ю 4)*(1 -Е11*L 2 4»
12 0,5 0,5 0,9 0 0 0,975 =1-«1-А12 *Н2 S)*(l -B12 *I2 5)*(1-С12* J25)*(l -D12*К2 5)*(1 -Е 12*L2 5))
13 Р - 0,857
14 Начальная матрица стоимостей Матрица решений
15 УЗК ВИК АЭ IB вд Ci УЗК вик АЭ IB вд кол-во МНК ограничение УЗК ВИК АЭ IB ВД Pi
16 56 +39 0 0 0 4JS 1 1 0 0 0 2 =СУ1ШПРОЮВ(1Ш:1.1б;АЗ:ЕЗ) 0,94 0,9 0 0 0 0J94
17 56 +39 0 0 0 495 1 1 0 0 0 2 =СУ1ШПРОИЗВ(Н17:1.17;А4:Е4) 0:94 0,9 0 0 0 0J94
18 з-З 133 3333 0 0 383.9 1 1 0 0 0 2 -СУММПГОЕЗЩП18:L18;А5:Е5) 0,9+ 0,5 0 0 0 0,97
19 37,3 133 3333 0 0 383.9 1 1 0 0 0 2 =СУММПРОИЗВ(Н19 :L1 S; А6:Еб) 0,5 0,9 0 0 0 0.95
20 373 13 3 3333 0 0 383J 0 1 1 0 0 2 =СУММПРОЕЗЩН1 0 :L2 0; А7:Е7) 0 0,5 0,9 0 0 0J5
21 0 0 1000 260 29S3 15583 0 1 0 1 2 =СУШтРОШВ{Н21 :L2 1;А8:Е8) 0 0 0,9 0 0,16 0J16
22 112 40 1000 260 29S3 1710,3 1 1 0 0 0 2 =СУММПРОЕЗ В(Н2 2 :L2 2;А9:Е9) 0,9+ оЛ 0 0 0 0.952
23 373 133 3333 260 2953 942,2 1 1 0 0 0 2 -СУ1ШПРОИЗВ(Н23 :L23; А10:Е 10) 0,9+ 0,5 0 0 0 0,97
24 373 13 3 3333 0 0 383.9 1 1 0 0 0 2 =СУММПРОИЗ B(H2 4:L2 4; All ill) 0.5 0:9 0 0 0 0.95
25 373 13 3 3333 0 0 383J 0 1 1 0 0 2 =СУММПРОЕЗЩН1 5:L25;A12:E12) 0 0,5 0,9 0 0 0.95
26 С= 71.20.3 Р = 0,660
Рис. 10. Пример решения задачи оптимального комплексирования начального набора МНК методом ОПГ с условием «обязательного комплексирования» («;>2) в среде MS Excel
^lABCDE F G н I J К L M N 0 Р Q R S Г U V W X Y Z А
1 Начальная матрица вероятностей =C У\1\ШРОШВ(Н16:L25;A16:t25) '— целевая функция
2 УЗК ВИК АЭ IB вд Pi ограничение Оптимизировать целевою функции:
3 0.9-4- 0.9 0 0 0 0J94 =1-«1-АЗ *Н1б)*(1 -ВЗ *11 б)*(1-СЗ *J16)*(1-Ш *K1S)*(1-E3 *L1S)) SMS1
4 0.94- 0:9 0 0 0 0J94 =1Ч(1-А4*И17)*(1 B4*I17)*{1-C4*J17)*{1 K4*K17)*(1-E4*L17)) До: © Максимум О Значени я:
5 0.9+ 0,5 0.9 0 0 0J97 -l^(lA5*Eia)i<lB5iUi)i(lC5iJ13]i(lD;ilLl8)*(lE5iLl»)) 3:ми„иму!
