CC BY
136
Геодезия и маркшейдерия
УДК 528
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНЖЕНЕРНО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ В СТЕРЕОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ ГАУССА
Динара Амалбековна Абжапарова
Ошский государственный университет, 714000, Киргизия, г. Ош, ул. Ленина, 331, старший преподаватель, тел. (996-03-222)5-46-65, e-mail: ada23121970@yandex.ru
В статье рассматривается математическая обработка инженерно-геодезических сетей в стереографической проекции Гаусса и делаются выводы о ее эффективности при обработке инженерно-геодезических сетей.
Ключевые слова: математическая обработка, инженерно-геодезические сети, стереографическая проекция Гаусса.
MATHEMATICAL PROCESSING OF ENGINEERING AND GEODETIC NETWORKS IN A STEREOGRAPHIC PROJECTION OF GAUSS
Dinara A. Abzhaparova
Osh State University, 714000, Kyrgyzstan, Osh, Lenina, 331, Senior Lecturer, tel. (996-03-222)5-46-65, e-mail: ada23121970@yandex.ru
The article discusses the mathematical treatment of engineering - geodetic networks in stereographic projection of the Gauss.
Key words: mathematical processing, engineering and geodetic network, the stereographic projection of the Gauss.
Задачи использования геодезических проекций и систем координат являются одними из базовых в теории и практике геодезии [1-10]. Выбор геодезической проекции и определение систем координат для инженерногеодезических работ в Республике Киргизия - задача не новая, но актуальная по ряду позиций до настоящего времени. Для обоснования оценки достоинства стереографической проекции Гаусса проанализируем пример обработки городской геодезической сети (рис. 1) в указанной и распространенной цилиндрической проекциях [11, 12].
В сети, представленной на рис. 1, сторона AB, являющаяся стороной государственной триангуляции 3-го класса, измерена электронным тахеометром TC802 швейцарской фирмы «Leica» с относительной точностью 1 : 200 000 и ее значение SAB = 6 113,21 м. Кроме того, к исходным данным сети триангуляции
относятся координаты пункта А: хА = 6 107 563,81 м, уА = 5 571 684,52 м; направление (дирекционный угол) в проекции Гаусса - Крюгера a AB = 320o47'28,1".
Результаты угловых измерений в сети на эллипсоидной поверхности представлены в табл. 1.
27
Геодезия и маркшейдерия
II HI
IV
Рис. 1. Объект исследований - геодезическая центральная система
Таблица 1
Результаты угловых измерений
Название пункта Измеренные углы
I 60°57'57,7"
B 69°27'44,8"
A 49°34'17,6"
II 56°33'40,7"
B 73°48'18,9"
I 49°41'04,5"
IV 56°33'40,7"
B 69°34'30,2"
III 53°35'04,3"
A 37°58'23,8"
B 94°28'47,0"
IV 47°32'51,3"
А 58°38'43,9"
В 52°43'39,1"
IV 68°37'38,5"
28
Геодезия и маркшейдерия
Исходные данные для обработки сети в стереографической проекции Гаусса получим по соответствующим элементам в системе координат Гаусса - Крюгера [11-13] с учетом следующего требования к системе местных координат: за начало координат городской системы примем условную точку с географическими координатами широты В0 = 55°00', долготы L0 = 27°00'.
Перевычисленные по известным формулам [13] исходные данные городской геодезической сети (ГГС) приведены в табл. 2.
Вычисленные элементы
Таблица 2
v ГГС / ч Ха (м) 10 226,31
Y А (м) 73 683,81
SAB 10 000 321
ао 320°47'30,30"
Дальнейшая обработка геодезической сети выполнена по новым исходным данным, соответствующим стереографической проекции Гаусса в городской системе координат [13, 14].
Используя координаты пункта А, дирекционный угол ао, измеренные углы и длины сторон треугольников, приведенные в табл. 1 и 2, вычислим приближенные координаты всех пунктов сети и определим поправки в направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости в стереографической проекции Гаусса по приближенным значениям координат [2, 3], вычислим поправки в углы, найдем плоские углы и выполним уравнивание сети по методу наименьших квадратов [15, 16, 17, 18].
Окончательное решение треугольников выполним, используя значения сторон треугольников сети и дирекционные углы, затем получим окончательные координаты искомых пунктов в стереографической проекции Гаусса и осуществим контроль полученных результатов (табл. 3).
Таблица 3
Результаты вычисления координат в стереографической проекции Гаусса
Пункты Х о (м) Yo (м)
A 10 226,31 73 683,81
B 14 885,53 67 882,72
I 10 363,48 65 245,08
II 16 043,51 63 241,47
III 19 455,03 67 368,91
IV 15 071,80 73 393,68
29
Геодезия и маркшейдерия
Сопоставление координат пунктов в двух проекциях показало, что переход с эллипсоида на плоскость в стереографической проекции сопровождается меньшими искажениями, чем в проекции Гаусса - Крюгера.
Конкретизируем границы области применения указанной проекции для сетей сгущения и съемочного обоснования.
Согласно теории математической обработки инженерно-геодезических сетей [8], имеем:
sg - 2Nо
где N0 - радиус первого вертикала, приближенно принятый равным среднему радиусу Земли, при AS / S = 1 / 100 000. Тогда для исходной стороны триангуляции 4-го класса имеем:
Sg = 2 ■ 6 400^1:100 000 = 40 км.
Площадь охвата геодезическим обеспечением в данном случае будет составлять:
P = - ■ 402 = 5 0 00 км2.
