CC BY
2
УДК 519.86
А. В. Злотов, А.Н. Соломатин
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук
Математические методы проектирования транспортных сетей и оптимизация их использования в задачах управления региональными структурами и их развитием
В работе рассматривается комплекс математических методов и алгоритмов, которые на основе методологии регионального программирования были разработаны для решения ряда задач регионального проектирования. Это задачи транспортировки и распределения нефтепродуктов, построения оптимальных древовидных сетей, размещения с учетом коммуникаций, трассирования коммуникаций на неоднородной территории. Приводится краткое описание соответствующих программных систем.
Ключевые слова: региональное программирование, региональное проектирование, построение транспортных сетей, трассирование коммуникаций, задачи логистики нефтепродуктов
А. V. Zlotov, A.N. Solomatin
Federal Research Center «Computer Science and Control» of Russian Academy of Sciences
Mathematical methods of designing transport networks and optimizing their use in problems of managing regional structures and their development
The paper considers a set of mathematical methods and algorithms that, based on the methodology of regional programming, were developed to solve a number of problems of regional design. These are the tasks of transportation and distribution of petroleum products, constructing optimal tree networks, placement taking into account communications, tracing communications on a heterogeneous territory. A brief description of the relevant software systems is provided.
Key words: regional programming, regional design, construction of transport networks, communications tracing, tasks of petroleum products logistics
1. Введение
В Отделе математических методов регионального программирования ФИЦ ИУ РАН накоплен большой опыт решения различных задач регионального проектирования [1, 2]. Это задачи размещения территориально производственных комплексов различного назначения, задачи построения, анализа и развития коммуникаций, задачи управления производственно-транспортными комплексами и ряд других задач территориального планирования и проектирования. Важной задачей регионального проектирования является задача проектирования генеральных схем обустройства нефтяных и газовых месторождений.
Для решения задач регионального проектирования был разработан ряд новых методов и алгоритмов [1-3], таких как:
© Злотов А. В., Соломатин А.Н., 2023
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023
— аппроксимационно-комбинаторный метод решения задач дискретной оптимизации;
— метод последовательных расчетов решения задач размещения;
— методы построения сетей с разрывными стоимостями ребер в зависимости от потока;
— методы оптимизации параметров трубопроводных сетей и т.д.
Основным объектом исследования в данной работе являются транспортные региональные сети различного назначения, в частности, сети нефтяных и газовых месторождений — трубопроводы, дороги, электрические сети. Предметом исследования являются вопросы построения оптимальных сетей, трассирования коммуникаций с учетом неоднородности территории, вопросы логистики нефтепродуктов.
В п. 2 настоящей работы изложены методологические основы регионального проектирования, в п. 3 приведены постановка и решение относительно новой экономической задачи, связанной с планированием производства, хранения, транспортировки и распределения нефтепродуктов. В пп. 4—5 приводятся ранее разработанные методы, связанные с решением задач формирования оптимальных сетей и задач размещения с учетом коммуникаций. Наконец, в п. 6 рассмотрено дальнейшее развитие методов трассирования коммуникаций.
Предлагаемый подход к задачам проектирования, анализа и управления транспортными сетями предполагает комплексное решение проблемы, включающее разработку математических методов, алгоритмов и программ для решения задач проектирования размещения территориально-производственных комплексов в регионе совместно со связывающими коммуникациями, задач анализа и реконструкции магистральных транспортных коммуникаций региона и задач управления комплексом транспортных сетей, включая задачи планирования производства, хранения и распределения продукции.
2. Методологические основы регионального проектирования 2.1. Специфика задач проектирования
В процессе исследований были выявлены следующие основные свойства задач регионального проектирования, в частности, задач проектирования генеральных схем обустройства месторождений [2].
1. Декомпозиция и композиция задачи проектирования. Решение задачи проектирования в общем виде невозможно как из-за огромной размерности получаемой задачи, так и из-за наличия специфических условий и ограничений при проектировании каждой из систем обустройства. Поэтому задача проектирования разбивается на решение задач проектирования отдельно каждой из систем обустройства (декомпозиция задачи проектирования).
2. Аппроксимирующие задачи. Решение задачи проектирования каждой из систем обустройства зачастую также может оказаться «неподъемной» как из-за сложного вида стоимостных функций строительства объектов и коммуникаций, так и из-за наличия специфических ограничений по каждой из систем. Поэтому для решения задачи строится набор аппроксимирующих функций, для которых разработаны методы формирования не только оптимального, но близких решений в некотором фиксированном диапазоне.
3. Многокритериалъностъ задачи. При выборе реального проекта для внедрения его необходимо проанализировать по ряду многих, часто не формализуемых, критериев. Эту задачу позволяет решить наличие множества близких решений, анализ которого по совокупности оценочных критериев позволяет выбрать реальный проект.
4. Многоэкстремалъностъ задачи. Разработка специализированных методов оптимизации, таких как метод ветвей и границ, метод последовательных расчетов и другие, позволяет избежать при поиске оптимального решения полного перебора всех вариантов за счет отбраковки заведомо неоптимальных решений.
5. Динамическое проектирование — учет построенных объектов и коммуникаций. При освоении месторождения неизбежно возникают ситуации, когда в процессе строительства происходят отклонения от проекта, уточняются данные проекта разработки, возникают до-
полнительные ограничения и требования, на него накладываемые, изменяется информация по стоимости строительства объектов и коммуникаций. В этом случае проект необходимо пересчитать с учетом уже построенных на данный момент объектов и коммуникаций, уточненных данных проекта разработки, наличия дополнительных ограничений и исходных данных.
6. Имитационное проектирование. Предусматривается возможность задания проектировщиком различных элементов проекта, например размещения пунктов сбора и переработки, и использования системы для оптимизации остальных его элементов (оптимизации структуры сетей и расчета ее параметров).
2.2. Аппроксимационно-комбинаторный метод
Приведем основные положения аппроксимационно-комбинаторного метода [1].
Пусть на множестве П, состоящем из конечного числа элементов ш £ П, задана функция f (w). Требуется определить такой элемент а £ П, что
f (а) = min f (ш), ш £ П. (1)
В таком виде может быть записана практически любая задача дискретного программирования. Если |П| достаточно велико, возникает необходимость в разработке методов, исключающих полный перебор; это методы линейного и динамического программирования, последовательных расчетов, ветвей и границ и некоторые другие. Однако все они имеют общий недостаток — чувствительность к незначительному изменению условий задачи. Так, в случае выпуклой вверх функции симплекс-метод становится неприменимым, добавление дополнительного ограничения зачастую делает неприменимым метод динамического программирования, а нарушение условия S(ö, j) ^ 0 — метод последовательных расчетов.