6 0,5 0,9 0.9 0 0 0J95 =1-«1-A6*H19)*(1-BS*I19)*(1-C6*J19)*(1-D6*K19)*(1-E6*L19))
7 0,5 05 0.9 0 0 0J75 =1-({1-A7*H20)*(1-B7*I20)*(1-C7*J20)*{1-I>7*E20)*(1-E7*L20))
8 0 0 0,9 0.16 0.16 0J29 =1-((1-A8+H21)*{1-B8*I21)*(1-C8*J21)+(1-]>8*K21)*(1-E8*L21)) $Htl6:iLi25
9 0,9+ ОД 0,9 0,16 0,16 0J97 =1-«1-A9*H22)*(1-B9*I22)*(1-C9*J22)*(1-]J9*E22>*(1-E9*L22)) Б соответствии с отраниченияии:
10 0;94 0:5 0,9 0: 16 0Л6 0J98 =1^<1-A10*H23)*(1-B10*I23)*{1-C10*J23)*{1-D1 D*K23)*(1 -E1 D*L23))
!Htl6:lL125 <= 1 tH(16:tLi25 - целое !Htl6:lL125 >= 0 SHB:SH$12 >- 0.9 !Ntl6:lNt25 >= 0.000001
11 0,5 0,9 0,9 0 0 0J95 =1-({1-A11*H2 4)*(1-B11 *I2 4)*(1 -Cll * J2 4)*(1 -D11 *K2 4)*(1 -E11 *L24))
12 0,5 0,5 0,9 0 0 0J75 =14<1-A12*H25)*(1-B12*I25)*(1-C12*J25)*(1-D12*K25)*(1-E12*L25»)
13 Р = 0,857
14 Начальная матрица стоимостей Матрица решений Ощ-имизированная -.[атриивероятностей
15 ™ ВИК АЭ IB вд Ci УЗК ВИК АЭ IB вд КСЛ-БО МНК ограничение УЗК ВИК АЭ IB вд Pi
16 56 4-39 0 0 0 495 1 0 0 0 0 1 =С У1ШПРОИЗВ(Н16:L 16; A3 :ЕЗ) 0,94 0 0 0 0 0,94
17 56 +39 0 0 0 495 1 0 0 0 0 1 =СУЭШПРОИЗВ(Н17:L17;А4:Е 4) 0;>4 0 0 0 0 0,94
18 373 13.3 333:3 0 0 3S3J 1 0 0 0 0 1 =С > ДШШ>01ВВ(Ш 8:L18;A5:E5) 0,94 0 0 0 0 0,94
19 з-з 13;3 333;3 0 0 3S3J 0 1 0 0 0 1 =СУЭШПРОИЗВ(Н19:L 19^6:Е 6) 0 0,9 0 0 0 0J
20 з-з 13;3 3333 0 0 383J 1 1 1 0 0 3 -СУЭШПРОИЗВ(Н2 0:L 2 0; А7:Е7) 0,5 0,5 0,9 0 0 0J75
21 0 0 1000 260 29S3 15583 0 0 1 0 0 1 =miMIIPOH3B[H21:L2 1^8:Е8) 0 0 0,9 0 0 0J
22 ID +1) 1000 260 2983 1710,3 1 0 0 0 0 1 =С^ШПРОИЗВ(Н2 2:L 2 2;А9:Е9) 194 0 0 0 0 0^4
23 з-з 13;3 3333 260 2983 942,2 1 0 0 0 0 1 -С^,ШПР01ВВ(НСЗ:Ь 23; A10 :Е 10) 0;>4 0 0 0 0 0,94
24 373 13;3 333;3 0 0 383J 0 1 0 0 0 1 =СУЭШПРОИЗВ(Н2 4:L2 4;А11:Е11) 0 0,9 0 0 0 0J
25 373 13;3 3333 0 0 383,9 1 1 1 0 0 3 =С5ШШРОИЗВ(Н2 5:L2 5^12 :Е 12) 0:5 0:5 0,9 0 0 0^75
26 С- 71203 P = 0,508
Рис. 11. Пример решения задачи оптимального комплексирования начального набора МНК методом ОПГ с условием «комплексирования по необходимости» (s>1)
в среде MS Excel
Сравнительный анализ методов оптимизации
Проведем оптимизацию начального набора МНК (рис. 7) методом дискретного программирования, симплекс-методом, методом ОПГ и сравним полученные результаты.
На рис. 12 представлены результаты оптимизации начального набора МНК с условием «обязательного комплексирования» (£¿>2).
81
Начальная матрица вероятностей
узе вне аэ тв вд р*
0.94 0.9 0 0 0 0,994
091 0,9 0 0 0 0,994
0.94 0.5 0.9 0 0 0,997
0,5 0.9 0.9 0 0 0,995
0,5 0,5 0,9 0 0 0,975
0 0 0,9 0,16 0,16 0,929
0.94 од 0,9 0,16 0,16 0,997
0.94 0,5 0,9 0,16 0,16 0,998
0,5 0,9 0,9 0 0 0,995
0,5 0,5 0,9 0 0 0,975
Р = 0.357 с= 7120г1
Дискр, программирование Симплекс-метод ОПГ
Матрииа решении ■Ш-ВО МНК Матрица решений КОП-БО МНЕ Магрииа решений КОП-БО МНЕ
1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2
1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2
1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2
0 1 1 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2
0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2
0 0 1 1 0 2 0 0 1 1 0 2 0 0 1 1 0 2
1 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2
1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2
0 1 1 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2
0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2
Опта я шхвр □ вакн^ матрица вера-стен Оптнмпшро ванная матрица веронстен О птн я пазяр о в алн ак матрица веро-етей
узе вше аэ 1Б вд Pi узе вне аэ тв вд Р. уж вне аэ тв вд Р.
