CC BY
101
УДК 531.3, 539.3, 539.215
Математическая теория эволюции нагружаемых твердых тел и сред
П.В. Макаров
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Мы имеем счастье жить в сложном и удивительном нелинейном мире.
Е.Н. Князева, С.П. Курдюмов
Цель расчетов — понимание, а не числа.
Р. Хэмминг
В работе развивается эволюционный подход к описанию деформационного отклика на нагружение твердык тел и сред, основанный на идеях нелинейной динамики. Под деформационным откликом понимаются процессы деструкции прочнык сред в полях действующих сил, т.е. процессы неупругой деформации и одновременного развития разрушения. Показывается, что в основе математической теории эволюции твердых тел и сред лежат уравнения механики деформируемого твердого тела как фундаментальные уравнения математической физики, отражающие самые общие природные законы сохранения массы, импульса, моментов импульса и энергии. Все многообразие физических механизмов неупругой (пластической) деформации и процессов дилатансии, т.е. развития несплошностей разных масштабов и физической природы (вакансий, пор, микро- и мезоповреждений и т.д.), на этом феноменологическом уровне описания интегрально отражается путем задания нелинейных функций отклика среды на нагружение эволюционными определяющими уравнениями первой и второй группы. Таким образом, эти уравнения конструируются на основе ведущих физических механизмов изучаемого масштаба.
Показано, что, изменяя только соотношение между положительными и отрицательными обратными связями (при прочих равных условиях), среда реагирует на нагружение от типичного пластического течения до хрупкого разрушения. Предложена также процедура введения в модель реального времени процесса, что позволяет решать как задачи ударно-волнового нагружения, так и задачи геодинамики и плитной тектоники с характерными временами в миллионы лет.
Ключевые слова: эволюция, нелинейная динамика, математическая теория, деформируемое твердое тело, пластичность, разрушение
Mathematical theory of evolution of loaded solids and media
P.V. Makarov
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
We are lucky to live in a complex and astonishing nonlinear world.
H.N. Knyazeva, S.P. Kurdyumov
The purpose of computing is insight, not numbers.
R. Hamming
The paper puts forward an evolutionary approach to describing the deformation response of loaded solids and media, which is based on the concepts of nonlinear dynamics. The deformation response is considered to mean destruction processes in solid media in external force fields, i.e., the processes of inelastic deformation and simultaneous failure. The mathematical theory of evolution of solids and media is shown to rest on the equations of solid mechanics as fundamental equations of mathematical physics describing the most general laws of conservation of mass, momentum, angular momentum and energy. The whole variety of physical mechanisms of inelastic (plastic) deformation and dilatation, i.e., the generation of discontinuities of different scales and physical nature (vacancies, pores, micro- and mesodamage, etc.) is integrally described through assigning nonlinear response functions of the loaded medium by evolutionary constitutive equation of the first and second group. These equations are thus derived on the basis of the leading physical mechanisms of the studied scale.
It is shown that by varying only the correlation between positive and negative inverse relationships (other things equal) the response of the loaded medium varies from the typical plastic flow to brittle failure. The procedure of introducing the real process time in the model is proposed. It allows solving problems on shock wave loading as well as problems of geodynamics and plate tectonics with characteristic times of millions of years.
Keywords: evolution, nonlinear dynamics, mathematical theory, a deformed solid, plasticity, failure
© Макаров П.В., 2008
1. Введение. Синергетика и реальные природные и физические нелинейные системы
Историки науки отмечают, что, несмотря на то что на разных этапах накопления научного знания постоянно происходит смена лидирующих научных дисциплин (век пара, век электричества, век атома, век электроники...), некоторые темы остаются неизменными очень долгое время. Такой общей для многих дисциплин является тема эволюции от простых форм к сложным.
На разных этапах разработки этой тематики ставились разные задачи. На настоящем этапе развития общей теории эволюции ее основной задачей является разработка математической теории самоорганизации в различных системах. В ряду таких изучаемых нелинейных систем важное место занимают твердые тела — материалы и прочные среды. Их эволюция и, прежде всего, эволюция их прочностных свойств вплоть до момента разрушения при различных видах внешних воздействий представляют большой практический интерес. Мы хотим знать эволюцию напряженно-деформированного состояния в каждой точке нагружаемых тел и сред, уметь описывать самоорганизацию в среде и деградацию прочностных характеристик материалов и сред, а также научиться предсказывать время и место разрушения.
Таким образом, задача математического моделирования отклика среды на нагружение ставится как задача эволюции среды в полях действующих сил.
Для задач механики сплошных сред, и в частности, механики деформируемых твердых тел и сред, проблему эволюции можно сформулировать как проблему возникновения в бесструктурном нагружаемом континууме различных структур, их смены, условий возникновения, распада и трансформации одних форм в другие.
При такой формулировке проблемы неизбежно возникает вопрос об адекватной математической теории, описывающей самоорганизацию в твердых телах и средах.
Название статьи «Математическая теория эволюции.» требует, если не обоснования, то некоторого оправдания. Современная нелинейная динамика, или синергетика в широком понимании этого термина, до некоторой степени претендует на такую роль (т.е. на роль математической теории эволюции), но ее применение к реальным физическим объектам и к решению прикладных проблем встретилось с огромными трудностями. Однако практические задачи требуют от исследователей предсказания путей эволюции реальных физических нелинейных систем и не вообще, а с максимально возможным подробным описанием деталей исследуемых процессов.
В связи с этим возникает ряд непростых вопросов. Что нам дает синергетика и изученные ею общие свойства базовых уравнений нелинейной динамики для
понимания эволюции реальных динамических систем, в частности эволюции напряженно-деформированного состояния в твердых телах в процессе их деформирования? На основе каких уравнений может быть выполнено моделирование эволюции нагружаемых твердых тел и сред?
Проблематика самоорганизации является основным предметом синергетики или нелинейной динамики. Открытие нелинейной динамикой законов самоорганизации и сценариев эволюции, общих для самых различных систем, превратило ее в междисциплинарную науку. Парадоксальность синергетики и ее выводов, а также ее общность (междисциплинарность) принципиально отличают ее от других традиционных наук. Однако «в ней нет простых и ясных рецептов, что и как надо считать. Она скорее помогает правильно задавать вопросы» [1] и формулировать проблемы. Действительно, «от теории всего трудно ожидать конкретных результатов» [1].
Убедившись в том, что изучаемая конкретная система ведет себя по законам синергетики, исследователь неизбежно встречается с нетривиальной проблемой построения адекватной математической модели поведения системы на языке нелинейной динамики, т.е. как задачи эволюционной. В подавляющем большинстве случаев за редкими счастливыми исключениями (на них остановимся ниже) такая работа связана с расширением границ нелинейной динамики, введением в нее новых моделей уравнений и нового понимания.
Самой общей особенностью эволюции различных систем оказалась их способность к изменению хода развития событий, способность изменять плавное течение событий на их развитие в режимах с обострением, в ходе которых система претерпевает кардинальные изменения, обретая новые структуры и свойства, за очень малые времена. В системах происходит самоорганизация, которая осуществляется путем перехода через динамический хаос и распад старых структур к образованию новых структур.
Все эти особенности эволюции систем достаточно подробно изучены исследованием особенностей решений базовых уравнений синергетики [1-10] и широко обсуждаются в многочисленной литературе [1-15].
Изучение общих свойств решений базовых уравнений синергетики (в числе таких базовых уравнений нелинейные уравнения Гинзбурга-Ландау, Шредингера, теплопроводности, Фоккера-Планка, Кортевега -де Вриза и т.д., а также уравнения — извлечения из более общих систем, например из уравнений в частных производных, представляющие собой более простые системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений) позволило получить общие представления о путях эволюции открытых динамических нелинейных систем. Изучены различные сценарии эволюции, условия потери устойчивости системой, различные сценарии пере-
хода в хаос, особенности диффузионного хаоса и возникновение различных непериодических турбулентных режимов и многое, многое другое. Достижения синергетики бесспорны, и их трудно переоценить. Эта новая научная парадигма привела к новому взгляду на мир, дала новое понимание процессов эволюции открытых систем. Однако многообразные явления, так похожие на качественном уровне, показали кардинальные различия в деталях. Практически неразрешимой оказалась проблема изучения эволюции реальных динамических систем и решения конкретных прикладных задач. Любое решение конкретной прикладной задачи требует от нас не только понимания законов и общего характера эволюции, но и детального описания всех этапов изучаемого процесса. Сложившаяся ситуация понятна. Реальные физические процессы и прикладные задачи описываются системами уравнений в частных производных, для которых анализ общих свойств их решений пока представляется неразрешимой проблемой. Упрощение уравнений позволяет анализировать частные случаи, часто очень далекие от реальности.
