1Гуманитарные исследования. Педагогика и психология. 2024. № 20. С. 80-89. Humanitarian Studies. Pedagogy and Psychology. 2024. No. 20. P. 80-89.
Научная статья УДК 378
doi: 10.24412/2712-827Х-2024-20-80-89
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕЧЬ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК В УСЛОВИЯХ ЕСТЕСТВЕННОГО УЧЕБНОГО МУЛЬТИЛИНГВИЗМА
1 2
Мария Павловна Магданова '
1 Пермская государственная фармацевтическая академия Минздрава России, Пермь, Россия Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, Пермь, Россия, [email protected]
Аннотация. В статье рассмотрены понятия математический язык, язык обучения математике и математическая речь в логике преподавания математики на родном и неродном языках. Автор предлагает интерпретацию этих понятий в контексте обучения иностранных студентов в условиях естественного мультилингвизма и отсутствия единого языка-посредника. Особое внимание уделяется специфическим характеристикам математического языка, которые становятся особенно важными при обучении студентов на этапе довузовской подготовки в многоязычных группах. Математическая речь представлена как средство выражения математического языка, а её роль в образовательном процессе анализируется с точки зрения структуры, смысла, методических и коммуникативных функций. В условиях естественного мультилингвизма математическая речь становится не только целью обучения, но и инструментом передачи математического содержания и межъязыковой коммуникации. В работе выделены трудности, с которыми сталкиваются иностранные студенты при понимании математической речи. Они могут быть обусловлены недостаточным владением специфической терминологией математического языка, что влияет на успешность обучения. В статье делается вывод о необходимости разработки новых подходов и методик, которые учитывали бы условия естественного учебного мульилингвизма и особенности восприятия математической речи иностранными студентами.
Ключевые слова: математическая речь, математический язык, учебный мультилингвизм, обучение иностранных студентов, мультилингвальная образовательная среда
Для цитирования: Магданова М. П. Математическая речь и математический язык в условиях естественного учебного мультилингвизма // Гуманитарные исследования. Психология и педагогика. 2024. № 20. С. 80-89. https://doi.org/10.24412/2712-827X-2024-20-80-89
Original article
MATHEMATICAL SPEECH AND MATHEMATICAL LANGUAGE IN THE CONTEXT OF NATURAL EDUCATIONAL MULTILINGUALISM
1 2
Maria P. Magdanova '
1 Perm State Pharmaceutical Academy, Ministry of Health of Russia, Perm, Russia
2 Perm State Humanitarian Pedagogical University, Perm, Russia, [email protected]
Abstract. The article examines the concepts of mathematical language, the language of mathematics instruction, and mathematical speech within the framework of teaching mathematics in the native language. The author offers an interpretation of these concepts in the context of teaching foreign students in a natural multilingual environment, where there is no common intermediary language. Special attention is paid to the specific characteristics of mathematical language, which become particularly important when teaching
© Магданова М. П., 2024
students at the pre-university stage in multilingual groups. Mathematical speech is presented as a means of expressing mathematical language, and its role in the educational process is analyzed in terms of structure, meaning, methodological, and communicative functions. In the context of natural multilingualism, mathematical speech becomes not only a goal of instruction but also a tool for conveying mathematical content and facilitating cross-linguistic communication. The difficulties foreign students face in understanding mathematical speech may be due to insufficient mastery of the specific features of mathematical language, which affects the success of learning. The article concludes with the need to develop new approaches and methods that take into account multilingual conditions and the particularities of how foreign students perceive mathematical speech.
Keywords: mathematical speech, mathematical language, educational multilingualism, teaching foreign students, multilingual educational environment
For citation: Magdanova M. P. Mathematical speech and mathematical language in the context of natural educational multilingualism. Humanitarian Studies. Pedagogy and Psychology. 2024;20:80-89. (In Russ.). https://doi.org/10.24412/2712-827X-2024-20-80-89
Введение
В российских вузах в контексте политики по привлечению иностранных студентов, с учетом роста числа иностранных граждан, обучающихся в России акцентируется внимание на создание благоприятных условий для обучения молодежи из-за рубежа. Согласно Приказу Министерства науки и высшего образования РФ от 18 октября 2023 года № 998, иностранные граждане, готовящиеся к освоению профессиональных образовательных программ на русском языке, должны пройти дополнительную общеобразовательную программу. Математика включена как основной предмет для естественно-научных, инженерно-технических, технологических и экономических профилей, и как дополнительный - для гуманитарных и медико-биологических направлений [Приказ Министерства науки и высшего образования Российской Федерации 2023].