094 0.9 0 0 0 0.94 0,9 0 0 0 0,994 0,94 0,9 0 0 0 0,994
0,94 0.9 0 0 0 0,954 0,94 0,9 0 0 0 0,994 0,94 0,9 0 0 0 0,994
094 0,5 0 0 0 0.97 0,94 0,5 0 0 0 0,97 0,94 0,5 0 0 0 0,97
0 0.9 0.9 0 0 059 0,5 0,9 0 0 0 0,95 0,5 0,9 0 0 0 0,95
0 09 0 0 0.95 0 0,5 0,9 0 0 0,95 0 0,5 0,9 0 0 0,95
0 0 09 оде 0 1,91ь 0 0 0,9 0,16 0 0,91й 0 0 0,9 0 0,16 0,91й
0.94 0 09 0 0 0.994 0,94 од 0 0 0 0,952 0,94 од 0 0 0 0,952
0.94 0,5 0 0 0 0,97 0,94 0,5 0 0 0 0,97 0,94 0,5 0 0 0 0,97
0 0.9 09 0 0 0^9 0,5 0,9 0 0 0 0,95 0,5 0,9 0 0 0 0,95
0 0,5 0.9 0 0 0,95 0 0,5 09 0 0 0,95 0 0,5 0,9 0 0 0,95
р = 0,749 г= 4я4ч Р = 0,660 г= 3?ч7 Р = 0,(560 с= 3297 6 ру5'
Рис. 12. Результаты оптимизации начального набора МНК с условием s¡>2
Из рис. 12 видно, что абсолютный оптимум для начального набора МНК был найден посредством алгоритма симплекс-метода и алгоритма метода ОПГ.
Худший результат оптимизации в данном случае показал алгоритм метода дискретного программирования, но требуемые ограничения соблюдены (как и в двух других оптимизационных моделях).
Отметим, что для корректной оптимизации методом ОПГ необходимо задать исходные условия (точки) выполнения его алгоритма. Для этого следует заполнить матрицу решений нулями и единицами в соответствии с начальным планом использования МНК. Недостатком метода ОПГ является значительное время выполнения его алгоритма, особенно в случае применения его для оптимизации набора МНК при планировании диагностических мероприятий крупных объектов наземной космической инфраструктуры с большим количеством типовых элементов, подлежащих контролю. Кроме того, при выполнении оптимизации методом ОПГ существует вероятность пропуска глобального оптимума (так называемое «застревание» в локальном экстремуме).
82
Результаты оптимизации начального набора МНК с условием «комплексирования по необходимости» > 1) представлены на рис. 13.
В данном случае, как и в первом, абсолютный оптимум для начального набора МНК был найден посредством алгоритмов симплекс-метода и ОПГ. Результаты оптимизации, полученные с использованием алгоритма метода дискретного программирования, сравнимы с результатами, полученными при выполнении двух других алгоритмов: значения стоимостей проведения диагностических мероприятий по полученным итоговым планам использования МНК различаются не сильно (на 26 руб.). Однако глобального минимума при оптимизации методом дискретного программирования достигнуть не удалось. Закрашенные ячейки в матрице решений для данного метода указывают на избыток МНК, привлеченных для контроля соответствующих параметров.
Начальная матрица вероятностен
уж вне аэ ТВ вд Р.
0.94 0.9 0 0 0 0,994
0,94 0,9 0 0 0 0,994
0.94 0.5 0.9 0 0 0,997
0,5 0,9 0,9 | 0 0 0,995
0.5 0.5 0.9 ! 0 0 0,975
0 0 0,9 0,16 0,16 0,929
0.94 0^ 0.9 0.16 0,16 0^97
0,94 0,5 0,9 0,16 0,16 0,998
0.5 0.9 0.9 0 0 0^95
0,5 0,5 0,9 0 0 0,975
Р = 0Д57 с= 7120,3 РУ5,.....
