CC BY
62
ISSN 0869-4362
Русский орнитологический журнал 2002, Экспресс-выпуск 190: 631-642
Математические методы
для интеллектуальных баз данных в биологии.
2. Уровни организации живого, математические языки их описания и корректность постановки задач математического моделирования
3.А.Тропп*, В.А.Егоров, Ю.Г.Морозов
* Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе РАН, Санкт-Петербург, 194021, Россия Поступила в редакцию 11 декабря 2002*
Уровни организации живого и математические языки их описания
Выдающийся математик А.А.Ляпунов (развивший, в частности, алгебраическую теорию программирования), работавший в теснейшем творческом контакте с великим биологом Н.В.Тимофеевым-Ресовским, дал “кибернетическое” определение живого вещества (использован термин В.И.Вернадского) и привёл содержательную классификацию математико-биологических моделей, опираясь на кибернетический подход к рассмотрению процессов жизнедеятельности, т.е. на анализ иерархии процессов управления в живой природе (Ляпунов 1968). А.А.Ляпунов воспользовался “наиболее грубым” (наименее детальным) членением этих процессов, предложенным Н.В.Тимофеевым-Ресовским (1964, 2000): первый уровень — клеточномолекулярный; второй — организменный; третий — популяционный; четвёртый — биогеоценологический (Ляпунов 1968, с. 69).
Элементарными актами клеточно-молекулярного уровня считаются отдельные химические превращения молекул, совершающиеся внутри клетки, а также проникновение в клетку некоторых веществ извне и выдача клеткой некоторых веществ в межклеточную среду. Управляющие функции в пределах клетки выполняет хромосомный аппарат клеточного ядра. Основную роль при изучении клеточно-молекулярных процессов Н.В.Тимо-феев-Ресовский и А.А.Ляпунов отводили экспериментальным методам, признавая возможным описать логические модели совокупности некоторых процессов, протекающих в клетке. Исследование этих моделей помогает отсеивать гипотезы, касающиеся течения недостаточно изученных элементарных актов, и предлагать постановку новых экспериментов, т.е. выполняют полноценную роль теории (рабочей гипотезы) в общенаучном гипо-тетико-дедуктивном методе. За подробностями рассмотрения клеточно-
* Статья продолжает цикл работ, посвящённых обзору методов математического моделирования и вопросов, связанных с методами математической статистики и методами автоматического формирования гипотез (Тропп и др. 2002).
молекулярного уровня жизни А.А.Ляпунов отсылал читателя к работам В.АРатнера (1966, 1968).
Организменный уровень настолько очевидно сложен, что требует разложения, как минимум, на три системы: генетическую, нервную и нейро-гуморальную. “В функциональном отношении высшим ярусом управления является генетическая система, которая, в частности, ведает формированием как нервной, так и нейрогуморальной систем и определяет их основные функциональные параметры. Далее следует нервная система, управляющая многими процессами жизнедеятельности, в частности, настройкой эндокринной системы. И, наконец, нейрогуморальная система, которая не может быть целиком отделена от нервной, так как для выделения замкнутого информационного цикла, управляющего деятельностью эндокринной системы, необходимо учитывать некоторые нервные пути (Ляпунов 1968, с. 73-74). А.А.Ляпунов отмечал, что роль генетической системы, т.е. функционирование наследственной информации в организме “сейчас выясняется очень подробно на генетико-биохимическом уровне”(Там же). Через тридцать с лишним лет после публикации этой статьи общеизвестны успехи этого направления, выразившиеся в расшифровке генома человека. Применяющиеся здесь математические методы — это, очевидно, различные методы математической статистики, теории кодирования, математической лингвистики.