Аппроксимационно-комбинаторный метод, рассматриваемый ниже, указывает способы модификации методов в направлении уменьшения их чувствительности к изменению условий задачи, что позволяет расширить класс решаемых с их помощью задач. Опишем основные положения этого метода при решении задачи (1).
1. На множестве П определяется аппроксимирующая функция Р(w) такая, что f(а) ^ Р(а), и для Р(w) имеются эффективные методы и алгоритмы определения не только
од £ П при Р(од) = minР(ш),
шЕП
но и определения такого подмножества По С П, что
Р(ао) < Р(w) < Р(ао) + R, ш £ По.
2. Выбирается некоторое число С такое, что Р(од) ^ С, Р(од) + R = С.
3. Определяется элемент а £ По такой, что f (а) = min f (w).
шЕ По
Значения аи f (а) принимаются в качестве решения.
Если f (а) ^ С, то а = од f (а) = f (а) (критерий оптимальности).
Если же f (а) > С, то С < f (а) ^ f (й), т.е. а и f (а) определяют приближенное решение.
Эффективность аппроксимационно-комбинаторного метода определяется числом элементов в подмножестве По. Применение его эффективно в том случае, если |По| существенно меньше, чем |П|. В худшем случае, когда |По| = |П|, аппроксимационно-комбинаторный метод не облегчает решения задачи.
Если же имеются несколько аппроксимирующих функций, то величина |По| может быть существенно уменьшена, так как в этом случае
п
По = П по
г=1
При решении конкретных задач, как правило, чем «хуже» аппроксимирующая функция Рг(ш), тем больше элементов в соответствующем ей подмножестве Q0, но тем проще вычисление значений Рг(ш) для ш £ Q и в конечном итоге определение самого подмножества Q0.
2.3. Модифицированный метод последовательных расчетов
При решении оптимизационных задач в процессе регионального проектирования целесообразно использование метода последовательных расчетов (МИР) Черенина, развитого В. Р. Хачатуровым [1, 3, 4]. Предметом исследования являются функции Р(ш), определенные на множестве всех подмножеств множества I = {1, 2,... ,п}. Достаточным условием применимости МИР для решения оптимизационной задачи Р(uo) = min Р(ш) по всем ш С I является выполнение следующего неравенства для любых двух подмножеств 5 и 7 множества Р.
S(5,7) = Р(ö) + Р(j) - Р(ö U 7) - Р(Ö П 7) < 0. (2)
Функции Р(ш), удовлетворяюнще условию S(ö,j) ^ 0, называются супермодулярными. функции Р(ш), удовлетворяюнще условию S(ö,j) ^ 0, называются субмодулярными. Наконец, функции Р(ш), для которых S(ö,j) = 0, называются модулярными.
Приведем в соответствии с [1, 3] ряд определений.
Определение 1. Функция Р(w) на подмножестве а С I имеет локальный минимум (а само подмножество а называется локальным минимумом), если выполняются условия: Р(а) ^ Р(а U {г}) для всех i £ 1\а и Р(а) ^ Р(а\{г}) для всех i £ а.
Определение 2. функция Р(ш) на подмножестве а С I имеет глобальный минимум, если для любого ш С I справедливо Р(а) ^ Р(ш), при этом подмножество а называется глобальным минимумом или оптимальным подмножеством.
Определение 3. Рядом подмножеств, соединяющим подмножества шг и (шг С называется последовательность подмножеств множества I вида шг, шг+1,..., шр,..., шь-1,шь, где |wp| = р, шр-1 С шр, г ^ 0 t ^ п, а р последовательно пробегает значения от г до t. Ряд подмножеств называется главным, если г = 0 t = ni т-е- главный ряд имеет следующий вид: {0} = ш0,ш1,..., шр,.. .,шп = I.
Определение 4. функция Р(ш) называется монотонно убывающей по ряду подмножеств, если для любых ш1 С ш2 из этого ряда выполняется Р(w1) ^ Р(w2); аналогично определяется монотонно возрастающая функция.
Теорема (основная теорема МПР). На, любом главном, ряду подмножеств, содержащем локальный минимум а, функция, Р(ш), удовлетворяющая условию супермодулярности (2); монотонно убывает вплоть до а и монотонно возрастает после а.
Из основной теоремы и ее следствий вытекают правила отбраковки подмножеств, позволяющие исключать из рассмотрения большие группы подмножеств, не теряя при этом глобальный минимум [4].
Также были сформулированы и доказаны три обобщенные правила отбраковки [1, 3], применение которых позволяет найти не только оптимальное подмножество а, но и все близкие к оптимальному подмножества ш, т.е. все ш С /, для которых Р(а) ^ Р(ш) ^ Р(а) + R для некоторого фиксированного R ^ 0. Приведем в качестве примера первое правило.
Первое обобщенное правило отбраковки. Если для каких-либо подмножеств wi С Ш2 С I известны значения Р(wi) и Р(Ш2) и если Р(wi) + R < Р(Ш2), то можно исключить из рассмотрения все 2га-|ш21 подмножеств Ш2 С ш, так как для них заведомо Р(ш) > Р(а) + R.
Обобщенные правила отбраковки используются в модифицированном алгоритме последовательных расчетов для определения оптимального и всех близких к оптимальному подмножеств ш С I. Этот алгоритм состоит из двух основных этапов. На первом этапе предварительной отбраковки последовательно применяются первое и второе правила отбраковки,
что позволяет исключить из рассмотрения заведомо не являющиеся оптимальными подмножества ш С I. На втором этапе работает основной алгоритм МИР, который использует первое и третье правила отбраковки, чтобы определить оптимальное и все близкие к нему подмножества ш С I.
Практика показала, что использование обобщенных правил отбраковки в алгоритме последовательных расчетов позволяет находить глобальный минимум функции Р(ш), просмотрев только кп3 вариантов го общего числа 2га вариантов, где 1/п2 < к < п2.