Дискр, программирование С имел екс-метод ОПГ
Матрииа решении шп-во МНК Матрица решении ъ.с-г.-т МНК Матрица решении шп-во МНК
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
О дтнлгншр о ва жжая матржца. вера—стен Оптммжшр о важная матржца. в ер о-стен Оптнмншраванная матржца веро-стеж
уж впк аэ ТВ вд Р; уж вне аэ ТВ вд Р* уж вне аэ ТЕ вд Р;
0.94 0 0 0 0 М4 0,94 0 0 0 0 0,94 0,94 0 0 0 0 0,94
0.94 0 0 0 0 м4 0,94 0 0 0 ......0..... .....0...... 0 0 ......0...... 0,94 0,94 0,9 0,94 0 0 0 0 0,94
0.94 0 0 0 0 0,94 0,94 0 0 0,94 0 0 0 0 0,94
0 0,9 0 0 0 м 0 0,9 0 0 0,9 0 0 0 м
0 0,5 0,9 0 0 0,95 0 0 0,9 0 0 0,9 0 0 0,9 0 0 м
0 0 0,9 0 0 м 0 0 0.9 0 0 0,9 0 0 0,9 0 0 м
0.94 0 0 0 0 0,94 0,94 0 0 0 0 0,94 0,94 0 0 0 0 0,94
0.94 0 0 0 0 М4 0,94 0 0 0 0 0,94 0,94 0 0 0 0 •£4
0 0,9 0 0 0 0 0,9 0 0 0 0,9 0 0,9 0 0 0
0 0.5 0.9 0 0 0,93 0 0 0,9 0 0 0,9 0 0 0,9 0 0 оз
Р = п4я1 с= 711Я Р = пт с= 1991,3 ргб. Р= п 411 г= 1991,3рт&.
Рис. 13. Результаты оптимизации начального набора МНК с условием «;>1
83
В целом все три метода оптимизации достаточно эффективны для решения задач по оптимальному комплексированию МНК и могут успешно применяться при формировании итогового плана проведения мероприятий по контролю ТС ТО СК РКК.
Заключение
В работе показаны принципиальные подходы к процессу формирования начального состава (набора) средств и методов НК для проведения диагностических мероприятий на ТО СК РКК с определением вероятностных и стоимостных характеристик, планируемых к использованию МНК.
На основе оптимизационных алгоритмов методов дискретного программирования, симплекс-метода линейного целочисленного программирования и метода ОПГ разработаны математические модели для решения задач по формированию оптимальных наборов средств и методов НК в соответствии с заданной целевой функцией W(C) (при выполнении требований по достоверности контроля текущего ТС ТО СК).
Предложенные в работе способы оптимального комплексирования МНК применимы, практически, для любых агрегатов из состава ТО СК и позволяют обеспечить разумный баланс между требуемой (достаточной) вероятностью достоверного контроля их ТС и стоимостью проведения соответствующих работ, что особенно важно для оценивания фактического остаточного показателя ресурса ТО СК РКК и, как следствие, повышения его безопасной эксплуатации: снижения рисков возникновения опасных последствий при эксплуатации сложных технических комплексов наземной космической инфраструктуры [9, 10].
Литература
1. Крайний В.И. Разработка метода комплексирования информации многопараметрового неразрушающего контроля для обнаружения внутренних дефектов сложных конструкций // Научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана электронный научно -технический журнал «Наука и образование». 2018. № 10. С. 253-268. doi: 10.7463/1013.0615195.
2. Kot P., Muradov M., Gkantou M., Kamaris GS., Hashim K., Yeboah D. Recent Advancements in Non-Destructive Testing Techniques for Structural Health Monitoring // Applied Sciences. 2021. 11(6): 2750. https://doi.org/10.3390/app11062750.
3. Rens K.L., Wipf T.J., Klaiber F.W. Review of nondestructive evaluation techniques of civil infrastructure. J. Perform. Constr. Facil. 1997. 11. Р. 152-160.
4. Иванов В.И., Коновалов Н.Н., Дергачев А.Н. Использование вероятностных методов для оценки эффективности неразрушающего контроля // Интернет-журнал «Технологии техносферной безопасности». 2014. Вып. № 6 (58).
5. Алгоритм оптимизации комплекса средств инструментального контроля для диагностики объектов наземной космической инфраструктуры / В.В. Букрин [и др.] // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2012. № 1 (21). С. 72-81.
6. Обоснование оптимального набора методов неразрушающего контроля для получения требуемой информации о техническом состоянии объектов / Н.Д. Аникейчик [и др.] // Труды научно-технического семинара. Неразрушающий контроль объектов наземной космической инфраструктуры. СПб.: Изд-во ВИКА им. А.Ф. Можайского, 2004. С. 79-85.