Так, на основе метода Галеркина из уравнений гидродинамики для конвективных течений в 1963 г. Э. Лоренцем была получена система уравнений (три обыкновенных дифференциальных уравнения), которая носит его имя. Впервые был получен и изучен странный аттрактор, т.е. совершено открытие детерминированного хаоса. Но, анализируя очень интересную и глубокую модель Лоренца, мы ничего не знаем об исходном течении, описываемом уравнениями гидродинамики! Для выяснения конкретных особенностей течения и решения прикладных задач необходимо решать полную исходную систему уравнений в частных производных, которая должна содержать и режимы, найденные при изучении системы уравнений Лоренца. Однако теперь мы знаем, что и при каких условиях следует искать.
Прямое использование хорошо изученных базовых моделей синергетики как математических моделей конкретного изучаемого процесса редко бывает продуктивным и часто выглядит просто наивно. Например, при изучении развития пластической деформации в качестве базового уравнения берется нелинейное уравнение теплопроводности (или другое нелинейное уравнение). Температура заменяется на пластическую деформацию, а коэффициенты подбираются из экспериментов. Но при таком «моделировании» нет места напряженно-деформированному состоянию, релаксации напряжений за счет развившихся сдвигов, нет собственно пластического течения и т.д., фактически изучается нелинейный процесс, не имеющий никакого отношения к процессу деформирования. Подобных примеров можно привести множество. Определенные спекуляции на модной синергетике становятся общим местом во многих работах. Записываются простейшие варианты «эволю-
ционных» уравнений типа (1), которые и выдаются за «модель» среды.
И. Пригожин предлагает описывать эволюцию диссипативных систем следующей системой уравнений [6,
7]:
дХ
= ад,..., Хп, х1, о, (1)
дt
где (X, t) — полный набор макроскопических переменных нелинейной системы как функций пространственных координат X и времени г; Fi — функции, зависящие как от макроскопических переменных Х1, так и от их пространственных производных, а также явно зависящие от времени г и пространственных координат х1.
Для учета влияния на систему внешнего мира (что принципиально, самоорганизующиеся системы — открытые системы) в уравнения (1) вводятся управляющие параметры X к, которые отражают внешние воздействия на нелинейную систему.
Для деформируемых твердых тел и сред это могут быть силы и скорости нагружения. Система уравнений (1) принимает вид:
дх
^ ({Х1,..., Хп , Х , О, Х к ).
(2)
Этот самый общий взгляд не исключает, что в качестве таких уравнений могут быть взяты и уравнения в частных производных математической физики, например система уравнений механики деформируемых твердых тел [16, 17].
Некоторые частные виды уравнений (1) и (2) оказались очень интересными и содержательными и составляют арсенал базовых уравнений синергетики. Понятно, что хорошо изучены наиболее простые виды таких уравнений, особенно те, которые имеют аналитические решения и позволяют проанализировать общие свойства решений.
Наиболее полно изучены динамические уравнения для систем с конечным числом степеней свободы:
АХ
^({Х7}, Xк), i = 1,2,..., п. (3)
А
Классическим примером такой нелинейной системы из области химической кинетики является тримолекулярная модель — брюсселятор [6]:
— = А - ВХ + X2У - X, А
ёУ 2
— = ВХ - X У.
Аt
(4)
Здесь предполагается, что концентрации А и В контролируются извне [6]. При решении многих задач эволюции реальных систем исследователи очень часто обращаются к уравнениям вида (3), (4), пытаясь выделить параметры Х1, определяющие поведение системы. При-
думано много вариантов нелинейных правых частей, учитывающих прямые и обратные связи между переменными. Если для задач химической кинетики применение подобных эволюционных уравнений часто вполне оправдано, то их использование, например, при изучении эволюции пластического течения вызывает много вопросов. Для построения правой части, описывающей эволюцию реальной системы, надо иметь информацию о деталях эволюционного процесса, но именно это мы и хотим знать!
Если теперь вернуться к пространственно-распределенным системам, то классической и хорошо изученной моделью [6, 12] является модель Тьюринга, предложенная в 1952 г. Эта модель позволяет описывать формирование в различных системах стационарных структур. По мнению Тьюринга в основе морфогенеза лежат некие обобщенные (гипотетические) химические реакции. Задаются концентрации активатора С1 и ингибитора С2 и соответствующие коэффициенты диффузии D1 и D2. Уравнения имеют вид:
= DlV2Cl + /1 (С1, С2),
• дС (5)
= D1V1C1 + /2(СЪ С2).
Здесь нелинейные функции /1(С1, С2) и /2(С1, С2) определяют кинетику процесса, т.е. реакции между активатором и ингибитором; V 2 = (д 2/дх2 + д2/ду2) — оператор Лапласа. Эти уравнения нам понадобятся для дальнейшего анализа. Напомним только, что они описывают формирование неоднородных стационарных структур. Уравнения же математической физики в частных производных приводят к нестационарным структурам (например, модель тепловых структур С.П. Кур-дюмова [5, 12]), которые могут взаимодействовать, распадаться, трансформироваться в новые структуры.
При анализе эволюции нелинейных систем важно также иметь в виду, что всегда (или почти всегда) идет очень деликатная тонкая игра на взаимодействиях положительных и отрицательных обратных связей. Это отмечают многие исследователи. Например, показано, что при описании колебательных режимов химической реакции Белоусова-Жаботинского при изменении некоторых констант химических реакций всего на миллионные доли процента изменяется тип хаотического режима [12]. Этот факт объясняет, почему подобные реакции так сложно воспроизводить, но это означает и то, что при моделировании реальных процессов не вполне удачное задание нелинейных свойств среды и соответствующих числовых параметров, скорее всего, приведет к сценариям эволюции очень далеким от действительности.
Здесь следует заметить, что в силу специфики целей и задач синергетики (изучение сценариев эволюции, общих законов самоорганизации, путей проникновения
в хаос и т.д.) основной набор достаточно полно изученных базовых уравнений нелинейной динамики составляют уравнения, имеющие, как правило, аналитические решения и допускающие изучение общих свойств решений. Именно невозможность изучения общих свойств решений уравнений соответствующих математических моделей и является одним из основных препятствий при изучении эволюции реальных динамических систем и реальных физических процессов. В основном, это уравнения математической физики, в частности механики сплошных сред, т.е. уравнения в частных производных, для которых не существует эффективных методов анализа общих свойств их решений. Эту проблему анализа общих свойств решений уравнений математической физики Р.Ф. Фейнман считал наиважнейшей в науке будущего [18].
Нетривиальной оказывается задача выбора и обоснования того или иного базового уравнения для описания или, правильнее сказать, имитации сценария эволюции изучаемого реального процесса. Остается только надеяться, что удачный выбор базового уравнения из уже имеющегося арсенала синергетики (или построение достаточно простого эволюционного уравнения) позволит сымитировать общее стратегическое направление и общие тенденции эволюции исследуемой реальной системы. В подавляющем большинстве, в лучшем случае, удается имитировать только отдельные, вырванные из общего контекста детали и стороны реальных самоорганизующихся систем. По этой причине ни одно из базовых уравнений синергетики не может претендовать на роль математической модели реальной нелинейной динамической системы, исключая те хорошо известные специалистам случаи, когда эти уравнения специально выводились для описания именно этого физического процесса.
Понимание этих сложностей заставило исследователей искать альтернативные пути «упрощения реальности» с минимальными потерями качества. Развивающееся новое направление так называемой мягкой математики, методов асимптотического анализа математических моделей нелинейных систем, асимптотической математики (асимптотологии) [11, 19] позволяет приблизиться к изучению поведения реальных нелинейных систем именно в переходные моменты, моменты изменения сценариев эволюции (это направление по праву можно считать новым разделом или ветвью синергетики). Понятие асимптотология введено было сравнительно давно (в 1963 г.) М.Д. Крускалом, определившим его как «искусство обращения с прикладными математическими системами в предельных случаях» [19]. На высоком уровне физической и математической строгости предложены приближенные методы решения многих ключевых проблем нелинейной динамики. Так, исследования по теории инерциальных многообразий позволяют выделять параметры порядка и сводить эволюцию
распределенной бесконечномерной (в фазовом пространстве) системы к рассмотрению конечномерных многообразий. Например, при исследованиях гидродинамических неустойчивостей показано, что размерность соответствующего аттрактора ограничена сверху числом N, связанным с числом Рейнольдса: N ~ Re4 (для двумерных течений) [20]. Введение понятий быстрых и медленных переменных и выполнение принципа подчинения короткоживущих мод долгоживущим (этот принцип сформулирован Г. Хакеном) — типичные асимптотические упрощения. Развиты методы нахождения русел, особых малоразмерных областей, своеобразных «траекторий» в фазовом пространстве, внутри которых может быть достигнуто более простое описание сложной системы, и джокеров — областей фазового пространства, в которых маломодовое описание перестает работать и предпочтительным становится вероятностное описание и которые регулируют смены русел. Многие задачи из указанных проблем решены методами асимптотического анализа. Все это приобретает особую ценность при численном решении прикладных задач как задач эволюционных, позволяя грамотно организовать численный эксперимент и понять, что мы хотим и должны увидеть в результате выполненных расчетов и как следует анализировать многие миллионы полученных чисел — пространственно-временных распределений параметров. Эффективные методы такого анализа еще предстоит разработать.
