Математическая теория магнитной коагуляции ферромагнитных частиц в слабозагрязненных сточных водах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.711.3:622.276.031

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАГНИТНОЙ КОАГУЛЯЦИИ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ В СЛАБОЗАГРЯЗНЕННЫХ СТОЧНЫХ ВОДАХ

© 2014 Е.М. Булыжев1, Е.Н. Меньшов2

1 ЗАО «Системы водоочистки», г. Ульяновск 2 Ульяновский государственный технический университет

Поступила 08.11.2013

Разработана математическая модель сближения феррочастиц в магнитном поле. Наличие отталкивающих сил между намагниченными частицами в поперечном направлении к магнитным линиям и несущественное время соединения пар частиц в продольном направлении к ним по сравнению с диффузионно-броуновским механизмом сближения приводит к отличию кинетики магнитной коагуляции от теории Смолуховского. Предложена математическая модель вероятности дисперсного распределения частиц (агрегатов), основанная на принципе объединения пар соседних частиц вдоль магнитных линий. Получено статистическое инвариантное уравнение для законов распределения дисперсности механической примеси при коагуляции.

Ключевые слова: магнитная коагуляция, кинетика сближения частиц, моделирование магнитных сил, время сближения, вероятность распределения частиц, инвариантное уравнение.

ВВЕДЕНИЕ

Процесс коагуляции является одним из основных процессов, характеризующих эволюцию дисперсионных систем. Под коагуляцией понимается явление сближения и слипания частиц дисперсной фазы в дисперсной системе под влиянием любых внешних или внутренних сил.

Во внешнем магнитном поле имеет место магнитная коагуляция. Магнитная коагуляция отчетливо проявляется в распространенных технологических процессах в металлургии, например, в процессах очистки водных технологических жидкостях (ВТЖ), в системах неразрушающего контроля и т. д. В связи с выше изложенным задача построения математической модели процесса магнитной коагуляции весьма актуальна. Этому вопросу посвящен ряд современных публикаций [1-4]. В [1-3], в которых рассматриваются вопросы коагуляции ферромагнитных частиц суспензии, направленные на усовершенствование маг-нитопорошковой диагностики дефектов ферромагнитных изделий. В этих работах внимание сосредоточено на определении результирующих магнитных сил притяжения и удерживания в цепочках агрегатов, закрепленных в области дефекта диагностируемого твердого тела. Авторами в алгоритме расчета цепочек не учитывались стохастические закономерности распределения и коагуляции примесей твердых частиц феррома-гитных примесей - расчет строился только на произвольном задании исходных случайных координат феррочастиц дисперсной фазы. В [4] были получены вероятностные модели процессов

Булыжёв Евгений Михайлович, доктор технических наук, e-mail: ecovita@nm.ru; Меньшов Евгений Николаевич, кандидат технических наук, доцент, raynd2@rambler.ru

коагуляции, обусловленных влиянием эмульгаторов на основе Марковских цепей.

Таким образом, во всех отмеченных работах не ставилась задача определения изменения дисперсного распределения твердой фазы при магнитной коагуляции.

Стохастическая теория коагуляции, основанная на дискретном и непрерывном уравнениях М. Смолуховского, ставит целью определения эволюции во времени функции распределения частиц взвеси по их массам или размерам [5-8]. В основе механизма элементарного процесса коагуляции лежит соединение двух сталкивающихся частиц с массами и rtlj. Для монодисперсной

твердой фазы этот механизм коагуляции порождает спектр частиц твердой фазы, представляющий набор последовательного ряда 1, 2, 3,... и k-мерных частиц. Важным фактором в процессе коагуляции играют физические механизмы сближения и слипания частиц, которые подразделяются на внутренние и внешние. Эти механизмы определяют симметричную функцию ff(ín,¡,íTij) в

уравнениях Смолуховского, которую называют ядром коагуляции. Ядро характеризует вероятность (частоту) столкновения частиц с массами íTlj и rtlj, которая обратно пропорциональна времени их жизни. К внутренним механизмам сближения относятся свободно-молекулярное (броуновское) движение, диффузия, гравитационное падение. При внутренних механизмах слипания действуют межмолекулярные и гидродинамические силы, которые проявляются при сближении частиц. Внешние механизмы - обусловлены внешним магнитным полем.