Математика как предмет с чёткой логической структурой и специфической терминологией требует от студентов, обучающихся на неродном языке, не только понимания содержания, но и умения выражать свои мысли в рамках математического дискурса. Поэтому обучение математическому дискурсу, и, в частности, его важнейшему элементу -математической речи, особо актуально для многоязычных групп студентов.
В данной работе представлены результаты анализа понятий «математическая речь» и «математический язык» в логике их применения в образовательной практике. На основе исследований в области математики, методики обучения математике (школа/вуз) на родном и неродном языках, методики обучения иностранным языкам рассмотрены теоретические аспекты и практические возможности развития математической речи, в том числе в условиях мультилингвальных групп. Наш интерес обращен на обучение в лингвистически диверсифицированной образовательной среде, в мультилиннвальных группах с арабоязычными иностранными студентами. Они выделяются наличием диглоссии и множеством диалектов. В таких группах отсутствует единый язык-посредник, что добавляет сложности в установлении необходимых взаимно-однозначных соответствий.
Автор предлагает интерпретацию понятий «математическая речь» и «математический язык» применительно к процессу обучения студентов с разными языковыми профилями. Актуальность исследования определена потребностью автора в разработке методик для обучения математической речи в условиях естественного мультилингвизма на этапе довузовской подготовки в фармацевтическом вузе в группах, где арабоязычные студенты из Марокко, Алжира, Йемена и Судана говорят на различных диалектах (дарижа, берберская группа и др.) и изучают математику на иностранных языках (русский, английский, французский).
Основная часть
Высказывание одного из величайших русских математиков, Николая Ивановича Лобачевского: «Математика - это язык, на котором говорят все точные науки» особенно актуально в контексте мультилингвального обучения, где математический язык - иногда единственный общий язык в аудитории, объединяющий преподавателя и студентов. Отметим, что математический язык в науке рассматривается как искусственный письменный язык, ориентированный на описание, а не на общение [Беляков 2006]. Однако, А. Н. Колмогоров отмечал, что мысль, выраженная исключительно на искусственно созданном символическом языке без обращения к живой речи, часто бывает трудно воспринимаемой, и на практике математики пользуются словами естественного языка и символьной записью [Колмогоров 1988: 166]. Это приобретает дополнительный смысл в условиях естественного мультилингвизма, где из-за различий в языковых профилях студентов требуются дополнительные объяснения математического содержания или языковые опоры на понятном им естественном языке.
Как отмечает А. В. Ястребов, математику можно рассматривать как метаязык, представляющий собой единство естественного языка и специального символического подъязыка с точными правилами словообразования [Ястребов 2004].
В учебном процессе в условиях естественного мультилингвизма, этот метаязык -инструмент взаимодействия между студентами и преподавателями, поскольку естественные языки, относящиеся к разным группам, имеют разные символические подъязыки; в таблице 1 представлен пример записи «тангенс х» на четырех языках (русский, английский, французский, арабский).
Таблица 1. Запись «тангенс х»
Русский язык English language Languae français ÂJJJXÎ) ЯШ
тангенс х tangent х tangente х M JL
tg x tan х tan х или tg x (^i) IL или (<^) JL или tan х
В ситуации, когда студенты владеют разными символьными подъязыками, математическому языку необходимы элементы естественного языка, чтобы стать средством коммуникации.
Математический язык как подъязык языка преподавания математики (на родном языке) рассматривает Г. В. Дорофеев; автор считает его расширением естественного языка [Дорофеев 1999].
Дж. Икрамов [Икрамов 1981] и А. А. Столяр [Столяр 1965] считают необходимым разграничивать язык математики как науки и язык обучения математике.
Язык обучения математике (на родном языке в школе) как систему, компонентами которой являются некоторая область естественного языка, средства логико-математического языка и дидактического языка, с помощью которых осуществляется обучение математике представляет Д. В. Шармин [Шармин 2005].