3. Планирование производства, хранения, транспортировки и распределения нефтепродуктов
Была разработана динамическая модель функционирования крупного нефтедобывающего производственно-транспортного объединения (ПТО) [5], включающая добычу нефти на нескольких месторождениях, ее транспортировку по нефтепроводам до нефтеперерабатывающих заводов (НПЗ), транспортировку вырабатываемых нефтепродуктов (НИ) до перевалочных и распределительных нефтебаз, где производится их хранение и отгрузка потребителям. Склады и нефтебазы распределены по территории страны, поставка нефтепродуктов потребителям и нефтебазам предусматривается различными видами транспорта. Задача решается в динамике, то есть заказы на поставку НИ различного вида поступают подекадно и, в зависимости от их состава, на НПЗ возможно изменение технологического процесса, обеспечивающего процентный состав НП.
В настоящее время эти задачи решаются самостоятельными диспетчерскими системами по каждому элементу комплекса — НПЗ, логистике перевозок, складированию. Такой подход не обеспечивает взаимосвязи этих систем, что часто приводит к несогласованности в их работе. В результате возможны срывы или переносы некоторых заявок на поставки нефтепродуктов, нехватка или простой транспортных средств, дефицит ёмкостей для хранения нефтепродуктов и т.д.
Ниже кратко рассматривается экономико-математическая модель, методы и алгоритмы для решения задачи оптимального планирования производства, хранения и распределения нефти и нефтепродуктов в товаротранспортной сети. Критерием является максимизация прибыли от продаж нефти и нефтепродуктов по различным каналам.
3.1. Состав товаротранспортной сети
Под товаротранспортной сетью (TTC) будет пониматься совокупность транспортных сетей различного вида (нефте- и нефтепродуктопроводы, автодороги, железные дороги, реки и т.д.) и транспортных средств, используемых для транспортировки различных НП (автоцистерны, контейнеры, железнодорожные цистерны, танкеры и т.д.).
TTC состоит из узлов, соединенных транспортными дугами, причем узлы и транспортные дуги для нефти и нефтепродуктов различны, поэтому исходную TTC можно разбить на две подсети — для нефти и нефтепродуктов.
Узлами TTC являются:
1. Узлы-истоки: для TTC нефти — пункты добычи или покупки нефти, для TTC нефтепродуктов — пункты выработки (НПЗ) или покупки НП.
2. Целевые узлы: для TTC нефти — терминалы (при продаже нефти) или нефтеперерабатывающие заводы (при переработке нефти), для TTC нефтепродуктов — терминалы, с которых осуществляется продажа НП.
3. Промежуточные узлы, в которых может осуществляться перевалка нефти либо нефтепродуктов с одного вида транспорта на другой, временное складирование нефти и разукрупнение (или укрупнение) поставляемых партий нефти.
Технологический процесс имеет следующий вид. Добываемая нефть поступает от месторождений на НПЗ по сети нефтепроводов, далее на каждом НПЗ переработка нефти может быть реализована по различным технологиям. Различными видами транспорта нефть
и нефтепродукты транспортируются от НПЗ до перевалочных нефтебаз, которые служат для хранения НП различного вида, их перегрузки на другие транспортные средства, а также временного хранения в случае их избытка в данном периоде. Далее от НПЗ и перевалочных нефтебаз НП поступают по TTC на распределительные нефтебазы, где и производится их отгрузка потребителям согласно предварительным заявкам. Избыточные объемы НП могут быть проданы на экспорт. При транспортировке может происходить перегрузка нефтепродуктов с одного вида транспорта на другой, осуществляемая на перевалочных нефтебазах, на складах (масла различного вида) и в резервуарах (бензин различного типа, дизтопливо, масла).
3.2. Задачи планирования и оптимизации работы производственно-транспортного объединения
Общая задача планирования и оптимизации работы ПТО формулируется как совокупность решения ряда оптимизационных задач. При заданном пакете заказов на НП для каждой распределительной нефтебазы на весь период планирования необходимо определить:
— динамику добычи нефти на месторождениях и объемы ее переработки на НПЗ;
— оптимальную технологию переработки нефти на каждом НПЗ для каждого из периодов планирования;
— объемы и способы транспортировки нефти и НП по TTC в динамике и загруженность транспортных средств каждого вида;
— динамику объемов хранения НП каждого вида на перевалочных нефтебазах;
— динамику экспортных поставок НП разного вида.
Критерием оптимизации является минимизация суммарных затрат на транспортировку нефти/нефтепродуктов по TTC и стоимости хранения НП на промежуточных нефтебазах на весь период планирования при обеспечении плана поставок НП потребителям.
3.3. Модель функционирования производственно-транспортного объединения
Сырьевое обеспечение. У компании имеется группа нефтяных месторождений с известными объемами максимальной ежемесячной добычи, связанная сетью нефтепроводов с несколькими нефтеперерабатывающими заводами компании. Добываемая нефть поступает на НПЗ по сети нефтепроводов (50), для каждой ветви которой известна ее максимальная пропускная способность и удельная стоимость перекачки. Таким образом, если объемы переработки нефти на НПЗ известны, то объемы поставок нефти по отдельным участкам нефтепроводной сети определяются из решения сетевой распределительной задачи (СРЗ).
Переработка сырья — нефтеперерабатывающие заводы. На каждом НПЗ переработка нефти может быть реализована по различным технологиям (как правило, 2-4 технологии), определяющих различные соотношения выпуска различных НП из одной тонны нефти. Предполагается, что возможна ежемесячная смена технологии в зависимости от соотношения спроса на нефтепродукты в текущем периоде планирования (месяц). При этом известны коэффициенты M = {^i, ^2,..., ^т}, определяющие количество нефти, необходимой для выпуска единицы НП данного вида.
Определим производственную функцию как совокупность векторов Кs = {kf,k^,... ,ksM}, где величины k^ определяют долю г-го нефтепродукта в одной тонне сырья (нефти), произведенного по s-й технологии, a M определяет общее число производимых нефтепродуктов (M ~ 100). Таким образом, при общем объеме Qr перерабатываемого сырья на r-м НПЗ, количество вырабатываемого НП г-го типа по s-й технологии составляет qf = Qrt • fcf, где t — индекс периода планирования.
Транспортные средства,. К транспортным средствам для перевозки нефти и нефтепродуктов относятся нефте- и нефтепродуктопроводы, различные виды железнодорожного,
автомобильного и речного транспорта. Каждому к-му виду транспортных средств соответствует граф транспортной сети Sk, для каждого ребра которого известны максимально возможные объемы перевозок и удельные стоимости перевозки каждого НИ. Перевозки осуществляются от НПЗ до перевалочных нефтебаз (ПНБ) в случае необходимости промежуточного хранения или перегрузки, либо непосредственно до распределительных нефтебаз (РНБ) для отгрузки потребителям.
