Математическаямодель анизотропного упрочнения ортотропного материала, разносопротивляющегося растяжениюи сжатию Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374; 621.983

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru. К.С. Ремнев, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНИЗОТРОПНОГО УПРОЧНЕНИЯ ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА, РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩЕГОСЯ РАСТЯЖЕНИЮ И СЖАТИЮ

Предложена математическая модель анизотропного упрочнения ортотроп-ного материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию. Приводятся необходимые соотношения и уравнения для анализа процессов пластического формоизменения анизотропного тела.

Ключевые слова: анизотропия, математическая модель, условие текучести, растяжение, сжатие, деформация, напряжение.

В отраслях машиностроения и приборостроения широкое распространение нашли изделия, изготовляемые методами пластической обработки металлов давлением из проката.

Материал заготовок, подвергаемых штамповке, обладает анизотропией механических свойств, обусловленной маркой материала и технологическими режимами его получения [1, 2].

При обработке давлением таких заготовок начальная анизотропия механических свойств изменяется. Указанный фактор может оказать существенное влияние на силовые и деформационные параметры процессов пластической обработки, предельной степени деформации и качество получаемых изделий.

В связи с этим представляет значительный интерес развитие теории пластического деформирования такого материала при изготовлении изделий различного назначения в машиностроении с целью правильного выбора прессового оборудования, интенсификации технологических процессов, формирования заданного качества изделия, соответствующего техническим условиям его эксплуатации.

Существующие методы расчета технологических параметров и ожидаемых свойств изделия в большинстве случаев основаны на модели изотропного упрочнения ортотропного тела, предложенной Р.Хиллом, и не учитывают деформационную анизотропию механических свойств материала заготовки [1 - 3]. В качестве параметра изотропного упрочнения используется величина интенсивности пластической деформации или удельная работа пластической деформации.

Большинство теорий анизотропного упрочнения основаны на трансляционном скольжении поверхности нагружения, связанном с перемещением ее центра в зависимости от величины компонент деформации, и изотропном ее расширении, зависящем от величины интенсивности деформации, далеко не в полной мере описывают экспериментальные данные с поведением материала и изменением механических свойств при значительных пластических деформациях в процессах обработки металлов давлением.

Ниже предлагается альтернативный вариант теории пластического формоизменения ортотропного анизотропно упрочняющегося материала, разносопротивляющегося пластическому деформированию при различных видах напряженного состояния.

Тензорно-полиномиальная формулировка условия текучести Э. Ву для анизотропного материала приводится в работе [4]. Рассмотрим частный случай тензорно-полиномиального условия текучести второго порядка для несжимаемого, жесткопластического материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию, которое запишется в виде

анизотропии; / - функция текучести.

В случае равенства пределов текучести на сжатие и растяжение (Ахх=Ауу= А22=0) условие текучести (1) преобразуется к виду, предложенному Р. Хиллом [3].

Связь параметров анизотропии с величинами сопротивления материалов пластическому деформированию имеет вид

Ауу22 (<7

уугг ® гг

1Г і 1 ""і . _1 1

(2)

где о3хх и о5ххс, а5уу и а8уус, о&2 и о3г2С - сопротивление материала

пластическому деформированию при растяжении и сжатии соответственно в главных осях анизотропии х,у,г; %3ху, Т3у2, Т3х2 - сопротивление материала пластическому деформированию при сдвиге по отношению к главным осям анизотропии.

Рассмотрим пространство напряжений ахх, суу, а22, тху, ту2 и

12Х. В этом пространстве напряжений условие текучести (1) представляет собой поверхность текучести. Пусть поверхность текучести будет центральной с координатами аХ(), оуо , о2() и тхуо =ту2() = т2Х(). В этом случае разное сопротивление пластическому деформированию на растяжение и сжатие в главных осях анизотропии можно связывать со смещением центра поверхности текучести относительно начала координат ахх = вуу = = Хху = туг = ъ2Х = 0, т.е. с наличием остаточных напряже-

ний Охо , Оуо И О2о , которые определяют положение центра поверхности текучести.

Как показали экспериментальные исследования, смещение центра поверхности текучести существенно проявляется при малых деформациях 3...6 % [5]. Так как при обработке металлов давлением степени деформации значительные, то можно предположить, что материал заготовки, кроме начальной анизотропии механических свойств, проявляет эффект разносо-противляемости материала растяжению и сжатию.

