CC BY
25
ВТГНИК ТТРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХНТЧНОГО УНТВЕРСИТЕТУ 2005 р. Вип. №15
УДК 621.311
12 3
Жежеленко И.В. , Саенко ЮЛ. , Бараненко Т.К.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВХОДНОГО ТОКА НЕПОСРЕДСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЧАСТОТЫ
Рассмотрена методика представления входного (сетевого) тока непосредственных преобразователей частоты (НПЧ), позволяющая получить его спектральный состав, необходимый для решения вопросов электромагнитной совместимости. Предложенная методика базируется на теории переключающих (коммутирующих) функций и матриц. Однако, в отличие от общепринятого подхода, при аналитическом описании входного тока НПЧ учитывается несинусоидальиая форма тока нагрузки. Предложена математическая модель, позволяющая учесть влияние различных случайных возмущений на спектральный состав сетевого тока НПЧ.
Непосредственные преобразователи частоты широко используются для литания регулируемых электроприводов переменного тока, установок индукционного нагрева и плавки металлов, ультразвуковых устройств и т. д.
В зависимости от области применения НПЧ существует большое разнообразие их схем построения. Однако во всех случаях НПЧ строятся на основе двух идентичных реверсивных управляемых выпрямителей, проводящих ток нагрузки разной полярности. Преобразование частоты осуществляется путем последовательных подключений входных напряжений через силовые ключи к выходным выводам НПЧ в соответствующие интервалы времени, определяемые системой импульсно-фазового управления (СИФУ) [1, 2]. Таким образом, кривые выходного напряжения состоят из участков кривых входного напряжения. Соответственно кривые токов на входе образуются из участков кривых токов па выходе.
Принцип действия НПЧ обусловливает значительное искажение формы кривой сетевого тока, спектр которого в этом случае содержит наряду с высшими гармоническими составляющими значительный состав интергармоник (ИГ) — гармонических составляющих с частотами не кратными частоте питающей сети [3, 4].
В реальных условиях работы на входе и выходе НПЧ возникают различные помехи, приводящие к нарушениям в системе управления вентилями [5]. Эти помехи связаны со случайными изменениями параметров электроэнергии на входе, случайным характером нагрузки, флук-туациями параметров СИФУ и другими факторами. Эти виды помех вызывают дополнительные искажения кривых выходных напряжений и входных токов, спектры которых в этом случае будут состоять из дискретной и непрерывной частей.
Таким образом, целью настоящей работы является разработка методики расчета амплитудного спектра входного тока НПЧ любого типа, учитывающей как дискретность работы силовых ключей, так и влияние различных случайных возмущений.
Методика расчета спектрального состава входного тока НПЧ
Спектральный анализ токов и напряжений чаще всего базируется на разложении их по Фурье. Получение таким способом сетевого тока НПЧ является сложной задачей. Поэтому целесообразно представлять напряжения и токи НПЧ в виде сумм синусоидальных составляющих. Такая задача наиболее полно решена в [1], где рассматривается универсальный метод анализа электромагнитных процессов в силовых цепях преобразователей частоты на основе пере-
ПГТУ, д-р. техн. наук, проф. ПГТУ, д-р. техн. наук, проф. ПГТУ, канд. техн. наук, доц.
ключающих функций и матриц. Однако в [1] при определении входного тока НПЧ принято распространенное допущение синусоидальности выходного тока, что, как показано авторами, например, в [6], неприемлемо с точки зрения расчета ИГ.
Таким образом, для расчета спектрального состава входного тока НПЧ за основу принимается методика, изложенная в [1], но с введением необходимых коррективов.
В общем случае выходные напряжения НПЧ, имеющего п фаз на входе и т фаз на выходе, могут быть найдены из выражения [1]
в«,(0-Н(0им(0, (])
где ивх(/), ивыж(/) - матрицы-столбцы входных и выходных напряжений размерностью п- и /и-вектора соответственно; Н(0 - матрица переключающих функций размерностью т х л, состоящая из элементов (/) (/ = 1, 2, ..т\ / = 1, 2,..., п).
Для трехфазно-однофазного НПЧ выражение (!) запишется следующим образом
."««, (О
и«х(0 = [М0 МО МО]
"«2 (О
"„о (О
где «„,(0 - мгновенные значения напряжения питания /-ой фазы.