Нервная система — это благодатное поле для взаимодействия физиологии с комплексом наук, получивших от Н.Винера наименование кибернетики. Предыстория физиолого-кибернетической коэволюции начинается с известной логарифмической модели Т.Фехнера (Fechner 1889 —цит. по: Коган 1968) условий возникновения ощущения, объяснявшей наблюдавшееся Е.Вебером (Weber 1846 — цит. по: Коган 1968) повышение порогов различения при возрастании абсолютной величины раздражителя. В современную эпоху математические (и “реальные”, в данном случае “технические”) модели разделяются по ориентации — либо на “элементную базу”, либо на “архитектонику” системы. В первом случае “элементом” является нелинейный элемент, на который подаётся случайный сигнал (математические модели поставляет теория случайных процессов, теория случайных функций, теория массового обслуживания), во втором — “формальный нейрон” У.С.Мак-Каллока и У.Питтса (1956), а математическим аппаратом — дисциплины математико-логического цикла. Третьим направлением, инициированным работами И.М.Гельфанда и М.Л.Цетлина (1960, 1966, 1969) и Н.Винера и А.Розенблюта (1961), стала разработка континуальных моделей управляющих систем. Нейрокибернетические дисциплины пережили схоластическую дискуссию о том, что надо моделировать (понимать, воспроизводить) — структуру или функцию, и добились успеха в различных направлениях. Одно из этих направлений преуспело в разработке проекта нейрокомпьютера и его математического обеспечения (Beale, Jackson 1990; Haken 1991), где оно (направление) столкнётся с конкуренцией со стороны квантового компьютера и квантовых вычислений (Манин 1999). “Континуальное” направление, тесно связанное с “нейрокомпьютингом”, влилось в ряды нового научно-общественного движения, пришедшего на смену кибернетике,— синергетике (Перуш 2000, Haken 1991). С представлял Рус. орнитол. журн. 2002 Экспресс-выпуск № 190
лениями, которые синергетика заимствовала из топологии, нелинейной механики и неравновесной термодинамики для построения своего теоретического багажа (подобно тому, как кибернетика, точнее, её отец-основатель Н.Винер,— из теории случайных процессов, главным образом, из своих и
А.Н.Колмогорова идей и результатов, и теории автоматического регулирования), мы ниже ещё встретимся: синергетическая рекламная кампания хотя и не была столь успешной, как кибернетическая (очевидно, из-за задержки с синергетическими компьютерами; ламповые компьютеры упрочили славу кибернетики, а полупроводниковые достались уже “информатике”), но под её флагом собрались научные идеи, оказавшие глубокое влияние на характер работы и мировоззрение (не пора ли уже сказать — “парадигму”?) представителей многих дисциплин, включая и математическую биологию. Большими успехами может похвастаться и математическая (скорее, кибернетическая) этология, построившая модели поведения — от простейших реакций, через безусловные и условные рефлексы, до моделей высшей нервной деятельности человека (Гаазе-Рапопорт, Поспелов 1987). По существу примыкает к этому направлению и, казалось бы, совершенно несерьезная игра, изобретённая выдающимся математиком Конуэем, игра, не без претензии названная “Жизнь” (Гарднер 1988). Игра “Жизнь” происходит на бесконечном в обе стороны листе “в клеточку” (существуют варианты игры: на гексагональной сетке, в многомерном пространстве и т.д.). “Фигурами” этой игры служат различные конфигурации заполненных (чёрных, в отличие от пустых — белых) клеток, преобразующиеся на каждом временном шаге (ходе) по внешне очень простым и вполне детерминированным “трём законам Конуэя”. В формулировке этих законов Конуэй проявил интуицию, которой мог бы позавидовать, во всяком случае, Демиург из платоновского “Пира” (не все остальные “создатели” ограничивали себя требованиями математического изящества результата). “Случайность” заключается в исходной конфигурации (структуре фигуры, или, если хотите, “организма”). Некоторые конфигурации быстро погибают, зато другие живут долго (в том числе в бесконечном “мире”, т.е. игровом поле,— вечно). Различные существа, носящие экзотические названия (глайде-ры, космические корабли и т.д.), не только “физически” сталкиваются, но и могут как “поглощать”, так и “порождать”, “воспроизводить” друг друга (а иногда — и самих себя). Налицо достаточно полное моделирование “функций” при абсолютно полном пренебрежении моделированием “структуры”. Теория имитационной игры “Жизнь” (очевидно, предполагается, что игра имитирует именно жизнь), или, по И.А.Полетаеву, метатеория этой модели, живёт, простите за каламбур, “своей жизнью”: открываются новые виды, изучается их взаимодействие. По своему научному статусу ко-нуэевская игра занимает очень высокое положение: она не только “клеточный автомат”, но и универсальная вычислительная машина, т.е. относится к тому же семейству, что и машины Тьюринга и Поста. Изобретённая (открытая?) в 1936 году “машина” Тьюринга (см. напр.: Тьюринг 1960) представляет собой абстрактную логико-математическую модель любого рода автоматических устройств, способных по системе заранее предписанных правил перерабатывать входную информацию в новую информацию на
выходе. Теория машины Тьюринга явилась впоследствии исходным пунктом предложения фон Неймана кодировать программу действий вычислительной машины с помощью чисел. В последние годы своей жизни Джон фон Нейман интенсивно занимался как поисками аналогий в “устройстве” мозга и вычислительной машины (Нейман 1960а), так и общей теорией автоматов как самовоспроизводящихся, самоусложняющихся систем (Нейман 19606). Заметим, кстати, что “кибернетическое” понятие самоорганизации, включающее, например, концепцию “закономерной реакции систем, состоящей из элементов со случайным поведением” (см. напр.: Коган 1968; Тутубалин и др. 1999), представляется более глубоким, чем употребляющаяся в последнее время и опять-таки зачисленная по разряду синергетики метафора самоорганизации. В последнем случае речь идёт о возникновении структур, обладающих определённой симметрией после потери устойчивости полностью однородного состояния. Употребление термина “диссипативные структуры”, принятое и в математической экологии (Свирежев 1987), является, на наш взгляд, более точным и не вводящим в заблуждение.