Приведем поверхность текучести (1) к новому центру с координатами сХ(), оуои о2о, %у2() =т2Хо =%хуо = 0 путем параллельного переноса

системы координат <зх, ау,ху2 по формулам

®хх~®хх + ’®уу~'^уу ’

Т VI) —X ул) Д -у-*7 X У7 .Т X

'ху~ ху-> хг~ txz?

Условие текучести (1) в системе координат <з'х, о'у, шется в следующем виде:

— ^уугг у у ~ ® гг У" ~ -^ххгг гг ~ ®хх ) —

-А' (а' -а' V-+24' т'2 + 74' т'2 + 74' т'2 =1

ххуу Xй хх у у / ^^угуг ^уг ^ ^-^гхгх ^гх ^ ^■п-хуху ''ху А’

где

Ауугг ~^уугг ^ххгг ~^ххгг ^ххуу ~^ххуу /^> ^угуг ~^угуг

ту2 запи-

си

/Ь;

^гхгх ^гхгх/^’^хуху ^хуху/^’ ^ ^ АххІЯхд ®гп) ^уу^Руа ®го )■

20

УУ\~У0

г0

Для определения координат центра поверхности текучести с Су0 и а2о имеем систему линейных уравнений

— ®хп і^ххгг Дххуу )"*" ^уд ^ххуу ^ххгг ^хх=0,

х0 ’

^хо^ххуу °у0 і^ххуу ^уугг 1 ' ^ г^’-уугг ' У±уу

^-ххгг ®уо ^уугг ® г^ у±уугг

)"*" ® го Ауугг ^уу О, {Ауугг + ^ххгг )— ^хх — Луу=0.

(5)

Так как система линейных уравнений (5) является зависимой относительно неизвестных, то решение ее может быть получено в виде

А ■ А - А ■ А

луу лххгг Лхх луугг

°*о °уо~Т(а \А

■ А + А ■А + А ■А

ххгг луугг т луугг ^ххуу т лххгг ^ххуу

)

°2о <4 ГТ7 \Л.

Лгх’Й

ххуу Ауугг

)+ Ауу ■ А

уу “ххуу

■ А + А -А + А ■А Г

ххгг лххуу т луугг лххгг т луугг лххуу )

°уо °2о ГГ7 \л

‘ (^ххгг + ^ххуу ) ^хх ' ^ххуу

~А + Л ~А ~+А ~А I ххгг лххуу т Лда22 т луугг лххуу )

(6)

(7)

Уравнения связи между приращениями деформации и напряжениями в соответствии с ассоциированным законом течения в вспомогательной системе координат а'х, &у,т'у2 имеют вид

й?8хх=й?Х. [— АХХуу (с7хх — су уу)— АХХ22 (стхх — <з 22)],

с1£уу=({к [— Ауу22 {оуу — с22)— АХХуу ({5уу — стхх )]>

^■2,2г—[— АХХ22 (р2г ~ <5XX ) — Ауугг (р гг ~ ^уу )]> ух ^ угу г ^ у2 ’

(Ь(2х=(ХК А2Х2Х%2Х',

^Уху-^^ ^хуху^ху-

Условие текучести (1) и ассоциированный закон пластического течения (7) в системе координат охх, Оуу, ту2 соответственно примут

следующий вид:

Ауугг[(®уу (Ру о ^ ®хх) (^д ^хц)]

^ 2

- Аххуу[(<*хх -Ъуу)- (ах0 - ау0 )] +

+ 2Алт„х{„ + 2А'2хгхт1х + 2А'У.„„,т1„ = 1

лугуг*уг

(8)

и

й^хх=<^' {" Аххуу [(<7хх — Суу )— (^хд — °Уо )1—

- АХХ22 [(^ХХ _ ® 22 ) _ (^ Хр — )]}

^уу=с(к {- Ауу22 ^Руу — ^ гг )— (^^0 — )] —

- Аххуу [{оуу - СXX )- (°у0 " °*0 Ж

с1£,22=сГк {- АХХ22 \р 22 — охх) — (р г о ~ ^хц )]— 1” (9)

- Ауу22 ~ ®уу )— (аг0 “ °^о

у% ^?А, А угу2^ у2 ’

^У2Х =й^“ А2Х2Х^2Х >

<1Уху=(^ Ахуху ^ ху •

По аналогии с работами Р.Хилла [3] для вспомогательной системы координат с'х, с'у,..., х'у2 введем понятие интенсивности напряжений

(I 1 [ А, ( / / \2

1 [ ууггуЗ уу ^ 22 Г

<**=•

2 (_ А' -А' -А' ^

V ххуу УУ22 ^ХХ22 /2

— Ахх22 (Р гг ~ °хх ) — Аххуу (^хх — ®уу ^"^-угуг^уг

т!

