МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ С ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССОЙ НА УПРУГИХ ОПОРАХ (НА ПРИМЕРЕ ЖЕСТКОЙ ОШИНОВКИ) Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1 (70) / 2020.

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

УДК 624.042.8 : 624.044.2

©2020. С.А. Фоменко, А.Н. Оржеховский, С.Ю. Макаренко

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ С ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССОЙ НА УПРУГИХ ОПОРАХ (НА ПРИМЕРЕ ЖЕСТКОЙ ОШИНОВКИ)

Проблема уменьшения уровня колебаний конструкций жесткой ошиновки во многих случаях связана с необходимостью повышения жесткости и снижения материалоемкости конструкций, однако важно выполнение технологических требований, предъявляемых условиями эксплуатации, и защита людей от вредного действия вибраций. В статье рассматривается конструкция жесткой ошиновки, которая может быть представлена в виде динамической модели стержня с распределенной массой на упругих опорах. Динамическая модель описывается дифференциальным уравнением колебаний упругого весомого стержня на упругих опорах, сжатого силой Т, с присоединенной массой М с учетом сил инерции поворота, сдвига поперечных сечений и вязкого трения. Получено общее частотное уравнение, включающее в себя любую комбинацию внешних опорных связей (включая их отсутствие), а также произвольное расположение сосредоточенной массы на стержне. Получены уравнения динамических перемещений и максимального отклонения любого сечения трубы от положения равновесия.

Ключевые слова: жесткая ошиновка, гашение колебаний, колебания стержня на упругих опорах, частотное уравнение.

1. Анализ состояния и формулировка проблемы. Жесткая ошиновка (ЖО) [1-5] предназначена для передачи и распределения электрической энергии между высоковольтными аппаратами в составе как открытых (ОРУ), так и закрытых распределительных устройств (ЗРУ) быстромонтируемых комплектных трансформаторных подстанций (рис. 1).

Рис. 1. Принципиальная схема конструкции ЖО: 1 - трубчатая шина; 2 - токовый компенсатор; 3 - шинодержатель; 4 - опорный изолятор; 5 - замок; 6 - опорная рама.

Одним из основных вопросов при проектировании конструкции жесткой ошиновки является вопрос стабилизации конструкции под действием различных динамических нагрузок [2, 3, 5 - 7]. Для изучения поведения жесткой ошиновки при проведении динамических испытаний необходимо создать математическую модель колеблющегося упругого стержня на упругих опорах, сжатого силой Т, с присоединенной массой М.

Известно, что наиболее точным описанием процесса поперечных колебаний сжатого весомого стержня является дифференциальное уравнение, в котором учтены силы инерции поворота (^ф • Лх) и сдвига поперечных сечений [8-11]:

^гд4у ду 2( кЕ\ д4у гкт д4у В у

(1)

Целью исследования является создание математической модели колеблющегося весомого упругого стержня на упругих опорах, сжатого силой Т, с присоединенной массой М.

2. Методика и результаты анализа модели. Рассмотрим свободные затухающие поперечные колебания стержня круглого сечения с погонной массой т (например, трубы-шины), изгибной жесткостью Е1, нагруженного продольной силой , на упругих опорах (рис. 2).

Рис. 2. Схема колебаний стержня с распределенной массой на упругих опорах

Запишем дифференциальное уравнение, в котором учтены силы инерции поворота, сдвиг поперечных сечений и вязкое трение:

2( кЕ\ В4у

г2кт2 В4у Тд2у ду дх2т2 рс дх2 р т ' { )

где т, I, Р, Е, С, г, к - соответственно погонная масса стержня, момент инерции поперечного сечения, площадь поперечного сечения, модуль упругости, модуль сдвига, радиус инерции поперечного сечения и коэффициент неравномерности распределения касательных напряжений по сечению определяемый по формуле:

к =

Т2

о отс

Ох

ЛР.

(3)

ь

В формулах (2) и (3) все геометрические характеристики вычисляются относительно главной центральной оси, перпендикулярной к плоскости колебаний. Вводя обозначения:

2_ Е1 1,2 _ -2 Л . кЕ\ 2 _ -2 кт 2 Т в

m \ G j FG m 2m

перепишем уравнение (2) в виде

a2Yxxxx + Ytt - b2Yxxtt + <?Ytttt + d2Yxx + 2eYt = 0.