Изобретённая Конуэем игра “Жизнь” породила в дисциплинах кибернетического цикла, включая теорию искусственного интеллекта, целое направление, получившее в конце 1980-х название “Искусственная жизнь” (английский термин — artificial life, или alife) (см.: Редько 2000 и приведённые там ссылки на Интернет). Это направление претендует на “моделирование формальных принципов организации биологической жизни”. Руководитель Первой международной конференции по Alife К.Лангтон сформулировал “основное предположение искусственной жизни”: «“логическая форма” организма может быть отделена от материальной основы его конструкции» (Там же, с. 26). Большинство моделей “искусственной жизни”, как и у Конуэя,— “придуманные объекты, живущие в мире компьютерных программ” (Там же, с. 26).
В.Г.Редько (2000) называет словосочетание “Искусственная жизнь” лозунгом. Провозглашение лозунгов характерно для кибернетики (биологи могут сказать, что тут проявляется “эффект основателя”). Последний из провозглашённых кибернетиками лозунгов — “Эволюционная кибернетика”. Под этим названием фигурирует “общая концепция широкого спектра кибернетических исследований, относящихся к Природе, Мышлению, Обществу и Технологиям” (все с большой буквы!). К “биологическим”, в том числе и “эволюционным” эпитетам следует относиться с определённой осторожностью. На раннем этапе сотрудничества киберентики с биологией существовал естественный энтузиазм: казалось, что средствами кибернетики удастся смоделировать то, что В.Г.Редько остроумно называет “интеллектуальными изобретениями эволюции”: условный и безусловный рефлексы, привыкание. В настоящее время признано, что эти модели “фрагментарны и не формируют общую картину происхождения познания и интеллекта” (Там же). Биологические системы всё ещё намного сложней их кибернетических моделей. Но, приобретя громкие биологические эпитеты, эти модели стали жить своей отдельной, “искусственной жизнью”. В частности, совокупность методов, основанных на биологических аналогиях (Фогель и др. 1969; Букатова 1979; Букатова и др. 1991; Скурихин 1995; Reddy 1995) —
таких как эволюционное моделирование, генетические алгоритмы, нейронные и имунные сети, нечёткие логики — образуют направление, именуемое технологией “мягких вычислений” (soft computing) (Zadeh 1994; Аверкин 1996).
Нечёткие логики имитируют ещё одно “интеллектуальное изобретение эволюции” — способность мозга человека (и животных) принимать решения, основываясь на неполных и неточных данных. Главной областью их применения считаются экспертные системы (Асам и др. 1993; Тарасов 1995; Аверкин 1996). Область применения нечётких систем включает управление производственными процессами и транспортными средствами, распознавание речи и изображений, решение задач в области бизнеса, экологического планирования, медицинской диагностики. Нечёткое множество А в пространстве X определяется через функцию принадлежности шА(Х), принимающую значение в интервале [0.1]. Операции над нечёткими множествами осуществляются с помощью нечёткой логики, в которой отсутствуют закон исключённого третьего и закон противоречия.
Второй компонент мягких вычислений образуют нейронные сети. Нейронные сети состоят из нейронных элементов (или формальных нейронов) — нелинейных элементов, осуществляющих взвешенное суммирование и трансформацию входных сигналов. Набор суммирующих и трансформирующих функций определяет “нейродинамику” сети, способ соединения нейронов — её топологию. Настройка нейронной сети осуществляется с помощью алгоритмов обучения по системе стимул—реакция. Сети “предъявляются” образы или примеры, а она подбирает (и запоминает) веса нейронных элементов таким образом, чтобы минимизировать ошибку распознавания предъявляемых примеров. На первых порах преобладали эмпирические приёмы обучения нейронных сетей, современная тенденция состоит в переходе к универсальным методам поиска экстремума в пространстве параметров.