Поскольку стадии эволюционных процессов в нагружаемых средах, развивающиеся в сверхбыстрых катастрофических режимах, чрезвычайно важны для самоорганизации, сделаем ряд замечаний по поводу сравнительно новой дисциплины — теории катастроф [20, 21], которую на современном этапе развития можно также считать своеобразной частью синергетики.
Теория катастроф родилась на математической основе теории особенностей гладких отображений Х. Уитни (1955 г.), Р. Тома (1959 г.) и Дж. Мазера (1965 г.) и теории бифуркаций динамических систем Пуанкаре и Андронова (некоторые основополагающие работы Р. Тома, Дж. Мазера и др. переведены и опубликованы в сборнике «Особенности дифференцируемых отображений» [21]), первые публикации по теории катастроф появились в 70-х гг. XX столетия.
Основной проблемой применения математической теории катастроф к конкретным ситуациям, на наш взгляд, является обоснование того, что данное отображение с особенностями имеет прямое отношение к изучаемому процессу. Очень часто подобные приложения носят явно спекулятивный характер, как известная модель «творческой личности» Зимана [20]. И дело здесь не только и не столько в недостатке профессионализма исследователей, а в том, что сама теория отображений является абстрактной общей математической
дисциплиной, никак прямо не связанной с реальными физическими процессами. Блестящие и очень глубокие результаты математической теории отображений и особенностей, именно в силу их общности, оказалось очень непросто применить к анализу конкретной ситуации (справедливости ради следует отметить несомненные успехи приложения теории особенностей к изучению положений равновесия, бифуркаций и потери устойчивости упругими системами (стержнями, пластинами, оболочками), но это особая специфика задач обратимой бездиссипативной упругости). В целом положение даже более сложное, чем в синергетике. Сближение теории катастроф с идеями синергетики и движение в сторону применения ряда базовых моделей синергетики для анализа конкретных реальных процессов [20, 21] — несомненно, важный этап в развитии теории катастроф, однако это не делает проблему применения методов теории особенностей к анализу конкретных ситуаций менее острой. Любопытно, что В.И. Арнольд [20] открытие аттракторов и изучение их особенностей относит к заслугам теории катастроф (такое перекрытие с идеями, методами и подходами нелинейной динамики), справедливо считая теории бифуркаций и потери устойчивости в динамических системах Пуанкаре-Андронова наряду с теорией гладких отображений математическим фундаментом теории катастроф. Главная же причина определенной спекулятивности изучения сверхбыстрых режимов эволюции природных и физических процессов на основе подхода и идей теории катастроф лежит все же не в сфере обоснования применения того или иного отображения к рассматриваемому случаю, а в том, что, как-то описывая само явление катастрофы, теория катастроф как имитационная модель в принципе ничего не может вразумительного сказать о длительной, предшествующей катастрофе квазистационарной фазе, подготавливающей в определенном смысле как процесс эволюции в режиме с обострением, так и сам сценарий уже катастрофического события. Это нисколько не умаляет достижений теории катастроф в изучении режимов, общих свойств и особенностей катастрофических событий как таковых.
Таким образом, вполне очевидно, что для рассмотрения реальных физических процессов как задач эволюционных, необходимо анализировать численные решения соответствующих уравнений в частных производных, наиболее полно моделирующих эти процессы.
2. Моделирование эволюции нагружаемых твердых тел и сред на основе численного решения уравнений в частных производных
Ранее в работах автора [16, 17, 22] было показано, что уравнения механики деформируемого твердого тела описывают развитие деформационных процессов в материалах и средах в полном соответствии со всеми вы-
водами нелинейной динамики. Понятно, что даже самое подробное конкретное численное решение дает слишком мало информации, чтобы судить о сценариях эволюционного процесса, их свойствах и смене сценариев. Основные фундаментальные выводы синергетики следуют из представления решения в фазовом пространстве, а как выглядит фазовый портрет такой распределенной бесконечномерной в фазовом пространстве системы (нагружаемая среда), остается пока только гадать, и как извлечь информацию об общих свойствах такой нелинейной системы на основе численных расчетов — эту задачу еще предстоит решать.
Анализ усредненных ст-е-диаграмм нагружаемых образцов, полученных в численных расчетах, и сравнение с данными экспериментов — один из путей. Экспериментаторы надежно установили характерные стадии пластического течения для многих материалов в связи со сменой образующихся в материале диссипативных субструктур, что отражается в характере соответствующих ст-е-диаграмм. Похожие структуры мы получаем и в расчетах, но насколько они соответствуют реальности и как должны быть заданы нелинейные свойства среды, чтобы согласовать и общий ход макроскопической усредненной ст-е-диаграммы, и характерные свойства формирующихся субструктур мезоуровня, получаемых при численном эксперименте, с данными физического эксперимента, — непростая задача ближайшего будущего. Уже полученные численные решения мы рассматриваем пока как качественные, тестовые, не соотнося их с количественными характеристиками реальных сред. Эти расчеты свидетельствуют, что от анализа самых общих свойств эволюции различных нелинейных динамических систем, следующих из выводов «классической» синергетики и базовых уравнений нелинейной динамики, необходимо переходить к изучению эволюции реальных природных и физических систем, основываясь на численных решениях уравнений математической физики в частных производных, наиболее полно моделирующих эти процессы. Тем более, что мы уже так много знаем из фактических успехов нелинейной динамики.
Полная система уравнений вместе с определяющими эволюционными уравнениями первой и второй группы подробно обсуждена в работах [16, 17, 22]. Она включает в себя:
- уравнения, выражающие законы сохранения:
Ф А йу,
— + р ату V = 0, р—-^ А
дсту
дха
+ р^,
дЕ_
д;
де.
(6)
= — СТ а —-р а д;
~Чі,і
- эволюционные уравнения первой группы:
ста = Х(0‘ -0р)8а + 2ц(еа -ер), (7)
где а = -р8а + + 4* -р = V3 стіі’ р = / (Р>Е)>
- эволюционные уравнения второй группы:
0р = А— В—0р + С (0),
'ч г 'ч г V /5
дх дх
е а=F (^>
например,
si,,...),
где
& р.
е.. = е . + е
а а а
& ‘ =е I:
ду, ду
-----г + ----:
дх1 дх'
V У
Здесь ерц- и сте{г — вторые инварианты скоростей пластических деформаций и напряжений соответственно. Для скорости изменения напряжений согласно второму уравнению в (7) применяется следующая процедура:
Dsie Ґ
—а = 2ц Dt
\
е а - -3 екк 8а 3
Щц
Dt
а - 5к ооа - 5ак оІк,
где D/Dt — производная по времени в смысле Яуман-на, учитывает поворот осей при деформировании сре-
ды; со = -
дУ,
дха
ду а дх
неравновесная часть напряже-
ний sV в общем случае для релаксирующей среды (7) определяется автоматически как результат динамического равновесия в каждой частице среды между скоростью релаксации и скоростью нагружения (при мгновенной релаксации эта составляющая обращается в нуль); А, В, С — некоторые функции, определяемые при выборе конкретной кинетики.
Последнее уравнение в (8) подразумевает простейший вариант мгновенной релаксации напряжений — снесение напряжений на круг текучести Мизеса (приведено исключительно из соображений иметь замкнутую систему уравнений). В реальных расчетах использовались более продвинутые модели, учитывающие внутреннее трение и дилатансию среды, что особенно важно для геоматериалов и геосред. К этой проблеме мы вернемся при описании конкретной модели нагружаемой среды.
