CC BY
41
Математическая подготовка современного инженера
Васильев Юрий Сергеевич, Академик РАН, научный руководитель, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, ул. Политехническая, 29, Санкт-Петербург,195251,(812) 5526240 [email protected]
Антонов Валерий Иванович, д.т.н., заведующий кафедрой высшей математики,
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,
ул. Политехническая, 29, Санкт-Петербург,195251,(812) 5526750 antonovvi@mail. ru
Аннотация
Математика - это наука и предмет преподавания. В чем ее сила и универсальность? Как преподавать математику инженерам, для которых она является базой для изучения других наук, но не является конечной целью образовательного процесса? Насколько современные курсы математики удовлетворяют тем вызовам, которые стоят перед Высшей школой России? Авторы статьи стараются дать ответы на поставленные вопросы на примере преподавания математики в Санкт-Петербургском политехническом университете Петра Великого. Наряду с общей концепцией развития кафедры математики, в работе рассмотрено внедрение современных методов ведения образовательного процесса на основе тестов различной категории сложности. В качестве примера рассмотрен тест на умение пользоваться школьными разделами математики.
Mathematics - the science and the subject of teaching. What is its strength and universality? How to teach mathematics to engineers, for which it is the basis for learning other sciences, but not the ultimate goal of the educational process? How full the modern mathematics courses meet the challenges facing the Russian Higher School? The authors try to give answers to the questions on the example of teaching mathematics in Peter the Great St.-Petersburg Polytechnic University. Along with the General concept of development of the Department of mathematics, the paper considers the introduction of modern methods of educational process on the basis of tests of various complexities. As an example, is considered a test of ability to use the school sections of mathematics.
Ключевые слова
математика, инженер, разделы курса, тест, концепция, базис mathematics, engineer, sections of the course, a test concept, basis
Введение
Огромную роль в развитии и становлении общества играют образование и наука. Важным аспектом системы образования являются фундаментальные науки. По- настоящему образованный человек должен уметь донести до слушателя ясно изложенную мысль, не выходя при этом за границы нормативной лексики.
Важную роль в становлении логического мышления играет постановка математического образования. Его целью является не только выработка
определенных навыков, но и развитие умения отделять главное от второстепенного, абстрагироваться от мелочей. Все эти качества должны сопровождаться тренировкой памяти, постоянными волевыми усилиями для преодоления трудностей.
К сожалению, предпринятая в последние годы реформа школьного образования существенным образом снизила уровень подготовки выпускников. Сосредоточив основное внимание на сугубо второстепенных вопросах, в основном на формах и методах объективного контроля знаний, мы перестали развивать в учениках любовь к самостоятельной творческой деятельности, основанной на знании, а не знакомстве с предметом. Однако, хотим мы того или не хотим, сама жизнь требует от граждан необходимости постоянного самосовершенствования в сочетании с активной жизненной позицией. В противном случае нам не избежать массовых катаклизмов (техногенных катастроф, дорожных аварий), связанных с непрофессиональным отношением к делу [1}.
Методология
Изучение математики не является панацеей от всех бед. Однако математическая грамотность способствует лучшему пониманию сути различных проблем и путей их разрешения. Математическое образование в Политехническом университете всегда находилось на высоком уровне, и мы рассматриваем это как важное наследство наших предшественников
В своей работе сотрудники кафедры Высшей математики руководствуются принципами, сформировавшимися в педагогическом коллективе за время его творческого роста. Среди этих принципов хочется упомянуть следующие.
Нет четкой границы между отдельными разделами математики. Математика едина по своей сути, и это единство является её существенной чертой как науки и предмета изучения. Обучение математике как части инженерной культуры нельзя заменить рассмотрением методов решения отдельных задач без учета внутренней логики этой науки. В противном случае специалисты, имеющие необходимость применять математические методы исследования, могут оказаться бессильными при решении задач, требующих развитого абстрактного мышления.
Важным аргументом в пользу чрезвычайной полезности знания математики служит тот факт, что язык математики, состоящий из знаков и символов, является универсальным языком всей науки. При этом запись, сделанная на языке математики, легко трансформируется в живую речь на родном языке практически без потери смысловой нагрузки.
Кафедра активно внедряет в учебный процесс современные технологии обучения и контроля в преподавании высшей математики - письменные экзамены, двухступенчатые экзамены, тестирование. Эти технологии обеспечивают объективную оценку качества усвоения учебного материала, возможность более четкого представления о необходимом уровне усвоения той или иной темы (знания, умения, навыки) и оказывают свое влияние на содержание курсов, на понимание преподавателем необходимости их переработки. На кафедре разрабатываются принципы конструирования тестов, основы их использования, оценки валидности и трудности. По темам 1-го и 2-го семестров уже созданы пакеты тестов, которые активно используются в учебном процессе. Одновременно создается банк заданий по высшей и элементарной математике, на базе которого разрабатываются генераторы тестов. Банк заданий создается в стандартном формате WORD, что делает банк легко доступным для любого пользователя [2].