Г
т
(2)
(3)
где иХфт - амплитудное значение фазного напряжения питания.
Вид переключающих функций зависит от схемы преобразователя частоты. Для наиболее распространенного шести пул ьсного мостового преобразователя переключающие функции можно представить в виде следующего гармонического ряда [7]
, , ч 4 ^ 5 • ¿я 1
6 [_ 3
(4)
где П - частота переключающей функции (частота модуляции).
В выражении (4) верхний знак «-» соответствует прямому порядку чередования фаз. нижний знак «+» - обратному.
Получить кривую переменного напряжения на выходе преобразователя с желаемой частотой можно путем соответствующего модулирования временных параметров переключающих функций (например, частоты повторения, длительности импульсов и т. д.): При этом будет происходить модуляция частоты повторения переключающих функций относительно средней частоты сом [I]. Математически это можно лредставить заменой в выражении (4) СИ = ± М{() при прямом порядке чередования фаз или О/ = -со „,7 ± М{1) при обратном порядке чередования фаз. Здесь М{1) - модулирующая функция, вид которой определяет форму и характеристики кривой выходного напряжения. Тогда, независимо от порядка чередования фаз, выражение (4) будет иметь вид
271
. , ч 4 ^ 1 . /стг «1,(0 - — У_ —8111—созл я4гм к 6
(5)
Подстановка (3), (5) в (2) дает следующее выражение выходного напряжения трехфазно-однофазного шестипульсного НПЧ, собранного по мостовой схеме
-зс/1ж ^ иг
(0 =
й1п[б5С0,а7 ± (6я + ])Л/(0],
(6)
л +1
где 11ы - амплитуда линейного напряжения.
В выражении (6) верхний знак «+» соответствует кривой напряжения положительного типа, нижний знак «-» - кривой напряжения отрицательного типа.
Для спектрального анализа выходного напряжения необходимо или разложить в ряд Фурье, или представить в виде суммы синусоидальных составляющих выражение (6). Для разложения в ряд Фурье требуется определить период повторяемости кривой выходного напряже-
ния, который зависит от отношения выходной частоты к входной. При различных отношениях выходной и входной частот период также будет различным, кроме этого, если выходная частота не кратна произведению входной частоты на число пульсаций, то кривая выходного напряжения не будет повторяться каждый период выходной частоты. Следовательно, для общего анализа кривой выходного напряжения разложение в ряд Фурье является нецелесообразным,
Для представления выражения (6) в виде суммы синусоидальных составляющих определим характер модулирующей функции M(t). Желаемая кривая выходного напряжения с частотой <йвЬ11 может быть получена, если M(t) является или линейной функцией вида M(t) = wehlit + v|/, или периодической с периодом Твых = 2п/ышх. В первом случае дальнейшего преобразования выражения (6) не требуется, во втором случае получим [1,4]
-3Î/,. >г (-1У
Л0=-
,6^ + 1
аа sin6iûV +
1 00
+ - M^J + V)] + sin[6i-<a0/ + 2«(wewri + y)]):
1 °°
(7)
где
1 я
flo = - Jcos[(6s + \)M{t)}d{<ùiaMt) ; (8)
о
2 *
= ~ Jcos[(6î + l)M(t)\ cos 2natllxi d(a№t) ; (9)
ло
2 л
К =-Jsin[(65 + l)Af(0]sinHWewi/ii(co_/). (10)
Следует отметить, что выражения (6) и (7) могут быть распространены на любой р-пульсный преобразователь, как мостовой, так и со средней точкой, путем введения соответствующих масштабных коэффициентов. Систему напряжений НПЧ с т-фазным выходом можно получить путем введения в (6) или (7) соответствующих фазовых сдвигов на величину О'-1)2к/т , где у = 1,2, ...,т.
Выражения (6) и (7) определяют выходные напряжения НПЧ с искусственной коммутацией вентилей. Выходное напряжение НПЧ с естественной коммутацией (НПЧ с ЕК) состоит из полупериодных участков кривых напряжения положительного и отрицательного типов, соответствующих положительным и отрицательным полуволнам выходного тока.