В условиях естественного мультилингвизма эта система становится более сложной, так как преподавание должно учитывать, с одной стороны, лингвистическую диверсифицированность студентов, их владение родным и иностранными языками, с другой, трудности, специфические для мультилингвизма в установлении отношений в триаде: математическое содержание - выражение содержания естественным языком -выражение содержания математическими знаками.
Таким образом, язык обучения математике в мультилингвальной группе студентов на этапе довузовской подготовки в условиях естественного учебного мультилингвизма должен обладать следующими характеристиками: взаимодействие языков (содержит несколько языковых систем: родные языки учащихся, иностранные языки, язык математики); адаптивность (приспособлен для обучающихся с разным уровнем владения родными и
иностранными языками, учитывает наличие нескольких языков в учебной среде и необходимость понимания содержания всеми участниками); средство коммуникации (служит для передачи математических знаний, взаимодействия между преподавателем и студентами в рамках учебного процесса); функциональная связь естественного и математического языков (включает интеграцию элементов естественного языка (лексики, грамматики) и математического языка (синтаксис, семантика) для выражения математического содержания); обеспечение точности передачи содержания (способствует точному и однозначному выражению математических идей через естественный и математический языки); преодоление языковых барьеров (язык обучения должен смягчать трудности, связанные с неполным владением языками и различиями в языковых структурах).
Отечественные исследования в области языка обучения математике оперируют следующими понятиями: математический язык, математическая речь (письменная, устная), культура математической речи, в то время как зарубежные исследователи, поднимая тот же вопрос, используют: mathematical discourse, mathematical language, mathematical register. Говоря о процессе обучения математике и о коммуникации внутри этого процесса, представим взаимосвязь между языком обучения математике, математической речью и математическим дискурсом на рисунке 1.
Язык обучения математике содержит в себя фонетику, присущую тому естественному языку, на который он опирается, грамматику, математическую лексику, семантику, служит основой для речи, является частью математического дискурса; в нем существуют словеснологические конструкции: назывного и описательного определения, сравнительные, кванторные, союзные (конъюнктивная, дизъюнктивная, импликативная) и конструкция отрицания [Ежкова 1999].
Рис. 1. Математический дискурс
Математический дискурс включает: использование математического языка для выражения содержания и процессы изучения, обсуждения, интерпретации в учебном процессе; непосредственное взаимодействие между участниками: преподаватель - группа, преподаватель - студент, студент - студент, студент - группа; математическую речь как ключевой инструмент для выражения математических понятий, суждений, умозаключений. При этом важно не только знание математического языка, но и умение адаптировать его к конкретной коммуникативной ситуации, в том числе в мультилингвальных группах.
Математическая речь - конкретная форма использования языка обучения математике, включающая письменное и устное выражение математического содержания, и средство коммуникации внутри математического дискурса.
С. Л. Рубинштейн называл речь языком в действии и подчеркнул ее мыслеоформительную функцию: «Речь здесь нечто большее, чем внешнее орудие мысли; она включается в самый процесс мышления как форма, связанная с его содержанием. Создавая речевую форму, мышление само формируется. Мышление и речь, не отождествляясь, включаются в единство одного процесса. Мышление в речи не только выражается, но по большей части оно в речи и совершается» [Рубинштейн 1999: 395]. Обучение математической речи Д. В. Шармин связывает с ее коммуникативными качествами, отношения между которыми предложил на рисунке (рис. 2).
Различные аспекты математической речи широко рассмотрены применительно к школьному курсу математики в классических работах математиков, методистов и педагогов:
- проблему формализма математических знаний и доминирования в сознании учащегося внешнего выражения математического факта (словесная формулировка, символическая запись или чертеж) над его содержанием поднимает А. Я. Хинчин [Хинчин 1963: 106];
- приемы развития речи, методические рекомендации (мероприятия и средства) для учителей математики, качества математической речи учителя, требования к математической фразеологии, конкретные примеры связи математической речи с мышлением, классификация ошибок в устной и письменной математической речи представлены в работе И. А. Гибша [Гибш 1952: 30-36];
- развитие речи на уроках математики как особую цель математического образования и ее гуманитарный потенциал отмечает А. Г. Мордкович [Мордкович 2002].