Подчеркнем, что экспериментальные исследования и теоретические положения утверждают, что намагниченные частицы твердой примеси под действием магнитных сил объединяются в цепоч-

ки, ориентированные вдоль магнитных линий [9]. Жесткая поляризация процесса магнитной коагуляции требует учета взаимодействия только соседних пар частиц, расположенных вдоль магнитной линии. Поэтому ядро коагуляции с учетом жесткой поляризации взаимодействия феррочас-тиц можно выразить следующим способом: K(mumj) =p(mi +mj)/tM(milmj), (1)

где tM , m.j ) - интервал времени сближения соседних пар частиц за счет магнитных сил, вдоль магнитной линии; р (?TLj + rrij } - вероятность

распределения пар соседних частиц с результирующей массой ущ + rtlj вдоль магнитной линии.

Для общего случая вероятность р +m.j j и время сближения частиц tK{mirmj} неизвестны. Эти вопросы, являющиеся неотъемлемой частью теории коагуляции, требуют решения.

Настоящая работа посвящена разработке математической теории магнитной коагуляции и определению путей построения эффективной математической модели, преобразующей исходное распределение в измененное распределение дисперсной фазы в водном ламинарном потоке.

1. Интервал времени сближения пар частиц при магнитной коагуляции

Будем полагать, что твердые частицы примеси в суспензии имеют сферическую форму. В работе [10] приводятся выражения результирующего поля для сферического тела, полученные на основе

строгого решения уравнений Максвелла

,

н н /ж^) [е 0 W

2соз0 4- ее sin8] fi0 = Я0[ег cos9 — е& sin9] = HQk

я|

„з

(2)

(4)

Рис. 1. Магнитные силы взаимодействия между двумя частицами:

при в = 0: Ркг при в = 40е': Fн3 при

в= 90°

Магнитная сила притяжения феррочастицы во внешнем магнитном поле вычисляется из формулы [11]:

1

>

(5)

гДе Хм ~~ магнитная восприимчивость, - объем феррочастицы.

Формула (5) для сферического тела правомерна при соблюдении в точке т = 0 условия

Kir)"

(6)

Здесь: Нд - напряженность внешнего магнитного поля; НI, Н? - напряженности результирующего поля сферического тела, вне тела и в теле соответственно; Цф- относительная магнитная

проницаемость материала шара; (.1сз - относительная магнитная проницаемость среды, в которую погружено сферическое тело; единичные направляющие вектора ВГ, €д- для сферической и

к - для декартовой систем координат соответственно (рис. 1); радиус сферической феррочастицы; Дф < г - расстояние до центра ферро-частицы.

Формулы (2)-(3) правомерны для одиночной частицы. В случае многих частиц, взвешенных в суспензии, на каждую частицу будет действовать внешнее дифрагированное магнитное поле (3) Н При этом для каждой индивидуальной

частицы суспензия исполняет роль внешней среды. В [12-13] показано, что относительная магнитная проницаемость в слабозагрязненных водных потоках близка к единице ([Л^ = 1).

Принимая во внимание сказанное, пондеромо-торная сила, приложенная к _]-частице и обусловленная дифрагированным полем НI ¿-частицы в соответствии с формулами (2)- (3) и в однородном внешнем поле На в сферической системе ко-д_ . _ 19. дг

ординат

), согласно рис. 1,

принимает вид 1

Fyiji = 2 Ио^'ф; Хф/^СИцЯщ) = = "ЗЦо [(З +

В)2 -1] + ее (l 4- Хзг sin 20] j

где Хз1 = : При 0 равна

+ :

(7)

О, €г = к, тогда сила FKji будет

и направлена к 1-частице - данная сила притягивает _]-частицу к 1-частице (рис. 1).

При 0 = 90°, ег = ег (в = 90° ) сила (7)

будет

2.

Fyiji = Хфды^* - Xsi-ф-Jет

¡L/г3 < 1 направлена в противополож-

и при

ную сторону от 1-частице - данная сила отталкивает _]-частицу от 1-частицы (рис. 1).

При 9 = 45° сила (7) будет

1 +0.Е

и при < 1 сила направлена под углом — 118°

к линии, проходящей через центры 0 и 0' взаимодействующих частиц (рис. 1) - частицы расходятся друг от друга.

Таким образом, в поперечном направлении к магнитным линиям ферромагнитные частицы будут взаимно отталкиваться; взаимно притягиваться будут такие частицы, которые располагаются вдоль магнитных линий внешнего однородного поля Hq.