Согласно методу Фурье [12], решение может быть получено в виде Y = Y(x) ■ sin wt = enx ■ sin wt. Дифференцируя функцию, получим

rv b2w2 + d2 rr c2w4 - w2

У1У +-2-У +-2-У =

a2 a2

Характеристическое уравнение имеет вид:

4 b2w2 + d2 2 c2w4 - w2 n ,гЛ

n4 +-^-n2 +-^-= 0, 5

22

где ш = ^ш21+ е2 - частота собственных колебаний стержня без учета затухания. Блочная форма данного уравнения:

Решением данного биквадратного уравнения является совокупность:

n _ -(b2üü2+d2)-^(b4-4a2c2)üü4+(4a2+2b2d2)üü2+d4 _

П3,4 = ±

-(b20j2+d2)+^/ (b4-4a2c2)üj4+(áa2+2b2d2)üj2+d4__,

V -2^- - ±К-

(6)

где к и К - волновые числа (рациональные положительные). Волновые числа к и К являются функциями частоты при известной продольной силе и функциями продольной силы при известной частоте. Определим частотный диапазон, для которого запись (6) справедлива. Введем обозначение:

р(ш) = (Ь4 - 4а2с2)ш4 + (4а2 + 2b2d2)ш2 + d4.

Численные исследования функции р(ш) при различных значениях жесткост-ных, геометрических и др. параметров стержня показали, что область значений функции определяется выражением р(ш) > 0, причем р(ш) = 0 при ш = 0 и ! = 0. Следовательно, выражение д/(б4 — 4а2с2)ш4 + (4а2 + 2b2d2)uJ2 + d4 существует и является числом рациональным.

Введем обозначения

-(¿2 + Ь2ш2) + у/{Ъ4 - 4а2с2)ш4 + (4а2 + 2Ъ2Л2)и2 + d4 V =-

_2а2_

(d2 + Ъ2ш2) + У(64 - 4а2с2)ш4 + (4а2 + 2b2d2)tü2 + d4

2а2 '

Найдем область частот ш, в которой выполняется равенство sign(n) = sign(^). Для этого необходимо ц ■ п > 0. Применяя теорему Виета к характеристическому уравнению (5), получим ¡л ■ г] = с ш, тогда с2ш4 — ш2 > 0, откуда ш < Следовательно, запись (6) и последующие выводы справедливы при частотах ш < шкр, где

1 _ ГТсГ _ 1

с V г2кт г

WKP = 7 = \¡7nzz = -\¡— > (7)

р - плотность материала стержня. Таким образом, шкр обратно пропорциональна радиусу инерции сечения. Как видим, полученная зависимость справедлива для колебаний стержня без учета затухания [13], так и с учетом затухания.

Далее будем рассматривать решение уравнения (2) в области частот ш < шкр. Тогда функция прогибов примет вид:

те

y(x, t) = e-£t • ^ (Cm • eknx + C2n • e-knX + C3n • eiKnX + C4n • e-iKn^ • ег'

-£t • ( C • eknX + C • e-knX + C • eiKnX + C, • e-iKnx\ • eiudnt n=1

или через новые постоянные интегрирования

те

y(x, t) = e-£t • (An • chknX + Bn • shknx+

n=1

+ Cn • cos Knx + Dn • sin Knx) • sin(wdnt + Hn)■

Выразим постоянные интегрирования через начальные параметры. Для этого продифференцируем уравнение изогнутой оси стержня:

y(x) = Achkx + Bshkx + C cos Kx + D sin Kx,

y'(x) = k(Ashkx + Bchkx) + K(-C sin Kx + D cos Kx),

M(x) = Ely"(x) = Elk2(Achkx + Bshkx) - EIK2(C cos Kx + D sin Kx),

Q(x) = Elk3(Ashkx + Bchkx) + EIK3(C sin Kx - D cos Kx)■

Из начальных условий y(0) = y0, y'(0) = y'0, M(0) = M0, Q(0) = P0 получим систему уравнений:

A + C = yo, Bk + DK = y0, k2EIA - K2EIC = Mo, k3EIB - K3EID = P0■

Отсюда находим постоянные интегрирования через начальные параметры:

Л = + EI Р = Уо к + кЕ1

к2 + К2 ' к2 + К2 '

,/np _ Mo / к2 Ро

r = yolí EI D = УО К KEI

к2 + К2 ' к2 + К2 '

Подставляя эти постоянные, получим уравнение деформированной оси стержня в виде:

, . K2 chkx + k2 cos Kx . K3shkx + k3 sin Kx У(Х) = У0-, о , - + У О-, . -+

k2 + K2

kK(k2 + K2)

M0 chkx — cos Kx P0 Kshkx — k sin Kx к2 + К2 + Ш kK(k2 + К2) '

Обозначая произведения

kK = kQ2, X = kL, Л = KL, Xq = koL.