- умение дать правильный и полный ответ на вопрос по теории относят к навыкам математической речи и считают равноправным умением наравне с другими факторами качества знаний в средней школе [Загоскина: 1935: 60-67]
- подчеркивается образовательное и воспитательное значение разъяснения происхождения, анализа и перевода на родной язык вводимых математических терминов [Розентруллер 1952: 38-42 ].
Рис. 2. Система коммуникативных качеств математической речи
Анализ публикаций свидетельствует, что в области методики обучения математике вопросы развития математической речи представлены с разных позиций, например, как фактор повышения качества обучения [Кириллова 2022], дидактические условия [Иванова, Горчаков 2010]; возрастные категории: обучающиеся начальной школы [Калинина, Ручкина 2016], учащиеся средней школы [Махонина 2016: 14-18, Дмитриченко 2015], студенты и будущие учителя [Городилова 2014; Монгуш, Танзы, Танова 2016; Налимова, Елифантьева 2018]. Особый интерес представляют результаты Л. Л. Салеховой и Н. И. Спиридоновой: основные условия развития математической речи школьников в процессе билингвального обучения математике [Салехова 2018].
Итак, математическая речь рассматривается как: устная и письменная речь на основе полуформального математического языка [Фридман 1983]; совокупность средств, с помощью которых можно воспроизвести математический язык [Шармин 2005]; использование средств для выражения, сообщения и восприятия информации математического содержания [Шелыгина 2017: 16-18]; совокупность приемов, методов и
средств, которые способствуют воспроизведению математического языка, другими словами, система характеристик и качеств математической речи, которая обеспечивает её коммуникативное совершенство, позволяет обучающемуся целесообразно и не затрудненно применять математический язык на уроках [Иванова, Горчаков 2010]; вид межличностной коммуникации людей, выражающий содержание в виде символьных (математических символов, латинского, греческого языка) и графических обозначений (таблицы, диаграммы), математических моделей (уравнения, неравенства, их системы, графы), элементов визуализации (графики, схемы, чертежи) с использованием средств естественного языка [Махонина 2016: 14-18]. Приведенные высказывания подчеркивают ключевую роль математической речи как средства коммуникации и передачи математического содержания. В одних работах математическая речь понимается как инструмент для передачи математической информации и смыслов, акцент на технической стороне выражения мысли. В других - внимание сосредоточивается на использовании в процессе обучения; математическая речь не только средство передачи информации, но и способ формирования навыков рассуждения и аргументации.
Обучение математической речи в условиях естественного мультилингвизма требует комплексного подхода, учитывающего как лингвистическую диверсифицированность, так и специфику языка обучения математике. Процесс обучения происходит в мультилингвальной среде, поэтому особое значение приобретает способность учащихся понимать и выражать математическое содержание на нескольких языках с учетом специфики символьного языка, принятого в рамках конкретной культуры. Для успешного освоения математического содержания учащиеся должны уметь переключаться между различными языковыми кодами (родной язык, язык обучения и язык обучения математике), сохраняя при этом точность, правильность, логичность, ясность, доступность, выразительность и уместность. Непонимание иностранными учащимися речи преподавателя и учебных текстов может быть вызвано объективными и субъективными причинами. Объективные причины включают лингвистическую диверсифицированность (учащиеся владеют различными родными и иностранными языками на разных уровнях), отсутствие единого языка-посредника, что затрудняет восприятие учебного материала и различия в национальных системах образования, что отражается в несоответствии учебных программ по математике.
Субъективные причины связаны с особенностями мыслительной деятельности обучаемых и представлены следующим образом:
1. Отсутствие в языковом или логическом опыте учащихся достаточных данных для интерпретации речи преподавателя или текста. Это проявляется в незнании терминов, грамматических конструкций, математической символики на том или ином языке. В пределах одной аудитории могут функционировать латинская, арабская и зеркальная арабская нотации, что приводит, в частности, к путанице в записях.
2. Интерференция: смысл сказанного преподавателем и личный языковой опыт учащихся вступают в противоречие, что приводит к искажению содержания. Часто недопонимание возникает при неверной аналогии для «ложных друзей переводчика», например, арабское (мйг) и русское «цифра», схожи по звучанию, имеют общее происхождение, но различны по смыслу.
