Математические модели для обеспечения условий работоспособности оптической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ УСЛОВИЙ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

А.В. Иванов

В статье описаны универсальные математические модели, предназначенные для достижения прохождения действительных лучей в процессе параметрического синтеза оптических систем, в том числе при пересчете аналогов на повышенные характеристики поля зрения и апертуры. Предложенные модели нацелены на сохранение аберрационной коррекции, достигнутой на предыдущих этапах проектирования оптики, и отличаются непрерывностью функциональных ограничений.

При использовании в процессе параметрического синтеза оптической системы теории тонких компонентов, а также при пересчете аналога на повышенные значения поля и апертуры нередко возникает проблема нарушения условий прохождения действительных лучей через элементы конструкции. Другими словами, полученная система оказывается неработоспособной при заданных передаточных и присоединительных характеристиках.

Установить нарушение условий работоспособности можно с помощью специали-

2 г2

зированных характеристик действительных лучей по поверхностям ск и ск , где I - индекс поверхности, к - индекс луча [1]. Положительные значения с^к и с'2 соответствуют квадратам косинусов углов падения и преломления, а отрицательные значения определяют непересечение луча с поверхностью или наличие полного внутреннего отражения.

Свойства с2 и с'к позволяют описать область работоспособности оптической системы в виде

где X - вектор варьируемых параметров. В качестве X могут быть использованы конструктивные элементы оптики или связанные с ними аберрационные параметры Р, Ж, С тонких компонентов.

Полученная модель адекватно отражает условия прохождения действительных лучей и принципиально может быть использована для обеспечения работоспособности системы. Однако на практике применение ее в этих целях оказывается нецелесообразным.

Во-первых, задача отыскания X, удовлетворяющих (1), некорректна и, следовательно, может иметь бесчисленное множество решений [2]. Поскольку какой-либо критерий отбора решений отсутствует, нет никакой гарантии в том, что для результирующего вектора X аберрационная коррекция будет соблюдаться. Это делает бессмысленными все этапы параметрического синтеза, предшествующие задаче (1).

Во-вторых, функции с2к (X) и с'к (X) являются разрывными. Действительно, если, скажем, с2тк (X) < 0, то характеристику с2к (X), г > т вычислить уже не удается.

В-третьих, зависимости с2к (X) и с'к(X) оказываются сильно нелинейными, что затрудняет использование методов нелинейного программирования для решения зада-

Наконец, в-четвертых, неравенства (1) не учитывают требования нахождения вектора X в пределах реальных ограничений по точности и времени расчета на компьютере, так как допуск на их выполнение фактически равен нулю.

4 (X) > 0 i = 1,2,..., p С;2(X) > 0 k = 1,2,...,n,

(1)

чи (1).

С целью частичного устранения отмеченных недостатков модели (1) в работе [3] было предложено использовать вместо характеристик с2к (X), с'2 (X) сложные функции

вида

Ь гк = к1 "V1

(2)

К = К

где к1, к2 - чуть меньшие единицы постоянные (к1 = к2 = 0.9). Величины Ък, Цк имеют область отрицательных значений при небольших косинусах углов падения и преломления, что гарантирует соблюдение условий работоспособности при Ък > 0 и Ъ'к > 0.

Сложный вид функций Ък, Ъ'к обусловлен попыткой достижения их квазилинейности

относительно параметров X.

Однако, по сути, введение (2) позволяет только расширить допуск на соблюдение граничных условий. Действительно, линейность предложенных функций представляется весьма спорной (например, зависимость Ъ к от кривизны поверхности имеет характер

квадратного корня из квадратного трехчлена, т.е. является принципиально нелинейной функцией [4]). Далее, замена характеристик (1) на характеристики (2) по-прежнему не решает проблему некорректной постановки задачи синтеза и разрыва функциональных ограничений.

В этой связи автором предлагается несколько иная модель обеспечения работоспособности оптической системы, суть которой состоит в следующем. Введем в модель работоспособности целевую функцию

где Г(Х) - вектор коэффициентов аберраций третьего и высших порядков, используемых в качестве корригируемых функций. Очевидно, что ср(Х) всюду существует, а значение р(Х) = 0 отвечает относительно лучшему качеству коррекции системы. Поэтому условие минимизации р(Х) в известной степени решает проблему отбора решений в модели работоспособности.

В состав Р(Х), вообще говоря, можно включить только коэффициенты аберраций третьего порядка, которые не требуют больших вычислительных затрат. Однако наличие среди корригируемых функций коэффициентов высших порядков позволяет повысить адекватность модели и способствует уменьшению числа итераций при решении задачи нелинейного программирования.