Перевалочные нефтебазы. ПНБ служат для хранения НП различного вида, их перегрузки на другие транспортные средства, обеспечения недостающих поставок НП различным потребителям в случае их нехватки или временного хранения НП в случае их избытка в данном периоде. Для каждой ПНБ по каждому виду НП известны нижние и верхние границы объемов хранения НП данного вида, удельная стоимость хранения и текущее наполнение. Таким образом, ПНБ являются связующим звеном при расчетах поставок НП для различных периодов планирования.
Распределительные нефтебазы. От НПЗ и ПНБ нефтепродукты поступают по TTC на распределительные нефтебазы, где и производится их отгрузка потребителям согласно заявкам qfk на данном периоде планирования. Здесь t — номер периода планирования, I — номер РНБ, г — номер НП, к — номер заказа данного НП на данной РНБ в текущем периоде.
3.4. Алгоритмическое обеспечение решения задачи
Данная задача принадлежит к классу задач регионального программирования [1] и является частично целочисленной задачей линейного программирования. Для её решения разработана система оптимизационных алгоритмов, включающая известные алгоритмы решения сетевой распределительной задачи [6] и метод локальных вариаций [7].
Для решения сетевой транспортной задачи по каждому НП формируется граф, вершинами-источниками которого являются НПЗ и склады готовой продукции (СК) — ПНБ и РНБ, а стоками — СК и потребители данного НП. СК задает две вершины графа — источник НП и потребитель НП. Вершина-потребитель НП служит соответствующим потребителем для СРЗ следующего периода планирования. Таким образом, СК осуществляют связь периодов планирования.
Рассмотрим подробнее работу алгоритмического комплекса.
1. Эквивалентирование задачи. На этом шаге алгоритма производится пересчёт всех параметров модели к нефтяному эквиваленту. Для всех нефтепродуктов пересчитываются в нефтяном эквиваленте (путём умножения на соответствующий коэффициент) объёмы хранения на ПНБ, пропускные способности транспортной сети и объёмы заказов на РНБ.
2. Построение общей TTC. На этом этапе алгоритма строится общий граф TTC как объединение пространственно-временных графов Si для различных моментов времени г = 0,1,...,т, узлами-источниками которого являются нефтяные месторождения, а потребителями — эквивалентированные заказы на РНБ. ПНБ по каждому нефтепродукту представляются двумя вершинами — источником с мощностью, равной текущей наполненности ПНБ, и стоком с мощностью, равной незаполненной части ёмкости ПНБ, для данного нефтепродукта.
НПЗ являются промежуточными узлами сети нефтепроводов, откуда выходят ориентированные дуги (d^), соединяющие р-й НПЗ с транспортной сетью Si для каждого НП. Промежуточными узлами также являются узлы транспортной сети каждого НП.
3. Решение на графе G сетевой распределительной задачи. На этом этапе алгоритма на общем графе G решается сетевая распределительная задача. В результате её решения определяются объёмы переработки нефти на НПЗ Xq (без учёта технологии переработки) и потоки (ж^) по дугам определяющие объёмы переработки по каждому НП и общие затраты по TTC Cq.
4. Решение СРЗ по каждому НП для всех технологий переработки. На этом этапе для всех нефтепродуктов и для всех технологий переработки решается СРЗ с объёмом
переработки xpR = X0 k%R по каждой R-rn технологии. В результате определяются общие затраты для TTC по всем технологиям.
5. Определение наилучшей технологии на НПЗ. На этом этапе из всех решений, найденных на предыдущем этапе, выбирается решение с наименьшим среднеквадратичным отклонением от оптимального решения Со, которое и определяет выбор комбинации технологий на всех НПЗ в текущем периоде планирования.
6. Выбор оптимального объёма переработки на НПЗ. После определения технологии переработки на обоих НПЗ корректируются объёмы переработки. Для этого используется метод локальных вариаций [7], то есть варьируется значение Хр относительно найденного без учёта технологии переработки значения Х0 в обе стороны с одновременным решением СРЗ для всех нефтепродуктов. В результате находятся локально-оптимальные значения мощностей Хр на обоих НПЗ, которые и будут являться объёмами переработки на НПЗ в текущем периоде. Избыточные запасы каждого нефтепродукта распределяются между экспортными поставками и хранением на ПНБ. Таким образом, найдено локально-оптимальное решение на данном периоде планирования.
7. Решение задачи в динамике. При переходе к решению на следующем этапе запасы нефтепродуктов на ПНБ становятся дополнительными узлами-источниками для данного нефтепродукта, после чего решение задачи производится аналогично предшествующему периоду.
4. Задачи формирования транспортных сетей
Рассматривается задача с разрывными функциями стоимостями на ребрах, приводится постановка задачи и ее частные случаи, описан алгоритм полного перебора всех деревьев и промежуточных однокорневых поддеревьев полного графа, основанный на сформулированных Правиле расстановки пометок и Правиле подключения [2, 8]. Для формирования точного решения задачи в процессе работы алгоритма перебора деревьев и поддеревьев используются правила отбраковки, основанные на свойствах оптимального решения, заведомо неоптимальных решений, в результате чего перебор значительно сокращается.
Задачу определения структуры сетей различного назначения необходимо решать при решении задачи комплексного обустройства нефтяных и газовых месторождений, формировании территориально-производственных комплексов, проектирования коммунальных се-той и т д
4.1. Экономико-математическая модель задачи
Рассмотрим постановку задачи построения сети с разрывными функциями стоимости на ребрах.
Пусть задано множество источников сырья J = {1, 2, ...п} с известными объемами сырья bj > 0 и сто к qo. На множес тве W = J U {^о} задан полный граф возможных коммуникаций U(W). Стоимость соединения двух произвольных вершин этого графа c%j (xij) является разрывной функцией, зависящей от величины потока сырья Xij между этими вершинами:
Cij (Xij ) = (Vij + fij (Xij )) sign(^j ).
Будем в дальнейшем рассматривать аппроксимирующую снизу функцию (рис. 1)
Cij (%ij) — (Vij + UijXij) sign(^j),
где v^, Uij ^ 0 — некоторые постоянные коэффициенты.
Будем в дальнейшем без ограничения общности предполагать, что U (W ) — неориентированный граф, т.е. Vij = Vji, Uij = Uji, хотя для ориентированных графов все нижеописанные свойства оптимальных решений и алгоритмы их построения сохраняются с небольшими модификациями.