Для аналитического описания выходного напряжения НПЧ с ЕК вводятся следующие переключающие функции, являющиеся функциями угла сдвига фаз между кривыми выходного напряжения и тока фгы1.
-Ф„ Я-Ф«,;
где Ер (г) и Ея(г) - переключающие функции положительного и отрицательного типов. Тогда кривая выходного напряжения НПЧ с ЕК определяется выражением
и« юс (0 = ЕР (')«_ „ (0 + Е„ (/)««* „ (0, (13)
где иваа р(1) и и„ых„(0 представляют собой кривые напряжения положительного и отрицательного типов в соответствии с (6) или (7).
Для представления ивых ЕК (г) в виде суммы синусоидальных составляющих переключающие функции Ер(0 и £■„(/) раскладываются в следующие ряды Фурье:
2 л ^ 2т -1
sin[(2/n - 1)(со№(/ + )],
(14)
где знак «+» соответствует переключающей функции Ер (/), знак «-» - £„(/).
Подставляя (7), (14) в (13) и применяя соответствующие тригонометрические формулы для произведений, можно получить окончательное выражение выходного напряжения НПЧ с ЕК.
Следует отметить, что аналогичным образом могут быть получены выражения выходного напряжения НПЧ с регулируемым сдвигом фаз и др.
Рассмотрим определение входного тока НПЧ. Как уже было отмечено, кривая входного тока формируется аналогично кривой выходного напряжения, т. е. из участков кривой (кривых) тока однофазной или многофазной нагрузки на выходе. Следовательно, кривая входного тока может быть описана с помощью той же системы переключающих функций, что и кривая выходного напряжения. Таким образом, входной ток определяется выражением [1]
1И(0 = Н(0Г11Ы1(0, (15)
где '„.„ (О - матрицы входных и выходных токов; Н(/)г - транспонированная
матрица переключающих функций.
В мостовом преобразователе ток в фазе питающей сети равен разности двух токов при подключении нагрузки поочередно к линейным напряжениям (например, для фазы А - к идн и иСА ). Тогда систему входных токов трехфазно-однофазного мостового НПЧ можно представить в виде
"МО-МО"
МО-МО • (16)
_мо-мо_
Здесь Нп(0, А,2(0, Л130) - переключающие функции, определяемые выражением (5): гвш. (г) - выходной ток НПЧ (ток нагрузки).
Структура выражений входных токов 1„,(0, '„2(0 и '„3(0. определяемых (16), будет одинакова. Поэтому в дальнейшем достаточно рассматривать входной ток одной из фаз. Для других фаз входные токи могут быть получены путем введения соответствующих фазовых сдвигов. Тогда, для фазы А
'„,(0 = М0 = М)<™Л0, (17)
где с учетом (5) и (17)
>40" "A,'(0"
= h'2{t) LAO, где K(t) —
'«ï(0. m.
• 2^/3 А (-1)*
h,(*) =--- > -—— sin
я 4t^6g + l
(69+ !)[©„/±Л/(0]-у
(18)
Для трехфазно-трехфазного мостового НПЧ система входных токов в соответствии с (15)
'«i(0
'«2(0 =
.'«3(0.
„(0
w (О
'«0*3 (О
(19)
МО МО МО МО МО МО
[МО МО мо_
Здесь переключающие функции h'- (i) представляют собой разности соответствующих переключающих функций h)t (t) матрицы Н(/), определяющей систему выходных напряжений трехфазно-трехфазного НПЧ в соответствии с (1 ).
, , 4 f, 1 . кк , "Лч-— У —sin — cos к " к 6
(20)
где А/, (0 - модулирующая функция, используемая для формирования кривой выходного напряжения ивмгД/);У = 1, 2, 3. Функции М,(/), М2{1) и Мъ{1) отличаются друг от друга величиной фазового сдвига (_/-1)2л/3, обеспечивающего создание симметричной системы выходных напряжений ивых2(() и и1ыхЪ(1).