Практическая часть
Весьма актуальным является вопрос: что понимать под термином «студент владеет дисциплиной (математикой) на уровне компетенций», как и с помощью каких заданий, вопросов и тестов определить этот уровень после завершения курса? Идеология создания тестов разработана сотрудниками кафедры высшей математики в течение нескольких последних лет.
Несомненно, это должны быть тесты, проверяющие у студентов знания, на уровне владения основными понятиями курса, основанных на них задачах, методах и операциях для их решения. При этом основные понятия следует трактовать как понятия, на базе которых строятся методы решения прикладных задач, связанных с будущей профессиональной деятельностью студента. Покажем, чем должно отличаться содержание теста для текущего контроля от содержания концептуального теста [2].
Рассмотрим, например, раздел «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». К базисным элементам этого раздела относятся:.
Часть 1. Производная и дифференциал
1.1.Темы раздела
1. Задачи, приводящие к понятию производной;
2. Производная; общие правила её отыскания; свойства;
3. Производные основных элементарных функций;
4. Производные функций, заданных неявно;
5. Производные функций, заданных параметрически;
6. Дифференциал; связь с производной;
7. Производные и дифференциалы высших порядков.
Базисные понятия
1. Производная;
2. Дифференциал.
Основные задачи.
1. Вычисление производной 1-го и высших порядков функций, заданных явно, неявно, параметрически;
2. Вычисление дифференциала 1-го и высших порядков явно заданных функций;
3. Приложение производных и дифференциалов к задачам физики, геометрии, приближённым вычислениям.
Базисные методы решения основных задач.
1. Применение таблицы производных и общих правил их вычисления;
2. Применение таблицы дифференциалов и правил их вычисления.
1.2. Знания и умения, которыми должен владеть студент
Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
1. Определение производной; физический и геометрический смысл;
2. Таблица производных основных элементарных функций и общих правил
их отыскания;
3. Правила и формулы для производных функций, заданных неявно и параметрически;
4. Определение дифференциала; связь с приращением функции и производной; Понятие дифференцируемой функции;
5. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью;
6. Таблица дифференциалов;
7. Геометрический смысл дифференциала;
8. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям;
9. Определения производных и дифференциалов высших порядков; связь между ними.
Знания на уровне доказательств и выводов
1. Производные основных элементарных функций и общие правила отыскания производных.
2. Производные 1-го и высших порядков функций, заданных параметрически.
3. Теорема о связи дифференциала и производной.
4. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
5. Формула для выражения дифференциала п-го порядка через производную п-го порядка.
6. Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка.
7. Геометрический смысл производной и дифференциала.
8. Уравнение касательной к кривой.
Умения в решении задач Студент должен уметь:
1. Находить производные сложных функций, заданных явно.
2. Находить производные функций, заданных неявно и параметрически.
3. Находить дифференциалы сложных функций.
4. Находить производные и дифференциалы высших порядков.
5. Решать задачи с использованием физического и геометрического смысла производной.
Часть 2. Приложения производной
2.1. Темы раздела
1. Теоремы о среднем;
2. Раскрытие неопределённостей;
3. Формула Тейлора;
4. Исследование функций и построение графиков.
Базисные понятия
1. Возрастание и убывание функции;.
2. Локальный экстремум функции;
3. Точки перегиба графика;
4. Асимптоты график;.
5. Аппроксимация функций.
Основные задачи
1. Исследование функций;
2. Построение графиков;
3. Получение приближённых формул для вычисления функций;
4. Приближённое отыскание нулей функций;
5. Вычисление пределов.
Базисные методы решения основных задач
1. Правило Лопиталя вычисления пределов;
2. Дифференцирование функций с анализом знаков первой и второй производных при отыскании экстремумов и точек перегиба графика функции;
3. Использование формулы Тейлора для аппроксимации элементарных функций.
2.2. Знания и умения, которыми должен владеть студент
Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
1. Формула Лагранжа. Различные ее модификации;
2. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей;
3. Формула Тейлора в различных модификациях;
4. Определение возрастания, убывания функции на интервале;
5. Правило отыскания наибольших и наименьших значений функции на замкнутом промежутке;
6. Определение направления выпуклости, точек перегиба графика функции;
7. Правило отыскания точек перегиба графика функции;
8. Определения и правило отыскания вертикальных, горизонтальных, наклонных асимптот графика функции;
9. Схема построения графика функции;
10. Метод половинного деления для приближённого вычисления корней функций.