Оценим отношение HK/Hg на минимальном расстоянии Глин > R^i + Rgj относительно центра i-частицы (источника вторичного поля) до центра смежной j-частицы с радиусами R^;. Rgj

соответственно

< 1

яи (^иик )

R

ф.

Из приведенного неравенства следует вывод, что даже на минимальном расстоянии между частицами в теле каждой частицы преобладает внешнее поле Н^ над индуцированным полем Нк.

В используемых суспензиях водно-технологических жидкостей (в слабозагрязнен-ных ферромагнитными примесями сточных вод) среднестатистическое расстояние между части-

цами ¿о » Т'мин. поэтому неравенства « 1 и

будут выполняться практически на всех участках сближения двух частиц и намаг-

ниченность диполей будет определяться только интенсивностью внешнего поля Н^.

Итак, значение силы (8), обуславливающей магнитную коагуляцию двух частиц, обозначим

\к (8) F,

MJI

где

1Л г*

(9)

. В теории поля результирующая сила взаимодействия двух агрегатов находится по методу наложения, она равна сумме сил взаимодействия каждой частицы одного агрегата с каждой частицей другого агрегата. В случае одинаковых агрегатов, составленных из п одинаковых мономеров и соединенных в цепочки, результирующая сила (9) умножается на п2.

Система дифференциальных уравнений (ДУ) перемещения _]-частицы на встречу к 1-частице примет вид [13]

dt 2mj J

-j i

dr

2mjr* '

dt

(10)

где Ä"Cj

коэффициент пропорциональности в формуле Стокса, Т] - коэффициент динамической вязкости жидкой среды; = Рр^о; масса j-частицы; рф - удельная

плотность феррочастицы, г^ - скорость

частицы относительно 1-частицы. Для агрегата формой цепочки силу сопротивления можно определить также по методу наложения. Тогда второе слагаемое в (10) умножается на п.

Решение нелинейной системы дифференциальных уравнений (10) проводим итерационным методом. В качестве первой итерации примем выражение

(0) (11)

Кср . .

полученное из допущения, что в начальный момент упорядочного движения частиц будем йтКг

считать

dt

«с;

,

2mj J

расстояние при

f = 0. Подставляя (11) в (10), вторая итерация будет

Vj2 =

Интегрируя (12) по частям, имеем

сце 1

Л*

(1-1

t Jfiäs

•j Г}i — t-jif "-cj' \yj-Найдем отношение подынтегральных выражений (13) на (12)

ff = I _ \ (14)

С (l Гц*)

v -,-S

(12)

(13)

i2 lir.jß^ipi где ßj = Kcj,

l-T/t^) I

и оценим диапазон выполнения условия

" — ■- : ; , которое должно выполняться в диапазоне изменения времени пролета частицы

Подчеркнем, что если отношение (14) мало, то в выражении (13) интеграл тоже мал и им, можно пренебречь. Поэтому приближенные значения второй итерации для скорости и её интеграла принимает вид

Vi

72

Tj2 =п

Кср

rPj

■

(16)

Kcjr* (0)

L(i-r;-¡í)

ci-KJit)"3-i i-^ñ (17)

Pj i

Так как » Гмин интервал времени соединения двух частиц £м < £„р оценим из условия Т}2(£пр) « 0. Из (12) и (15) следует

Pj

и далее

(18)

Подставляя значение 1}г(^пр) и ^ в (17), прихо-

дим к уравнению

fnF)

i"

« - -

= 0. (19)

Из (19) следует, что интервал времени соединения двух частиц в суспензии приблизительно будет определяться так

£>1 < £ор « 0.:

Г]1

(20)

Далее подставляя (16) и (17) в исходное дифференциальное уравнение (10), определяем выраженную в относительных единицах «невязку» полученного решения

У,i

При £ = 0, г = г (О дет равна А а = — 4 у^/ ответствии с (18) | L Г = TV,

. (21)

для полученного решения условие (18) по формуле

=K¿jr5C 0} _ Yji 2 mjCji

где р - объемная плотность массы частиц примеси. Условие (18) будет выполняться в следующем диапазоне изменения параметров: р^ 7880 кг/мЗ; -ц > 1.5 " 10"3;

г(0) = 10> 1-25 ■ 10"4

совая концентрация

Я0 < 5 ■ 104А/м; 4

м (С < 2 кг/мЗ - мас-

примесеи диаметры

ВТЖ); частиц

d^j < 4 ■ 10_5м; Хто ^ 1S. где

«невязка» решения бу-, модуль которой в со-г\ « 1 При £ = £м, «невязка» решения будет равна Л-7 < Так как скорость сближения частиц при намного больше этой скорости в начале этапа сближения частиц ('Г"-т(0)), то начальный этап перемещения будет определять основной вклад в интервал времени £м соединения двух частиц.