Добавление целевой функции <р(Х) к модели работоспособности, таким образом, создает условия для того, чтобы сохранить результаты коррекции оптической системы, полученные на предыдущих этапах синтеза, а иногда даже и превзойти их.

Для достижения прохождения действительных лучей через поверхность в случае старта из недопустимой области параметров можно воспользоваться ограничениями

где величину «запаса по прохождению лучей» к0 рационально взять в диапазоне от -0.05 до -0.1.

Для предупреждения разрыва модельных функций предлагается применить специальный прием, состоящий в замене неактивных ограничений gгk > 0 и g'ik > 0 на ограничения барьерного типа:

р(Х) = Ет(ХЩХ),

gi,k = к0 + Сг2к > 0

г,к п0 ^ ^г,к

g' к=к+<* > 0'

= к0 (к0 + Сгк )/4 > 0 (рабочая область С'2к > О)

ё'гк = К (к0 + С'гк)/ С'гк > 0 (рабочая область С'к > 0) '

где к0, к0' - постоянные, значения которых выбираются из тех соображений, чтобы в

момент перехода к новым функциям соблюдались соотношения = gik и = g'ik.

Указанный прием позволяет разбить общую задачу обеспечения работоспособности оптической системы на два этапа: входа в область работоспособности (посредством характеристик gik и g¡k) и удержания в этой области (посредством характеристик gik и

g'ik). Во избежание разрыва первых производных функций модели замена gik, g'ik на gik, должна производиться только между шагами итерационного процесса решения задачи минимизации ср(Х).

Если в оптической системе условия с2к (X) > 0 и с'2 (X) > 0 соблюдаются для всех поверхностей /, множество функций gik и ^, / = 1,2,...,р может быть заменено на одну аберрацию к-го действительного луча, включенную в целевую функцию проектирования (или в ограничения). В этом случае сама аберрация играет роль барьера, не допускающего выхода варьируемых параметров из области работоспособности объекта проектирования.

Рассмотрим пример использования описанной выше математической модели для обеспечения прохождения действительных лучей через двухкомпонентный объектив. Исходная конструкция системы получена из условий

р = щ = С = Р2 = щ = с2 = 0

и приведена в табл. 1.

Я й

40.68 0

-22.91 0

-21.72 0

151.30 10.0

5.68 0

10.64 0

7.00 0

4.85

I' =

По

Марка стекла

1

1.7440 1

1.6475 1

1.7440 1

1.6475 1

СТК19

ТФ1 СТК19 ТФ1

о : /' = 1:1

Таблица 1. Объектив с нарушенными условиями работоспособности

При заданных фокусном расстоянии (/' =30 мм) и относительном отверстии (1:1) апертурный луч осевого пучка испытывает полное внутреннее отражение уже на второй поверхности объектива. Вызывают также опасение и малые радиусы кривизны поверхностей второго компонента.

Для обеспечения работоспособности оптической системы осуществим минимизацию суммы квадратов продольного хроматизма положения, продольной сферической

аберрации и неизопланатизма третьего порядка при ограничениях на прохождение апертурного луча осевого пучка. В качестве варьируемых переменных будем использовать параметры Р, Ж, С обоих компонентов.

Решение поставленной задачи с помощью методов нелинейного программирования [5] приводит в итоге к работоспособной оптической системе, конструктивные элементы которой приведены в табл. 2

Я ё По Марка стекла

1

34.83 0 1.7440 СТК19

-46.03 0 1

-41.75 0 1.6475 ТФ1

121.07 10.0 1

20.07 0 1.7440 СТК19

32.79 0 1

17.06 0 1.6475 ТФ1

20.02 1

/' = 30.0; Б : /' = 1:1

Таблица 2. Объектив с восстановленными условиями работоспособности

Продольная сферическая аберрация третьего порядка равна -0.03 мм, неизоплана-

тизм третьего порядка -0.015%, хроматизм положения - 0.39 мм.

Литература

1. Родионов С.А. Автоматизация проектирования оптических систем. Л.: Машиностроение, 1982. 270 с.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

3. Буцевицкий А.В. Разработка методов автоматизированного синтеза оптических систем из модулей с известными свойствами: Дисс. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук / Ленингр. ин-т точн. механики и оптики. Л., 1986. 258 с.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.

5. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. Киев: Вища школа, 1983. 512 с.