В трехфазно-трехфазном преобразователе с симметричной нагрузкой входные токи («гЛО и '«зСО отличаются друг от друга только величиной фазовых сдвигов. Следовательно, также как и в трехфазно-однофазном преобразователе, достаточно рассмотреть формирование кривой входного тока только одной из фаз. Тогда из выражения (19) для фазы А
*вых I (0
\ L,n(0
А1'.(0 = Л|1(0-А31(0;
, где Л;,(0 = А2|(0~Ап(0;>
(21)
С учетом (20), получим
Q СО
- Z
7t
1 . кк . , ±(АГ,(0-А/3(0) • ,,
— sin--sin À:— -----sin Л CO.
k 6
8
i-1,3.
8
К *=u..
1 . kn . , — sin — sm к A 6
1 . ¿7t . . —sin — SH1Ä k 6
2
±{M2(t)~ -Ml{t))i
2
±(А*Э(0- ■M2(t))
2
sin k
sin A:
œ / ±
ш,.../ ± —-—.....-—--
(22)
В (22) верхние знаки берутся для создания кривой положительного типа, нижние - отрицательного типа.
Как было отмечено выше, при определении входного тока НПЧ с целью решения вопросов ЭМС допущение синусоидальности выходного тока неприемлемо. Для спектрального анализа входного тока целесообразно представлять выходной ток в виде суммы синусоидальных составляющих при учете нагрузки, как активно-индуктивной [3, 4, 6]. Тогда, в комплексной форме записи
U
_ X '_«м* * "'________О^Ч
иыхкт ~ ¿^ гу 7Ф, * '
а- I ¿„¡¡е
где к - порядковый номер гармоники выходного напряжения НПЧ с относительной частотой (значение Ук при каком-то к может совпадать с номером высшей гармоники п);
- комплексная амплитуда /г-й гармоники выходного тока; 0'вы..кт , \\)ик - амплитуда и фа-
выл к m
за к-й гармоники выходного напряжения, определяемые из выражений (6) или (7); 2нк, <р(Л сопротивление и фазовый угол нагрузки для А-й гармоники,
L.
(24)
где ra , Lu - параметры нагрузки для основной гармоники выходного тока, Получить окончательное выражение входного тока НПЧ возможно голь ко при заданном виде модулирующей функции Mit). Для создания кривой выходного напряжения с желаемой
частотой <&вых используются следующие модулирующие функции: 1.. Линейная
A/CO-œ^i + v, (25)
где ц/ - произвольный фазовый угол.
2. Синусоидальная
A/(0 = Hsin(coew^-f у), (26)
где jj. - глубина регулирования выходного напряжения (глубина модуляции), 0 < ц < 1.
3. Треугольная
M (t ) = arcsin[jj, sm(cof.„(„ t + ш )]. (27)
4. Прямоугольная
M{t)
л/2 - ¥ < <л- у;
(28)
Таким образом, форма кривых выходного напряжения и соответственно входного тока НПЧ, а также их спектральный состав существенно зависят от вида модулирующей функции.
Расчет амплитудного спектра входного тока IIIIЧ
В [8] приводятся полученные авторами аналитические выражения, позволяющие рассчитать амплитудные спектры входного тока различных чипов НПЧ при линейной модулирующей функции.
При синусоидальном законе управления, в отличие от линейного закона, получение аналитических выражений для расчета спектрального состава входного тока затруднено ввиду его сложного характера, что связано с гораздо большим количеством гармонических составляющих и их наложением при выполнении соответствующих условий [6]. В связи с этим авторами разработаны программы расчета спектрального состава входного тока НПЧ (на рис. 1 приведен соответствующий алгоритм). Разработанные программы основаны как на аналитических, так и на численных методах расчета и могут быть использованы для НПЧ различных типов, как с искусственной, так и естественной коммутацией тока тиристоров.
Рассмотрим пример расчета амплитудного спектра сетевого тока трехфазно-трехфазного мостового шестипульс-ного НПЧ при синусоидальном законе управления в соответствии с приведенным алгоритмом. Переключающие функции определяются выражением (22), где модулирующие функции равны
= + 1,2,3. (29)
Выходной ТОК
С
Начало
.........
Ввод исходных данных
Расист сопротивлений и фазовых углов нагрузки отдельных гармонических составляющих
"I
Расчет переключающих функции
Расчет выходною гока
I
Расчет входного гока
Определение периода повторяемое"!1« Т
Г
Расчет амплитудного спек!ра входною гока с помощью БПФ
Печать час ют и амплитуд гармонических составляющих входного тока _
( Конец
Рис. 1 - Алгоритм расчета спектрального состава входного гока НПЧ
-ъи
I»!