Поэтому приближенное решение нелинейного ДУ (16)-(17), (20) удовлетворительно оценивает состояние перемещения взаимодействующих частиц в суспензии ВТЖ.

Оценим диапазон физико-технологических параметров, в котором выполняется необходимое

Хф = k^ffq, при о < Н0 < 5 ■ 104А/м и

О <йф< 6 - 10_Ем [13].

Подчеркнем, что данному диапазону параметров отвечают разряженные взвеси ферромагнитных примесей в сточных водах.

2. Сопоставление механизмов формирования спектров частиц по теории Смолуховского и для магнитной коагуляции

Разберем механизм образования спектра частиц по кинетике Смолуховского. При разработке своей теории он исходил из следующих предпосылок: 1) частицы дисперсной фазы сферические, а сами дисперсные системы являются монодисперсными, т.е. содержат частички одного размера; 2) скорость коагуляции пропорциональна интенсивности броуновского движения, которая (определяет число столкновений в единицу времени) характеризуется коэффициентом диффузии D, и с начальной средней концентрацией частиц Л'¡л; 3) между частицами существуют только силы притяжения; 4) процесс коагуляции рассматривался как попарное слипание частиц.

В [6] решается оценочная задача диффузионного сближения произвольной частицы с некоторой закрепленной в пространстве центральной частицей. Столкновение этой неподвижной частицы с другой происходит каждый раз, когда частицы сближаются на расстояние, равное их двойному радиусу (R = 2Дф). То есть рассматривается диффузия точечных частиц к сфере радиуса R. При этом оценивается постоянная скорости коагуляции = 8тгRD, где коэффициент диффузии выражается из уравнения Эйнштейна

D = kTfóirijRg. rj — коэффициент динамической вязкости дисперсионной среды.

Тогда среднее время диффузионно-броуновского сближения частиц выражается формулой

г 1 = Зч

•

Отношение времени магнитного сближения (20) к времени диффузионно-броуновского сближения частиц будет

0,67 кТ

Хф;+3

Оценка дает: при dp S 1мкм d; > 2 мкм + 25 мкм

Я„ = ю4 -г- 5 ■ 1( "

;

1

массовой плотностью распределения частиц по размерам d

Airik

fm

(22)

при

для

' гшкс

Здесь: Ат% - масса частиц в единице объема, размеры которых принадлежат интервалу d¡í + Ad¡íУ, С - массовая концентрация примесей.

В теории коагуляции используется такой закон распределения дисперсионного состава частиц, который характеризует зависимость плотности распределения числа частиц, содержащих в единице объема, от их массы

м.

Таким образом, для наиболее интересного

диапазона распределения примесей (с£ф > 2 мкм) процессы магнитного сближения преобладают над диффузионно-броуновским сближением.

Это означает то, что при магнитной коагуляции для монодисперсной системы спектр агрегатов будет отличаться от спектра Смолуховского, так как нарушается условие перемешивания дисперсионной системы случайными силами (неотъемлемое условие теория коагуляции Смолухов-ского) за счет процесса диффундирования потока частиц с произвольного ракурса к сфере частицы. Следовательно, при магнитной коагуляции преобладает механизм объединения только таких пар, которые выстроены вдоль магнитных линий. Например, для монодисперсной системы процесс сближения и объединения взаимодействующих пар можно принять синхронным. При этом в каждом акте сближения агрегатов их массы будут удваиваться, в первом акте масса агрегата увеличивается в два раза, во втором - в четыре раза относительно начальной массы и т. п. При этом число частиц в единице объема уменьшается соответственно в два, четыре и т. п. раз.

3. Инвариантное уравнение распределения частиц дисперсной фазы при её коагуляции в дисперсной системе

При анализе магнитной коагуляции в монодисперсной системе просматривается очевидный закон сохранения массы, состоящий в следующем mav /V17v = const,

где соответственно TOav - масса агрегата и ZVl7V -концентрация частиц дисперсной фазы при V-om акте объединения. Рассмотрим данное свойство в параметрах распределения полидисперсного состава механических примесей.