7. Чертищев В.Ю. Оценка вероятности обнаружения дефектов акустическими методами в зависимости от их размера в конструкциях из ПКМ для выходных данных контроля в виде бинарных величин // Авиационные материалы и технологии. 2018. № 3 (52). С. 65-79. DOI: 10.18577/2307-6046-2018-0-3-65-79.
84
8. Generazio E.R. Validating design of experiments for determining probability of detection capability for fracture critical applications // Materials Evaluation. 2011. Vol. 69. No 12. Pp. 1399-1407.
9. Астанков А.М., Спесивцев А.В., Вагин А.В. Снижение рисков возникновения опасных последствий при эксплуатации насосных агрегатов заправочного оборудования ракетно-космических комплексов // Проблемы управления рисками в техносфере. 2016. № 1 (37). С. 6-14.
10. Скориков Д.В., Спесивцев А.В., Вагин А.В. Исследование влияния метрологических характеристик средств измерения на оценку риска эксплуатации сложных технических комплексов // Проблемы управления рисками в техносфере. 2010. № 4 (16). С. 48-53.
References
1. Krajnij V.I. Razrabotka metoda kompleksirovaniya informacii mnogoparametrovogo nerazrushayushchego kontrolya dlya obnaruzheniya vnutrennih defektov slozhnyh konstrukcij // Nauchnoe izdanie MGTU im. N.E. Baumana elektronnyj nauchno-tekhnicheskij zhurnal «Nauka i obrazovanie». 2018. № 10. S. 253-268. doi: 10.7463/1013.0615195.
2. Kot P., Muradov M., Gkantou M., Kamaris GS., Hashim K., Yeboah D. Recent Advancements in Non-Destructive Testing Techniques for Structural Health Monitoring // Applied Sciences. 2021. 11(6): 2750. https://doi.org/10.3390/app11062750.
3. Rens K.L., Wipf T.J., Klaiber F.W. Review of nondestructive evaluation techniques of civil infrastructure. J. Perform. Constr. Facil. 1997. 11. R. 152-160.
4. Ivanov V.I., Konovalov N.N., Dergachev A.N. Ispol'zovanie veroyatnostnyh metodov dlya ocenki effektivnosti nerazrushayushchego kontrolya // Internet-zhurnal «Tekhnologii tekhnosfernoj bezopasnosti». 2014. Vyp. № 6 (58).
5. Algoritm optimizacii kompleksa sredstv instrumental'nogo kontrolya dlya diagnostiki ob"ektov nazemnoj kosmicheskoj infrastruktury / V.V. Bukrin [i dr.] // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Povolzhskij region. Tekhnicheskie nauki. 2012. № 1 (21). S. 72-81.
6. Obosnovanie optimal'nogo nabora metodov nerazrushayushchego kontrolya dlya polucheniya trebuemoj informacii o tekhnicheskom sostoyanii ob"ektov / N.D. Anikejchik [i dr.] // Trudy nauchno-tekhnicheskogo seminara. Nerazrushayushchij kontrol' ob"ektov nazemnoj kosmicheskoj infrastruktury. SPb.: Izd-vo VIKA im. A.F. Mozhajskogo, 2004. S. 79-85.
7. Chertishchev V.Yu. Ocenka veroyatnosti obnaruzheniya defektov akusticheskimi metodami v zavisimosti ot ih razmera v konstrukciyah iz PKM dlya vyhodnyh dannyh kontrolya v vide binarnyh velichin // Aviacionnye materialy i tekhnologii. 2018. № 3 (52). S. 65-79. DOI: 10.18577/2307-6046-2018-0-3-65-79.
8. Generazio E.R. Validating design of experiments for determining probability of detection capability for fracture critical applications // Materials Evaluation. 2011. Vol. 69. No 12. Pp. 1399-1407.
9. Astankov A.M., Spesivcev A.V., Vagin A.V. Snizhenie riskov vozniknoveniya opasnyh posledstvij pri ekspluatacii nasosnyh agregatov zapravochnogo oborudovaniya raketno-kosmicheskih kompleksov // Problemy upravleniya riskami v tekhnosfere. 2016. № 1 (37). S. 6-14.
10. Skorikov D.V., Spesivcev A.V., Vagin A.V. Issledovanie vliyaniya metrologicheskih harakteristik sredstv izmereniya na ocenku riska ekspluatacii slozhnyh tekhnicheskih kompleksov // Problemy upravleniya riskami v tekhnosfere. 2010. № 4 (16). S. 48-53.
85