Потоки Xij ^ 0, иеретекающие из г-й вершины в j-ю то дуге (i,j), удовлетворяют условиям баланса в вершине.
Требуется построить сеть минимальной стоимости, связывающую множество источников J со стоком qo, при условиях полного перетока сырья из источников в сток. То есть необходимо минимизировать величину
(vij + uv • xv) • ) ^ min, (3)
ieJ jew
при условиях
Y^ (xH - xi%) = bj, j = l, 2,...,n, (4)
iew
Xij ^ 0. (5)
Задача в данной постановке характерна для решения ряда прикладных задач построения различных коммуникационных сетей: трубопроводных, транспортных, сетей связи и других, когда стоимость коммуникации складывается из постоянных затрат Vij на ее строительство и эксплуатационных затрат Uij, зависящих от величины потока по данной коммуникации.
Задача (3) - (5) может быть задана также в комбинаторной постановке. Пусть D = {d^}, к = 1, 2,..., (п + 1)п-1 множество всех деревьев полного графа U(W). Стоимость Р(du) произвольного дерева определяется по формуле
Р (dk) = ^ (Vij + Uij • Xij). (ij)edk
Потоки Xij > 0 по дугам этого дерева удовлетворяют условиям полного перетока сырья из источников в сток:
Р(dk) = Y1 (xii - ХИ) = Ьз € J.
(ij)edk
Требуется найти do € D с Р(d0) = min Р(d).
Справедлива следующая
Лемма. Решение, задачи (3) (5) лежит на .множестве, всех деревьев полного графа U (W).
Если все Vij = 0, то задача (3) - (5) сводится к известной задаче отыскания кратчайших путей по матрице \\uij|| от множества источпиков J до стока qo, для решения которой разработан ряд эффективных алгоритмов [8]. Если все Uij = 0, то задача (3) - (5) представляет собой задачу построения кратчайшей связывающей сети на множестве W, алгоритмы решения которой также хорошо разработаны [9, 10]. В общем же случае, когда Vij = 0 и Uij = 0,
данная задача представляет собой многоэкстремальную задачу дискретного программирования, которая является частным случаем сетевой постановки транспортной задачи с фиксированными доплатами.
4.2. Анализ свойств оптимального решения
При анализе свойств оптимального решения предполагается, что известно некоторое зафиксированное поддерево К. € (10 и необходимо достроить данное поддерево оптимальным образом. В качестве поддерева До может выступать одиночная вер шина-сток до-
Для поиска оптимального решения задачи определена специальная функция подключения Рг не подсоединенных вершин к уже построенной части дерева — К...
Определим функцию р^х.^, Д.), как функцию подключения г-й вершины к подмножеству вершин и> С Ш:
{Щ + (иг3 + Ц0) • Жг при Ц € К., I € шт [у^ + («у + «¿о) • хг] при г € Р3.
Показано, что функция подключения ^ обладает следующими свойствами:
— р. — монотонно-возрастающая, кусочно-линейная функция по х;
— Рг является членом разложения стоимости дерева, соотнесенным к г-й вершине;
— Рг является нижней оценкой стоимости всех деревьев, построенных при зафиксированном поддереве К3.
С помощью этой функции были доказаны следующие теоремы [8]:
1. О недопустимом пути в оптимальном решении задачи. Эта теорема позволяет оценить максимально возможные потоки через каждую из не подсоединенных вершин.
2. Достаточные условия оптимальности подсоединения. Эта теорема позволяет найти оптимальные подключения не подсоединенных вершин.
3. Необходимое условие вхождения подсоединения, в оптимальное решение. Эта теорема позволяет найти возможные подключения не подсоединенных вершин.
4. Об оценке подсоединения. Эта теорема позволяет оценить погрешности формируемых подключений.
4.3. Алгоритм построения оптимальных древовидных сетей
Алгоритмы точного решения задачи (3) - (5) строятся на базе алгоритма полного перебора всех деревьев и промежуточных однокорневых поддеревьев полного графа и(Ш) [2, 8]. Алгоритм перебора должен удовлетворять следующим требованиям:
— полный перебор без повторов не только всех деревьев, построенных на множестве всех вершин Ш, но и всех промежуточных поддеревьев с корнем в зафиксированной вершине до',
— конструктивность способа формирования деревьев и поддеревьев путем последовательного наращивания ребер.
Опишем переход от г-го уровня кг + 1-му уровню.
Пусть из г — 1-го уровня образован г-й уровень и из него необходимо образовать г + 1-й уровень.
На г-м уровне имеется множество вершин Jr = {Л,...,Ц}, образующих поддерево Кг. Этом у соответствует множество пометок Ег = {е\, е^,,... }. Остальные вершины образуют множество не подсоединенных вершин Рг = {р\,Р2,... ,ргп+1_г}•
Алгоритм перебора основывается на Правиле подключения и и Правиле расстановки пометок, которые формулируются следующим образом.
Правило подключения. Произвольная вершина из множества не подсоединенных вершин € Рг может быть подсоединена к очереди ой вершине Д уже построенного поддерева Кг только в том случае, если ее номер больше пометки этой вершины.
4- Ф IО* / 1
лГ-'^'С-' \ *
Рис. 2. Все деревья и порождающие их поддеревья для четырех вершин
Правило расстановки пометок. При подсоединении произвольной вершины р^ £ Рг к вершине ]гк уже построенного поддерева Кг эта вершина получает пометку, равную 0. Все вершины на пути от данной вершины к корню поддерева получают пометку, равную номеру вершины, подсоединенной к данной. Остальные вершины получают пометку, равную некоторому большому числу М > п. В начальный момент работы алгоритма корневая вершина получает нулевую пометку.
В начальный момент работы алгоритма г = 1, .]\ = до, Р = ^ Е\ = {0}.
Данный алгоритм реализует полный перебор без повторов всех деревьев и однокорневых поддеревьев на множестве всех вершин Ш.
Пример на рис. 2 иллюстрирует работу алгоритма перебора для случая четырех вершин. На рисунке обозначены последовательно получаемые поддеревья и порождаемые ими деревья. Для каждого поддерева выделена последняя из подсоединенных вершин (вершина с нулевой меткой).
В процессе перебора используется ряд правил отбраковки, основанных на свойствах оптимального решения задачи и позволяющих не рассматривать большие группы деревьев и промежуточных поддеревьев, в результате чего перебор значительно сокращается. Правила отбраковки основываются на свойствах оптимального решения задачи, описанных в [11].