Дисперсионный состав механических примесей в теории сепарации традиционно описывается

Здесь: Ат1%- число частиц в единице объема, массы которых принадлежат интервалу (ш^. тк -+- Аш.^), -концентрация числа частиц

примеси.

Зависимости (23) и (22) связаны между собой через соотношение Ап% = Ат^/т^, где -масса одиночной частицы к-го сорта. Определяя из (22) и подставляя в (23), имеем в пределе формулу связи

(24)

в которой обозначение размера частицы й заменено на обозначение dф в связи с необходимостью взятия производной от размера частицы по её массе.

Из (24) следует уравнение

/Г ^пЬШт

Учитывая закон сохранения массы при коагуляции (С = СОТ1Б$ и принимая во внимание, что левый интеграл есть математическое ожидание непрерывной случайной величины массы агрегатов {ш), а правый интеграл равен единице, приходим к новой форме закона сохранения массы при преобразовании распределения примеси в процессе коагуляции

Таким образом, получено статистическое инвариантное уравнение, записанное в параметрах распределения полидисперсного состава механических примесей, которое выражает закон сохранения массы при коагуляции. Выражение (25) правомерно для произвольных начальных распределений дисперсности примесей, при произвольных механизмах процессов коагуляции и в произвольные моменты времени. Поэтому этот закон необходимо использовать как критерий разраба-

тываемых математических моделей процессов коагуляции.

4. Вероятность бинарного объединения частиц механических примесей в однородном магнитном поле

Для случая полидисперсного состава механических примесей существенный интерес при анализе процесса магнитной коагуляции представляет оценка вероятности распределения пар соседних частиц р + тПу ) с результирующей массой }Щ + т, вдоль магнитной линии. Так как соседние пары вдоль магнитных линий объединяются, то вероятность р {ш^ + ТЛ,} представляет

собой потенциальную вероятность магнитной коагуляции, которую принимаем за вероятность дисперсного распределения механических примесей при магнитной коагуляции.

Среднестатистическая картина физического распределения частиц примеси в единице объема жидкой среды представляется в виде набора дискретных частиц, расположенных друг от друга на

среднестатистическом удалении ¿о =\¡l/Nv. По направлению внешнего поля в единице объема ВТЖ выстраиваются (Д^з среднестатистических рядов частиц примеси с равным среднестатистическим числом частиц N = (ДОр) з. В каждом таком продольном (относительно магнитных линий) ряде преобладает процесс объединения частиц. Так как поперечные силы взаимно отталкивают феррочастицы, поэтому можно допустить приближение - среднестатистические продольные ряды частиц не взаимодействуют между собой. Очевидно, в силу среднестатистической однородности вероятности объединений частиц в каждом продольном ряде одинаковые. Тогда задачу поиска вероятности объединения частиц можно свести к одномерному приближению -вычислению вероятности объединения частиц в рамках одного продольного ряда.

Задачу будем решать в рамках следующих идеализаций:

- сосредоточимся только на механизме бинарного объединения дискретных частиц (агрегатов), в которые вступает каждая соседняя пара частиц;

- в результате одного акта парного объединения частиц количество агрегатов будет составлять половину числа исходных частиц Л^ = N/2, поэтому рассматриваем случай, когда число частиц

- четное.

- вероятности бинарного объединения частиц будем привязывать к массе бинарных агрегатов, так как при объединении двух частиц масса агрегата складывается из масс отдельных частиц;

- среднестатистическое время цикла будем оценивать по среднеарифметической массе исходного распределения механических примесей в ВТЖ;

- для упрощения задачи ограничимся случаем равномерной исходной вероятности распределения частиц по массам - задаем N частиц разного калибра, массы которых соответствуют последовательности дискретных чисел 7гМ (М - интервал дискретизации массы частиц примеси, так как частица с нулевой массой отсутствует, то

). В этом случае вероятность присутствия числа частиц с массой пМ равна

- максимальная масса бинарного объединения соответствует значению как результат объединения частиц с массами N М и (/V — 1)М.

- процессом разрушения агрегатов в ламинарном водном потоке пренебрегаем.