3. Неумение учащихся выявить структуру речи или текста, понять взаимосвязь между элементами, особенно если информация представляется на нескольких языках или с применением символов и математических обозначений.
4. Внешние условия восприятия: шумы, непривычная языковая ситуация, эмоциональная перегрузка, напряжение, вызванное постоянным переключением между языками, и необходимость быстрой адаптации к разным языковым кодам могут серьезно осложнять процесс понимания речи преподавателя.
Заключение
Анализ понятий математический язык, язык обучения математике и математическая речь, представленных в работах и методиках обучения математике на родном и неродном языках, показывает необходимость в дополнительных исследованиях с учетом условий естественного мультилингвизма при отсутствии единого языка-посредника. Понимая математическую речь как средство выражения математического языка, одни исследователи сосредотачиваются на структурной и смысловой характеристике математической речи, а другие - на ее методической и коммуникативной роли в образовательном процессе, особенно в контексте обучения математике. Рассматривая, математический язык как компонент языка обучения математике, автор статьи выделяет специфические характеристики языка обучения математике, трудности в понимании математической речи в мультилингвальной группе студентов на этапе довузовской подготовки в условиях естественного учебного мультилингвизма.
Таким образом, математическая речь в условиях естественного мультилингвизма выступает одной из целей обучения, средством передачи математического содержания и инструментом межъязыковой коммуникации. В свою очередь это предполагает пересмотр методики и подходов к преподаванию математики и языка обучения математики, разработку адаптированных дидактических материалов в условиях естественного учебного мультилингвизма, когда отсутствует единый язык-посредник.
Список литературы
1. Беляков Н. С. Математика как искусственный язык науки // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Серия Естественные науки. 2006. № 4. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematika-kak-iskusstvennyy-yazyk-nauki (дата обращения: 13.06.2024).
2. Гибш И. А. Развитие речи в процессе изучения школьного курса математики // Математика в школе. 1952. № 5. С. 30-36.
3. Городилова М. А. О проблемах, связанных с формированием математической речи студентов при обучении математике в техническом вузе // Теория и практика общественного развития. 2014. № 6. URL: http://cyberleninka.ru/ article/n/o-problemah-svyazannyh-s-formirovaniemmatematicheskoy-rechi-studentov-pri-obuchenii-matematike-vtehnicheskom-vuze (дата обращения: 13.06.2024).
4. Дорофеев Г. В. О некоторых особенностях реального языка математики // Математика в школе. 1999. № 6. С. 41-43.
5. Дорофеев Г. В. Математика для каждого. М. : Аякс. 1999. 292 с.
6. Дмитриченко Д. В. Формирование математической речи у учащихся 5 класса с помощью интегрированных эссе // Современные тенденции физико-математического образования: школа-ВУЗ : материалы международной научно-практической конференции. Соликамск : СГПИ, 2015. С. 11-13.
7. Ежкова В. Г. Методические аспекты освоения логических конструкций языка школьной математики : автореф. ... канд. пед. наук. М., 1999. 20 с.
8. Загоскина Е. Д. Измеритель знаний учащихся по теме «Целые числа» // Математика и физика в средней школе : метод. сборник / Упр. нач. и сред. школы Наркомпроса РСФСР. М. : Учпедгиз. 1935. № 6. 136 с.
9. Иванова Т. А., Горчаков А. С. Дидактические условия развития математической речи школьников // Ярославский педагогический вестник. 2010. № 4. URL: https://cyberleninka.rU/article/n/didakticheskie-usloviya-razvitiya-matematicheskoy-rechi-shkolnikov (дата обращения: 14.03.2024).
10. Икрамов Дж. Математическая культура школьника. Ташкент : Укитувчи. 1981. 280 с.
11. Калинина Г. П., Ручкина В. П. Развитие математической речи в начальных классах // Специальное образование. 2016. № 1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n7razvitie-matematicheskoy-rechi-v-nachalnyh-klassah (дата обращения: 14.03.2024).
12. Кириллова О. А. Развитие математической речи школьников как фактор повышения качества обучения // Проблемы современного педагогического образования. 2022. № 74-2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/razvitie-matematicheskoy-rechi-shkolnikov-kak-faktor-povysheniya-kachestva-obucheniya (дата обращения: 14.10.2024).