4.4. Некоторые алгоритмы построения оптимальных древовидных сетей
Для решения задач построения оптимальных древовидных сетей с разрывными функциями стоимости на ребрах были разработаны следующие основные алгоритмы [8].
1. Алгоритм формирования начального поддерева. Этот алгоритм основан на применении теоремы 2 и позволяет сформировать начальное поддерево, а в некоторых случаях и сразу получить оптимальное решение задачи. Этот алгоритм используется в алгоритмах формирования как точного, так и приближенного решений задачи.
2. Алгоритм полного перебора всех деревьев и промежуточных однокорневых поддеревьев (описанный в предыдущем разделе) используется для получения точного решения задачи.
3. Алгоритм точного решения задачи построения, сети. Алгоритм точного решения задачи основан на направленном переборе всех деревьев полного графа. В процессе перебора используется ряд правил отбраковки, позволяющих не рассматривать большие группы деревьев и промежуточных поддеревьев.
5. Алгоритм получения, начального приближения. Этот алгоритм основан на применении теоремы 4 для построения приближенного решения задачи с оценкой точности получаемого решения.
5. Задача размещения с учетом коммуникаций
Решение задач размещения различных объектов на территории широко используется при территориальном проектировании [2, 3].
Пусть имеется множество ■] = {1, 2,... ,п} источников сырья с известными объемами сырья bj > 0. Задано множество возможных пунктов переработки сырья I = {1, 2,..., т} с неизвестными объемами переработки х^ см ^ Хг ^ 0. Для каждого г € I задана функция 9г(хг) стоимости переработки сырья:
9i(xi) =
0,
0,
kiXi + Ti, Xi >
Переработанное сырье должно быть доставлено потребителям из множества Q. Заданы два полных графа возможных коммуникаций, соединяющих: источники сырья .] с возможными пунктами переработки I — граф щ (7 и I); пункты переработки с пунктами потребления — граф и О).
На ребрах (,],г) С щ и (г,Ь) С и2 заданы функции rjZ(wjZ) и ра(уц), равные
rjz (wjz) =
0,
WjZ = 0,
djZ + ljZWjZ, WjZ > 0,
Vit (Vit) =
0,
Vit + Uit Vit,
Ун = 0, Vit > 0,
где
Wjz — объем сырья, транспортируемого по ребру (коммуникации) (j,z)]
уа — объем переработанного сырья, транспортируемого по коммуникации (i,t)\
Ijz, Uu — стоимость транспортировки единицы груза по коммуникациям (j, z) и (i,t), соответственно;
djz, Vu — стоимость строительства коммуникаций (j,z) и (i,t).
Для каждого ш С / может быть построена сеть Si (ш U J) (подграф графа щ), связывающая J с w, по которой транспортируется все сырье в пункты ш, и сеть ^(w UQ) (подграф графа щ), связывающая ш с Q, по которой вся переработанная продукция транспортируется потребителям из Q. Стоимость этих сетей, определяемая с помощью функций rjz, и Pit, обозначим через С\(ш U J) и С2(ш U Q) соответственно. Стоимость переработки сырья на пунктах ш С /, определяемая с помощью функций gi(xi), г £ ш, обозначим через д(ш).
Тогда для каждого ш С I
f И = min (Ci(ш U J) + д(ш) + C2(w U Q)).
{Ci(wU J )},{C2(U\JQ)}
Задача состоит в определении такого а С /, что f (а) = min f (w) для всех ш С I.
При самых общих условиях точное решение этой задачи весьма затруднительно, так как даже при фиксированном ш определение f (w) является нелегкой задачей. Применение аппроксимационно-комбинаторного метода, как показали конкретные расчеты, позволяет получать вполне приемлемые приближенные решения. В простейшем случае может быть найдено и точное решение.
Пусть djz = Vu = 0- Тогда нетрудно показать, что для каждого ш С I
f (ш) = min
У ^ У ^ CijXij + У ^(ki + di)xi + У ^ Ti
ieto
леш je j
i£u
при условиях
У ^ Xi j — bj, Xi — У ^ Xi j ^ Q,i, Xi j ^ 0, je J
ieu
x
где х^ — объем перевозки сырья из ^'-го источника сырья в г-й пункт переработки; Цс^ У — матрица кратчайших расстояний, полученная на основе множества величин }, соотнесенных ребрам графа и\. Здесь величина су — минимальная стоимость транспортировки единицы сырья из _уго пункта в г-й, йг — минимальное расстояние (стоимость транспортировки единицы переработанного сырья) от г-го пункта до множества потребителей ф, а Т^ — стоимость строительства г-го пункта переработки.
Для рассматриваемой функции /(ш) оптимальное решение (а, /(а)) может быть определено методом последовательных расчетов. Оптимальное решение (а, /(а)) задачи позволяет построить соответствующую оптимальную структуру сети, связывающей источники сырья (элементы множества 7), пункты переработки (множество I) и пункты потребления (элементы множества О).
Функция /(ш) удовлетворяет уеловию 5(5,^) ^ 0, где 5 С I, ^ С I — произвольные подмножества, ) = Р(5) + Р(7) — Р(5 и 7) — Р(5 П 7), поэтому для решения задачи применим модифицированный метод последовательных расчетов [1, 3, 4|.
6. Задачи трассирования коммуникаций
Под трассированием понимается формирование на территории маршрута между двумя точками, обходящего запретные области для проведения коммуникаций населенные пункты, реки, озера, болота, овраги и т.д. В зависимости от способа представления территории можно использовать различные алгоритмы трассирования [12]. При представлении территории квадратной сеткой категорийноети территории рассмотрены одноуровневый и двухуровневый алгоритмы нахождения оптимальной трассы, основанные на применении модифицированного алгоритма Дейкстры [13]. При наличии на территории запретных зон для прокладки коммуникаций, представленных фигурами второго порядка (круги, эллипсы) был разработан алгоритм трассирования, основанный на методе локальных вариаций [7, 14]. При наличии запретных зон в виде замкнутых многоугольников или ломаных разработан специальный алгоритм трассирования.
6.1. Применение метода локальных вариаций при трассировке коммуникаций
Если на территории заданы запретные области для проведения коммуникаций, то для решения задачи трассирования можно использовать метод локальных вариаций.