Система уравнений (6)-(8) замкнута. В самом общем случае она должна быть дополнена уравнением, задающим производство энтропии 5. Так как описываемые процессы необратимые, то полное приращение энтропии сложится из двух частей: изменения энтропии за счет обменов энергией и веществом нагружаемой среды с внешним миром ёе5 и производства энтропии необратимыми процессами внутри эволюционирующей нелинейной системы А 5 [9, 10, 23, 24]:
А? = а, 5 + А 5. (9)
Если процедура подсчета первого слагаемого ёе5 хорошо известна из термодинамики [23, 24], то вычисление второго слагаемого А 5 представляется непростой проблемой (см., например, [9]). Знание закона производства энтропии и понимание энтропии как количественной меры упорядоченности в системе, т.е. придание ей функции информации о процессах самоорганизации, — еще один ключ к выяснению конкретного сценария эволюции системы. Остановимся на этой важнейшей проблеме подробнее. Сформулированный Г. Ха-кеном и Э. Джейнсом [9, 25] принцип максимума энтропии реализуется при самоорганизации неравновесной нелинейной системы при ее переходе через пороги (порог генерации лазерного излучения, пороги фазовых переходов и т.д.) к новому состоянию. Рост энтропии в классической термодинамике ассоциируется со стремлением системы к более хаотическому состоянию. Такая трактовка при рассмотрении когерентных процессов упорядочивания в нелинейных системах противоречит как физике, так и здравому смыслу. По этой причине Г. Хакен придает энтропии (энтропии Шеннона) смысл информации, демонстрируя эффективность такого подхода и понимания на ряде примеров, например при генерации лазерного излучения и построении теории неравновесных фазовых переходов [9, 10]. Такое понимание приводит к следующей постановке: сколько информации (понимаемой как энтропия Шеннона) необходимо для поддержания упорядоченного состояния
[9]? Другими словами, мы можем сформулировать задачу следующим образом: какова должна быть скорость генерации информационной энтропии, чтобы поддерживать скоординированные когерентные процессы в нелинейной среде? Тонкое (и до некоторой степени в ряде деталей противоречивое) понятие энтропии как информации (говорят также информационной энтропии) становится еще одним ключом, открывающим многие двери в понимании такого сложного явления, как самоорганизация. Однако здесь существует дискуссионная проблема наложения соответствующих ограничений (фактически, нормировки), которая остается весьма произвольным актом для многих реальных диссипативных систем, так как не выработаны общие правила построения ограничений при конкретной реализации принципа максимума энтропии. Общие соображения о том, что «адекватные ограничения должны включать макроскопические переменные или, иначе говоря, параметры порядка» [9], мало утешают, так как они нам неизвестны (имеется в виду процесс деструкции твердых тел и сред). Фактически должна быть разработана процедура вычисления распределения вероятностей макроскопических переменных на основе полученных расчетов. В качестве таких макроскопических переменных могут быть выбраны интенсивности и флуктуации интенсивностей параметров течения. Г. Хакен полагает,
что развиваемый им подход можно эффективно применить к задачам механики сплошных сред, жидкостям и газам [9], а значит и к твердым телам. Ясно одно, этот вопрос требует специального отдельного изучения и не рассматривается в представленной работе. Например, в работе В.Е. Панина [26] неупругая деформация твердого тела как иерархической системы анализируется с позиций неравновесной термодинамики.
3. Модель нагружаемой среды
Рассмотрим сравнительно простой вариант нелинейной модели деформируемой среды, позволяющей учесть наиболее характерные особенности накопления повреждений и неупругой деформации при нагружении твердых тел и сред. К ним относятся, прежде всего, наличие внутреннего трения, порождаемая сдвигами дила-тансия и деградация физико-механических характеристик, в первую очередь, прочностных свойств среды вследствие накопления несплошностей различной природы на микро- и мезоуровнях (вакансий, пор, микротрещин). На макроуровне среда остается сплошной. Процессы же более мелких масштабов формируют нелинейный характер отклика на макроуровне и выражаются в локализации процессов деформирования и накопления повреждений, именно процессов, что и дает нам право говорить о формировании в среде не только неоднородного распределения параметров, но и о неста-ционарности формирующихся структур, в отличие от стационарных структур, описываемых, например, уравнениями (5) Тьюринга. Эти нестационарные структуры (понимаемые как локализованные процессы) имеют ограниченное время жизни (например иерархии вихрей при турбулентном течении газов и жидкостей), в твердых телах они часто оказываются «замороженными» в среде и их можно наблюдать как клубки, дислокационные ячейки, иерархии сопряженных полос сдвига разных масштабов, блоки и т.д.). Они могут как распадаться, так и взаимодействовать, объединяться и трансформироваться в новые формы. Эти процессы возникновения новых форм (т.е. самоорганизация) происходят в среде при превышении некоторых порогов (подвода энергии, например) через состояния динамического хаоса к созданию в среде новой симметрии. По-видимому, клубковые структуры в деформируемых металлах можно рассматривать как области локализованного хаоса, из которого вырастает новая симметрия — ячеистые структуры.
Как уже отмечалось, управляет всеми этими процессами нелинейность. Какой должна быть созидающая нелинейность, как меняются нелинейные свойства среды в процессе ее эволюции — это основополагающие, центральные проблемы, которые необходимо решать в каждом конкретном случае. Выскажем несколько общих
соображений, следуя результатам исследований, принадлежащим школам С.П. Курдюмова и А.А. Самарского и установленных при изучении свойств решений нелинейного уравнения теплопроводности. История этих исследований была долгой (более 30 лет) и драматической, сопряженной с огромными трудностями формирования новых взглядов на мир. Обычно создание этого нового мировоззрения — синергетического подхода — связывают с именами иностранных исследователей: А. Тьюринга, Э. Лоренца, И. Пригожина, Г. Хаке-на. Работы российских (советских) школ А.А. Самарского и С.П. Курдюмова велись параллельно и независимо, на более близких к нашей теме объектах (распределенных нелинейных макроскопических системах) исследовалось нелинейное уравнение в частных производных (уравнение теплопроводности). Полученные результаты впечатляют. Именно эти результаты показали, как нелинейность управляет самоорганизацией, придав идее И. Пригожина о спонтанном характере флуктуаций надежную математическую базу нелинейности (см. в [5, 12] заочную дискуссию С.П. Курдюмова с И. Приго-жиным по фундаментальным идеям самоорганизации).
Исследования влияния нелинейности на процессы образования тепловых структур (т.е. самоорганизацию), а также баланса положительных и отрицательных обратных связей на скорости эволюции (и саму возможность самоорганизации), выполненные научными школами С.П. Курдюмова и А.А. Самарского [2, 5, 8, 14], позволяют многое понять, в частности, как подобные сценарии эволюции, включая и катастрофические режимы с обострением, могут реализовываться в твердых телах и средах. Нелинейное уравнение теплопроводности
= д- К(Г) + Q (Т)
д; дх дх
(10)
со степенными зависимостями для источника Q(T) и первого диффузионного члена в правой части (10)
К(Т):
Q(Т) = д0Тв, Х(Т) = к0Тст, д0,к0, ст> 0, р> 1, (11)
и называют моделью тепловых структур.
Первый и самый главный вывод — подобная модель приводит к нестационарным диссипативным структурам, что качественно отличает эту модель от модели стационарных структур Тьюринга (5). Второй фундаментальный вывод — на первый план выходит положительная обратная связь как главнейший механизм самоорганизации. Если стационарные структуры образуются на стоках, то формирование нестационарных структур связано с работой нелинейных источников Q(Г). В рассматриваемом случае твердых тел и сред нелинейный источник через положительную обратную связь разгоняет автокаталитический процесс деградации — локализация повреждений приводит к уменьшению прочностных характеристик среды в этих локальных облас-
тях, что усиливает в них процессы локализации. Диссипация, в том числе и диффузионный член в первом уравнении в (8), и механизмы упрочнения стабилизируют процесс, выравнивая неоднородности, — такова стабилизирующая роль отрицательных обратных связей. При решении уравнений (6)-(8) упругопластического течения эти автокаталитические процессы оказываются намного сложнее, чем при решении нелинейного уравнения теплопроводности (10), (11). Существенное влияние на эволюцию оказывают перераспределения напряжений и наличие массопереноса (уравнения (6)), что, конечно, не дает права проводить прямые аналогии с решениями уравнения теплопроводности (10), (11), но важно понять общие тенденции.