Третья образующая мягких вычислений — эволюционные и генетические алгоритмы — как раз и относятся к методам поиска экстремума в многомерном пространстве параметров. В основу этих алгоритмов заложена имитация некоторых эволюционных механизмов: отбора, воспроизводства потомков, мутаций и рекомбинаций хромосом (Фогель и др. 1969; Holland 1992; Букатова 1979; Букатова и др. 1991). Хромосоме соответствует вектор параметров, определяющих вариант решения. Первоначально определяется исходная популяция вариантов решения и оценивается их эффективность. Затем формируется популяция потомков с учётом вероятностей воспроизведения каждой из хромосом, мутаций и кроссинговера. Процесс останавливается, если получено удовлетворительное решение или исчерпан лимит времени. Как отмечают В.В.Иванищев и В.В.Михайлов (2000), генетические алгоритмы обладают хорошими нелокальными свойствами, но глобальная сходимость алгоритма не гарантируется (см. также: Скурихин 1995).
Нейронные сети могут быть использованы в качестве моделей реальных объектов. При этом не требуется математического описания реального процесса, что существенно облегчает разработку модели (Иванищев, Михайлов 2000). Представляется естественным, что мягкие вычисления ПрИ-
влекли внимание специалистов по автоматизации моделирования — автоматической сборке программных комплексов из разных и написанных на различных языках программ. Одним из направлений автоматизации моделирования является методология алгоритмических сетей (Иванищев, Марлей 2000). Если первоначально алгоритмические сети строились из “жёстких” алгоритмов (дифференциальные или разностные уравнения, исчисление предикатов), то в последнее время в них включены и “мягкие” вычисления. Более того, моделирование, скажем, популяций в изменчивой внешней среде с учётом изменчивости наследуемых параметров на основе мягких вычислений считается “наиболее адекватным” (Иванищев, Михайлов 2000, с. 16) по принципу “нечётким данным — нечёткие вычисления”. Эта идея напоминает использование “физических соображений” в математике. Дискуссии по этому поводу разворачивались неоднократно, но все-таки большинство физиков предпочло строгие математические результаты, поскольку надёжность математического звена позволяет— в случае неудачи моделирования — сосредоточить поиски ошибок на других, собственно физических, экспериментальных или теоретических, звеньях. Биологические аналогии играют в эволюционной кибернетике ту же роль, что и физические соображения в математической физике. Тем не менее, факт конкуренции “жестких” и “мягких” вычислений налицо. Мы ещё вернемся к этому вопросу ниже.
Следующий выделяемый уровень составляют популяции. А.А.Ляпунов определяет популяцию как “совокупность особей, принадлежащих к одному виду, населяющих некоторый связный ареал и обладающих тем свойством, что процессы спаривания особей в подавляющем большинстве протекают в пределах этой совокупности. Потомки особей данной популяции также включаются в популяцию. Погибающие особи, а также особи, покидающие ареал, считаются выпадающими из популяции” (Ляпунов 1968, с 83). Определение это, конечно, рабочее и не претендует на полноту. Орнитолог, например, может заметить, что у перелётных птиц ареал — как минимум, двусвязный, а если учесть, что из одного и того же весенне-летнего местопребывания его обитатели (даже принадлежащие к одному виду) могут разлететься на разные, иногда весьма удаленные зимовки (Михеев 1996), то и многосвязный. Сама легкость таких “придирок” говорит о том, что определение А.А.Ляпунова учитывает основные признаки определяемого объекта популяции. Назначение математических моделей популяции, согласно А.А.Ляпунову, состоит в том, “чтобы в заданных, чётко описанных условиях скрещивания, изменчивости и отбора прослеживать кинетику генотипов или фенотипов популяции” (Ляпунов 1968, с 84). Одно из направлений математического моделирования популяций описывает искусственный отбор (селекцию), другое изучает естественный микро-эволюционный процесс в популяциях. А.А.Ляпунов с сожалением отмечал, что оба эти направления были недостаточно развиты в СССР в то время и даже основные работы (Fisher 1937; Kempthorn 1957; Kimura 1957, 164) не переведены на русский язык. Лучше обстояли дела с третьим направлением математической генетики популяций, изучавшим полиморфизм популяций (сосуществование нескольких различных фенотипов в пределах одной по-
пуляции) и дивергенцию форм в пределах популяции (распадение первоначально биологически единой популяции на ряд биологически изолированных, но населяющих общий ареал). В этом направлении имелись значительные результаты Н.В.Тимофеева-Ресовского и Ю.М.Свирежева, самого А.А.Ляпунова и его школы. За последующие десятилетия ситуация существенно изменилась: уже через 15 лет после появления сборника “Математическое моделирование жизненных процессов” Ю.М.Свирежев и В.П.Па-секов (1982) опубликовали монографию по математической генетике, включавшую и большое количество оригинальных результатов.