А-2 А' т'2 4- ? А' г'2 и

Т ^Л2Х2Х 12Х т ^лхуху 1ХУ 1

*хуху *ху

и интенсивности приращения деформации

[2

(10)

д/ 0 ( Аххуу Ауугг Аххгг У

/2

X

X

- А'

луу22

А' А' + Ж >4' + Ж >4'

\^уу22^ххуу т У1J{yZZУ1XXZZ т у

+

2<*у^ 2й^х 2^

Ж //' /4'

лугу2 Л2Х2Х лхуху

1/2

(11)

так, чтобы приращение работы пластической деформации на единицу объема, как и для изотропного тела, выражалось в виде

Установим связь между приращениями удельных пластических работ деформации в основной системе координат напряжений а^, Оуу,...,

Ту2 и в вспомогательной <зхх, о'уу, т'у2 учитывая что

и

сН¥ с1]¥ + (<7Хо С2() ) + с1£уу\ру^ )*

Так как сН¥'=<51с1е'1, то выражение (14) может быть записано в виде (^¥-0^21 + с1ехх (<5Хо — о2о ]+ — о2о )=

(13)

(14)

=а,

аГп - а

сіг'; +

—Лгхх + ———<1гуу

(15>

'1 ^1

Анализ выражения (15) подсказывает введение понятия интенсивности деформации в основной системе координат

уу,

(16)

так, чтобы с11¥=С1с1£.1.

Таким образом, в основной системе координат ахх, Оуу, •••, ^у2 величины интенсивности напряжения о, и интенсивность приращения деформации с/ег- могут быть определены по следующим формулам:

<*/=

и

9(_ у г~Р Гу ^ Аууиїруу вц)

^ххуу УУ22 /±ХХ22)

~ (°у0 _ % ^ _ Ахх22 \^22 — ®хх ) — — ^хд —

— Аххуу [(°хх — ®уу )— (^хр — °_У0 ^^-угуг^уг ~*~

І

1^(~ Аххуу ~ Аххгг ~ Ауугг)

(17)

б/£^‘—

Х<^

- А'

Луу22

А' Не - А' Ж

лХХ22м^уу ^ХХууиС/22

А' А' + А' А' + А' А'

У УУ22 ХХ_у_у ^ УУ22 ^ХХ2г ^ ХХуу ^ХХ22

+

1

2с1у

ух

А'

У2У2

^хо_^ +°У<^С5^с1е

XX ^ _ УУ‘

<5

с

При равенстве пределов текучести на сжатие и растяжение выражения (17) и (18) преобразуются к виду, предложенному Р. Хиллом [3].

Таким образом, предложенные выражения для нахождения величин интенсивностей напряжения ог- и приращения деформации анизотропных материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию, могут быть использованы при анализе процессов обработки металлов давлением ортотропных анизотропно-упрочняющихся материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию.

Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы.

Список литературы

1. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант, 1997. 331 с.

2. Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В. Теория и расчеты пластического формоизменения анизотропных материалов. М.: Металлургия, 1990. 304 с.

3. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956.

407 с.

4. By Э.М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред. - В кн.: Механика композиционных материалов. 1978. С. 401-491.

5. Дель Г.Д. Технологическая механика. М.: Машиностроение, 1978. 176 с.

S.S. Yakovlev, K.S. Remnev

THE MATHEMATICAL MODEL OF ORTHOTROPIC MATERIAL OF STRETCHING AND COMPRESSION DIFFERENT RESIST ANISOTROPIC HARDENING

The mathematical model of orthotropic material of stretching and compression different resist anisotropic hardening is proposed. The necessary correlations and equations for the anisotropic media plastic deforming processes analysis are shown.

Key words: anisotropy, mathematical model, yield condition, stretching,

compression, deformation, stress.

Получено 17.08.11