Знания на уровне доказательств и выводов
1. Теоремы Ферма, Ролля, Коши;
2. Правило Лопиталя (частный случай неопределенности Ц);
3. Достаточные условия возрастания (убывания) функции на интервале;
4. Необходимые и достаточные условия экстремума по первой и второй производной;
5. Достаточные условия выпуклости графика функции вверх (вниз) на интервале;
6. Формулы для нахождения наклонных асимптот графика функции. Умения в решении задач
Студент должен уметь:
1. Вычислять различного рода пределы при помощи правила Лопиталя;
2. Использовать формулу Тейлора для получения аппроксимационных формул;
3. Определять интервалы возрастания (убывания) функции, точки локального
экстремума;
4. Находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке;
5. Находить интервалы выпуклости вверх (вниз) графика функции и точки перегиба;
6. Находить асимптоты графика функции;
7. Строить графики функций;
8. Приближённо находить корни функции.
Под концептуальными тестами понимаются тесты, проверяющие у студентов знания базисных элементов курса математики, то есть понятий и определений, задач, для которых они служат базой, методов и операций для их решения.
В концептуальные тесты должны включаться следующие вопросы
• Базисные понятия: производная, дифференциал, геометрический и физический смысл производной, возрастание и убывание функции, экстремумы, асимптоты графика.
• Основные задачи: исследование свойств и построение графика функции, отыскание производной и дифференциала, вычисление экстремумов и наибольшего и наименьшего значений функции, нахождение асимптот графика функции.
• Базисные действия (операции): производная; общие правила её отыскания дифференциал; Производные основных элементарных функций.
• Базисные методы решения основных задач: вычисление производных на основе таблицы, вычисление экстремумов функций с помощью 1-й и 2-й производных, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на основе правил, нахождение асимптот по формулам.
Анализ разработки
Следует заметить, что математическое образование инженера не заканчивается получением базовых знаний Студенты начинают понимать необходимость применения математических методов при изучении специальных дисциплин, в которых рассматривается решение прикладных задач:
• дифференциальные уравнения - механика, экология, лингвистика;
• частные производные - тепло-массообмен, упругость;
• комплексные переменные - электричество и радиофизика;
• статистика - обработка данных
Поэтому важно осуществлять взаимодействие и взаимопроникновение с родственными дисциплинами: физикой, механикой и другими. В настоящее время кафедра математики совместно с кафедрой физики выпускает сборник упражнений, в котором математические методы применяются к решению конкретных физических задач.
Приведем образец теста на проверку знаний школьной математики.
л (а4 + 4)(а+2)
1. Упростить выражение —;--2 а
г г а3-2а+4
2. Вычислить 0,9950
3. Товар стоил 1500 руб. Затем он подорожал на 12%, а потом подешевел на 9%. Какова новая цена товара?
В арифметической прогрессии а1 = 5, а3 = 6. Найти а9. Вы положили в банк 12 000 руб. под 15% годовых. Какая сумма будет на Вашем счете через три года?
4у х -17
х 4у 4 4у- 20
4.
5.
6 Решить систему уравнений.
7 Решить неравенство
1.1. \х + 6| > 2
1.2. х2 <9
8. Вес одного квадратного сантиметра итальянской пиццы составляет 3 грамма. Насколько увеличится вес пиццы радиусом 11 см, если этот радиус увеличить до 12 см?
9. Две водопроводные трубы диаметрами 10 см и 25 см надо заменить одной трубой с той же пропускной способностью. Каким должен быть диаметр этой трубы?
Заключение
Математика - одна из самых древних наук. Ее история насчитывает около тридцати веков. Однако, несмотря на свой солидный возраст, в настоящее время она является одной из наиболее бурно развивающихся областей знания. Появляются новые теории и разделы, а некоторые "старые" практически заново отстраиваются на прочном аксиоматическом фундаменте, обогащаются свежими подходами и методами. Нет сомнения в том, что математика, располагая неограниченными возможностями компьютера, успешно продолжит свою верную службу человечеству на тернистом пути технического прогресса [3].
Литература
1. Антонов В.И. Математическое образование в СПбГПУ.// Научно-технические ведомости СПбГПУ - №3 - 2005 г. - С. 195-204.
2. Хватов Ю.А.. Тесты по математике в учебном процессе. Сб. «Математика. Методические рекомендации для преподавателей и студентов», - 2009г. Изд. СПбГПУ, С. 77- 107.
3. Антонов В.И. Фундаментальное математическое образование в Санкт-Петербургском государственном Политехническом университете.// Научно-технические ведомости СПбГПУ. №2 - 2010г. - С. 216-220.