При в = ст + 1 реализуется S-режим с обострением [5, 8, 14], при котором ширина и форма профиля области локализации (полосы локализованного сдвига) будут сохраняться. Развиваются структуры с минимальным временем обострения, рост других приостанавливается, что мы и видим в расчетах по распределению и эволюции локализованной деформации и повреждений [16, 17, 22, 27]. Практически более интересен LS-режим, при котором с ростом амплитуды локализованного параметра Т полуширина сокращается, т.е. деформация или повреждение растет в центре полосы, уменьшаясь на ее краях. Такой режим реализуется при в > ст + 1 [5, 8]. Этот режим также интересен и тем, что структуры-аутсайдеры с большими временами обострения могут объединяться, образуя более сложные структуры, что мы и наблюдаем при моделировании локализованной деформации [16, 22].
Игра на конкуренции положительных и отрицательных обратных связей — это реализация пути жесткого дикого рынка. Это наиболее энергозатратный путь и он реализуется, когда особо заметны различия в балансе сил (пример — автокатализ). Наиболее энергосберегающий путь — это путь резонансного возбуждения присущих среде структур, например при фазовых превращениях. Этот путь особенно важен для описания пластической деформации за счет объемных фазовых превращений в нагружаемых средах.
Концентраторы различного генезиса из всей возможной иерархии масштабов деструкции, которая, как показал автор [16, 17], начинается с масштабов кристаллической решетки, активизируют определенные группы масштабов, на которых и развивается деструкция наиболее интенсивно.
Ясно, что должен существовать путь направленной, генетически заложенной в среде эволюции по аналогии с биологическими системами. Это свойство своеобразной предопределенности эволюции всегда присутствует в изучаемой нелинейной среде, которой нельзя навязать структуры, генетически ей не присущие, хотя общий набор возможных структур, как показала синергетика,
может быть колоссальным. Важны пути отбора реализуемых структур.
Показано [5, 8 и др.], что для нелинейной системы
(10), (11) число типов возможных структур N определяется конкуренцией между нелинейными свойствами источника в и степенью нелинейности рассеивающего фактора ст:
N■■
в-1 . в-ст-1
(12)
Если нелинейность среды велика и в >> ст +1, число структур невелико. Это сравнительно простые структуры, например ярко выраженные системы полос локализации. Масштабы таких структур будут нарастать, пока не образуются магистральные макроскопические разломы (хрупкое разрушение). В такой хрупкой среде реализуется путь восхождения по иерархии трещин к макроскопическим магистральным разломам.
При сближении LS- и S-режимов [5], когда в ^ ^ ст +1, число возможных структур стремится к бесконечности, развиваются очень сложные системы даже при слабой нелинейности среды (в и ст малы!). Это путь развитой пластичности и сверхпластичности — путь адаптации к внешним воздействиям через усложненность организации. На этом пути могут возникать и действительно наблюдаются кооперативные явления (самоорганизация локализованных динамических процессов деструкции в виде фронтов неупругой деформации и повреждений) — так называемые медленные движения, скорости которых на порядки ниже скорости звука. Расчеты таких медленных фронтов выполнены автором с коллегами и обсуждены в работах [16, 17, 22, 28]. Думается, что фундаментальная роль медленных движений (в том числе фронтов Людерса) в деформационных процессах еще не осознана. Особенно важно понять их вклад в деструкцию элементов земной коры.
Очень интересные механизмы неупругой деформации и переориентации кристаллической решетки, основанные на идеях фазовых переходов (перестроек кристаллической решетки), предложены и изучаются в исследовательских группах А.Д. Коротаева и А.Н. Тюмен-цева [29, 30]. Подобные превращения, например локальные обратимые превращения мартенситного типа (ГЦК- ОЦК-ГЦК, ОЦК-ГПУ- ОЦК), развиваются в условиях, когда некоррелированные дислокационные механизмы себя исчерпали. Превращения развиваются в микрообъемах, находящихся в неравновесных состояниях, в полях высоких локальных напряжений, что и приводит к фазовой нестабильности кристаллов в этих локальных областях. Это типичные синергетические явления самоорганизации, когда промежуточное состояние оказывается неустойчивым и поддерживается за счет подвода энергии при деформировании. Эти фазовые переходы, изменяя в локальных областях кристал-
лографическую ориентацию, обеспечивают как локальную аккомодацию и сохранение сплошности в среде при деформации, так и неупругое (пластическое) формоизменение. Это наиболее энергосберегающий механизм, который развивается по схеме резонансной подстройки короткоживущих мод к долгоживущим, а не по более жесткой схеме конкуренции. Критические напряжения источников дефектов становятся выше напряжений, необходимых для локальных мартенситных превращений. Но главное, что высококоррелированное поведение развивается в объеме, который и выступает как носитель пластической деформации, что много эффективнее, чем другие дислокационные механизмы.
Пример моделирования образования подобных переходов приведен в работе [31]. Рассмотрен переход ГЦК-ОЦК, он не связан с преодолением энергетического барьера и носит термофлуктуационный характер. Показано, что для таких прекурсорных состояний характерным является пониженное сопротивление сдвигу (аналог сильно возбужденного состояния по Панину [32]). Для этих явлений необходимо преодолеть определенный деформационный порог, после достижения которого локальные объемные превращения развиваются в режиме с обострением и «происходит практически скачкообразный рост числа областей с локальными структурными изменениями» [31], т.е. наблюдается свойственная всем процессам самоорганизации порого-вость переходов.
Следовательно, как энергетически более выгодные подобные механизмы должны быть ведущими при пластическом течении, хотя обнаружить их не всегда просто. Для нас же важно, что с полным основанием мы можем их описать феноменологически, чтобы учесть неупругое формоизменение, отражающее коррелированное поведение многих атомов на микроуровне.
В этих случаях число параметров порядка может быть мало (даже равно одному!) [9], а вот число подчиненных мод остается по-прежнему большим. Г. Хакен показал, что во многих случаях неравновесных фазовых переходов функции распределения для параметров порядка могут быть получены в явном виде, в результате мы приходим к образованию пространственных структур, эволюционирующих во времени, — локализованной деформации в нашем случае. Предложенный Г. Ха-кеном математический формализм описывает образование подобных структур [9, 10].
Феноменологическая механика не может дать ответ на вопрос, какая комбинация физических механизмов способна обеспечить существование длительной ква-зистатической фазы, предшествующей катастрофической стадии обвальной деградации. Но думается, что мягкая резонансная подстройка структуры материала, основанная на реализации локальных объемных фазовых переходов, — реальный путь к увеличению квазистацио-
Рис. 1. Мгновенные картинки изолиний завихренности вязкой жидкости в разных сечениях канала: а — ХУ, 2 = 0, б — Х2, Y = 0, в — хг, у = 1.46/? [33]
нарной стадии, т.е. к созданию материалов, способных длительное время сопротивляться внешним воздействиям, или материалов с повышенной пластичностью.
При решении уравнений гидродинамики для ставшей уже классической задачи плоскопараллельного тер
чения жидкости в канале наблюдается феноменологически похожее явление подчинения короткоживущих мод биений скорости и давления долгоживущим модам. Это соответствует переходу к турбулентному течению и образованию в среде иерархий вихрей — короткоживущих диссипативных структур (рис. 1, 2). На рис. 1 показаны вихри в вязкой жидкости, а на рис. 2 — модулированные низкочастотной модой высокочастотные биения давления для двух очень сильно отличающихся времен — 30 000 и 60 000 шагов. А.М. Липанов с соавторами [33] так комментируют эти результаты: «Долгое время турбулентность отождествлялась с хаосом или шумом. Сегодня мы знаем, что это не так. Хотя в макроскопическом масштабе турбулентное течение кажется совершенно беспорядочным, или хаотическим, в микроскопическом масштабе оно высокоорганизованно. Множество пространственных и временных масштабов, на которых разыгрывается турбулентность, соответствует когерентному поведению миллионов и миллионов молекул. С этой точки зрения переход от ламинарного течения к турбулентности является процессом самоорганизации».
«Отождествление гидромеханических процессов в турбулентной области их изменения со стохастическими сыграло далеко не положительную роль, так как направило усилия гидромехаников на поиск объективно не существующих закономерностей. На протяжении почти всего XX века ученые-гидромеханики с большим прилежанием искали законы распределения пульсационных составляющих гидромеханических параметров. Когда пишутся эти строки (2001 г.), данный процесс, естест-
Рис. 2. «Хаос» А.М. Липанова. Кривые давления в точке как функции времени: 30000 (а) и 60000 шагов по времени (б). «.. .Для турбулентных потоков характерно высокое сходство со случайными процессами...» [33]
венно, продолжается. Однако стохастическим блужданиям в гидромеханике, в частности данной работой, положен конец».