13. Колмогоров А. Н. Математика - наука и профессия. М. : Наука, 1988. 285 с.
14. Махонина А. А. Методика формирования математической речи учащихся 5-6 класов при введении математических понятий // Педагогика и психология: от вопросов к решениям : сб. науч. трудов по итогам междунар. науч.-практ. конф. Томск : Эвенсис, 2016. С. 14-18.
15. Монгуш А. С., Танзы М. В., Танова О. М. Развитие культуры речи будущих учителей математики через контекстное обучение (на примере Республики Тыва) // Современные наукоемкие технологии. 2016. № 7 (часть 1). С. 164-167. URL: https://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=36082 (дата обращения: 10.10.2019).
16. Мордкович А. Г. Зачем учить математику? // Первое сентября. 2002. № 22. С. 5-6.
17. Налимова И. В., Елифантьева С. С. Развитие математической речи в процессе подготовки будущих учителей начальных классов // Ярославский педагогический вестник. 2018. № 2. С. 74-77.
18. Приказ Министерства науки и высшего образования Российской Федерации от 18.10.2023 № 998 «Об утверждении требований к освоению дополнительных общеобразовательных программ, обеспечивающих подготовку иностранных граждан и лиц без гражданства к освоению профессиональных образовательных программ на русском языке» (Зарегистрирован 21.11.2023 № 76040). URL: http://publication.pravo.gov.ru/document/0001202311220006 (дата обращения: 10.10.2019).
19. Розентруллер В. М. О культуре математической речи учащихся // Математика в школе. 1952. № 5. С. 38-42.
20. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. СПб. : Питер. 2000. 712 с.
21. Салехова Л. Л., Спиридонова Н. И. Основные условия развития математической речи школьников в процессе билингвального обучения // Образование и наука. 2018. Т. 20. № 2. С. 60-87. DOI: 10.17853/1994-5639-2018-2-60-87
22. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики. Минск : Высшая школа.1965. 254 с.
23. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М. : Просвещение, 1983. 160 с.
24. Шармин Д. В. Формирование культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа : автореф. ... канд. пед. наук. Омск, 2005. 209 с.
25. Шелыгина О. Б. Приемы формирования мыслительных операций при обучении младших школьников решению арифметических задач // Концепт. 2014. № 32. С. 16-18.
26. Хинчин А. Я. Педагогические статьи. М. : Изд-во АПН РСФСР. 1963. 204 с.
27. Ястребов А. В. Междисциплинарный подход в преподавании математики // Ярославский педагогический вестник. 2004. № 3 (40). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/mezhdistsiplinarnyy-podhod-v-prepodavanii-matematiki (дата обращения: 01.07.2024).
References
1. Belyakov N. S. Matematika kak iskusstvennyy yazyk nauki [Mathematics as an artificial language of science]. VestnikMGTU im. N. E. Baumana [Bulletin of MSTU them. N. E. Baumann]. 2006, no. 4. (In Russ.). Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/matematika-kak-iskusstvennyy-yazyk-nauki (accessed: 13.06.2024).
2. Gibsh I. A. Razvitie rechi v protsesse izucheniya shkol'nogo kursa matematiki [Speech development in the process of studying the school mathematics course]. Matematika v shkole [Mathematics in school]. 1952, no. 5, pp. 30-36. (In Russ.).
3. Gorodilova M. A. O problemakh, svyazannykh s formirovaniem matematicheskoy rechi studentov pri obuchenii matematike v tekhnicheskom vuze [On the problems associated with the formation of students' mathematical speech when teaching mathematics at a technical university]. Teoriya i praktika obshchestvennogo razvitiya. 2014, no. 6. (In Russ.). Available at: http://cyberleninka.ru/ article/n/o-problemah-svyazannyh-s-formirovaniemmatematicheskoy-rechi-studentov-pri-obuchenii-matematike-vtehnicheskom-vuze (accessed: 13.06.2024).
4. Dorofeev G. V. O nekotorykh osobennostyakh real'nogo yazyka matematiki [On some features of the real language of mathematics]. Matematika v shkole [Mathematics in school]. 1999, no. 6, pp. 41-43. (In Russ.).