8т(блш,
У
- и[<а0Ь[ГГ + V
8т(6$С1>„*-ф0,„.)
•0"-1)2я/3]-ф1(Ц) ат(б5ш
/ + "К«,/ + V - (./' - 1) 2ф\ - Ч>,ш.)
г,
(30)
где Р. =
^2 =
(-1)" 1
для кривом положительного типа; для кривой отрицательного типа; 3 для кривой положительного типа; (-1)" для кривой отрицательного типа. На рис. 2 приведены кривая входного тока отрицательного типа, рассчитанная по выражению (22), и соответствующий амплитудный спектр, полученный путем применения быстрого преобразования Фурье непосредственно к графику изменения тока,
/*
I,
.. I,.!
1-, • 1.1. - и.
V
б)
Рис. 2 - Кривая входного тока {а) и ее амплитудный спектр (б) трехфазно-трехфазного мостового шестипульсного НПЧ при синусоидальной модулирующей функции при значении ц=1 и выходной частоте преобразователя/№ЫХ = 20 Гц;/,« = 50 Гц
Как показали исследования, амплитуды высших гармоник и интергармоник входного тока НПЧ существенно зависят от выходной частоты преобразователя и фазового угла нагрузки, а при синусоидальной и треугольной модулирующих функциях еще и от глубины модуляции ц.
Анализ сетевого тока НПЧ при случайных возмущениях
Приведенный выше алгоритм расчета спектрального состава сетевого тока НПЧ применим для установившегося режима работы при фиксированном значении выходной частоты и допущении отсутствия влияния случайных помех. Однако при решении вопросов ЭМС, в частности для оценки показателей колебания напряжения, возникает необходимость учета различной природы случайных помех, возникающих на входе и выходе преобразователя.
В этом случае кривая сетевого тока НПЧ может быть представлена в виде амплитудно-модулированного колебания аналогично представлению кривой тока нелинейной резкопере-менной нагрузки [9]
(О = К(0 +ч£ L.h sm(vAco0r + фу.), (31)
А=1
где 4(0 - центрированный стационарный случайный процесс с заданной корреляционной функцией К^ (т), характеризующей случайную помеху; h - порядковый номер гармоники входного тока НПЧ с относительной частотой vh; / - амплитуда vh -й гармоники входного тока; (00 - угловая частота колебаний основной гармоники; ф^ - взаимно независимые случайные начальные фазы, равномерно распределенные на интервале (-л, л).
Тогда корреляционная функция случайного процесса сетевого тока НПЧ im (t)
К, (х) = [К%(т) +D4h cosv,ü)0t , (32)
A-I
где DVh - дисперсия vA-й гармоники; DVh ={2mvj2.
Каноническое (спектральное) разложение центрированного стационарного случайного процесса имеет вид
оо
= cosm^ + ЕД sinov), (33)
*=о
где Vk и Uk ~ случайные величины с дисперсиями Dk; cot - неслучайная величина.
Каноническое разложение корреляционной функции случайного процесса (33) [10]
т) = ¿Д. cos®*!, (34)
jt=0
где соА = ¿Ш], <й1 = До = 2л/(2Г) = л/Г;
2 Т 1 г =-р^(т)С08Ю,тЛ, Dü - — ^Kt {x)di. (35)
1 и ''о
Значения Dk и набор различных частот <ак зависят от конкретного вида корреляционной функции т). Подставляя (34) в (32) после несложных преобразований получим
'j: 1 [) D ^
ВД = SS-V^[cos(v,co0 - а>, )т + cos(vaco0 + cd,)т]+ [Z>0 + l]£Z)Vt cosv„cö0t. (36)
Первое слагаемое в выражении (36) позволяет найти дисперсии, а соответственно и амплитуды, гармонических составляющих с частотами (уасо0 ± со4), второе слагаемое - дисперсии vA-bix гармоник амплитудно-модулированного колебания (31). Анализ второго слагаемого выражения (36) показывает, что при модуляции периодического несинусоидального процесса случайным процессом 4(0 происходит изменение дисперсий (амплитуд) vh -ых гармоник на величину пропорциональную постоянной составляющей, присутствующей в случайном процессе 4(0 (что практически всегда имеет место для реальных случайных процессов).