получим

Akx —

A* =

K2chkx + k2 cos Kx k2 + K2 '

k2chkx + K2 cos Kx

kx к2 + K2

K3shkx + k3 sin Kx

Bkx

Bkx = k0

Ckx = k0

ko (k2 + K2)

kshkx + K sin Kx k2 + K2 '

chkx cos Kx

dAkx dx

dAjx dx

dBkx dx

dB

kx

k2 + K2

dx

dCkx dx

= ko Dkx, = ko Dkx,

= k0Akx, = k0Akx,

= koB

kx,

_

Ckx

k4 chkx — K4 cos Kx k2{k2 + K2) '

Dkx = ko

D*

Dkx

Kshkx — k sin Kx k2 + K2 '

k3shkx — K3 sin Kx k0(k2 + K2) '

dDkx dx

= k0Ckx

dD

kx

dx

= koC\

kx.

(9)

(10)

(11)

Зависимости (11) являются динамическими функциями А.Н. Крылова. Таким образом, с учетом дифференциальных зависимостей, получим следующие расчетные уравнения в начальных параметрах:

' ( \ л , Уо и , М° п , Ро тл У{х) = УоАкх + ¥вкх + шСкх + А»,

^ 0 р k01 у'(х) = у'0Акх + -~^-В*кх + -¡JL^Ckx + yok0Dkx

koEI

k2EI

M(x) = M0A*kx + ^B*kx + y0k2EICkx + y'0k0EIDkx,

ko

I Q(x) = PoAkx + yok03EIBkx + yQkQEICkx + MokoDkx.

(12)

Дальнейшее решение задачи сводится к определению волновых чисел исходя из граничных условий задачи.

На основе вышеизложенных решений получим решение для схемы, содержащей одну сосредоточенную массу М (установленная вибромашина), расстояние от левой опоры до которой обозначим и (рис. 3).

Рис. 3. Схема колебаний стержня на упругих опорах с распределенной массой и одной

сосредоточенной массой

Дифференциальное уравнение имеет вид (2). Тогда с использованием (12) прогибы определяться в соответствии с методом начальных параметров:

у(х) = у0Акх + ^Вкх + '/,.г •

(13)

V0J

где Р - сила инерции массы, е(х — и) - единичная функция, определяющаяся как

е(х — а) = 1, при х > а; е(х — а) = 0, при х < а.

Сила инерции массы может быть найдена по формуле:

Р = —Му(и) = М (и2 — е2) У (и).

Используя теорему Виета применительно к характеристическому уравнению (5) и его решением (6), получим

Обозначим

2 (К2 — к2) ■ а2 — Л2 2

ОЬ = -г^--£ ИЛИ

Л ь2

- -—--ь .

2с2

( 2 21 М М

<*м = К - е ) дру, £ = —.

(14)

Функция ам является безразмерной, характеризующей влияние массы . Тогда сила инерции массы с учетом граничных условий в начале координат М0 = с3у0, Р0 = -с1у0, определится как

Р = М И - е2) ■ ( у„Аы + ВЫ + ф^Сы +

Таким образом, с учетом дифференциальных зависимостей, получим следующие расчетные уравнения в начальных параметрах:

у(х) = уо((Лкх + амАыОк(х-и)£(х - и))-

С1

р^уРь: + амОкиОцх_и)е(х - «))) +

+Т+ амВкурк[х_и)е{х - и))+

+

С

ко Е1

(Скх + амСкиОк(х-и)£(х - и))),

у'(х) = уо(ко(Окх + амАыСк(х-и)£(х - и))-

с1

+ амВ>киСцх_и)е(х - «))) + +у'о((Акх + амВкиСк(х-и)£(х - и)) +

(Вкх + амСкиСк(х-и)£(х - u))),

+

Сз

ко Е1

М(х) = уо(к0Е1(Скх + амАкиВ*к{х-и)£(х - и))-

~Т0^В*кх + ам°киВк{х-и)£(Х - и))) +

+у'о(коЕ1(Бкх + амВкиВ*к(х-и)£(х - и)) + +сз(Акх + амСкиВк(х-и)£(х - u))),

Я(х) = уо(к3Е1(В*кх + амАкиА*к{х-и)ф - и))--С1(Акх + амОкиА*ф-и)£(х - и))) +

+у о (к^Е1(Скх + амВкиА*к(х-и)£(х - и))+ +сзко(^х + амСкиАк(х-и)£(х - и))).

(16)

Осуществляем переход к безразмерным параметрам жесткостей внешних опор:

«1

а-ь3 Е1

«2

С2-Ь3

Е1

«3

Сз ■ ь

Е1 '

«4

с4 ■ Ь Е1 '

(17)

При использовании безразмерных относительных величин жесткости внешних опор (17) получим частотное уравнение в виде:

Е,. =

- - Л0Бл + ^л + «м («2АкиОк[ь_и)-

--^гВкиОк{Ь-ь) - АкиА*к(Ь-и) + «1 ОкиА*к^ь_и^

+ -^ + Ао-Сл + +

Ас

+АсВкиВ*к(ь-и) + «зСкиВ*к(Ь-и) Ао

«4Ао-Сл--1 Л + АдСл —

Ас

+ «М (^4^оАкиСк(Ь_и^--^^ОкиС^Ь-и) + Ао^4киВ1(Ь-и)

(18)

+ам «2

ВХ . «2«зС\ \ п* ,

АС Ас

ВкиОк(Ь-и) «2«3

Ас

+ —^¿-СкиОк(ь-и) —

— А0ВкиА*к(Ь-и) — «3АсСкиА*к(Ь-и)^

0.

Полученное уравнение (18) является общим частотным уравнением, включающим в себя любую комбинацию внешних опорных связей (включая их отсутствие), а также произвольное расположение сосредоточенной массы на стержне. Также следует отметить, что все коэффициенты уравнения (18) являются безразмерными величинами. Таким образом, уравнение (18) можно назвать универсальным частотным уравнением поперечных затухающих колебаний стержня в безразмерных параметрах [14].

Из уравнений (16) выразим ус через у'с :

Ус

+ ам-ВыАг(ь-и)) + (С* + амСкиЕ>к(Ь-и))^ 0 (А\ + амАкиОк(ь-и)) ~ кз1Е1(В^ + амЕ>киЕ>к{ь-и))

(19)

х

Уравнение динамических перемещений примет вид:

у (ж, ¿) = е ((Вкх + амВкиВк{х_и)е (х - и)) +

г=1

+ (СкХ + амСкиГ>к(х-и)£ (х ~ и))) ~

У'

- {{Акх + амАкиВк(х_и)е (ж - и)) -

~ЖЁ1 + ам0ки1:)к(х-и)£ (х _ х (20)

х ((5л + ямВкиО^ь-и)) + + ^«(М)) х

х ((-4л + ам4Л(ь-и)) - р^у (^л + амВкиВк(ь-и))^ ^ х

п

X 8Ш (ш^ + Цп) = • ^ УоЗп (х) 8Ш (ш^ + Цп)

г=1

Максимальное отклонение любого сечения трубы от положения равновесия примет вид:

утах(м)= Усст(х)+ У(М). (21)

Из начальных условий определим

• у (ж, 0)

(ц) =

У (ж, 0) + е • у (х, 0)'

(22)

Уо = --ТТ^л---

З (х)

Выводы.

1. Конструкция жесткой ошиновки может быть представлена в виде динамической модели стержня с распределенной массой на упругих опорах, что позволяет учитывать различные опорные закрепления трубы-шины.

2. Впервые получена математическая модель и получено общее частотное уравнение, включающее в себя любую комбинацию внешних опорных связей (включая их отсутствие), а также произвольное расположение сосредоточенной массы на стержне.

3. Получены уравнения динамических перемещений и максимального отклонения любого сечения трубы от положения равновесия.