4
Отсюда следует вывод: если принять за начало координат в стереографической проекции какую-либо точку, расположенную на ближайшем осевом ме-
2
ридиане зоны под широтой изображаемого города, т. е. на площади 5 000 км (70 х 70), то при относительной точности 1 : 100 000 линейными искажениями городской триангуляции на данной территории можно пренебречь.
Для городской полигонометрии с линейными искажениями менее 1 : 20 000 указанная площадь [10, 11] составляет величину, определяемую выражением
P = 3,14 ■ 802 = 20 0 00 км2 (т. е. -140 х 140 км2 -),
что соответствует площади 1 листа карты масштаба 1 : 1 000 000.
В табл. 4 приведены значения величин линейных искажений в стереографической проекции Гаусса для инженерно-геодезических работ в зависимости от их точности. В расчетах длина стороны геодезической сети равна 1 км, а соответствующие поправки подсчитаны из выражения
AS = 1 км • S2g / 4N20 .
30
Геодезия и маркшейдерия
Таблица 4
Значения величин линейных ошибок и поправок
Расстояние от начала координат, км Ошибка в расстоянии на 1 км, м Поправка на 1 км, м Относительная ошибка
0 0 0 -
10 0 0 -
20 +0,002 -0,002 1 500 000
30 +0,006 -0,006 1 160 000
40 +0,010 -0,010 1 100 000
50 +0,016 -0,016 1 60 000
100 +0,064 -0,064 1 16 000
120 +0,090 -0,090 1 11 000
150 +0,140 -0,140 1 7 000
200 +0,260 -0,260 1 4 000
250 +0,400 -0,400 1 2 500
285 +0,500 -0,500 1 2 000
Полученные нами результаты дают возможность сделать следующие выводы:
- при обработке высокоточных инженерно-геодезических сетей с точностью порядка 1 : 100 000 и выше следует учитывать результаты редукции;
- при обработке сетей сгущения редуцирование не осуществляется по всей ширине 3-градусных зон (Sg < 120 км);
- при обработке съемочного обоснования и результатов крупномасштабных съемок редукции расстояний не учитываются по всей ширине 6-градусных зон (Sg < 256 км);
- при обработке угловых измерений в сетях сгущения и съемочного обоснования редукциями направлений и углов можно пренебречь во всех практических случаях;
- при использовании секущей стереографической проекции Гаусса границы использования систем координат увеличиваются в V2 раз, поэтому данная проекция целесообразна для применения в инженерно-геодезических работах, так как обеспечивает упрощение расчетов при обработке обоснования и расчете данных по выносу проектов в натуру.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тетерин Г. Н. О координатизации - термине и понятии (исторический очерк) // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 32-40.
2. Акреш М. С. Новые методологии в проекции Лагранжа // Вестник СГГА. - 2013. -Вып. 3 (23). - С. 17-20.
31
Геодезия и маркшейдерия
3. Построение специальной геодезической сети на Верхне-Салымском объекте с использованием GPS-измерений / В. А. Середович, Ю. В. Сурнин, К. М. Антонович, В. А. Скрипников, А. Н. Клепиков, Е. Г. Гиенко // Вестник СГГА. - 2000. - Вып. 5. - С. 9-15.
4. Скрипников В. А. Построение плановой разбивочной сети с использованием спутниковых геодезических приемников // Вестник СГГА. - 2001. - Вып. 6. - С. 41-45.
5. Ардюков Д. Г. Новосибирская GPS-станция и Алтайская GPS-сеть // Вестник СГГА. - 2004. - Вып. 9. - С. 55-59.
6. Дударев В. И., Середович В. А. Построение геодезических съемочных сетей в районах Крайнего Севера // Вестник СГГА. - 2005. - Вып. 10. - С. 58-60.
7. Родионова Ю. В. Оптимизация плановой геодезической сети города по критерию геометрической надежности // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. - С. 125-128.
8. Аврунев Е. И. Математическая обработка спутниковых построений для целей государственного кадастра недвижимости // Вестник СГГА. - 2010. - Вып. 1 (12). - С. 49-56.
9. Афонин К. Ф. Преобразование плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера из МСК-54 в СК НСО // Вестник СГГА. - 2010. - Вып. 1 (12). - С. 57-62.
10. Лисицкий Д. В. Перспективы развития картографии: от системы «Цифровая Земля» к системе виртуальной геореальности // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 2 (22). - С. 8-16.
11. Христов В. К. Координаты Гаусса - Крюгера на эллипсоиде вращения. - М.: Изд-во геодезической литературы, 1957. - 264 с.
12. Бессель Ф. В. Высшая геодезия и способ наименьших квадратов. - М.: Геодезлит-издат, 1961. - 282 с.
13. Куштин И. Ф., Куштин В. И. Геодезия: учебно-практическое пособие. - Ростов н/Д: Феникс, 2009. - 909 с.
14. Зенин В. Н. Разработка специальной геодезической проекции для инженерных и городских геодезических работ: автореф. дис. на соискание ученой степ. канд. технических наук. -М., 1970. - 12 с.
15. Голубев В. В. Теория математической обработки геодезических измерений. - М.: Недра, 2009. - 246 с.
16. Бойко Е. Г. Высшая геодезия. Ч. II. Сфероидическая геодезия. - Картгеоцентр. -М.: Геодезиздат, 2003. - 144 с.
17. Огородова Л. В. Высшая геодезия. Ч. III. Теоретическая геодезия. - М.: Геодез-картиздат, 2006. - 245 с.
18. Лесных Н. Б., Мизин В. Е. Сравнительная характеристика результатов двух статистических методов анализа разностей повторных измерений // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 1 (17). - С. 41-46.
Получено 10.01.2014
© Д. А. Абжапарова, 2014
32
