CC BY
3
urovne-zhizni-naseleniya-i-v-sotsialnoj-sfere-v-rd-za-2011-2017-gody.html (дата обращения: 29.12. 2018 г.)
УДК 055
Исманова К. Д.
Мирзаев Ж.И.
Наманганский инженерно-технологический институт
Узбекистан, Наманган МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ
ПАРАМЕТРОВ
Аннотация: В настоящей статье разработан алгоритм вычисления функциональных зависимостей необходимых параметров при решении многомерных задач фильтрации численными методами. Для построения функциональных зависимостей фильтрационных параметров использовано данные полученные после анализа пласта на местоположениях скважин.
Ключевые слова: математическая модель, локальная аппроксимация, линейное системное уравнение, коэффициент проницаемости пласта, коэффициент пористости, поле давления, вычислительный алгоритм, программная средства.
Ismanova K.D.
Mirzayev J.I.
Namangan engineering-technological institut MATHEMATICAL MODELS TO CONSTRUCT THE FUNCTIONAL DEPENDENCIES OF FILTRATION PARAMETERS
Annotation: In this paper is developed an algorithm for calculating the functional dependencies of the required parameters for solving multidimensional filtration problems by numerical methods. To construct the functional dependencies of filtration parameters, the data obtained after analysis of the formation at well locations was used.
Keywords: mathematical model, local approximation, linear system equation, formation permeability coefficient, porosity coefficient, pressure field, computational algorithm, software.
Математическое моделирование природных, технологических и других процессов и явлений получило достаточно широкое развитие. Одно из преимуществ такого моделирования состоит в том, что математическая модель, адекватно отражающая изучаемый процесс, дает возможность прогнозировать во времени дальнейшее развитие событий и предвидеть его последствия, в том числе и негативные.
С этих целях многими исследователями разработаны математические модели, адекватно описывающий фильтрационного процесса многофазных сред. Двухмерная математическая модель фильтрации газовых месторождений при водонапорном режиме имеет следующий вид:
в газовых зоне д_
дх
rkx(х,y)hi(х,у) дРг2^
ßl
дх
д +—
ду дР
rK(х,y)hi(x,у) dPi2^
ßi
ду
= 25(х, y)mi (х, y)hi (х, у) + Fi (х, у, t)
dt
(х у)е Gi
удовлетворяющий начальных и граничных условий
Pi(хy,t)|t=0 = Pi(ху) е Gl Р2(хy,t^t=0 = Р2(x,у) е ^
дРLi
di3 Г
= 0
(x, у) е Г2,
здесь k - коэффициент проницаемости пласта, m - коэффициент пористости, t - время разработки, Pi - значения поле давления, Fi=5qi: 5 -дельта-функция Дирака, qi - дебиты внутренних скважин, ßi*- коэффициенты упругоемкости [1].
Для решения задачи численными методами приходится определять значения фильтрационных и объемных параметров на вне скважинных точках, т.е. необходимо ввести всех коэффициентов на всех узлов сетки. Но, к сожалению всех этих коэффициентов невозможно получить в реальных условиях на всех узлах.
Для определения значения коэффициенты на всех узлов сетки с помощью известных данных придется установит функциональных зависимости этих параметров.
Пусть, нам заданы xeRn - векторный n-мерный вход, yeR1 -скалярный выход, которые связаны функциональной зависимостью y=y(x).
требуется восстановить зависимость y(x) или опре делить значение выхода y при заданном х по конечной совокупности объема N экспериментальных данных {z(s), x(s)}1N.
Рассмотрим непараметрические методы определяемые соотношением yN (x, 5) = CTNp(0), cN = arg min JN (x, c, 5),
1 n
JN (- C,5) =~^LP
ГХ - X (") ^ >
5
F (z(s)-c(T V( x-x(s)))
где ффх) е ^т - вектор заданных координатных функций; с е ^т - вектор
неопределенных коэффициентов; Сы - оценка этого вектора, определяемая
минимизацией функционала Ж по с; ^(гП ~С ф(х~хП))- неотрицательная функция потерь; р(ц) - функция локальности имеющая максимум в нуле и
стремящаяся к нулю при ^ ю; у м (- оценка значения у(х) в точке х; Т -символ транспонирования.