Выводы
Спектральный состав выходного напряжения и соответственно входного (сетевого) тока НГТЧ существенно зависит от закона управления (модулирующей функции), используемого для получения кривой выходного напряжения с заданными характеристиками. Поэтому при решении задач ЭМС одним из важнейших моментов является учет вида реализуемого закона управления нпч,
Дальнейшим вопросом исследования проблемы ЭМС при работе преобразователей частоты представляется проблема нормирования показателей качества электроэнергии. Очевидно, что подход к нормированию должен учитывать причину возникновения искажений кривых токов и напряжений. Так, например, в случае дискретного спектра ИГ, связанною с принципом работы НПЧ, их нормирование возможно производить по аналогии с нормированием высших гармоник, как предложено авторами, например, в [11]. В случае же сплошного спектра ИГ, вопрос нормирования является гораздо более сложным и неоднозначным. Проведенные исследования позволили сделать вывод о целесообразности нормирования сплошного спектра ИГ по величине дисперсии.
Перечень ссылок
1. Джюджи Л. Силовые полупроводниковые преобразователи частоты: Теория, характеристики, применение. Пер. с англ. / Л. Джюджи, Б. Нелли,- М: Энергоатомиздат, 1983. -400 с.
2. Жемеров Г.Г. Тиристорные преобразователи частоты с непосредственной связью / Г.Г. Жемеров-Ж: Энергия, 1977.-280 с.
3. Жежеленко И.В. Высшие гармоники в системах электроснабжения промпредприятий. - 5-е изд., перераб. и доп. / И.В. Жежеленко - M.: Энергоатомиздат, 2004. - 358 с.
4. Жежеленко И.В. Спектральный состав выходного напряжения и входного тока непосредственных преобразователей частоты / И.В. Жежеленко, ЮЛ. Саенко, Т.К. Бараненко II Bi-сник НУ "Льв1вська пол1техшка": Електроенергетичш та електромехашчш системи. - 2003. -№ 4 7 9.-С. 79-87.
5. Быков ЮМ. Помехи в системах с вентильными преобразователями / ЮМ. Быков, B.C. Ва-силенко- М: Энергоатомиздат, 1986. - 352 с.
6. Жежеленко И.В. Подход к расчету интергармоник от непосредственных преобразователей частоты / И.В. Жежеленко, Ю.Л. Саенко, Т.К. Бараненко II Ргос. of IV М i ' d/ynarodowc seminarium polsko-ukrainskie "Problemy elektroenergetyki" - Lodz (Polska), 2004. - C. 77-82.
7. Карташов Р.П. Тиристорные преобразователи частоты с искусственной коммутацией / Р.П. Карташов, А.К. Кулиш, ЭМ. Чехет- К.: Техшка, 1979. - 152 с.
8. Жежеленко И.В. Метод расчета интергармоник входного тока трехфазно-однофазных непосредственных преобразователей частоты при линейном законе управления / И.В. Жежеленко, Ю.Л. Саенко, Т.К. Бараненко II BicHHK ПДТУ. - Мар1уполь, 2003. -№13. - С. 227-232.
9. Жежеленко И.В. Вероятностный подход к анализу интергармоник в системах электроснабжения промышленных предприятий / ИВ. Жежеленко, Ю.Л. Саенко, Т.К. Бараненко II 36. наук. пр. IV М1жнар. наук. конф. "Ефектившсть i яюсть електропостачання промисло-вих шдприемств". - Мар1уполь, 2000. - С. 33-36.
10. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вент1\ель, Л.А. Овчаров-М.: Высшая школа, 2000. -383 с.
11. Жежеленко И.В. Причины появления интергармоник, генерируемых непосредственными преобразователями частоты, и подход к их нормированию / И.В. Жежеленко, Ю.Л. Саенко, Т.К. Бараненко II В1сник ПДТУ. - Мариуполь, 2004. - № 14. - С. 249-254.
Статья поступила 22.02.2005