Автор разделяет этот взгляд на турбулентность, хотя вероятностное описание как простая и удобная феноменология, но не как идея наложения случайных пульсаций на средние гладкие кривые, часто оказывается удобной. Раз одинаково применимы одни и те же модели как для вязких жидкостей, так и для прочных тел и сред, то и в твердых телах на качественном уровне должен наблюдаться (и наблюдается) похожий отклик (имеются в виду вихри как нестационарные неравновесные структуры).
Этот пример особо важен для понимания процессов самоорганизации в нагружаемых твердых телах. Как и в жидкости, в твердом теле подобные явления связаны с нелинейным откликом среды — вязкостью, обусловленной девиатором напряжений, его неравновесной со-
~ V гк 5^'к , & ттт
ставляющей % в выражении для р = -ро + . Ши-
рокое распространение получила вязкопластичная модель Максвелла, для которой «вязкие» неравновесные
о V
составляющие напряжения Sik описываются по аналогии с вязкой жидкостью S'Vk , т.е. пропорциональ-
ны скорости деформации. В твердых деформируемых телах мы также видим подобные вихревые явления, конечно, количественно выраженные более слабо [17, 27].
Итак, рассмотрим модель упруго-хрупкопластичной среды с учетом внутреннего трения, сдвиговой дилатан-сии (т.е. повреждений, появившихся вследствие сдвигов), накопления повреждений, в том числе на упругой стадии, и деградации прочностных характеристик.
Наиболее простой формой уравнений, задающих предельную поверхность для чувствительных к давлению хрупких материалов, служат зависимости, включающие первый инвариант напряжений J1. В расчетах, представленных в настоящей работе, использовалась модель Николаевского [34], особенности которой подробно были изучены Ю.П. Стефановым в работах [35, 36]. Для этой модели уравнение предельной поверхности, взятое в форме Мизеса-Шлейхера, имеет вид:
| Jl + J2/2 = 7, (13)
а связь между сдвиговой и объемной неупругой деформациями задается выражением [34-36]
І* = 2Л/І12,
(14)
где а и Л — коэффициенты внутреннего трения и сдвиговой дилатансии соответственно.
В выражении для предельной величины напряжений Y деградация зависит как от накопленных неупругих деформаций, так и от локального напряженного состояния и может быть задана разными способами. Была принята следующая зависимость:
7 = У0(1 + А(е) - ЗД)(1 - Да)). (15)
Здесь А(е) — функция, описывающая упрочнение материала (если оно есть), а также залечивание повреждений и частичное восстановление прочности. Функция -Ое(е) описывает разупрочнение вследствие накопления повреждений в ходе неупругой деформации. Для упрочнения можно записать следующее выражение:
А(е) = к12Є + к2 е*
Ґ \1/2
е
(16)
которое учитывает линейную и параболическую стадии упрочнения, а для разупрочнения — квадратичную:
2
Бе(е) = 2кз|-
(17)
Здесь к1, к2, к3 — коэффициенты модели; г* — критическая деформация, после достижения которой преобладает деградация материала.
Накопление повреждений в зависимости от напряженного состояния и времени описано выражением:
■(ст-сто)й
Да) = }-
(a*)nt *
для а > а,
о,
(18)
где ст — эффективное напряжение; ст0, ст*, t* и и = 2 — параметры модели, определяющие пороговое напряжение, начиная с которого повреждения накапливаются, предельное напряжение и скорость процесса накопления повреждений.
Выражение (18) позволяет учитывать накопление повреждений и деградацию свойств нагружаемого материала в упругой области, когда напряжения существенно меньше предела прочности среды или технического предела текучести (т.е. ст0 может быть очень малой величиной).
Усечение предельной поверхности в области растяжения также определяется с учетом повреждений. Этот критерий отражает различие прочностных свойств геосреды при сжатии и растяжении. Фактически среда всегда разрушается в области растягивающих напряжений, абсолютная величина которых невелика и уменьшается с ростом поврежденности среды:
Р* = Ро* (1 - Дст)). (19)
Таким образом, принимается, что разрушение и раскрытие трещин происходят при наличии растягивающих напряжений, которые присутствуют в локальных областях неоднородной среды практически при любом виде нагрузок. Определение параметров модели в выражениях (15)-(19) — отдельная задача. Особенно сложно их подбирать для геосред, так как непосредственных экспериментальных данных нет, а есть только ограниченные косвенные наблюдения за скоростями деградации. В настоящей работе эти параметры выбирались как на основании известных данных для геоматериалов, так и по данным о временах посадок и обрушений кровли. Процедура ограничений напряжений в случаях ассоциированного и неассоциированного законов течения
для модели с внутренним трением и дилатансией (13), (14) обычная и обсуждается в работах [27, 36]. В случае неассоциированного закона течения, когда вид поверхности нагружения и функция пластического потенциала различаются, выполняется две процедуры приведения напряжений к поверхности нагружения отдельно для девиатора и отдельно для среднего давления, согласно второму уравнению в (7).
Вместо рассмотренных зависимостей, определяющих нелинейный отклик нагружаемой среды, могут быть взяты другие функции, если они лучше отражают деформационный отклик среды.
Выбор степенных зависимостей в выражениях (16)-(18) был продиктован соображениями, связанными с изучением локализации и образованием тепловых структур [5] и глубоким замечанием С.П. Курдюмова о том, что не любая нелинейность приводит к возникновению структур. Сложные нестационарные структуры формируются в среде со степенными источниками. При других видах нелинейностей задача часто вырождается при приближении к моменту обострения [5].
Хорошо известно, что изучение развития любых процессов во времени при традиционной постановке и решении этих задач как динамических возможно только для весьма быстрых процессов в силу ограниченности шагов по времени условиями устойчивости Куранта: Дt = Дх/с, где с — скорость звука в среде. Легко подсчитать, что реально возможные расчетные времена Т процессов даже при использовании сверхбыстрых компьютеров, с помощью которых можно изучать динамику, оказываются очень малыми и составляют несколько секунд, в лучшем случае, минут.
Другой принципиально важной частью развиваемой эволюционной методологии является введение в модель характерного реального времени Т процесса. Это время задается условиями нагружения. Оно зависит от масштаба явления и может составлять секунды, минуты, часы, годы, миллионы лет. Время t в приведенной выше системе уравнений — это счетное время, по которому проводятся численные расчеты и для которого шаги по времени удовлетворяют известным условиям устойчивости разностной схемы. Характерное время процесса Т — это реальное время эволюции изучаемого процесса.
Фактически задача моделирования эволюции системы на больших временах (вплоть до геологических времен во многие миллионы лет) решается методом, аналогичным методу установления. Необходимо, чтобы за каждый последовательный интервал ДТ, задаваемый условиями нагружения, волны напряжений, распространяющиеся со скоростью звука в нагружаемой среде, несколько раз пробегали по расчетной области, что обеспечивает квазистационарное на данном шаге нагружения распределение всех параметров. Следующий шаг по ДТ+1 приводит как к перераспределению напряжений и деформаций в среде, так и к дополнительному
накоплению в ней повреждений и деградации прочностных характеристик, а также к локализации неупругих деформаций и повреждений.
Таким образом, характерное время Т зависит от рассматриваемой задачи, в том числе и от пространственного масштаба (чем большие пространственные масштабы мы рассматриваем, тем больше время Т процесса: часы, дни, месяцы или, например, миллионы лет для плитной тектоники). Такой подход в геодинамике и механике позволяет решать задачи оклика среды как эволюционные задачи на любых характерных для изучаемого процесса временах с помощью динамических уравнений механики сплошных сред.
Развиваемая методология позволяет также автоматически выявлять сверхбыстрые катастрофические режимы и выполнять соответствующие расчеты развития режима с обострением. Если к некоторому шагу по времени процесса ДТ- система оказалась подготовленной к сверхбыстрой эволюции, то последующий шаг АТ +1 позволит подробно изучить этот сверхбыстрый режим, даже если его скорости будут близки к ударноволновым, так как внутренние шаги Д^1 << ДТ позволяют подробно изучать любые динамические процессы, в том числе и ударно-волновые.
Предлагаемая методика принципиально отличается от традиционного метода установления, при котором решается стационарная по своей сути задача на основе динамического подхода до приближения решения динамических уравнений к стационарному распределению параметров. Мы же на всех шагах по ДТ изучаем нестационарный процесс, эволюция которого для каждого шага ДТ определяется изменениями управляющих параметров, например скоростями нагружения.