Оценка построена в соответствии с методом локальности аппроксимации (МЛА), в силу которого координатные функции ф(х) используются для аппроксимации у(х) только в некоторой окрестности точки х. функция локальности обеспечивает наибольший вес в функционале Ж
наблюдением, соответствующим узлам ближайшим к точке х. параметр локальности 5 определяет размеры области локальности модели [2].
Сначала рассмотрим метод применительно к задаче восстановления по конечному числу наблюдений функции одного переменного.
Пусть у(х) - функция одного переменного xeR, заданная своими
значениями у( = у(^ на множестве N узлов х^), з=1...М Линейное
N
у( х,5) = £ ^ (х,5) у(')
преобразование
используемое для восстановления у(х), определяем дискретный оператор усреднения. С каждым х связывается свой набор наблюдений у^), соответствующих узлам x(s), из определенной окрестности х. в каждом таком подинтервале строится аппроксимация типа
т
у( х) = £ (х)
]=1
с
которое определяется коэффициенты у . При этом модель типа используется для вычисления оценки функции только в одной точке подинтервала - в точке х. для других также вычисления выполняются заново [3].
Коэффициенты с](Л) определяются из условия минимума квадратичного по е^) функционала:
3(х' с) = 1£ № - х(*) )5 1 )[у(в) - У(X(в), Л)]2
N в=1
Здесь для формализации идеи локального характера модели введена специальная весовая функция р(и) - функция локальности. Будем считать, что функция р(и)>0, достигает максимума при и=0, является невозрастающей функцией от | и|, р(и)^0 при | и| ^да. Интервал, где р(и) строго больше нуля, р(и)>0 называется носителем функции локальности. Описанный выбор функции р(и) обеспечивает наибольший вес в сумме слагаемым соответствующим значениям х^), наиболее близким к центру Л
3 п - Г"
-= 0, ] = 1, т.
Условие минимума функционала J по с имеет вид 5cJ необходимые вычисления приводят к линейной системе уравнений
т N
£ С; (Л )£ р(Л - х(') (Л - х('>)«Ь (Л - х(')) =
1=1 Л=1
N _
£р(Л-х('У)уз (Л-х('))У('), ] = 1,т.
^=1
Здесь Ф(Л)=(Фу(Л))т - квадратная матрица тхт, Г = (Гl,..., Гт) - т_мерные векторы[4].
с = Оч— Ст X
Заметим, что всегда разрешима и для простоты предполагаем, что det Ф^0, тогда система уравнений имеет единственное решение записываемое в
форме = ф1(П Г
С помощью для одного переменного построена зависимость в узловых точках по направлению х во всех скважина-точках рассматриваемой области. Таким образом на двухмерном сетке получаем дискретные значения функциональной зависимости фильтрационных параметров. Строится таким же образом функциональные зависимости объемных параметров на двумерной сетке.
Использованные источники:
1. Жураев Т. М., Исманова К. Д. Модель и алгоритм трехмерной визуализации численных результатов для поддержки принятия технологических решений //Теория и практика современной науки. - №. 4.
2. Исманова К. Д., Ибрагимов Д. Х. Системный анализ для определения параметров, обеспечивающих повышение эффективности управления технологическими процессами подземного выщелачивания //Актуальные научные исследования в современном мире. - 2016. - №. 11-1. - С. 61-64.
3. Исманова К. Д., Жураев Т. М. Модель и алгоритм оптимизации основных параметров, влияющих на процесс подземного выщелачивания в условиях этажной системы разработки //Теория и практика современной науки. - 2016. - №. 4. - С. 309-311.
4. Ирискулов С. С. и др. Численные методы и алгоритмы. МЛТНСАО. Учебное пособие //Наманган, Изд-во. Наманган. - 2013.