При вычислении вероятности бинарного объединения учитываем, что порядок расположения частиц в одномерном среднестатистическом ряде выстраивается по случайному закону. Для расчета всевозможных комбинаций парного объединения частиц обратимся к аппарату комбинаторной математики [14-15]. Так число сочетаний из N элементов по два есть

Количество неодинаковых комбинаций по бинарных агрегатов составляет

(27)

При двух фиксированных номерах ij = const (27) преобразуется в следующую формулу

(28)

Р 2

Масса бинарного тк = (г +/)М, к = £ 4

агрегата есть = 3М, максимальная масса т2дг_1 = (2 N — 1 )М. Вероятность р±[кМ] распределения числа бинарных частиц равна отношению числу агрегатов с массой кМ к общему числу комбинаций С N.

агрегата равна минимальная масса

" 2

(29)

Для равномерного исходного распределения дисперсионного состава частиц формула расчета , полученная методом математической индукции, имеет вид

щ = 2Дйс1и/лг. (зо)

Подставляя (30) в (29), имеем

Рг[кМ] =

2Як

2Я/ср3.[пМ]

(31)

(я-1)

Где Ак - число агрегатов с массой кМ.

У; .кМ. = 1/Л* - вероятность для равномерного

исходного распределении дисперсионного состава примеси.

Значение Л;.- можно вычислить по формулам (32) - (33). При 3 < к < N + 1

Я Я 2)(5[к + 3 2 ] +

при N + г < к < гы,

Яц = Лаг.2 = Ш + V —

2

к, п (ЛГ-1)Р1[Ш]

0 0 0

1 РжМ 0

2 ри[2М] 0

3 рИ[3 М] РиМ +РИ[2М]

4 ри[ 4М] ри[М] + ри[ЗМ]

5 рИ[5М] (Ри М + Ри [4ЛФ + (Ра + Ри [ЗМ])

6 рж[6ЛС] (ря [М] + ри [5М]) + (ра [2 М] + ри [4М])

7 0 Ри Ш + Ри [6М] + Ри [2М] + Ри [ШИ] +

+Ри[ЗМ] +ри[ 4М]

8 0 (Ри [2М] + Ри [о/« ]) + (Ри [ЗМ] + рИ [5М]

9 0 СРы [ЗМ] + ра [6М ]) + (рИ [4М] + ри [5М]

1 0 0 ри[4М]+ри[6М]

1 1 0 ра[5М]+ри[6М]

1 2 0 0

Здесь б -V] называется смещенным единичным отсчет [17]

1 к =м_

(34)

1, к = V,

о,к фу.

Заметим, что выполняется условие нормировки ш^мт = 1.

Математическое ожидание исходного равномерного распределения

Математическое ожидание выходного распределения

<тщ) = кМР1[кМ] = М^ + 1). (36)

Сопоставляя (35) и (36), будем иметь = Учитывая, что при парном объе-

динении частиц примеси концентрация уменьшается в два раза, то выполняется закон сохранения массы для построенной математической модели магнитной коагуляции. Таким образом, предложенная математическая модель удовлетворяет критерию (25).

В общем случае, при произвольном дисперсионном составе примеси, предложенный принцип математического моделирования позволяет построить только алгоритм математической модели магнитной коагуляции.

Таблица. Распределение вероятностей в общем случае для /V = б

В табл. иллюстрируется алгоритм расчета распределения вероятности числа частиц в зависимости от их массы для одного акта парного объединения при начальном числе частиц N = б.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Решена задача математического моделирования взаимодействия феррочастиц, намагниченных внешним полем в слабо загрязненной водной суспензии. Аналитически подтверждено известное теоретическое и экспериментальное положение, что частицы коагулируются вдоль магнитных линий. Это явление, во-первых, обусловлено наличием отталкивающих сил в поперечном направлении к магнитным линиям. Во-вторых, численные оценки показывают, что диффузионно-броуновские механизмы соединения несущественны для частиц крупностью более 2 мкм. Поэтому механизм магнитной коагуляции основывается на доминировании взаимного притяжения соседних пар частиц, выстроенных вдоль магнитных линий.

2. Построена математическая модель вероятности дисперсного распределения агрегатов при магнитной коагуляции, основанная на принципе объединения пар соседних частиц вдоль магнитных линий. При этом задача решена для равновероятного случая распределения дисперсных частиц.