Перейдем теперь к следующему уровню, математическое моделирование которого и составляет предмет нашего обзора. Продолжая следовать А.А.Ля-пунову будем называть его биогеоценологическим уровнем и приведём определение биогеоценоза по В.Н.Сукачеву: “биогеоценозом называют относительно автономное природное сообщество организмов вместе с той физико-географической обстановкой, в которой они существуют, и той средой, которую они сами создают в этой обстановке” (Ляпунов 1968, с. 192). Различают биогеоценозы различных уровней, самый высокий уровень образует биосфера в целом. Под биосферой, следуя В.И.Вернадскому, “понимают слой вещества, прилегающий к поверхности земного шара, в пределах которого протекают жизненные процессы, т.е. процессы химической и механической переработки вещества, совершающиеся при участии живых организмов” (Там же, с. 93). Заметим, что в современной книге (Стебаев и др. 1993) собственно “слой вещества” называют “биостромой” (“ковром жизни”).
Значительная часть вещества совершает в этом слое круговороты, состоящие в том, что каждое из рассматриваемых веществ может находиться в нескольких различных состояниях. Эти состояния не являются неизменными. За определенный промежуток времени определенное количество этих веществ закономерно (sic!) переходит их одних состояний в другие. При этом основная масса каждого из указанных веществ длительное время находится в этих круговоротах и лишь очень постепенно выбывает из них.
Источником энергии для этих превращений является солнечный свет, управляющую роль выполняют живые организмы. Их управляющая функция состоит в том, что организмы способны в сравнительно короткие сроки либо размножаться, либо отмирать. Тем самым интенсивность химической работы, выполняемой этими организмами, в разные периоды времени может быть весьма различной. Кроме того, в разных условиях те или иные организмы могут менять характер своего поведения, например, оказывать предпочтение тем или другим видам пищи. В связи с этим их химическая роль в биосфере будет изменяться (Полетаев 1966).
Главная цель математического моделирования биогеоценозов (экосистем) состоит в том, чтобы получить обоснованный прогноз кинетики ценоза, если известен его состав и известно, в каких отношения друг с другом находятся его компоненты (Ляпунов 1968, с. 94). При этом возможны различные конкретизации этой задачи.
Таким образом, для описания разных “этажей” грандиозного здания биологии применяются разные диалекты универсального (или стремящегося к универсальности) языка математики. Внутри самой математики с появ-
лением быстродействующих вычислительных машин появилось ещё одно разделение математического моделирования на два класса: математическая (“качественная”) теория и вычислительный (машинный) эксперимент (Самарский, Михайлов 1997). Если модель отвечает на некоторые общие вопросы и решает задачи, поставленные “над моделью” (Полетаев 1968, с. 128) — такие, например, как наличие стационарных точек, предельных циклов и других “аттракторов”, их устойчивость и изменение числа аттракторов и характера их устойчивости при изменении параметров модели, такую модель можно отнести к “теоретическому” типу, а совокупность ответов на эти общие вопросы — математической теорией оригинала. Таким образом, модель не является теорией, но служит основанием для нее (Там же, с. 129).
Чтобы выполнять роль базиса для познания общих биологических (в частности экологических) закономерностей, модель должна быть достаточно простой*. Если же модель не поддаётся качественному анализу, то выводы из неё делают, прибегая к перебору численных примеров и построению решений (“прогонов” программы на ЭВМ) на густой сети численных значений, т.е. к вычислительному эксперименту. Вычислительный эксперимент обладает большей гибкостью, чем лабораторный эксперимент или тем более натурное наблюдение, но, безусловно, не даёт столь общих и надёжных результатов, как строго доказанная математическая теорема. В связи с этим возникает известный вопрос — что лучше: знать всё ни о чём или ничего обо всём? То есть, какую стратегию выбрать: строить ли весьма абстрактные (“слабые” и “узкие”), но поддающиеся исследованию модели, или весьма подробные, “портретные” модели, насколько возможно полно отображающие оригинал^ С “портретной” моделью можно проводить вычислительный эксперимент, но её нельзя исследовать “в общем виде”. В такой общей постановке вопрос этот, конечно, неразрешим. На первых шагах исследования однозначно рекомендуются простые модели: “чем слабее и уже модель, чем глубже осуществляется разумная идеализация оригинала в модели, тем сильнее оказываются получаемые результаты и тем меньших усилий они стоят” (Полетаев 1968, с 129). С другой стороны, мы заинтересованы в прогнозировании поведения именно конкретных биогеоценозов или экосистем. Обращаться к “портретному” моделированию можно, только накопив (позаимствовав из литературных источников) опыт изучения простых моделей и, вообще говоря, ненамного удаляясь от них.