1. СОУ 40.1-32385941-38:2011 "Загальш техшчш вимоги до проектування та експлуатаци конструкцш жорстко! ошиновки у в1дкритих розподшьчих установках напругою в1д 110 до 750кВ". - Ки!в: Об'еднання енергетичних п1дприемств "ГР1ФРЕ2011. - 21 с.

2. СОУ 40.132385941-39:2011 Проектирование жесткой ошиновки в открытых распределительных устройствах напряжением от 110 до 750 кВ. Методические указания, Институт "Укрэнергосетьпроект 2010 г.

3. СТО 56947007-29.060.10.005-2008. Руководящий документ по проектированию жёсткой ошиновки ОРУ 110-500 кВ. ОАО "ФСК ЕЭС 2008 г.

4. СТО 56947007-29.060.10.006-2008. Методические указания по расчёту и испытаниям жёсткой ошиновки ОРУ 110-500 кВ. ОАО "ФСК ЕЭС 2008 г.

5. Design Guide for Rural Substations: RUS Bulletin 1724E-300. - Official publication - Washington: United States Department of Agriculture, 2001. - 764 p.

6. Eurocode 1: Actions on Structures - General Actions - Part 1-4: Wind Actions [Text]. - Will supersede ENV 199124:1995; introduced January 2004. - Brussels: CEN/TC 250, 2002. - 148 р.

7. Gorokhov Ye. V. Ways of antihunting rigid conductors structures of outdoor switchgears of the power supply network construction / Ye.V. Gorokhov, V.F. Mushchanov, V.V. Kulyabko [and other] // The 10th International Conference - "Modern Building Materials, Structures and Techniques", Vilnius, 19-21 May, 2010. - р. 619-627.

8. Киселев В.А. Строительная механика: Спец. курс. Динамика и устойчивость сооружений / В.А. Киселев. - М.: Стройиздат, 1980. - 616 с.

9. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле: пер. с англ. / С.П. Тимошенко, Д.Х. Янг, У. Уивер - Машиностроение, 1985. - 472 с.

10. Шевченко Ф.Л. Динамика упругих стержневых систем: учебное пособие / Ф.Л. Шевченко.

- Донецк: ООО "Лебедь 1999. - 268 с.

11. Шевченко Ф.Л. Динамiчнi задачi стержньових систем / Ф.Л. Шевченко, Г.М. Ултн - К.: 1СДО, 1995. - 100 с.

12. Шалдырван В.А. Классические задачи математической физики: учеб. пособие. Ч.1. / В.А. Шалдырван, В.С. Герасимчук - Донецк: ДонГУ, 1999. - 152 с.

13. Денисов Е.В. Определение параметров напряженного состояния элементов эксплуатируемых металлических ферменных конструкций усовершенствованным вибрационным методом: дисс. канд. техн. наук : 05.23.01 : защищена 12.10.2006 / Денисов Евгений Валерьевич.

- Макеевка: ДонНАСА, 2006. - 226 с.

14. Фоменко С.А. Рациональные способы демпфирования изгибных колебаний балочных конструкций (на примере жесткой ошиновки открытых распределительных устройств): дисс. канд. техн. наук : 05.23.01 : защищена 26.01.2018 / Фоменко Серафим Александрович. -Макеевка: ДонНАСА, 2017. - 163 с.

S. Fomenko, A. Orzhehovskiy , S. Makarenko

Mathematical model of faded vibrations of an elastic rod with an attached mass on elastic supports (on the example of a rigid bus).

The problem of reducing the level of vibrations of rigid busbar structures in many cases is associated with the need to increase the rigidity and reduce the material consumption of structures. However, it is important to comply with the technological requirements imposed by operating conditions and protect people from the harmful effects of vibrations. The article discusses the design of a rigid bus, which can be presented in the form of a dynamic model of a rod with a distributed mass on elastic supports. The dynamic model is described by the differential equation of vibrations of an

elastic weighing bar on elastic supports compressed by a force T, with an added mass M, taking into account the forces of inertia of rotation, shear of cross sections and viscous friction. A general frequency equation is obtained, which includes any combination of external support links (including their absence), as well as an arbitrary arrangement of the concentrated mass on the rod. Equations of dynamic displacements and the maximum deviation of any pipe section from the equilibrium position are obtained.

Keywords: rigid bus, vibration damping, bar vibrations on elastic supports, frequency equation.

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 14.05.2020

и архитектуры", Макеевка

s.a.fomenko@donnasa.ru