CC BY
132
НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 519.816
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
© 2011 г. Г.Н. Романенко
Шахтинский институт (филиал) Shakhty Institute (Branch)
Южно-Российского государственного of South-Russian State
технического университета Technical University
(Новочеркасского политехнического института) (Novocherkassk Polytechnic Institute)
Рассмотрены способы математического описания и анализа задач управления и принятия решений на основе нового подхода, опирающегося на понятие нечёткого множества. Показаны возможности применения теории нечётких множеств для решения многокритериальных задач нечёткой оценки ал ь-тернатив.
Ключевые слова: универсальное множество; нечёткое множество; функция принадлежностей; лингвистическая переменная.
The methods of mathematical description and analysis of control problems and making decisions based on a new approach based on the concept offuzzy sets. The possibilities of application offuzzy set theory to solve mul-tiobjective problems offuzzy evaluation of alternatives.
Keywords: universal set; fuzzy set; membership function; linguistic variable.
Математические методы широко применяются для описания и анализа сложных технических, экономических, экологических, социальных и образовательных систем. Во многих системах кроме объективных законов их функционирования существенную роль играют субъективные представления людей. В течение достаточно длительного времени мощный аппарат научного познания и анализа явлений внешнего мира базировался на созданных в определенной мере искусственно закономерностях формальной логики, на строгих описаниях сложных объектов и феноменов с помощью математических абстракций и на других чётко определенных научных принципах и положениях. Ошибочность и односторонность такого подхода представляется очевидной. В настоящее время активно разрабатывается математический аппарат, позволяющий использовать мощный арсенал математических методов для постановки и решения многих важных для практики задач, содержащих существенные неопределённости.
В последнее время все больше учёных склоняется к тому, что неопределённость - фундаментальный принцип, который следует принимать за аксиому. В основе неопределённостей и нечёткостей лежат два основных фактора. Объективный фактор обусловлен самим существованием объектов и явлений внешнего мира с неоднозначными характеристиками. Субъективный же фактор связан с индивидуальными особенностями восприятия этих явлений различными людьми.
Важно понимать сущность и природу конкретной неопределённости для выбора наиболее адекватной математической модели и метода решения задачи, в которой эта неопределённость проявляется.
Проблема принятия решения в условиях неопределённости не может быть решена силами одних математиков, порой без знаний и умений «эксперта» (профессионала в данной области) здесь не обойтись. Однако только математики могут изучить всё многообразие проблемы и создать систему процедур, которая приведёт субъекта (оперирующую сторону) к варианту «подходящих» решений. Аппарат нечётких множеств позволил широко использовать надежные и проверенные математические подходы при решении задач, которые раньше с трудом подлежали математическому описанию или вообще не поддавались формализации. Тем самым возникла возможность соединения строгости и точности классической математики с существенной неопределённостью и неоднозначностью многих практических ситуаций.
Методы теории нечётких множеств открывают много новых границ в социологии, экономике, науке управления. Математическая теория нечётких множеств, предложенная Л. Заде, позволяет описывать нечёткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечёткие выводы. Наличие математических средств отражения нечёткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности. Традиционную теорию множеств можно рассматривать как частный случай теории нечётких подмножеств. Большинство человеческих знаний и связей с внешним миром включают такие построения, которые нельзя назвать множествами в классическом смысле. Их скорее следует считать «нечёткими подмножествами», т.е. классами с нечёткими границами, когда переход от принадлежности к непринадлежности элемента множеству происходит постепенно, не резко.
В проблеме выбора альтернатив важное место занимает анализ ситуаций, в которых определяющими являются не количественные, а качественные характеристики. Для этих целей Л. Заде была создана теория лингвистической переменной. Значение лингвистической переменной характеризуется не числовой величиной, а словом (или набором слов) естественного языка. Л. Заде показал, каким образом нечёткую, качественного характера информацию можно использовать в формализованных процедурах анализа [1]. Введённую им функцию принадлежности можно рассматривать как способ формализации качественных показателей. Функции принадлежности - это гипотезы, отражающие субъективные представления эксперта о характере ограничений и целей исследования. Благодаря функциям принадлежности исследователи получили новый математический аппарат, позволяющий строить оценки для альтернатив и решать проблему математической обработки той нечёткой информации, которая введена в модель, для выбора рациональных вариантов управления системой.
Рассмотрим приложения теории нечётких множеств к решению многокритериальных задач нечёткой оценки альтернатив. Под принятием решений понимается выбор одной альтернативы из заданного множества альтернатив. Реализация любой альтернативы предполагает наступление некоторых последствий, анализ которых по некоторому критерию эффективности полностью характеризует альтернативу. Решение задач сводится к построению адекватней модели выбора наилучшей в некотором конкретном смысле альтернативы на основе выявления и исследования предпочтений лица, принимающего решения (ЛПР). Необходимо учитывать субъективные суждения ЛПР при формализации предпочтений и выборе лучшей альтернативы. В ситуациях принятия решений, когда исходы, критерии, предпочтения описываются качественно, нечётко, имеют место задачи многокритериального принятия решений при нечеткой исходной информации.
Пусть X = {хь х2 ,... , хп} - множество альтернатив. Выбор альтернативы х из множества X осуществляется на основе степени соответствия альтернативы некоторой совокупности требований, определяемой системой k различных критериев, имеющих одинаковую важность. Каждому критерию С, соответствует
и \ 1
По определению операции пересечения нечётких
( \
множеств ц D(xj) = min
нечеткое подмножество Ci = ■
x,l Цс,(х.;)
Ixj е *}
где I = 1, 2,..., К; ] = 1, 2,..., п; ц (х}) - характеристика степени соответствия альтернативы х^ требованию, определяемому критерием С. Решением задачи будет альтернатива х, удовлетворяющая в наибольшей мере требованиям всей совокупности критериев. Следуя [2], нечётким решением задачи назовём нечёткое множество о , которое является пересечением нечётких множеств с, , О = С1 ПС2 П...ПСК.