* В.Н.Тутубалин с соавторами (1999) иронизируют : “Сократ непременно спросил бы, а что такое общая закономерность? То ли это, что не выполняется ни в одном частном случае?”.
1 Эти модели тоже заслужили сарказм только что процитированных авторов: “при объективном и детальном анализе любой конкретной модели всегда хочется сделать общий вывод о том, что моделей первого вида [“полных” — Э.Т.] ровно столько, сколько мудрецов среди стоиков, т.е. нуль» (Тутубалин и др. с. 141).
Корректность постановки задач математического моделирования
Математическая модель формулируется в пределах “метатеории”, на выбранном “языке” неравенств, высказываний, предикатов и т.п. Эта совокупность образует математическую задачу, а формулировка ограничений (т.е. описание модели) — постановку задачи. Решение задачи — набор функций числовых (или более общих) координат или последовательностей чисел (при решении задач на ЭВМ), удовлетворяющих поставленным ограничениям (условиям задачи),— и даёт то описание поведения модели, которое предстоит сравнить с поведением оригинала (интерпретировать). Как уже говорилось выше, задачи математической экологии формулируются как задачи для систем дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных, последние по причинам исторического характера называют уравнениями математической физики).
Основные требования к постановке задач для дифференциальных уравнений сформулировал в начале XX в. французский математик Жак Адамар. Эти требования суть существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от данных задачи. Совокупность этих требований Адамар назвал корректностью, а соответствующие задачи — корректными (или корректно поставленными). Происхождение этих требований математического этикета — внематематическое, методологическое, они обусловлены как раз тем, что математическая задача является моделью реально существующего явления. Требование существования решения — это требование непротиворечивости поставленных условий, минимальное требование к модели. Поскольку оригинал заведомо существует, несуществование решения означает, что требования изоморфизма модели и оригинала не соблюдены, модель непригодна и должна быть пересмотрена. Требование единственности решения — не такое жёсткое, как требование существования. Это, по существу, требование полноты выставленных ограничений (условий задачи). Если множество решений слишком велико, т.е. условия задачи (“причина”) не определяют решения (“следствия”), то это вызывает подозрение, что в системе условий имеются пробелы. Именно это подразумевают, когда говорят, что математическое моделирование не допускает “полузнания”, что оно вынуждает исследователя ответить на все вопросы (предложить гипотезы), прежде чем он построит законченную модель.
Жёсткость требования единственности (однозначной определённости) решения зависит от характера задачи. Единственность (хотя бы в малом, на небольших отрезках времени) обязательна для описания нестационарных, переходных (“эволюционных”) процессов, это выражение т.н. “принципа причинности”, отражающего нашу веру в саму возможность прогнозирования поведения модели и, следовательно, оригинала (при вероятностном описании это требование определённости остаётся, оно только переносится с простых “координат” (положение точки в пространстве, число особей в популяции) на более сложный объект — функцию распределения (вероятность того, что “координата” будет иметь то или иное значение). Для стационарных состояний строгое требование единственности решения
не обязательно: в зависимости от предыстории система может прийти в различные положения равновесия. Но и в этом случае желательно индивидуализировать различные равновесные состояния, с помощью дополнительных условий “изолировать” их, то есть вернуться к ситуации однозначно определённого решения.
Третье условие корректности требует малого изменения решения при малом изменении условий задачи. Оно связано с тем, что параметры, определяющие задачу (коэффициенты уравнений и дополнительных условий — рождаемости, смертности, активности, диффузии и т.д.) известны нам из измерений, а измерения производятся с ошибками. Если не будет выполнено требование непрерывной зависимости решения от данных задачи, то модель будет непригодна для прогноза: близкие в начальный момент “траектории” оригинала и модели за конечное время разойдутся, и мы со своим прогнозом “попадем пальцем в небо”.