Будем без ограничения общности полагать, что запретные области представлены фигурами второго порядка кругами и эллипсами, хотя их представление другими фигурами сущности метода не меняет. Рассмотрим основную идею метода. На рис. 3 показаны точки А и Б, которые нужно соединить оптимальным способом.
Рис. 3. Метод локальных вариаций. Начальное приближение и его стягивание к оптимальному
Введем систему координат с осью ОХ, направленной из точки А в точку Б и будем искать решение в этой системе координат. Разобьем отрезок АБ на п равных частей точками Хк = к ■ к, где к = 1, 2,... ,п, а к = ^ав/п. Для каждого х^ нужно определить значение у^, для которого полученный путь по ломаным определяет оптимальный путь.
Первоначально строится допустимое приближение, которое не проходит через запретные области.
Для этого для каждой запретной области, через которую проходит начальное приближение трассы, трасса сдвигается произвольным образом за границу области в сторону ближайшей границы относительно ее центра, как показано на рис. 3.
Подсчитываем длину этого нуги, которая является суммой длин но всем отрезкам ломаной:
п
ъ = ^^ Ьхк.
к=1
При изменении значения ук в какой-л ибо к-й точке та величину Ьу длина нового пути изменится на длину новых отрезков за вычетом длины старых:
АЬ = 1(хк-1,ук-1,хк,ук - Ну) - 1(хк,ук - Ну,хк+1,ук+1) -- 1(хк-1,ук-1,хк,ук) - 1(хк,ук,Хк+1,ук+1).
Если окажется, что АЬ < 0, то есть новый путь короче старого, то старая точка (хк,ук) заменяется на новую (хк,ук - Ъу). Величину Ьу будем называть шагом варьирования.
Если АЬ > 0, то нужно по этой же схеме рассмотреть точку (хк,ук + Ъу). Эта операция осуществляется для всех к, исключая конечные точки к = 0 и к = п. При этом при переходе от точки хк к точке хк+\ значение длины на этом отрезке уже вычислялось и может быть использовано. В результате за один просмотр новая траектория может отклониться от старой на величину Ьу в каждой из промежуточных точек. Эту операцию нужно повторять до тех пор, пока все ук не перестанут изменяться, то есть до тех пор, пока варьирование в каждой точке будет оставаться положительным. В этом случае задача для всех точек хк и данного шага варьирования Ьу считается решенной.
При сходимости метода с шагом Ьу нужно продолжить процесс с шагом Ьу/2 и т.д. Затем для повышения точности решения рекомендуется уменьшить шаг Нх по оси ОХ и с этим новым Нх начать процесс заново.
6.2. Алгоритмы трассирования на сетке категорийности территории
Территория представляется прямоугольной сеткой — матрицей ||С|| размером т х п, состоящей из квадратов со сторонами I, для каждого из которых известна стоимость проведения единицы длины коммуникации с^. Необходимо определить трассу наименьшей стоимости между двумя заданными точками А и В, находящимися в центре соответствующих элементов сетки категорийности.
Ж
Рис. 4. Трассы, построенные по одноуровневому и двухуровневому алгоритмам
Обозначим через г^ потенциал элемента (г,]) сетки категорийности, равный текущему значению расстояния от точки А до точки (у) — центра (г,$)-го квадрата.
Можно рассмотреть одноуровневый и двухуровневый алгоритмы трассирования (рис. 4).
В одноуровневом алгоритме трассирования потенциал каждого элемента сетки катего-рийности определяется как минимальная стоимость проведения трассы от соседних элементов сетки до текущего элемента сетки (г,^). Здесь иод соседними элементами подразумеваются такие элементы сетки, индексы (р,д) которых отличаются от текущего индекса (г, ]) не более чем на единицу и не выходят за границу области.
В двухуровневом алгоритме соседними элементами считаются все элементы сетки, индексы которых отличающиеся от индекса текущих) элемента не более чем на два.
6.3. Трассирование при запретах в виде многоугольников и ломаных
Рассмотрим случай, когда запретные области для проведения коммуникаций представлены многоугольниками и ломаными, как показано на рис. 5. Нужно соединить точки А и Б кратчайшим путем, не пересекая запретные области (1, 2, 3, 4) (9,10,11,12) и ломаную (5, 8, 7).
1
Рис. 5. Запретные области для проведения коммуникаций
Приведем ниже алгоритм формирования кратчайших) пути при наличии запретных зон в виде многоугольников и ломаных.
Все вершины многоугольников, ломаных, начальная и конечная точки пронумеровываются. Отметим, что неконцевые вершины ломаных для правильной работы алгоритма пронумеровываются с обеих сторон. Начальная точка получает нулевой номер, конечная последний.
— Строится матрица видимости. Для этого для каждого отрезка (%,]) проверяется по правилам элементарной геометрии наличие пересечения этого отрезка со всеми границами областей и ломаных. Если таких пересечений нет, то вычисляется длина этого отрезка которая и заносится в матрицу видимости.
По алгоритму Дейкетры [13] определяется длина кратчайших) пути от точки А до Б: Ьопт = 8 + 4 + 12 + 15 + 5 + 8 = 52.
Восстанавливается трасса кратчайших) пути, это маршрут: А 4 3 7 11 12 Б.
Можно восстановить близкий маршрут: А 1 5 9 Б длиной
^близк — 13 + 14 + 8 +
+22 — 57.
Вместо заключения
Рассмотренные методы и алгоритмы были реализованы в ряде программных систем, которые использовались при решении задач регионального проектирования, проектирования генеральных схем освоения нефтяных и газовых месторождений, а также проектирования коммунальных сетей [2, 15].
Система проектирования генеральных схем обустройства .месторождений (СПГСО) предназначена для проектирования генеральных схем как отдельных технологических систем обустройства нефтяных и газовых месторождений (кустования скважин, сбора и
транспорта нефти и попутного газа, поддержания пластового давления, электроснабжения и автомобильных дорог), так и любой их совокупности. Система широко использовалась при проектировании генехем обустройства многих месторождений Западной Сибири, Коми АССР и других регионов, включая месторождения Самотлорекое и Уренгойское (рис. 6).
Рис. 6. Федоровское месторождение. Рис. 7. Размещение объектов и коммуника-
схема сбора и транспорта нефти ций при проектировании Тенгизского место-
рождения
Система размещения объектов и коммуникаций (СРОК) предназначена для решения задач размещения на территории объектов сбора и переработки сырья произвольного назначения и коммуникаций, связывающих эти объекты с источниками сырья и конечными потребителями готовой продукции. Система использовалась при решении задач размещения для ряда территориально-производственных комплексов, включая Тенгизекое нефтяное месторождение (рис. 7).