Подобная методология при численном моделировании требует наличия высокопроизводительных ЭВМ, поэтому для численного решения поставленных задач был широко использован кластер СКИФ СуЬепа Томского государственного университета.
4. Результаты моделирования эволюции геосреды в поле сил тяжести
Ранее в работах [16, 17, 22] мы уже приводили примеры расчетов эволюции различных нелинейных сред, в которых при нагружении образуются нестационарные структуры как результат локализации в этих областях процессов деформирования. Причем, развитие многих таких структур (полос локализации) приостанавливается со временем, в то время как в других локальных областях структуры развиваются, переходя в стадию сверхбыстрого режима эволюции. Так происходит с образованием шейки в образце. Развитие первоначально наметившейся шейки приостанавливается, а рядом формируется другая, которая и выходит на катастрофическую стадию [22].
Непосредственная Выработанное кровля пространство
Рис. 3. Распределение неупругих деформаций в кровле и почве для вязкой геосреды. Длина забоя — 100 м
кровля пространство
Рис. 4. Распределение систем трещин в кровле и почве в хрупкой среде
Рис. 5. Распределение давления (а) и неупругой деформации (б) вблизи забойной зоны
Недостатком этих расчетов оставалось то, что характерные времена эволюции были сильно ограничены. И это ограничение носило принципиальный характер. Введение в метод реальных времен изучаемых процессов сняло эти ограничения.
В настоящей работе будет продемонстрировано решение тестовой задачи об эволюции кровли над выработанным пространством в шахте. Основное внимание будет уделено качественной стороне задачи. На рис. 3 показана схема решаемой задачи (забой движется слева направо, выработанное пространство выделено черным цветом). В кровле и в почве за счет горного давления сформировалась система полос локализованной неупругой деформации и повреждений. Эти нестационарные диссипативные структуры эволюционируют во времени (показан момент времени при длине забоя =100 м), в некоторых областях развитие локализации замирает, в других развивается интенсивно. За счет деградации прочностных свойств процесс локализации и потери прочности в определенных локальных областях (выделены более темным цветом) обостряется вплоть до ка-
Рис. 6. Восстановленная картина прошедших разрушений в угольном пласте (помещена в выработанное пространство А), показаны полосы локализованных повреждений
тастрофического обрушения отдельных участков кровли. Так как с ростом локализации повреждений напряжения в этих областях релаксируют, картина дальнейшей эволюции сильно изменяется, так как идет перераспределение локализованных процессов в пространстве. При усилении положительной обратной связи в определяющих уравнениях, связанных с деградацией, повреждения копятся существенно быстрее, квазиста-ционарная стадия накопления неупругих сдвигов резко сокращается, среда охрупчивается, и в ней наблюдается типичная фрактальная структура — система трещин. Заметно изменяется и картина распределения областей локализации (рис. 4). Среда демонстрирует типичное хрупкое поведение.
В системе эволюционных уравнений для этого случая, в отличие от результатов, показанных на рис. 3 и отражающих вязкопластичное поведение (неупругие деформации на порядок больше, чем на рис. 4), изменен только баланс сил между положительными и отрицательными обратными связями, ускорен процесс обострения и деградации прочностных свойств. Следовательно, управляя нелинейностью отклика среды на нагружение, мы полностью меняем сценарий ее эволюции.
На рис. 5 приведены распределения среднего давления и неупругих деформаций в непосредственной близости от выработанного пространства. Светлые линии на рис. 5, а — линии сброса давления, обусловленные релаксацией напряжений в поврежденных областях. Темные линии на рис. 5, б образуют линии локализованной неупругой деформации. Точно так же оказывается поврежденным и угольный пласт (рис. 6), так как при продвижении забоя все новые участки угольного пласта оказываются дополнительно нагруженными зависающей кровлей. На рис. 6 в выработанное прост-
Рис. 7. Численное решение задачи об эволюции геосреды кровли над выработанным пространством при подвигании забоя со скоростью 4 м/сут на 9 (а), 12 (б), 15 (в), 20 (г), 27 (д), 28 сутки (е). На 27 сутки достигнут конец забоя, на 28 сутки развивается в катастрофическом режиме обвал основной кровли позади забоя [37]
ранство А помещен этот выработанный пласт и показана восстановленная картина распределения неупругой деформации в угольном пласте.
Вариант расчета катастрофического обрушения кровли показан на рис. 7. По мере продвижения забоя в кровле копятся повреждения. На 28 день они приближаются к критическому значению, и процесс развивается очень быстро — в катастрофическом режиме.
Таким образом, предлагаемый метод позволяет описывать деструкцию твердых тел и сред как общий совместный процесс нарастания неупругой (пластической) деформации и связанными с ней поврежденностью и деградацией прочности среды. Если на медленной стадии квазистационарного накопления неупругой деформации преобладают механизмы деформационного упрочнения, то эта стадия затягивается и наблюдается типичный пластичный отклик среды. Как только начинает преобладать деградация, материал очень быстро теряет прочностные свойства и процесс деградации развивается как катастрофа. Обострение деградации в самом начале деформирования приводит к сценарию хрупкого разрушения.
Эволюция деградации среды в кровле при продвижении забоя вплоть до развития процесса деградации в сверхбыстром катастрофическом режиме для ряда последовательных времен показана на рис. 7. Эти расчеты по времени обрушения совпадают с реальностью, так как скорости накопления повреждений подбирались по известным временам посадки (обрушения) кровли. Геометрия забоя и глубина выработки в расчетах также соответствуют реальному забою [37]. Однако мы пока го-
ворим только о качественном согласии конкретных расчетов с наблюдениями и о смене парадигмы в постановке задачи. Традиционная динамика заменяется постановкой задачи как эволюционной, осуществляется переход к самоорганизующейся нелинейной динамической системе. Так как времена обрушения кровли, полученные в расчетах, можно согласовать с наблюдаемыми в реальности разным набором параметров при задании нелинейных характеристик среды, их выбор становится неоднозначным. Нужна дополнительная информация о свойствах среды. Как мы видели, варьирование параметров изменяет сценарии эволюции и часто весьма существенно (см. рис. 3, 4). Согласование расчетов с экспериментами для разных скоростей проходки и разных геометрий выработки заметно сужает область варьирования параметров. Но и этого недостаточно, нужна дополнительная информация о деталях локализации накопления повреждений и макроскопического отклика среды, о чем уже говорилось выше. Для каждой конкретной среды и ее вязкопластичных или хрупких свойств, а также масштабов процессов эволюции (образец, элемент геосреды, плитная тектоника и т.д.) необходимо решать свою задачу конкретной эволюции и определять соответствующие ей параметры среды. Мы пока находимся в начале пути, и обрисована только общая стратегия решения задач механики твердых тел и сред как задач эволюционных.
5. Заключение
Наиболее полной эволюционной математической моделью нагружаемых твердых тел и сред является не-
линейная система уравнений в частных производных механики деформируемого твердого тела. В этой системе должны быть прописаны макроскопические определяющие уравнения состояния первой группы, включающие связи с внешним миром — управляющие параметры (они чаще задаются через граничные условия), положительные и отрицательные нелинейные обратные связи. Нелинейные определяющие уравнения второй группы — кинетические уравнения, которые задают скорости генерации неупругих деформаций и повреждений и обеспечивают работу соответствующих источников, — отражают вклады с нижележащих уровней, которые интегрально представляют «микроскопический» уровень описания. Нестационарные структуры деструкции мезоуровня формируются этими источниками микроуровня.
При такой постановке решения нелинейной системы уравнений в частных производных механики деформируемого твердого тела проявляют все свойства нелинейных самоорганизующихся динамических систем. В зависимости от граничных условий (вида нагружения) и нелинейного отклика конкретной среды можно наблюдать различные типы сценариев эволюции, в том числе и известные из решений базовых уравнений синергетики. Общие свойства решений соответствующих уравнений и полный набор сценариев эволюции таких распределенных нелинейных систем еще предстоит выяснить, основываясь, прежде всего, на анализе численных расчетов и экспериментальных данных. В полученных численных расчетах всегда наблюдаются более или менее длительные стадии квазистационарного этапа эволюции, которые соответствуют классическим моделям близкого к линейному поведения. Эта квазистационар-ная подготовительная стадия предваряет быстрые катастрофические стадии — режимы с обострением разных масштабов. В нагружаемой и первоначально однородной среде развиваются процессы локализации и образуются нестационарные структуры, приводящие к существенно неоднородному распределению параметров. В среде формируются иерархии блоков разных масштабов, прорисовываются магистральные разломы протяженных масштабов, выявляемые как области наиболее ярко выраженной локализации процессов повреждения.