Таким образом, математическая модель может считаться построенной, если доказаны три теоремы метатеории этой модели — теорема существования, теорема единственности и теорема о непрерывной зависимости решения от данных задачи. Поэтому когда говорят, что формулировка математической модели не принадлежит математике, не является обязанностью математика, что это область деятельности специалистов естественных наук (физиков, биологов, экологов), которая требует от них лишь общего знакомства с применением математических методов (Полетаев 1968, с. 128), то это не совсем правда, во всяком случае, не вся правда.
Постановка задачи при математическом моделировании — это процесс перевода с языка предметной области на язык математики. Безусловно, при этом должен иметь место текст на биологическом языке, но и переведённая фраза должна быть грамотной на языке математики, иначе она лишается смысла (и математического, и биологического).
Как показывает практика математического моделирования, именно интерфейс “математика — предметная область” является наиболее сложным, самым проблемным в процессе математического моделирования. В достаточно продвинутой исследовательской группе всегда есть “постановщики задач”, “толмачи”, обеспечивающие и адекватное понимание биологического текста, и грамматически корректную его передачу на выбранном математическом диалекте (эта обязанность может быть и распределена между отдельными членами группы). При конструировании баз знаний эту работу берет на себя “инженер по базам знаний” (Гаврилова, Червинская 1992). Специалисты по искусственному интеллекту стремятся автоматизировать этот перевод с языка предметной области на язык математики (как и перевод с одного национального языка на другой). При этом используются различные разделы логики и такие абстрактные науки, как когнитология, методология науки, философская теория познания (эпистемология) (Гаврилова, Червинская 1992; Дюк 1997; Финн 2000). Безусловно, не всякое философское направление способно спуститься с высоты вечных вопросов к проблемам “минимальной философии” [как В.Н.Тутубалин с соавторами (1999) назвали методологию науки], а тем более — к её прикладным аспектам. Авторы настоящего обзора с удовлетворением отмечают, что способен Рус. орнитол. журн. 2002 Экспресс-выпуск № 190
ность к приложениям проявил “критический рационализм” Карла Поппера (Тропп 1999, Лакути и др. 2000; Финн 2000).
В своих следующих работах этого цикла мы опишем некоторые модели экологических систем, на которых будут проиллюстрированы изложенные выше тезисы о математическом моделировании, и приведены полученные с помощью этих моделей результаты.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) в рамках гранта № 00-07-90181.
Литература
Аверкин А.Н. 1996. Мягкие вычисления — основа новых информационных технологий ЦИскусственный интеллект—96. Казань, 2: 17-29.
Букатова И.Л. 1979. Эволюционное моделирование и его приложения. М.: 1-232.
Букатова И.Л., Махасев Ю.И., Шаров А.М. 1991. Эвоинформатика: теория и практика эволюционного моделирования. М.: 1-206.
Винер Н., Розенблют А. 1961. Проведение импульсов в сердечной мышце ЦКибернетический сборник 3: 7-56.
Гаазе-Рапопорт М.Г., Поспелов Д.А. 1987. От амёбы до робота: модели поведения. М.: 1-288.
Гаврилова Т.А., Червинская К.Р. 1992. Извлечение и структурирование знаний для экспертных систем. М.: 1-200.
Гарднер М. 1988. Крестики-нолики. М.: 1-352.
Гельдман И.М., Цетлин М.Л. 1960. О континуальных моделях управляющих систем// Докл. АН СССР 131, 6.
Гельфанд И.М., Цетлин М.Л. 1966. О математическом моделировании механизмов центральной нервной системы Ц Модели структурно-функциональной организации некоторых биологических систем. М.: 9-26.
Дюк В. 1997. Обработка данных на ПК в примерах. СПб.: 1-240.
Иванищев В.В., Марлей В.Е. 2000. Введение в теорию алгоритмических сетей. СПб.: 1-180.
Иванищев В.В., Михайлов В.В. 2000. Автоматизация моделирования экологических систем. СПб.: 1-172.
Коган А. Б. 1968. О моделировании процессов нервной деятельности //Математическое моделирование жизненных процессов. М.: 211-221.
Ляпунов А.А. 1968. О математическом подходе к изучению жизненных явлений //Математическое моделирование жизненных процессов. М.: 65-107.
Мак-Каллок У.С., Питтс У. 1956. Логические исчисления идей, относящихся к нервной активности//Автоматы. М.: 1-36.
Манин Ю.И. 1999. Классическое вычисление, квантовое вычисление и факторизация Шура//Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Ижевск, 2: 248-286.
Михеев А.В. 1996. Биология птиц. Полевой определитель гнёзд. М.: 1-460.
Нейман Дж., фон. 1960а. Вычислительная машина и мозг //Кибернетический сборник 1: 1-60.