3. Получено статистическое инвариантное уравнение для законов распределения дисперсности механической примеси при коагуляции, записанное в интегральных параметрах распределения полидисперсного состава механических примесей. Оно выражает для замкнутых дисперсных систем (при условии отсутствия седиментации) закон сохранения массы при коагуляции и рекомендуется в качестве необходимого критерия математических моделей коагуляции. Этому критерию удовлетворяет построенная математическая модель вероятности дисперсного распределения агрегатов при магнитной коагуляции в однородном магнитном поле.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках государственного контракта от «03» октября 2011 г. № 14.527.12.003 по теме «Разработка и

создание производства нового поколения экономически доступных системных комплексов и станций очистки и оздоровления больших объемов природных, трансграничных и оборотных вод, дождевых и промышленных стоков для предприятий и ЖКХ».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Назаров Е.А. Разработка математической модели процесса магнитной коагуляции частиц суспензии // Приборы. 2011. № 4. С. 51-53.

2. Назаров Е.А. Разработка компьютерной технологии моделирования процесса магнитной коагуляции // Контроль. Диагностика. 2011.№ 4. С. 29-35.

3. Кудрявцев Д.А. Моделирование процесса коагуляции в неоднородном магнитном поле дефекта // Контроль. Диагностика. 2011. № 6. С. 40-43.

4. Булыжев Е.М., Богданов А.Ю. Критериальная модель дисперсионного состава СОЖ // Справочник. Инженерный журнал. 2008. № 10. С. 43-45.

5. Дубовский П.В. Итерационный метод решения уравнения коагуляции с пространственно неоднородными полями скоростей // Журнал вычислит матем. и матем. физики. 1990. 30. С. 17551757.

6. Волков В.А. Коллоидная химия (Поверхностные явления и дисперсные системы). М.: МГТУ им. А.Н. Косыгина, 2001. 640 с.

7. Пеньков Н.В. Коагуляционные процессы в дисперсных системах. Екатеринбург, 2005. 240 с.

8. Галкин В.А. Анализ математических моделей: системы законов сохранения, уравнения Больцмана и Смолуховского. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,

2009. 408 с.

9. Пособие «Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины и определения (справочное пособие)». Москва, 2003.

10. Кугущев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники (Линейные электромагнитные процессы). М.: Энергия, 1969. 880 с.

11. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 616 с

12. Исследование распределения поля магнитных сил патронного магнитного сепаратора при очистке СОЖ / Е.М. Булыжев, Е.Н. Меньшов, А.Е. Меньшов, Г.А. Джавахия, Е.П. Терешенок // Справочник. Инженерный журнал. М.: Машиностроение, 2011. № 9. С. 45-50.

13. Новое поколение силовых очистителей водных технологических жидкостей / Е.М. Булыжев, А.Ю. Богданов, Е.Н. Меньшов, М.Е. Краснова, Н.Н. Кондратьева, Г.А. Джавахия, Е.П. Терешенок; под общей редакцией Е.М. Булыжева. Ульяновск: УлГТУ,

2010. 419 с.

14. Элементы комбинаторики / И.И. Ежов, А.В. Скороходов, М.И. Ядренко. М.: Наука, 1977. 80 с.

15. Тараканов В.Е. Комбинаторные задачи и (0,1)-матрицы. М.: Наука, 1985. 192 с.

MATHEMATICAL THEORY OF THE MAGNETIC COAGULATION FERROMAGNETIC

PARTICLES IN SOILED WASTEWATER

© 2014 E.M. Bulyzhev1, E.N. Menshov2

JSC "Systems of water purification", Ulyanovsk 2Ulyanovsky State Technical University

Developed a mathematical model of convergence ferroparticles in a magnetic field. Having repulsive forces between the magnetized particles in the transverse direction of the magnetic lines and inconsequential time compound particle pairs in the longitudinal direction to them over Brownian diffusion mechanism approach leads to a difference kinetics magnetic coagulation Smoluchowski of theory. A mathematical model of the probability distribution of the dispersed particles (aggregates), based on the principle of combining pairs of adjacent particles along magnetic field lines. Obtained statistical invariant equation for the mechanical dispersion of the distribution laws of impurity during coagulation.

Key words: magnetic coagulation, kinetics approach of the particles, the simulation of magnetic forces, the time of convergence, the probability distribution of the particles, the invariant equation.

Bulyzhev Evgeny Mikhailovich, Doctor of Technical Science, ecovita@nm.ru; Menchov Evgeny Nikolaevich, Candidate of Technical Sciences, raynd2@rambler.ru