Развиваемый эволюционный подход к изучению деструкции твердых тел и сред является общей моделью как для описания неупругой деформации (пластичности для металлов), так и разрушения пластичных сред и хрупких материалов и сред в зависимости от сценария эволюции, определяемого нелинейностью отклика среды. Таким образом, в реальности существует единый процесс деструкции твердых тел, при котором разрыхление, т.е. дилатансия нагружаемых материалов, начинается на низших структурных уровнях (как было автором показано ранее [16, 17, 22], минимальным масшта-
бом деструкции являются межатомные расстояния). Континуальное описание начинается на мезомасштаб-ных уровнях, на которых процессы деструкции микроуровня учитываются феноменологически через задание соответствующих кинетик накопления неупругих сдвигов и повреждений. На мезомасштабных уровнях эти процессы деструкции проявляются как локализация процессов деформации и повреждений. Таким образом, на мезоуровне мы наблюдаем иерархии катастроф разных масштабов как стадии эволюции локализованных процессов в режимах с обострением. Дальнейшее обострение процессов деградации приводит к развитию макроскопической локализации и формированию магистральных разломов или шейки в образце [17, 22]. Процесс деградации выходит на макроуровень, т.е. на уровень образца (им может быть и тектоническая плита и земная кора в целом). Меняя только параметры кинетики в определяющих уравнениях и отношение между положительными и отрицательными обратными связями, мы получаем либо пластическое поведение с длительной квазистатической стадией, либо обострение процессов накопления повреждений и типичный хрупкий отклик нагружаемой среды.
Усреднение полученных параметров по всему образцу позволяет получать средние эффективные характеристики [27], а средняя ст-е-диаграмма дает усредненный макроскопический отклик, что не только позволяет эффективно использовать в качестве интегральных характеристик макроскопические экспериментальные данные, но и выделить параметры порядка, характерные для разных этапов эволюции.
Представления о деформационных процессах в твердых телах и средах как процессах эволюции сред в полях действующих сил позволяет снять известные противоречия во взглядах, подходах и соответствующих теориях при описании пластичных и хрупких сред, изолированных и слабо связанных теорий неупругой (в том числе пластической) деформации и разрушения. Накопленный огромный арсенал теорий и моделей физических механизмов этих процессов может быть эффективно использован для конструирования функций нелинейного отклика среды на нагружение.
Два важнейших фактора (времена нагружений и характерный изучаемый масштаб) определяют специфику нелинейного отклика среды, т.к. в зависимости от этих факторов идет отбор соответствующих физических механизмов. Эти обстоятельства приводят к необходимости построения оригинальных нелинейных функций отклика для различных групп пространственных и временных масштабов (поведение геосреды кардинально отличается от поведения образца). Главным математическим инструментом решения задач деструкции прочных сред как задач эволюционных становится численный эксперимент.
Благодарности
Автор выражает особую благодарность академику В.Е. Панину за постоянный интерес к работе и ценные дискуссии по обсуждаемой тематике, И.Ю. Смолину, принявшему участие в написании программы численного решения представленной задачи, за полезные обсуждения результатов и Е.П. Евтушенко, выполнившему численные расчеты на кластере СКИФ СуЬепа.
Работа выполнена при финансовой поддержке Сибирского отделения РАН (проекты №№ 7.11.1.6 и 3.6.2.3) и программы Президиума РАН (проект № 16.3).
Литература
1. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелиней-
ной динамики. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 356 с.
2. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г Г., Самарский А.А.
Нестационарные структуры и диффузионный хаос. - М.: Наука, 1992. - 544 с.
3. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. - М.: КомКнига, 2006. - 208 с.
4. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и про-
гнозы будущего. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 342 с.
5. Курдюмов С.П., Князева Е.Н. У истоков синергетического видения
мира: режимы с обострением // Самоорганизация и наука: опыт философского осмысления. - М.: Арго, 1994. - С. 162-186.
6. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 344 с.
7. Пригожин И., Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. - М.: Едиториал УРСС, 2003. -280 с.
8. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Введение в
информатику с позиций математического моделирования / Под ред. А.А. Самарского. - М.: Наука, 1988. - 176 с.
9. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический под-
ход к сложным системам. - М.: Мир, 1991. - 240 с.
10. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. - М.: Мир, 1985. - 411 с.
11. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика. Путь к целостной простоте. - М.: Еди-ториал УРСС, 2004. - 302 с.
12. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. - М.: Наука, 1994. - 236 с.
13. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Новое в синергетике. Взгляд в третье тысячелетие. - М.: Наука, 2002. - 478 с.
14. Самарский А.А. (ред.). Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание. - М.: Наука, 1988. -192 с.
15. ТрубецковД.И. Введение в синергетика Хаос и структуры. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 240 с.
16. Макаров П.В. Эволюционная природа блочной организации геоматериалов и геосред. Универсальный критерий фрактальной делимости // Геология и геофизика. - 2007. - Т. 48. - № 7. - С. 724746.
17. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования // Физ. мезомех. - 2005. -Т. 8. - № 6. - С. 39-56.
18. Феймановские лекции по физике: В 9 тт. - М.: Мир, 1977.
19. KruskalM.D. Asymptotology // Proceedings of Conference on Mathematical Models on Physical Sciences. - Englewood Cliffs, HJ: Prentice-Hall, 1963. - P. 17-48.
20. Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 128 с.
21. Особенности дифференциальных отображений: Сб. статей / Под ред. В.И. Арнольда. - М.: Мир, 1998. - 268 с.
22. Макаров П.В. Эволюционная природа деструкции твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 3. - С. 23-38.
23. Пригожин И., КондепудиД. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. - М.: Мир, 2002. -461 с.
24. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. -160 с.
25. Jaynes E.T. The Maximum Entropy Formalism / Ed. by R.D. Levine, M. Tribus. - Cambridge: MTT Press, 1978. - 344 p.
26. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Неравновесная термодинамика деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. Корпускулярно-волновой дуализм пластического сдвига // Физ. мезо-мех. - 2008. - Т. 11. - № 2. - С. 9-30.
27. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., Трубицын А.А., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П., ВорошиловЯ.С. Нелинейная механика геоматериалов и геосред. - Новосибирск: Академиздательство «Гео», 2007. - 237 с.
28. Макаров П.В., Карпенко Н.И., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Тунда В.А., Хомяков А.Н. Изучение деформации и разрушения геоматериалов и геосред как иерархически организованных систем // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - Спец. выпуск. - С. 17-20.
29. Тюменцев А.Н., Литовченко Ю.И., Пинжин Ю.П., Коротаев А.Д., Сурикова Н.С., Лысенко О.В. Новая мода мезоуровня деформации механизмами динамических фазовых превращений в полях напряжений // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 2. - С. 15-36.
30. Тюменцев А.Н., Пинжин Ю.П., Дитенберг И.А., ШубаЯ.В. Локальные обратимые превращения мартенситного типа как механизмы деформации в переориентации кристаллов в металлических сплавах и интерметаллах // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. -№3. - С. 33-45.
31. Псахье С.Г., Зольников К.П., КрыжевичД.С., Тюменцев А.Н. О термофлуктуационном формировании локальных структурных изменений в кристалле в условиях динамического нагружения // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 5. - С. 55-60.
32. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е., Бухбиндер И.Л., Кульков С.Н. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформированном кристалле // Изв. вузов. Физика. -1987. - Т. 30. - № 1. - С. 34—51.
33. Липанов А.М., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков. -Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - 163 с.
34. Гарагаш И.А., Николаевский В.Н. Неассоциированные законы течения и локализации пластической деформации // Успехи механики. - 1989. - Т. 12. - № 1. - С. 131-183.
35. Стефанов Ю.П. Локализация деформации и разрушение в геоматериалах. Численное моделирование // Физ. мезомех. - 2002. -Т. 5. - № 5. - С. 107-118.
36. Стефанов Ю.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упруго-хрупкопластичных материалов // Физ. мезо-мех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 129-143.
37. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Евтушенко Е.П., Трубицын А.А., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П. Моделирование обрушения кровли над выработанным пространством // Физ. мезомех. -2008.- Т. 11. - № 1. - С. 44-50.
Поступила в редакцию
________________________ 18.02.2008 г.
Сведения об авторе
Макаров Павел Васильевич, д.ф.-м.н., заведующий лабораторией механики структурно-неоднородных сред ИФПМ СО РАН, pvm@ispms.tsc.ru