Нейман Дж., фон. 19606. Общая и логическая теория автоматов //Может ли машина мыслить / Л.Тбюринг. М.: 59-101.
Перуш М. 2000. Математические модели вссоциативных нейронных сетей. СПб.: 1-64. Полетаев И.А. 1968. Некоторые математические модели биогеоценозов и замечания о моделировании //Математическое моделирование жизненных процессов. М.: 124-135. Полетаев И.А. 1966. О математических моделях элементарных процессов в биогеоценозах //Проблемы кибернетики 16: 171-190.
Асам К., Ватада Д., Ивам С. и др. 1993. Прикладные нечеткие системы. М.: 1-368.
Ратнер В.А. 1968. Информационные модели молекулярно-генетических систем управления //Математическое моделирование жизненных процессов. М.: 108-123.
Ратнер В. А. 1966. Генетические управляющие системы. Новосибирск: 1-181.
Редько В. Г. 2000. Эволюционная кибернетика — научная дисциплина XXI века //Мост 38: 24-26.
Самарский А.А., Михайлов А.П. 1997. Математическое моделирование. М.: 1-316.
Свирежев Ю.М. 1987. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катострофы в экологии. М.: 1-368.
Свирежев Ю.М., Пасеков В.П. 1982. Основы математической генетики. М.: 1-511.
Скурихин А.Н. 1995. Генетические алгоритмы //Новости искусственного интеллекта 4: 5-48.
Стебаев И.В., Пивоварова Ж.Ф., Смоляков Б.С., Неделькина С.В. 1993. Общая био-системная экология. Новосибирск: 1-288.
Тарасов В.Б. 1995. От искусственного интеллекта к искусственной жизни: Новый подход в науках об искусственном//Новости искусственного интеллекта 4: 93-117.
Тимофеев-Ресовский Н.В. 1964. Некоторые проблемы радиационной биогеоценоло-ти//Проблемы кибернетики 12: 201-232.
Тимофеев-Ресовский Н.В. 2000. Воспоминания: Истории, рассказанные им самим, с письмами, фотографиями и документами. М.: 1-880.
Тропп Э.А. 1999. Критический рационализм как мировоззрение учёных: вызов конца тысячелетия Ц Петербургская Академия наук в истории академий мира. К 275-летию Академии наук. СПб., 4: 112-124.
Тропп Э.А., Егоров В.А., Морозов Ю.Г. 2002. Математические методы для интелек-туальных баз данных в биологии. 1. Математические модели в биологии. Общий анализ //Рус. орнитол. журн. Экспресс-вып. 177: 163-171.
Тутубалин В.Н., Барабашев Ю.М., Григорян А.А. и др. 1999. Математическое моделирование в экологии: Историко-методологический анализ. М.: 1-208.
Тьюринг JI. 1960. Может ли машина мыслить? М.: 1-112.
Финн В.К. 2000. Эволюционная эпистемология Карла Поппера и эпистемология синтеза познавательных процедур //Эволюционная эпистемология и логика социальных наук: Карл Поппер и его критики. М.: 364-424.
Фогель Д., Оуэнс А., Уолш М. 1969. Искусственный интеллект и эволюционное моделирование. М.: 1-232.
Цетлин M.J1. 1969. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем. М.: 1-316.
Лакути Д.Г., Садовский В.Н., Финн В.К. (сост.) 2000. Эволюционная эпистемология и логика социальных наук: Карл Поппер и его критики. М.: 1-464.
Beale R., Jackson Т. 1952. Neural Computing (An Introduction). Bristol.
Fechner T. 1889. Elemente der Psychophysik. Leipzig: 1-336.
Fisher R.A. 1937. The wave of advance of advantageous genes //Ann. Eugenics 7: 355-369.
Haken H. 1991. Synergetic Computers and Cognition: A Top-down Approach to Neural Nets. Berlin: 1-225.
Holland J.H. 1992. Genetics algorithms//Sci. Amer. 7: 66-72.
Kempthorn O. 1957. An Introduction to Genetic Statistics. New York; London: 1-545.
Kimura M. 1957. Some problems of stochastic processes in genetics //Ann. Math. Statist. 28: 88-901.
Kimura M. 1964. Diffusion models in population genetics///. Appl. Probability 1, 2: 177-232.
Reddy G.N. 1995. Artificial Neural Networks. Lamar Univ.: 1-294.
Zadeh L.A. 1994. Fuzzy logic, neural network and soft computing //Comm. АСМУ1, 3: 77-84.
Ю СЯ