М х, j
где j = 1, 2,..., n.
¿е{1,...,:} I
При выборе конкретной альтернативы в качестве решения задачи обычно выбирают ту альтернативу х*, которая с максимальной степенью принадлежит не-
чёткому решению о , т.е. цо(х;) = тах I цО(х})
~ о уе{1,...,и} ^ ~
Пример 1. Методом многокритериальной оценки альтернатив решим задачу выбора старосты группы. Наиболее подходящими кандидатами являются: х1 -отличник учёбы, х2 - хороший организатор, х3 - спортсмен, пользующийся авторитетом среди студентов. Равнозначными критериями оценки кандидатов выбраны следующие: С1 - успеваемость, С2 - организаторские способности, С3 - уважение студентов. Определив степень соответствия каждого из претендентов установленным критериям, получим следующую совокупность нечётких множеств, описывающих их соответствие по каждому критерию:
С1 = {(х!|1), (х2|0,б), (хз|0,5)} ;
С2 = {(х10,б), (х2|0,9), (хз|0,7)};
Сз = {(х10,5), (х2|0,7), (хз|0,9)} .
Нечёткое множество о = С1 П С2 П С3 - нечёткое решение задачи, о = {(хг|0,5), (х2|0,б), (хз|0,5)}.
Сравнивая между собой значения функции принадлежности каждой из альтернатив нечёткому множеству о , можно сделать вывод, что наилучшей альтернативой для занятия вакантной должности старосты группы является альтернатива х2, т.е. хороший организатор.
Иногда многокритериальную оптимизационную задачу требуется решать в условиях различной важности критериев. Тогда каждому критерию С, (I = 1, 2,., К) ставится в соответствие некоторый весовой
1 к
коэффициент а, ^ 0 , при этом — V а, = 1.
К и
Нечёткое решение о выбора наилучшей альтернативы в условиях многокритериальной задачи с неравнозначными критериями С,, имеющими весовые коэффициенты аI, определяется так:
о = С4 П С 222 П... П С^.
Применяя стандартную процедуру попарного сравнения критериев, находят значения весовых коэффициентов. Для этого строят матрицу В = (Ь,^ попарных сравнений, В - квадратная матрица порядка К,
bj =
1, если С{ равной важности С ; 3, если С[ несколько важнее С ; 5, если С[ важнее С; 7, если С[ заметно важнее С ; 9, если С[ существенно важнее С . Ясно, что все Ьи = 1. В силу симметричности отношения важности критериев ь ц = —. Затем из урав-
' Ьу
нения В u = у тах u находят собственный вектор u = (м1, и2, ..., ик) матрицы В, соответствующий максимальному собственному числу у тах и удовлетворяю-
Проведём попарное сравнение критериев, результаты которого представим в виде матрицы
щии условию
^ uk = 1. Коэффициенты
at
i=1
(
B =
1 5 -
определяют по формулам щ = kui , I = 1, 2,..., к.
Пример 2. Решим задачу выбора наиболее подходящего кандидата на получение стипендии Главы Администрации (Губернатора) Ростовской области, считая требования к кандидатам критериями разной важности. В результате знакомства с претендентами были отобраны три студента, которые составили множество альтернатив X = {х1, х2 , х3}, где х1 - отличник учёбы, автор нескольких научных статей; х2 -председатель студенческого профсоюзного бюро факультета; х3 - спортсмен, призёр чемпионата России по тяжёлой атлетике.
В качестве неравнозначных критериев, по которым будем оценивать студентов, возьмём следующие: С1 - общественная активность; С2 - спортивные достижения; С3 - успеваемость, достижения в научно-исследовательской работе. Определив степень соответствия каждого из претендентов установленным критериям, получим следующую совокупность нечётких множеств:
С = {(х:|0,6), (х2|0,9), (хз|0,7)} ;
С2 = {(Х1|0,5), (х2|0,б), (хз|1)} ; С3 = {(Х1|0,9), (х2|0,7), (хз|0,5)} .
Затем найдём собственный вектор u матрицы В, соответствующий максимальному собственному числу, u = (0,06; 0,27; 0,67). Умножая координаты вектора u на 3, получим значения весовых коэффициентов: а: = 0,18; щ 2 = 0,81; «3 = 2,01.
С учётом весовых коэффициентов имеем:
С?,18 = {(х10,91), (х2|0,98), (х3|0,94)} ;
С02 81 ={(х:|0,57), (х2|0,66), (х3|1)} ;
С32,01 = {(х10,81), (х2|0,49), (х3|0,25)} .
Нечёткое решение D = С!0,18 ПС2,8: П С2,Ш имеет
вид D = {(х:|0,57), (х^0,49), (х3|0,25)} .
Альтернатива х1 обладает самым большим значением функции принадлежности нечёткому решению D, следовательно, её и нужно выбрать в качестве
решения задачи. Другими словами, студент х1 в соответствии с используемыми критериями и с учётом их важности является наилучшим кандидатом на получение стипендии.
Литература
1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближённых решений. М., 1976. 163 с.
2. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечёткой исходной информации. М., 1981, 208 с.
Поступила в редакцию 10 октября 2011 г.
Романенко Галина Николаевна - доцент, Шахтинский институт (филиал) Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института) Тел. 8-928-108-66-27. E-mail: romanenko_gn@mail.ru
Romanenko Galina Nikolaevna - assistant professor, Shakhty Institute (Branch) of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 8-928-108-66-27. E-mail: romanenko_gn@mail.ru