5. Dorofeev G. V. Matematika dlya kazhdogo [Mathematics for everyone]. Moscow, Ayaks, 1999, 292 p. (In Russ.).
6. Dmitrichenko D. V. Formirovanie matematicheskoy rechi u uchashchikhsya 5 klassa s pomoshch'yu integrirovannykh esse [Formation of mathematical speech in 5th grade students using integrated essays]. Sovremennye tendentsii fiziko-matematicheskogo obrazovaniya: shkola-VUZ [Modern trends in physics and mathematics education: school-university]. Solikamsk, SGPI, 2015, pp. 11-13. (In Russ.).
7. Ezhkova V. G. Metodicheskie aspekty osvoeniya logicheskikh konstruktsiy yazyka shkol'noy matematiki [Methodological aspects of mastering logical constructions of the language of school mathematics]. PhD dissertation abstract. Moscow, 1999, 20 p. (In Russ.).
8. Zagoskina E. D. Izmeritel' znaniy uchashchikhsya po teme «Tselye chisla» [Measuring students' knowledge on the topic "Whole numbers"]. Matematika i fizika v sredney shkole [Mathematics and Physics in High School]. Moscow, Uchpedgiz, 1935, no. 6, 136 p. (In Russ.).
9. Ivanova T. A., Gorchakov A. S. Didakticheskie usloviya razvitiya matematicheskoy rechi shkol'nikov [Didactic conditions for the development of mathematical speech in schoolchildren]. Yaroslavskiypedagogicheskiy vestnik [Yaroslavl Pedagogical Bulletin]. 2010, no. 4. (In Russ.). Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/didakticheskie-usloviya-razvitiya-matematicheskoy-rechi-shkolnikov (accessed: 14.03.2024).
10. Ikramov Dzh. Matematicheskaya kul'tura shkol'nika [Mathematical culture of a schoolchild]. Tashkent, Ukituvchi, 1981, 280 p. (In Russ.).
11. Kalinina G. P., Ruchkina V. P. Razvitie matematicheskoy rechi v nachal'nykh klassakh [Development of mathematical speech in elementary grades]. Spetsial'noe obrazovanie [Special education]. 2016, no.1. (In Russ.). Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/razvitie-matematicheskoy-rechi-v-nachalnyh-klassah (accessed: 14.03.2024).
12. Kirillova O. A. Razvitie matematicheskoy rechi shkol'nikov kak faktor povysheniya kachestva obucheniya [Development of mathematical speech of schoolchildren as a factor in improving the quality of education]. Problemy sovremennogo pedagogicheskogo obrazovaniya [Problems of modern pedagogical education]. 2022, no.74-2. (In Russ.). Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/razvitie-matematicheskoy-rechi-shkolnikov-kak-faktor-povysheniya-kachestva-obucheniya (accessed: 14.10.2024).
13. Kolmogorov A. N. Matematika - nauka i professiya [Mathematics - science and profession]. Moscow, Nauka, 1988, 285 p. (In Russ.).
14. Makhonina A. A. Metodika formirovaniya matematicheskoy rechi uchashchikhsya 5-6 klasov pri vvedenii matematicheskikh ponyatiy [Methods of developing mathematical speech in 5th-6th grade students when introducing mathematical concepts]. Pedagogika i psikhologiya: ot voprosov k resheniyam [Pedagogy and Psychology: From Questions to Solutions]. Tomsk, Evensis, 2016, pp. 14-18. (In Russ.).
15. Mongush A. S., Tanzy M. V., Tanova O. M. Razvitie kul'tury rechi budushchikh uchiteley matematiki cherez kontekstnoe obuchenie (na primere Respubliki Tyva) [Developing a Culture of Speech of Future Mathematics Teachers through Contextual Learning (Based on the Example of the Republic of Tyva)]. Sovremennye naukoemkie tekhnologii [Modern high-tech technologies]. 2016, no. 7, pp. 164-167. (In Russ.). Available at: https://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=36082 (accessed: 10.10.2019).
16. Mordkovich A. G. Zachem uchit' matematiku? [Why study mathematics?]. Pervoe sentyabrya [First of September]. 2002, no. 22, pp. 5-6. (In Russ.).