Система проектирования, и анализа сетей (СПАС) предназначена для формирования и анализа транспортных сетей различного назначения; в системе используются методы решения сетевой распределительной задачи совместно с алгоритмами формирования структуры сети и определения ее параметров. Система использовалась при решении задач анализа и развития нефтетранспортных сетей Восточной Сибири, Прикаепия и Вьетнама (рис. 8).
Рис. 8. Анализ развития сетей Восточной Рис. 9. Схема транспорта и хранения дизтоп-
Сибири лива от двух НПЗ
Система планирования производства,, хранения, транспортировки и распределения нефтепродуктов (ОрЫрЫп). В Системе решается задача оптимизации планирования движения нефти и нефтепродуктов в товаропроводящей сети, состоящей из сети нефтепро-
водов от нефтяных месторождений к нефтеперерабатывающим заводам, вырабатывающих более ста различных нефтепродуктов, и далее их транспортировка различными видами транспорта к нефтебазам для хранения и распределения потребителям в динамике. Система была реализована для крупной российской вертикально-интегрированной нефтяной компании (рис. 9).
Основным результатом настоящей работы является то, что в ней впервые был рассмотрен весь комплекс методов и алгоритмов оптимизации формирования и использования транспортных сетей, который основывается на методологии регионального программирования и предназначен для решения различных задачи регионального проектирования. При этом адекватность и актуальность разработанного математического аппарата подтверждается реализованными и внедренными в практику программными системами.
Список литературы
1. Хачатуров В. Р. Математические методы регионального программирования. Москва : Наука, 1989.
2. Хачатуров В.Р., Соломатин А.Н., Злотов A.B. \и др.]. Планирование и проектирование освоения нефтегазодобывающих регионов и месторождений: Математические модели, методы, применение. Москва : УРСС : ЛЕНАНД, 2015.
3. Хачатуров В.Р., Веселовский В.Е., Злотов A.B. \и др.]. Комбинаторные методы и алгоритмы решения задач дискретной оптимизации большой размерности. Москва : Наука, 2000.
4. Черенин В.П. Решение некоторых комбинаторных задач оптимального планирования методом последовательных расчётов. Новосибирск, 1962.
5. Злотов А.В, Коваленко А.Г., Крылов И.А. Система планирования производства, хранения, транспортировки и распределения нефтепродуктов. Москва : ВЦ РАН, 2009.
6. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Метод анализа сетей. Москва : Мир, 1984.
7. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение проблем определения оптимальной траектории методом локальных вариаций // ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6, № 2. С. 203-217.
8. Злотов A.B. Построение оптимальных древовидных сетей // Труды МФТИ. 2020. Т. 12, № 4. С. 22-30.
9. Берж Д. Теория графов и ее применение. Москва : Иностранная литература, 1963.
10. Кельм,анс А.К. О построении кратчайшей связывающей сети. В кн. Кибернетика и управление. Москва : Наука, 1967. С. 115-130.
11. Злотов A.B., Хачатуров В.Р. Применение аппроксимационно-комбинаторного метода для решения задач построения оптимальных сетей с нелинейными функциями стоимости ребер. Москва : ВЦ АН СССР, 1984.
12. Злотов A.B. Алгоритмы трассирования в системе территориального проектирования // Труды МФТИ. 2021. Т. 13, № 2. С. 121-134.
13. Кормен Т.Х., Лейзерсон Ч.И., Ривест Р.Л. Алгоритмы: построение и анализ. 2-е изд. Москва : Вильяме, 2006.
14. Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения проблем оптимизации // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 4. С. 234-242.
15. Злотов A.B., Соломатин А.Н. Территориальное проектирование нефтегазодобывающих регионов // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. 2021. № 5(574). С. 17-24.
References
1. Khachaturov V. R. Mathematical methods of regional programming. Moscow : Nauka, 1989. (in Russian).
2. Khachaturov V.R., Solomatin A.N., Zlotov A. V., et al., Planning and design of development of oil and gas producing regions and fields: Mathematical models, methods, application. Moscow : URSS : LENAND, 2015. (in Russian).
3. Khachaturov V.R., Veselovsky V.E., Zlotov A. V., et al. Combinatorial methods and algorithms for solving large-dimensional discrete optimization problems. Moscow : Nauka, 2000. (in Russian).
4. Cherenin V.P. Solving some combinatorial problems of optimal planning by the method of sequential calculations. Novosibirsk, 1962. (in Russian).
5. Zlotov A. V., Kovalenko A.G., Krylov I.A. System for planning production, storage, transportation and distribution of petroleum products. Moscow : CC RAS, 2009. (in Russian).
6. Phillips D., Garcia-Diaz A. Method of network analysis. Moscow : Mir, 1984. (in Russian).
7. Krylov I.A., Chernousko F.L. Solving the problems of determining the optimal trajectory by the method of local variations. ZhVM and MF. 1966. V. 6, N 2. P. 203-217. (in Russian).
8. Zlotov A. V. Construction of optimal tree networks. Proceedings of MIPT. 2020. V. 12, N 4. P. 22-30. (in Russian).
9. Berge D. Graph theory and its application. Moscow : Foreign Literature, 1963. (in Russian).
10. Kelmans A.K. On the construction of the shortest connecting network. Cybernetics and Management. Moscow : Nauka, 1967. P. 115-130. (in Russian).
11. Zlotov A. V., Khachaturov V.R. Application of the approximation-combinatorial method for solving problems of constructing optimal networks with nonlinear edge cost functions. Moscow : CC AS USSR, 1984. (in Russian).
12. Zlotov A.V. Tracing algorithms in the system of territorial design. Proceedings of MIPT. 2021. V. 13, N 2. P. 121-134. (in Russian).
13. Kormen T.H., Leyserson C.I., Rivest R.L. Algorithms: construction and analysis. 2nd ed. Moscow : Williams, 2006. (in Russian).
14. Chernousko F.L. Method of local variations for numerical solution of optimization problems. ZhVM and MF. 1965. V. 5, N 4. P. 234-242. (in Russian).
15. Zlotov A. V., Solomatin A.N. Territorial design of oil and gas producing regions. Automation, telemechanization and communication in the oil industry. 2021. N 5(574). P. 17-24. (in Russian).
Поступим в редакцию 20.09.2023