17. Nalimova I. V., Elifant'eva S. S. Razvitie matematicheskoy rechi v protsesse podgotovki budushchikh uchiteley nachal'nykh klassov [Development of mathematical speech in the process of training future primary school teachers]. Yaroslavskiy pedagogicheskiy vestnik [Yaroslavl Pedagogical Bulletin]. 2018, no. 2, pp. 74-77. (In Russ.).
18. Prikaz Ministerstva nauki i vysshego obrazovaniya Rossiyskoy Federatsii ot 18.10.2023 № 998 «Ob utverzhdenii trebovaniy k osvoeniyu dopolnitel'nykh obshcheobrazovatel'nykh programm, obespechivayushchikh podgotovku inostrannykh grazhdan i lits bez grazhdanstva k osvoeniyu professional'nykh obrazovatel'nykh programm na russkom yazyke» [Order of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation dated 18.10.2023 No. 998 "On approval of requirements for mastering additional general educational programs that provide training for foreign citizens and stateless persons to master professional educational programs in Russian"]. (In Russ.). Available at: http://publication.pravo.gov.ru/document/0001202311220006 (accessed: 10.10.2019).
19. Rozentruller V. M. O kul'ture matematicheskoy rechi uchashchikhsya [On the culture of mathematical speech of students]. Matematika v shkole [Mathematics in school]. 1952, no. 5, pp. 38-42. (In Russ.).
20. Rubinshteyn S. L. Osnovy obshchey psikhologii [Fundamentals of General Psychology]. Saint Petersburg, Piter, 2000, 712 p. (In Russ.).
21. Salekhova L. L., Spiridonova N. I. Osnovnye usloviya razvitiya matematicheskoy rechi shkol'nikov v protsesse bilingval'nogo obucheniya [Basic conditions for the development of mathematical speech of schoolchildren in the process of bilingual education]. Obrazovanie i nauka [Education and Science]. 2018, vol. 20, no. 2, pp. 60-87. DOI: 10.17853/1994-5639-2018-2-60-87. (In Russ.).
22. Stolyar A. A. Logicheskie problemy prepodavaniya matematiki [Logical problems of teaching mathematics]. Minsk, Vysshaya shkola, 1965, 254 p. (In Russ.).
23. Fridman L. M. Psikhologo-pedagogicheskie osnovy obucheniya matematike v shkole [Psychological and pedagogical foundations of teaching mathematics at school]. Moscow, Рrosveshchenie. 1983, 160 p. (In Russ.).
24. Sharmin D. V. Formirovanie kul'tury matematicheskoy rechi uchashchikhsya v protsesse obucheniya algebre i nachalam analiza [Formation of a culture of mathematical speech of students in the process of teaching algebra and the basics of analysis]. PhD dissertation abstract. Omsk, 2005, 209 p. (In Russ.).
25. Shelygina O. B. Priemy formirovaniya myslitel'nykh operatsiy pri obuchenii mladshikh shkol'nikov resheniyu arifmeticheskikh zadach [Techniques for the formation of mental operations when teaching primary school students to solve arithmetic problems]. Kontsept [Concept]. 2014, no. 32, pp. 16-18. (In Russ.).
26. Khinchin A. Ya. Pedagogicheskie stat'I [Pedagogical articles]. Moscow, Izd-vo APN RSFSR, 1963, 204 p. (In Russ.).
27. Yastrebov A. V. Mezhdistsiplinarnyy podkhod v prepodavanii matematiki [Interdisciplinary approach in teaching mathematics]. Yaroslavskiy pedagogicheskiy vestnik [Yaroslavl Pedagogical Bulletin]. 2004, no. 3 (40). (In Russ.). Available at: https://cyberleninka.ru/article/n7mezhdistsiplinarnyy-podhod-v-prepodavanii-matematiki (accessed: 01.07.2024).
Информация об авторе М. П. Магданова - ассистент, кафедра физики и математики, Пермская государственная фармацевтическая академия Минздрава России, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет.
Information about the author M. P. Magdanova — Assistant, Department of Physics and Mathematics, Perm State Pharmaceutical Academy, Ministry of Health of Russia, Perm State Humanitarian Pedagogical University.
Статья поступила в редакцию 05.07.2024; одобрена после рецензирования 15.08.2024; принята к публикации 10.09.2024.
The article was submitted 05.07.2024; approved after reviewing 15.08.2024; accepted for publication 10.09.2024.
